2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第八章　§8.6　雙曲線含答案

2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第八章§8.6雙曲線§8.6雙曲線課標(biāo)要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．知識梳理1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在．(2)若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡是雙曲線的一支．(3)若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用結(jié)論1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a).4．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的雙曲線方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).(√)2．(選擇性必修第一冊P121T3改編)已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或5答案C解析若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.3．(選擇性必修第一冊P127T3改編)雙曲線9y2－16x2＝144的漸近線方程是________．答案y＝±eq\f(4,3)x解析依題意知，雙曲線eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1的焦點在y軸上，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3，所以雙曲線9y2－16x2＝144的漸近線方程是y＝±eq\f(4,3)x.4．(選擇性必修第一冊P127T1改編)設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.答案17解析根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因為|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.題型一雙曲線的定義例1(1)(多選)(2024·邵陽模擬)已知點P為定圓O上的動點，點A為圓O所在平面上異于點O的定點，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則點Q的軌跡可能是()A．一個點 B．直線C．橢圓 D．雙曲線答案ACD解析分以下幾種情況討論：設(shè)定圓O的半徑為R，①當(dāng)點A在圓O上，連接OA(圖略)，則|OA|＝|OP|，所以點O在線段AP的垂直平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)可知|AQ|＝|PQ|.又因為點Q是線段AP的垂直平分線與OP的公共點，此時點Q與點O重合，此時，點Q的軌跡為圓心O，故A正確；②當(dāng)點A在圓O內(nèi)，且點A不與圓心O重合，連接AQ(圖略)，由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此時，點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且長軸長為R的橢圓，故C正確；③當(dāng)點A在圓O外，連接AQ(圖略)，由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此時，點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且實軸長為R的雙曲線，故D正確．(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______．答案2eq\r(3)解析不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).圓錐曲線的第二定義平面內(nèi)到一個定點和相應(yīng)一條定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡：(1)當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓．(2)當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線．①定點為焦點，定直線l叫準(zhǔn)線，左焦點對應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點對應(yīng)右準(zhǔn)線．②焦點在x軸上的橢圓(雙曲線)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c).典例(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距為4，P為橢圓上任一點，若P到點(2,0)的距離與到直線x＝eq\f(a2,2)的距離之比為eq\f(1,2)，則橢圓方程為___________________．答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析依題意，右焦點F2(2,0)，右準(zhǔn)線x＝eq\f(a2,2)，由橢圓第二定義知eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點為F2，M是雙曲線右支上一點，定點A(9,2)，則|MA|＋eq\f(3,5)|MF2|的最小值為________．答案eq\f(36,5)解析設(shè)M到直線x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(9,5)的距離為d，由雙曲線第二定義知，eq\f(|MF2|,d)＝e＝eq\f(5,3)，∴d＝eq\f(3,5)|MF2|，∴|MA|＋eq\f(3,5)|MF2|＝|MA|＋d，如圖，可知(|MA|＋d)min＝xA－eq\f(9,5)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5).思維升華在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系，利用三角形的面積公式求解．對于選擇題或填空題直接利用焦點三角形的面積公式計算即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以動圓圓心M的軌跡是以點C1(－3,0)和C2(3,0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以動圓圓心M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點，P是C的右支上一點，則eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為()A．16 B．18C．8＋4eq\r(2) D．9＋eq\f(15\r(2),2)答案A解析因為F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點，P是C的右支上的一點，所以|PF1|＝|PF2|＋4，所以eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋42,|PF2|)＝eq\f(|PF2|2＋8|PF2|＋16,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(16,|PF2|)＋8≥2eq\r(16)＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|＝eq\f(16,|PF2|)，即|PF2|＝4時，等號成立．因為c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，所以c－a＝eq\r(6)－2<4，所以|PF2|＝4成立，eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為16.題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)與橢圓C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦點且過點(1，eq\r(3))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1答案C解析橢圓C的焦點坐標(biāo)為(0，±2)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由雙曲線的定義可得2a＝|eq\r(12＋\r(3)＋22)－eq\r(12＋\r(3)－22)|＝(eq\r(6)＋eq\r(2))－(eq\r(6)－eq\r(2))＝2eq\r(2)，∴a＝eq\r(2)，∵c＝2，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)，因此雙曲線的方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1.(2)(2023·安陽模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2eq\r(3)，P為C上一點，PF1的中點為Q，△PF2Q為等邊三角形，則雙曲線C的方程為()A．