2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式（教師用書）教案 新人教A版選修2-3

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2第1課時組合與組合數(shù)公式（教師用書）教案新人教A版選修2-3主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)——排列與組合

2.教學(xué)年級和班級：高三年級1班

3.授課時間：2024年10月10日

4.教學(xué)時數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解組合的定義和性質(zhì)。

2.掌握組合數(shù)的計算公式。

3.能夠運用組合知識解決實際問題。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.組合的定義和性質(zhì)。

2.組合數(shù)的計算公式。

3.組合數(shù)公式的應(yīng)用。

四、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：通過簡單的實例引出組合的概念，激發(fā)學(xué)生的興趣。

2.新課講解：講解組合的定義和性質(zhì)，重點講解組合數(shù)的計算公式。

3.例題解析：分析并解決幾個與組合相關(guān)的例題，讓學(xué)生掌握組合數(shù)的計算方法。

4.課堂練習(xí)：讓學(xué)生獨立完成幾道組合數(shù)的計算題目，鞏固所學(xué)知識。

5.總結(jié)：對本節(jié)課的內(nèi)容進行總結(jié)，強調(diào)組合數(shù)的計算公式及應(yīng)用。

五、作業(yè)布置

1.復(fù)習(xí)組合的定義和性質(zhì)，掌握組合數(shù)的計算公式。

2.完成課后練習(xí)第1-5題。

六、課后反思

1.總結(jié)本節(jié)課的教學(xué)效果，分析學(xué)生的掌握情況。

2.針對學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，調(diào)整教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。

七、教學(xué)資源

1.教材：《高中數(shù)學(xué)——排列與組合》

2.課件：組合與組合數(shù)公式

3.練習(xí)題：課后練習(xí)及課堂練習(xí)題核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思維。

1.邏輯推理：通過講解組合的定義和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生運用邏輯推理能力理解組合概念，掌握組合數(shù)的計算公式，并能夠運用邏輯推理解決組合相關(guān)問題。

2.數(shù)學(xué)建模：通過分析組合實例和解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模思想，將組合知識應(yīng)用于解決生活中的問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

3.數(shù)學(xué)思維：通過組合數(shù)的計算和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

4.直觀想象：通過課件展示和課堂練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生能夠直觀地理解組合的概念和組合數(shù)的計算過程。

5.數(shù)據(jù)分析：通過組合數(shù)的計算和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、分析數(shù)據(jù)的能力，提高學(xué)生運用數(shù)據(jù)分析問題的能力。

6.數(shù)學(xué)運算：通過組合數(shù)的計算練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用數(shù)學(xué)運算解決組合問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。學(xué)情分析高三年級的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上已經(jīng)有一定的基礎(chǔ)，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)、方程等基本概念和運算求解方法。他們對數(shù)學(xué)知識有一定的認(rèn)識，但還需要進一步深化對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用。在能力方面，大部分學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力，但部分學(xué)生在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，可能會遇到邏輯推理不清晰、運算求解不準(zhǔn)確的情況。在素質(zhì)方面，學(xué)生們的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法各有不同，對課程學(xué)習(xí)有一定的影響。

1.知識方面：在學(xué)習(xí)排列與組合這一章節(jié)時，學(xué)生需要理解和掌握組合的定義和性質(zhì)，以及組合數(shù)的計算公式。他們在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過一些相關(guān)知識，如集合、函數(shù)、方程等，這為他們學(xué)習(xí)排列與組合打下了一定的基礎(chǔ)。然而，部分學(xué)生可能對組合概念的理解不夠深入，對組合數(shù)的計算公式記憶不牢，這可能會影響他們在學(xué)習(xí)本章節(jié)時的理解程度。

2.能力方面：學(xué)生在解決排列與組合問題時，需要運用邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思維等能力。大部分學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力，但部分學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，可能會出現(xiàn)邏輯推理不清晰、運算求解不準(zhǔn)確的情況。此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)還需要進一步培養(yǎng)和提高。

3.素質(zhì)方面：學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法對課程學(xué)習(xí)有很大的影響。部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)學(xué)科感興趣，學(xué)習(xí)態(tài)度積極，能夠主動參與課堂討論和練習(xí)；而部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)學(xué)科興趣不大，學(xué)習(xí)態(tài)度較為消極，需要教師的引導(dǎo)和鼓勵。此外，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法也存在差異，如有的學(xué)生可能缺乏良好的學(xué)習(xí)計劃和時間管理能力，有的學(xué)生可能在學(xué)習(xí)過程中容易分心等。

