北京市東城區(qū)2017屆高三二模數(shù)學(xué)(文)試題【含答案】

第20頁（共20頁）北京市東城區(qū)2016-2017學(xué)年度高三第二次統(tǒng)練文科數(shù)學(xué)2017．5一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知全集是實數(shù)集．如圖的韋恩圖表示集合與N={x|1＜x＜3}關(guān)系，那么陰影部分所表示的集合可能為（）A． B．C． D．2．已知向量，，且，那么的值為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．5．已知，那么“”的充分必要條件是（）A． B． C． D．6．已知直線與圓相交于兩點，且（其中O為原點），那么的值是（）A． B． C． D．7．日晷，是中國古代利用日影測得時刻的一種計時工具，又稱“日規(guī)”．其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻．利用日晷計時的方法是人類在天文計時領(lǐng)域的重大發(fā)明，這項發(fā)明被人類沿用達幾千年之久．如圖是故宮中的一個日晷，則根據(jù)圖片判斷此日晷的側(cè)（左）視圖可能為（）A．B．C．D．8．已知甲、乙兩個容器，甲容器容量為，裝滿純酒精，乙容器容量為，其中裝有體積為的水（，單位：）．現(xiàn)將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器中兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒?jié)M，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設(shè)操作過程中溶液體積變化忽略不計．設(shè)經(jīng)過次操作之后，乙容器中含有純酒精（單位：），下列關(guān)于數(shù)，列的說法正確的是（）A．當(dāng)時，數(shù)列有最大值 B．設(shè)，則數(shù)列為遞減數(shù)列C．對任意的，始終有an≤xyz D．對任意的，都有二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．已知三內(nèi)角對應(yīng)的邊長分別為，且，，那么______．10．已知，其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位，那么______．11．如圖莖葉圖記錄了甲，乙兩班各六名同學(xué)一周的課外閱讀時間（單位：小時），已知甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙班數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，那么的位置應(yīng)填______；的位置應(yīng)填______．12．已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，那么______．13．已知雙曲線以原點為中心，過點，且以拋物線的焦點為右頂點，那么雙曲線的方程為______．14．如圖，在棱長為的正方體中，為對角線上的一點，為對角線上的兩個動點，且線段的長度為．（1）當(dāng)為對角線的中點且時，則三棱錐的體積是______；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時，則_____．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分13分）在等差數(shù)列中，．（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和．16．（本小題滿分13分）函數(shù)的最大值為，它的最小正周期為．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值．17．（本小題滿分13分）某單位附近只有甲，乙兩個臨時停車場，它們各有個車位，為了方便市民停車，某互聯(lián)網(wǎng)停車公司對這兩個停車場在工作日某些固定時刻的剩余停車位進行記錄，如下表：時間點點點點點點停車場甲停車場乙如果表中某一時刻停車場剩余停車位數(shù)低于總車位數(shù)的，那么當(dāng)車主驅(qū)車抵達單位附近時，該公司將會向車主發(fā)出停車場飽和警報．（Ⅰ）假設(shè)某車主在以上六個時刻抵達單位附近的可能性相同，求他收到甲停車場飽和警報的概率；（Ⅱ）從這六個時刻中任選一個時刻，求甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率；（Ⅲ）當(dāng)停車場乙發(fā)出飽和警報時，求停車場甲也發(fā)出飽和警報的概率．18．（本小題滿分14分）如圖，在四棱柱中，側(cè)面和側(cè)面都是矩形，，是邊長為的正三角形，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）若平面，求棱的長度．19．（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，試求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）試求在上的最大值；（Ⅲ）當(dāng)時，求證：對于恒成立．20．（本小題滿分14分）已知橢圓．（Ⅰ）若橢圓的右焦點坐標(biāo)為，求的值；（Ⅱ）由橢圓上不同三點構(gòu)成的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形．若以為直角頂點的橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個，求的取值范圍．2017年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．（5分）已知全集U是實數(shù)集R．如圖的韋恩圖表示集合M={x|x＞2}與N={x|1＜x＜3}關(guān)系，那么陰影部分所表示的集合可能為（）A．{x|x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞3} D．{x|x≤1}【解答】解：由韋恩圖得所有元素是有屬于U，但不屬于M∪N的元素構(gòu)成，即x∈?U（M∪N），由M={x|x＞2}與N={x|1＜x＜3}則M∪N={x|x＞1}，則?U（M∪N）={x|x≤1}．故選：D．2．（5分）已知向量a→=（1，2），b→=（x，4），且a→⊥bA．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（x，4），且a→∴x+8=0，解得：x=﹣8，故選：C．3．（5分）下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=cosx【解答】解：對于A，是奇函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，不正確；對于B，非奇非偶函數(shù)，不正確，對于C，是奇函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，正確；對于D，偶函數(shù)，不正確，故選C．