5.1.1復數(shù)的概念課件高一下學期數(shù)學北師大版

第五章復數(shù)

復數(shù)的概念情

境

引

入

復數(shù)系統(tǒng)在科學上的作用可大了，沒有復數(shù)，便沒有電磁學，便沒有量子力學，便沒有近代文明！

—陳省身（1911-2004）有理數(shù)集計數(shù)的需要引入了自然數(shù)自然數(shù)集整數(shù)集實數(shù)集刻畫相反意義的量引入了負數(shù)引入了分數(shù)引入了無理數(shù)解決度量正方形對角線等問題角度一：解決實際問題的需要探究新知

數(shù)是人類文明進程中的偉大創(chuàng)造.隨著實際和運算的需要，經過長時間的發(fā)展，人們逐步把數(shù)從自然數(shù)擴充到有理數(shù)、實數(shù).解決測量等分問題在自然數(shù)集中，方程

有解嗎?在整數(shù)集中，方程

有解嗎?在有理數(shù)集中，方程

有解嗎?在實數(shù)集中，方程

有解嗎?角度二：解方程的需要擴充到整數(shù)集呢?擴充到有理數(shù)集呢?擴充到實數(shù)集呢?自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實數(shù)負整數(shù)分數(shù)無理數(shù)？在數(shù)自身的發(fā)展中，求解方程是數(shù)系擴充的重要動力.

方程

有沒有解?

我們知道，方程

在實數(shù)集中無解.

從方程的角度看，

能不能開平方?

聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程，我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，這個方程有解呢?

雖然負數(shù)的開方運算是由求一元二次方程的解引發(fā)的，但迫使人們認真對待卻是因為求一元三次方程的解.

1545年意大利數(shù)學家卡爾達諾(GirolamoCardano，1501—1576)出版著作《重要的藝術》，書中在討論一元三次方程的求根公式時，無可避免地導致求解負數(shù)的平方根.探究新知思考交流思考：數(shù)系經歷了四次擴充，擴充的基本原則是什么?2.原數(shù)集中的運算性質仍然成立;1.增加新元素;

數(shù)系的擴充就像移動通訊技術的發(fā)展一樣，保留原有功能，并不斷更新?lián)Q代，以滿足人們對于移動網絡更高標準的需要.移動電話收發(fā)短信收發(fā)圖文移動視頻萬物互聯(lián)3.新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾.數(shù)系的5G時代是什么?日常生活中有什么也是不斷更新?lián)Q代的?

依照這種思想，為了解決

這樣的方程在實數(shù)集中無解的問題，我們設想引入一個新數(shù)

，使得

是方程

的解，即使得

.

解決問題歐拉(L.Euler，1707-1783)

1777年，瑞士數(shù)學家歐拉在其論文中首次用符號“”表示

，稱為虛數(shù)單位.解決問題你能利用新數(shù)

的定義解方程

嗎？

把新引進的數(shù)

添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)

和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律.那么，實數(shù)系經過擴充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?形成概念（1）把實數(shù)

與

相乘，結果記作

;（2）把實數(shù)

與

相加，結果記作

;

所有實數(shù)以及

都可寫成

的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中，我們把形如

的數(shù)叫作復數(shù).復數(shù)的概念復數(shù)的代數(shù)形式形成概念全體復數(shù)所構成的集合

叫作復數(shù)集.我們把形如

的數(shù)叫作復數(shù)，其中

叫作虛數(shù)單位.復數(shù)通常用字母

表示,即

.其中

稱為復數(shù)的實部，記作

；

稱為復數(shù)的虛部，記作

.注意：虛部是

，不是.復數(shù)集虛數(shù)集純虛數(shù)集實數(shù)集復數(shù)的分類當且僅當

時，它是實數(shù)，當且僅當

時，它是虛數(shù)，當且僅當

時，它是實數(shù)0;對于復數(shù)當且僅當

時，它是純虛數(shù).形成概念當且僅當

時，它是非純虛數(shù).非純虛數(shù)集練習

判斷下列復數(shù)哪些是實數(shù)，純虛數(shù)，非純虛數(shù)？

，

與

能比較大小么？兩個復數(shù)相等若兩個復數(shù)相等，則它們的實部和虛部分別相等！

在復數(shù)集中的兩個數(shù)

，

形成概念答：虛數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等；實數(shù)可以比較大小.即：

.

當且僅當

能比較大小么?兩個復數(shù)思考：例深化概念思考：自然數(shù)集

，整數(shù)集

，有理數(shù)集

，實數(shù)集

，復數(shù)集

之間有什么關系?例題講解例1說出下列三個復數(shù)的實部、虛部，并指出它們是實數(shù)還是虛數(shù)，如果是虛數(shù)，請指出是否為純虛數(shù).(1)

；(2)

；(3).解

它是虛數(shù)，但不是純虛數(shù).(1)

的實部與虛部分別是

和

，(2)

的實部與虛部分別是

和

，它是虛數(shù)，而且是純虛數(shù).(3)

的實部與虛部分別是

和

，它是實數(shù).例3解一元二次方程.例題講解例2設

，求

的值.

解

由復數(shù)相等的定義，得解方程組，得解

，但在復數(shù)集中有解.課堂練習1.當實數(shù)

分別取什么值時，復數(shù)

（1）是實數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)；（4）是0?解

（1）當

，即

或

時，復數(shù)

是實數(shù)；（2）當

，即

且

時，復數(shù)

是虛數(shù)；（3）當

且

時，即

時，復數(shù)

是純虛數(shù)；（4）當

且

時，即

時，復數(shù)

是0.由復數(shù)相等的定義，得課堂練習2.設

，求

的值.

解

解得

或3.

若

，求實數(shù)

的值.

解