針對學(xué)生的學(xué)情分析，教師在教學(xué)過程中需要關(guān)注學(xué)生的知識基礎(chǔ)，通過復(fù)習(xí)和鞏固相關(guān)知識，幫助學(xué)生建立起扎實的基礎(chǔ)。同時，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思維能力，通過講解、例題解析和課堂練習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生運用這些能力解決實際問題。此外，教師還需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過鼓勵、引導(dǎo)和督促，幫助學(xué)生形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

（1）講授法：在課堂上，教師通過講解組合的定義和性質(zhì)、組合數(shù)的計算公式等知識點，系統(tǒng)地向?qū)W生傳授知識，幫助學(xué)生理解和掌握組合概念。

（2）討論法：教師組織學(xué)生進行小組討論，讓學(xué)生分享各自的解題方法和思路，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和交流能力，提高學(xué)生對組合知識的理解深度。

（3）案例分析法：教師呈現(xiàn)一些與組合知識相關(guān)的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生運用組合知識進行分析和解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。

2.教學(xué)手段：

（1）多媒體設(shè)備：教師利用多媒體課件，通過圖片、動畫等形式直觀地展示組合概念和組合數(shù)的計算過程，幫助學(xué)生形象地理解知識，提高課堂的趣味性。

（2）教學(xué)軟件：教師運用教學(xué)軟件，進行實時數(shù)據(jù)分析和可視化展示，讓學(xué)生直觀地感受到組合知識在實際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：教師引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查閱相關(guān)的組合知識資料，拓寬學(xué)生的知識視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（4）練習(xí)軟件：教師運用練習(xí)軟件，發(fā)布組合知識的練習(xí)題，讓學(xué)生在課后進行自主練習(xí)，鞏固所學(xué)知識，并及時得到反饋，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對“排列與組合”的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道什么是排列與組合嗎？它們在日常生活和數(shù)學(xué)中有什么應(yīng)用？”

展示一些關(guān)于排列與組合的實際例子，如抽獎、排列座位等，讓學(xué)生初步感受排列與組合的應(yīng)用。

簡短介紹排列與組合的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.排列與組合基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解排列與組合的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解排列與組合的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細介紹排列與組合的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.排列與組合案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解排列與組合的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的排列與組合案例進行分析。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解排列與組合的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用排列與組合解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與排列與組合相關(guān)的主題進行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達能力，同時加深全班對排列與組合的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)排列與組合的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括排列與組合的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)排列與組合在現(xiàn)實生活或?qū)W習(xí)中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進一步探索和應(yīng)用排列與組合。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于排列與組合的短文或報告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識點梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容是組合與組合數(shù)公式。以下是本節(jié)課的知識點梳理：

1.組合的定義和性質(zhì)

-組合是指從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素的所有可能排列的集合。

-組合的表示方法：C(n,m)或∏(n,m)，其中n表示總元素數(shù)，m表示選取的元素數(shù)。

-組合的性質(zhì)：組合數(shù)滿足組合數(shù)的計算公式，即C(n,m)=C(n,n-m)。

2.組合數(shù)的計算公式

-組合數(shù)的計算公式為：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，其中n!表示n的階乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。

-特殊情況：當(dāng)m=0時，C(n,0)=1；當(dāng)m=n時，C(n,n)=1。

3.組合數(shù)公式的應(yīng)用

-組合數(shù)公式的應(yīng)用主要包括解決實際問題和進行數(shù)學(xué)推理。

-實際問題：如排列座位、抽獎、安排比賽等，可以通過組合數(shù)公式計算出所有可能的排列或組合方式。

-數(shù)學(xué)推理：在證明數(shù)學(xué)定理或推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式時，組合數(shù)公式常用于計算不同情況的總數(shù)。

4.組合數(shù)公式的性質(zhì)和擴展

-組合數(shù)公式可以推廣到更一般的情況，如組合數(shù)的遞推關(guān)系、組合數(shù)的對稱性等。

-組合數(shù)公式與其他數(shù)學(xué)概念的關(guān)系：如與排列數(shù)的關(guān)系、與二項式系數(shù)的聯(lián)系等。

5.組合數(shù)公式的實際應(yīng)用案例

-案例1：n個人排成一排，有多少種不同的排列方式？

解答：由于每個人都有固定的位置，所以這是一個排列問題。根據(jù)排列數(shù)的計算公式，共有n!種不同的排列方式。

-案例2：從n個不同元素中選取m個元素，有多少種不同的組合方式？

解答：這是一個組合問題。根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(n,m)種不同的組合方式。課后作業(yè)1.計算以下組合數(shù)：

