專題03條件概率與全概率公式2

專題03條件概率與全概率公式專題03條件概率與全概率公式一．事件的相互獨(dú)立性1.兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.必然事件Ω，不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立.2.相互獨(dú)立的性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．二．條件概率①定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)·P(B|A)．三．條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．四．全概率公式1.P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；2.定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai).五．貝葉斯公式1.一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).2.定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai)).3.拓展：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉(zhuǎn)化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內(nèi)在聯(lián)系．六、常用結(jié)論與知識(shí)拓展1.兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥．2.P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3.計(jì)算條件概率P(B|A)時(shí)，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．題型一相互獨(dú)立事件判斷【典例1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立【典例2】【多選題】（2324高二下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知，是隨機(jī)事件，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．，為對(duì)立事件C．，相互獨(dú)立 D．【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．題型二：獨(dú)立事件與互斥事件【典例3】（2324高二上·浙江舟山·期末）已知事件，且，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，那么，則分別為（

）A． B．C． D．【典例4】（2324高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）射箭是群眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式之一，某項(xiàng)賽事前，甲、乙兩名射箭愛(ài)好者各射了一組（72支）箭進(jìn)行賽前熱身訓(xùn)練，下表是箭靶區(qū)域劃分及兩人成績(jī)的頻數(shù)記錄信息：用賽前熱身訓(xùn)練的成績(jī)估計(jì)兩名運(yùn)動(dòng)員的正式比賽的競(jìng)技水平，并假設(shè)運(yùn)動(dòng)員競(jìng)技水平互不影響，運(yùn)動(dòng)員每支箭的成績(jī)也互不影響．箭靶區(qū)域環(huán)外黑環(huán)藍(lán)環(huán)紅環(huán)黃圈區(qū)域顏色白色黑色藍(lán)色紅色黃色環(huán)數(shù)12環(huán)34環(huán)5環(huán)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲成績(jī)（頻數(shù)）0012363624乙成績(jī)（頻數(shù)）01245123612(1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8環(huán)及以上的概率；(2)甲乙各射出兩支箭，求共有3支箭命中黃圈的概率．題型三相互獨(dú)立事件概率計(jì)算【典例5】（2023·天津·高考真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無(wú)其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為．【典例6】（2007·陜西·高考真題）某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否回答正確互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．【規(guī)律方法】1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．3.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．4．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．5.計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問(wèn)題可以考慮間接法．題型四條件概率的計(jì)算【典例7】（2023·全國(guó)·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【典例8】（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【規(guī)律方法】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問(wèn)題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.題型五條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【典例9】（2324高二上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，則.【典例10】（2324高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知，，，則，．【規(guī)律方法】條件概率性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．題型六全概率公式的應(yīng)用【典例11】（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【典例12】（2324高三下·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.【總結(jié)提升】利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算．題型七貝葉斯概率公式的應(yīng)用【典例13】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．【典例14】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.若已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)為1的概率.【規(guī)律方法】利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計(jì)算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．題型八遞推法求概率【典例15】【多選題】（2324高三上·湖北·階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．C． D．【典例16】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）隨著芯片技術(shù)的不斷發(fā)展，的性能越來(lái)越強(qiáng)大，為用戶體驗(yàn)帶來(lái)了極大的提升．某科技公司開(kāi)發(fā)了一款學(xué)習(xí)類的闖關(guān)益智游戲，每一關(guān)的難度分別有“容易”“適中”“困難”三個(gè)檔次，并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān)，若上一關(guān)的難度是“容易”或者“適中”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，若上一關(guān)的難度是“困難”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，已知第1關(guān)的難度為“容易”．(1)求第3關(guān)的難度為“困難”的概率；(2)用表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，求．一、選擇題：1．（2014·全國(guó)·高考真題）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.452.（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率分別為，加工出來(lái)的零件混放在一起．己知第臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．3．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·山東青島·階段練習(xí)）盒中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，隨機(jī)地從中取出1個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個(gè)，再?gòu)暮兄腥〕?個(gè)球，則取出的是黑球的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．6．（2324高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）某學(xué)校高中部有自由、青華兩個(gè)校區(qū)，數(shù)學(xué)教研組每周選擇其中一個(gè)校區(qū)開(kāi)例會(huì)，第一周例會(huì)選擇青華校區(qū)的概率是，如果第一周例會(huì)選擇自由校區(qū)，那么第二周去自由校區(qū)的概率為；如果第一周去青華校區(qū)，那么第二周去自由校區(qū)的概率為；已知數(shù)學(xué)教研組第二周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)，則第一周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2324高二下·河北滄州·階段練習(xí)）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則A，B相互獨(dú)立B．若，則C．若，則D．若，則8．（2024·湖北·二模）已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨(dú)立，則D．若若，則三、填空題：9．（2324高二上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，則.10．（2010·安徽·高考真題）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球