x2－eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(2x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1 D．3x2－eq\f(3y2,8)＝1答案A解析由題可知雙曲線的焦距為2c＝2eq\r(3)，即c＝eq\r(3).因為PF1的中點為Q，△PF2Q為等邊三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq\f(|F1F2|,tan60°)＝eq\f(2c,\r(3))，|PF1|＝2|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))，所以|PF1|－|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))－eq\f(2c,\r(3))＝eq\f(2c,\r(3))＝2a，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以a＝1，b＝eq\r(2).所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·榆林模擬)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永．現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示．若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，點(4,3)在該雙曲線上．設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.(2)(2023·內(nèi)江模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，過左焦點F1作直線F1P與圓x2＋y2＝a2切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→)))，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，則雙曲線的方程為________．答案eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析依題意作圖，如圖所示，由條件eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→)))知，E是PF1的中點，并且OE⊥PF1，∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圓是以O(shè)為圓心，|OF1|＝c為半徑的圓，∴F1P⊥PF2，由|OE|＝eq\r(2)知a＝eq\r(2)，a2＝2，在Rt△OEF1中，|EF1|＝eq\r(|OF1|2－|OE|2)＝eq\r(c2－2)，|PF1|＝2|EF1|＝2eq\r(c2－2)，|PF2|＝2|OE|＝2eq\r(2)，根據(jù)雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4eq\r(2)，即2eq\r(c2－2)＝4eq\r(2)，c2＝10，∴b2＝c2－a2＝8，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點1漸近線例3(1)(2023·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由題意可知，①若雙曲線的焦點在x軸上，則可設(shè)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(1,a2)－eq\f(3,b2)＝1且eq\f(b,a)＝2，聯(lián)立解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，則雙曲線的方程為4x2－y2＝1；②若雙曲線的焦點在y軸上，則可設(shè)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(3,a2)－eq\f(1,b2)＝1，且eq\f(a,b)＝2，此時無解．綜上，雙曲線的方程為4x2－y2＝1.方法二由題可設(shè)雙曲線方程為4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，∴λ＝4×12－(eq\r(3))2＝1，∴雙曲線方程為4x2－y2＝1.(2)(2023·渭南統(tǒng)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，若△AF1F2的面積為eq\f(1,2)bc，則雙曲線C的漸近線方程為________．答案y＝±eq\r(3)x解析由題意知雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，如圖，由雙曲線的對稱性，不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，則|F2A|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，所以|OA|＝eq\r(|OF2|2－|F2A|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，所以＝eq\f(1,2)ab，因為△AF1F2的面積為eq\f(1,2)bc，＝，所以eq\f(1,2)bc＝2×eq\f(1,2)ab，即c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，即eq\f(b2,a2)＝3，故eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.思維升華(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.命題點2離心率例4(1)(2023·鄭州模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3)，則此雙曲線的離心率e為()A．2或eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D.eq\r(3)或2答案A解析由題意得雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，而兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3)，故y＝eq\f(b,a)x的傾斜角為eq\f(π,3)或eq\f(π,6)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3)或2.(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且|DF2|＝2eq\r(2)|OD|，則C的離心率為()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(5)D．3答案C解析如圖所示，雙曲線C的左焦點F1(－c,0)，|DF1|＝b，由勾股定理得|OD|＝a，在Rt△DOF1中，∠ODF1＝eq\f(π,2)，∴cos∠DOF1＝eq\f(|OD|,|OF1|)＝eq\f(a,c)，在△DOF2中，|OD|＝a，|DF2|＝2eq\r(2)a，|OF2|＝c，cos∠DOF2＝cos(π－∠DOF1)＝－cos∠DOF1＝－eq\f(a,c)，由余弦定理的推論得cos∠DOF2＝eq\f(|OD|2＋|OF2|2－|DF2|2,2|OD|·|OF2|)＝eq\f(a2＋c2－8a2,2ac)＝－eq\f(a,c)，化簡得c2＝5a2，即c＝eq\r(5)a，因此雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·全國甲卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，C的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點，則|AB|等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)答案D解析由題知e＝eq\r(5)，則eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，解得eq\f(b,a)＝2，所以雙曲線的一條漸近線不妨取y＝2x，即2x－y＝0，則圓心(2,3)到漸近線的距離d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).(2)(2024·?？谀M)設(shè)雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為e，直線l過點(0，b)和雙曲線E的一個焦點，若直線l與圓x2＋y2＝a2相切，則e2＝________.答案eq\f(3＋\r(5),2)解析因為直線l過點(0，b)和雙曲線E的右焦點F(c,0)，設(shè)直線l的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0，由直線l與圓x2＋y2＝a2相切，可得eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝a，整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，即c4－3a2c2＋a4＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋1＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)或e2＝eq\f(3－\r(5),2)，又e>1，所以e2>1，所以e2＝eq\f(3＋\r(5),2).