4．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組&x≥0&x+y≤2A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：畫出不等式組&x≥0&x+y≤2聯(lián)立&x=y&x+y-2=0得C（1，1），又A（0，2），B（0，0）；∴不等式組&x≥0&x+y≤2&x≤y所表示的平面區(qū)域的面積為S=12×2故選：A．5．（5分）已知x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要條件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C．1x＞1y D．x【解答】解：由2x＞2y?x＞y，故“x＞y”的充分必要條件是：2x＞2y，故選：A．6．（5分）已知直線x+y=m（m＞0）與圓x2+y2=1相交于P，Q兩點，且∠POQ=120°（其中O為原點），那么m的值是（）A．33 B．22 C．2 D【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d=OPsin30°=12即圓心O（0，0）到直線x+y=m（m＞0）的距離d=|m|2=1∵m＞0，∴m=2故選B．7．（5分）日晷，是中國古代利用日影測得時刻的一種計時工具，又稱“日規(guī)”．其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻．利用日晷計時的方法是人類在天文計時領(lǐng)域的重大發(fā)明，這項發(fā)明被人類沿用達幾千年之久．如圖是故宮中的一個日晷，則根據(jù)圖片判斷此日晷的側(cè)（左）視圖可能為（）A． B． C． D．【解答】解：由側(cè)視圖的定義及其圓的三視圖可知：此日晷的側(cè)（左）視圖可能為D．故選：D．8．（5分）已知甲、乙兩個容器，甲容器容量為x，裝滿純酒精，乙容器容量為z，其中裝有體積為y的水（x，y＜z，單位：L）．現(xiàn)將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器中兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒?jié)M，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設(shè)操作過程中溶液體積變化忽略不計．設(shè)經(jīng)過n（n∈N*）次操作之后，乙容器中含有純酒精an（單位：L），下列關(guān)于數(shù)，列{an}的說法正確的是（）A．當(dāng)x=y=a時，數(shù)列{an}有最大值aB．設(shè)bn=an+1﹣an（n∈N*），則數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列C．對任意的n∈N*，始終有aD．對任意的n∈N*，都有a【解答】解：對于A，若x+y＞z，每次傾倒后甲容器都有剩余，故an＜a2，故A對于B，若x+y=z，則每次操作后乙容器所含酒精都為x2，故B對于C，若x=1，y=1，z=3，則a1=12，xyz=13，故a1＞xy對于D，當(dāng)n→+∞時，甲乙兩容器濃度趨于相等，當(dāng)x+y≤z時，an=xyx+y當(dāng)x+y＞z時，an＜xyx+y，故D故選D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）已知△ABC三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，且B=2π3，又邊長b=3c，那么sinC=3【解答】解：∵B=2π3，又邊長b=3∴由正弦定理可得：csinC=bsinB=3csin∴解得：sinC=36故答案為：3610．（5分）已知11+i=12﹣ni其中n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，那么n=【解答】解：∵11+i=12﹣∴1-i(1+i)(1-i)=12-12i解得n=12故答案為：1211．（5分）如圖莖葉圖記錄了甲，乙兩班各六名同學(xué)一周的課外閱讀時間（單位：小時），已知甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13，乙班數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，那么x的位置應(yīng)填3；y的位置應(yīng)填8．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：∵甲班的平均數(shù)為13，∴8+9+13+15+(10+x)+206=13解得x=3；又乙班的中位數(shù)是17，∴(10+y)+162=17解得y=8；綜上，x、y的值分別為3、8．故答案為：38．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=1nx+2x﹣6的零點在區(qū)間（k2，k+12）（k∈Z）內(nèi)，那么k=5【解答】解：函數(shù)f（x）=lnx+2x﹣6在其定義域（0，+∞）上連續(xù)單調(diào)遞增，f（1）=ln1+2﹣6=﹣4＜0f（2）=ln2+4﹣6=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+6﹣6=ln3＞0；∴根據(jù)零點存在定理，?x0∈（2，3），使得f（x0）=0．∵f（52）=ln52﹣1=ln52﹣∴x0∈（52，3∴k2=52即故答案為：5．13．（5分）已知雙曲線G以原點O為中心，過(5，4)點，且以拋物線C：y2=4x的焦點為右頂點，那么雙曲線G的方程為【解答】解：根據(jù)題意，拋物線C：y2=4x的焦點為（1，0），即雙曲線G的右頂點坐標(biāo)為（1，0），則該雙曲線的焦點在x軸上，且其中a=1，設(shè)其方程為：x2﹣y2b又由雙曲線過點(5則有5﹣4b2=1，解可得b2則雙曲線G的方程為x2故答案為：x214．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為對角線B1D上的一點，M，N為對角線AC上的兩個動點，且線段MN的長度為1．（1）當(dāng)N為對角線AC的中點且DE=2時，則三棱錐E﹣DMN的體積是39（2）當(dāng)三棱錐E﹣DMN的體積為13時，則DE=6【解答】解：（1）∵底面ABCD是邊長為2的正方形，N是AC的中點，∴AC⊥BD，DN=2，∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，故當(dāng)N為AC的中點時，有MN⊥平面DEN，又DB1=23，BB1=2，∴sin∠BDB1=223=∴VE﹣DMN=VM﹣DEN=13S△DEN?MN=（2）設(shè)三棱錐E﹣DMN的高為h，則VE﹣DMN=13S△DMN?h=13∴h=2，∵hBB1=DEDB1故答案為：（1）39，（2）6三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分）在等差數(shù)列{an}中，a1=﹣2，a12=20．