（1）C(5,3)

（2）C(7,2)

（3）C(8,4)

（4）C(10,5)

（5）C(12,6)

2.應(yīng)用組合數(shù)公式解決實際問題：

（1）一個班級有20名學(xué)生，從中選取5名學(xué)生參加比賽，有多少種不同的選取方式？

解答：這是一個組合問題，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(20,5)種不同的選取方式。

（2）一個圖書館有15本書，需要從中選取8本書進行借閱，有多少種不同的借閱方式？

解答：這是一個組合問題，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(15,8)種不同的借閱方式。

（3）一個足球隊有16名球員，需要從中選取11名球員參加比賽，有多少種不同的選取方式？

解答：這是一個組合問題，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(16,11)種不同的選取方式。

（4）一個班級有30名學(xué)生，需要從中選取10名學(xué)生參加夏令營，有多少種不同的選取方式？

解答：這是一個組合問題，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(30,10)種不同的選取方式。

（5）一個籃球隊有14名球員，需要從中選取7名球員參加比賽，有多少種不同的選取方式？

解答：這是一個組合問題，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，共有C(14,7)種不同的選取方式。

3.推導(dǎo)組合數(shù)的對稱性和遞推關(guān)系：

（1）推導(dǎo)C(n,m)=C(n,n-m)

（2）推導(dǎo)C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)板書設(shè)計-重點知識點：組合是指從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素的所有可能排列的集合。

-關(guān)鍵詞：元素、選取、排列、組合

-板書設(shè)計：

-組合的定義：從n個不同元素中任取m個元素的所有可能排列的集合

-組合的性質(zhì)：組合數(shù)滿足組合數(shù)的計算公式，即C(n,m)=C(n,n-m)

2.組合數(shù)的計算公式

-重點知識點：組合數(shù)的計算公式為C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，其中n!表示n的階乘。

-關(guān)鍵詞：組合數(shù)、計算公式、階乘、n!、m!

-板書設(shè)計：

-組合數(shù)的計算公式：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)

-組合數(shù)公式的推導(dǎo)：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1

3.組合數(shù)公式的應(yīng)用

-重點知識點：組合數(shù)公式的應(yīng)用主要包括解決實際問題和進行數(shù)學(xué)推理。

-關(guān)鍵詞：實際問題、數(shù)學(xué)推理、應(yīng)用

-板書設(shè)計：

-組合數(shù)公式的應(yīng)用：解決實際問題、進行數(shù)學(xué)推理

-實際問題示例：排列座位、抽獎、安排比賽等

-數(shù)學(xué)推理示例：證明數(shù)學(xué)定理、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式等

4.組合數(shù)公式的性質(zhì)和擴展

-重點知識點：組合數(shù)公式可以推廣到更一般的情況，如組合數(shù)的遞推關(guān)系、組合數(shù)的對稱性等。

-關(guān)鍵詞：遞推關(guān)系、對稱性、推廣

-板書設(shè)計：

-組合數(shù)公式的性質(zhì)和擴展：遞推關(guān)系、對稱性、推廣

-遞推關(guān)系示例：C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)

-對稱性示例：C(n,m)=C(n,n-m)課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

今天，我們學(xué)習(xí)了組合與組合數(shù)公式。通過學(xué)習(xí)，我們了解了組合的定義和性質(zhì)，掌握了組合數(shù)的計算公式，并學(xué)會了如何運用組合知識解決實際問題。組合是數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，它在我們的生活、工作和學(xué)習(xí)中都有廣泛的應(yīng)用。例如，在抽獎、排座位、安排比賽等場合，我們都需要用到組合知識。通過學(xué)習(xí)組合，我們不僅能夠提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能夠更好地解決實際問題。

當(dāng)堂檢測：

1.計算以下組合數(shù)：

（1）C(5,3)

（2）C(7,2)

（3）C(8,4)

（4）C(10,5)

（5）C(12,6)

2.應(yīng)用組合數(shù)公式解決實際問題：

（1）一個班級有20名學(xué)生，從中選取5名學(xué)生參加比賽，有多少種不同的選取方式？

（2）一個圖書館有15本書，需要從中選取8本書進行借閱，有多少種不同的借閱方式？

（3）一個足球隊有16名球員，需要從中選取11名球員參加比賽，有多少種不同的選取方式？

（4）一個班級有