（Ⅰ）求通項an；（Ⅱ）若bn=a1+【解答】解：（Ⅰ）因為an=﹣2+（n﹣1）d，所以a12=﹣2+11d=20．于是d=2，所以an=2n﹣4．（Ⅱ）因為an=2n﹣4，所以a1于是bn令cn=3b顯然數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且c1=3-2所以數(shù)列{3bn}的前16．（13分）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=cosx?f（x），求g（x）在區(qū)間[-π【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π∵f（x）的最小正周期為2π∴2πω解得ω=1．∵f（x）的最大值2，∴A=2．故得f（x）的解析式為f(x)=2sin(x+π（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2sin(x+π6那么g（x）=cosx?f（x）=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+1+cos2x2=∵x∈[-π可得：-于是，當(dāng)2x+π6=π2時，g（x）取得最大值為當(dāng)2x+π6=-π6時，g（x∴g（x）在區(qū)間[-π6，π417．（13分）某單位附近只有甲，乙兩個臨時停車場，它們各有50個車位，為了方便市民停車，某互聯(lián)網(wǎng)停車公司對這兩個停車場在工作日某些固定時刻的剩余停車位進行記錄，如下表：時間8點10點12點14點16點18點停車場甲1031261217停車場乙13432619如果表中某一時刻停車場剩余停車位數(shù)低于總車位數(shù)的10%，那么當(dāng)車主驅(qū)車抵達單位附近時，該公司將會向車主發(fā)出停車場飽和警報．（Ⅰ）假設(shè)某車主在以上六個時刻抵達單位附近的可能性相同，求他收到甲停車場飽和警報的概率；（Ⅱ）從這六個時刻中任選一個時刻，求甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率；（Ⅲ）當(dāng)停車場乙發(fā)出飽和警報時，求停車場甲也發(fā)出飽和警報的概率．【解答】（本小題13分）解：（Ⅰ）事件“該車主收到停車場甲飽和警報”只有10點這一種情況，該車主抵達單位共有六種情況，所以該車主收到停車場甲飽和警報的概率為P=16．…（（Ⅱ）事件“甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少”有8點、10點、18點三種情況，一共有六個時刻，所以甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率為P=36=12（Ⅲ）事件“停車場乙發(fā)出飽和警報”有10點、12點、14點三種情況，事件“停車場甲也發(fā)出飽和警報”只有10點一種情況，所以當(dāng)停車場乙發(fā)出飽和警報時，停車場甲也發(fā)出飽和警報的概率為P=13．…（18．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A1D1的中點．（Ⅰ）求證：DD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求證：平面A1BE⊥平面ADD1A1；（Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的長度．【解答】（Ⅰ）證明：因為側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD．因為AD∩CD=D，所以DD1⊥平面ABCD．…（4分）（Ⅱ）證明：因為△ABD是正三角形，且E為AD中點，所以BE⊥AD．因為DD1⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，所以BE⊥DD1．因為AD∩DD1=D，所以BE⊥平面ADD1A1．因為BE?平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A1．…（10分）（Ⅲ）解：因為BC∥AD，F(xiàn)為A1D1的中點，所以BC∥A1F．所以B、C、F、A1四點共面．因為CF∥平面A1BE，而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B，所以CF∥A1B．所以四邊形BCFA1是平行四邊形．所以BC=FA1=1219．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣a）?ex，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時，試求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）試求f（x）在[1，2]上的最大值；（Ⅲ）當(dāng)a=1時，求證：對于?x∈[﹣5，+∞），f(x)+x+5≥-6【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a）?ex得f'（x）=（x﹣a+1）?ex．當(dāng)a=1時，f'（x）=x?ex，令f'（x）＞0，得x＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．所以當(dāng)a﹣1≤1時，x∈[1，2]時f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a﹣1≥2時，x∈[1，2]時f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜a﹣1＜2時，x∈[1，a﹣1）時f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（a﹣1，2）時f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．綜上，無論a為何值，當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）最大值都為f（1）或f（2）．f（1）=（1﹣a）e，f（2）=（2﹣a）e2，f（1）﹣f（2）=（1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．所以當(dāng)a≥2e2-ee2-e=2e-1e-1時，f（1）﹣f（2）≥0，f（x）max=f（當(dāng)a＜2e2-ee2-e=2e-1e-1時，f（1）﹣f（（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xex+1．所以h''（x）=（x+1）ex．令h''（x）=（x+1）ex=0，解得x=﹣1，所以當(dāng)x∈[﹣5，﹣1），h