課時精練一、單項選擇題1．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1答案D解析設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，當(dāng)m>0時，2m＝4，m＝2；當(dāng)m<0時，－m＝4，m＝－4.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，則其漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x答案A解析由題意，該雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，則eq\f(b,a)＝2，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±2x.3．若雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為圓x2＋y2＝4與此雙曲線的一個公共點，則△PF1F2的面積為()A．4B．3C．2D．1答案D解析由題意得a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(3＋1)＝2，所以線段F1F2是圓x2＋y2＝4的直徑，因此PF1⊥PF2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，,||PF1|－|PF2||＝2a＝2\r(3)，))所以|PF1||PF2|＝2，＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝1.4．(2024·安陽模擬)以雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2\r(5),3)))，則C的焦距為()A．4B．2eq\r(5)C．6D．8答案C解析由題意設(shè)F(c,0)，不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2).又kFQ×eq\f(b,a)＝eq\f(\f(2\r(5),3),\f(4,3)－c)×eq\f(b,a)＝－1，聯(lián)立解得c＝3，即2c＝6.5．(2023·洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)答案A解析如圖，設(shè)△ABC的邊AC，AB，BC與內(nèi)切圓的切點分別為D，E，F(xiàn)，則有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點C的軌跡方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)．6．(2023·廣州大學(xué)附屬中學(xué)模擬)設(shè)點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1作直線交雙曲線C的兩條漸近線于點A，B，連接F2B，滿足eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(2)＋1,2)B.eq\r(2)C．2D.eq\r(3)答案C解析設(shè)點B位于第一象限，如圖所示，因為eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則A為線段F1B的中點，又因為O為F1F2的中點，則OA∥F2B，因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則F1B⊥F2B，所以O(shè)A⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|，則∠AOF1＝∠AOB，又因為∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝eq\f(π,3)，易知直線OB的方程為y＝eq\f(b,a)x，則eq\f(b,a)＝tan

eq\f(π,3)＝eq\r(3)，因此該雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2.二、多項選擇題7．(2023·江門模擬)已知曲線C：x2sinα＋y2cosα＝1(0≤α<π)，則下列說法正確的是()A．若曲線C表示兩條平行線，則α＝0B．若曲線C表示雙曲線，則eq\f(π,2)<α<πC．若0<α<eq\f(π,2)，則曲線C表示橢圓D．若0<α<eq\f(π,4)，則曲線C表示焦點在x軸上的橢圓答案BD解析若曲線C表示兩條平行線，則有sinα＝0或cosα＝0，且0≤α<π.若sinα＝0，則α＝0，此時曲線C的方程為y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合題意，若cosα＝0，則α＝eq\f(π,2)，此時曲線C的方程為x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合題意，故A錯；若曲線C表示雙曲線，則sinαcosα<0，由于0≤α<π且sinα≠0，則sinα>0，可得cosα<0，則eq\f(π,2)<α<π，故B對；若曲線C表示橢圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,cosα>0，,0≤α<π，,sinα≠cosα，))解得0<α<eq\f(π,2)且α≠eq\f(π,4)，故C錯；若0<α<eq\f(π,4)，則0<sinα<cosα，則eq\f(1,sinα)>eq\f(1,cosα)>0，曲線C的方程可化為eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，此時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，故D對．8．(2023·重慶模擬)已知雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF1為直角三角形，則()A．b＝2＋2eq\r(2)B．雙曲線的離心率為eq\r(2)＋1C．雙曲線的焦距為2eq\r(5)D．△ABF1的面積為12＋8eq\r(2)答案BD解析如圖所示，若△ABF1為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.設(shè)|AF2|＝m，則由雙曲線的定義得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.解得m＝2＋2eq\r(2)，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2eq\r(2)，所以△ABF1的面積為eq\f(1,2)|AF1|·|BF1|＝eq\f(1,2)×(4＋2eq\r(2))2＝12＋8eq\r(2)，故D正確；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2eq\r(2)，故C不正確；由x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋eq\r(2)，所以b2＝(1＋eq\r(2))2－1＝2＋2eq\r(2)，故A不正確；e＝eq\f(c,a)＝1＋eq\r(2)，故B正確．三、填空題9．(2023·唐山模擬)已知直線l：eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且與C的一條漸近線平行，則C的實軸長為________．答案2解析直線eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0與x軸交點為(2,0)，斜率為eq\r(3)，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝22，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以雙曲線的實軸長為2a＝2.10．雙曲線的一條漸近線方程為x＋2y＝0，且焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．答案eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1解析依題意，2c＝10，∴c＝5，若雙曲線的焦點在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,a2＋b2＝25，))解得b2＝5，a2＝20，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.若雙曲線的焦點在y軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(1,2)，,a2＋b2＝25，))解得b2＝20，a2＝5，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1.綜上，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1.11．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB＝BC＝CD＝2，設(shè)AD所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案x2－eq\f(y2,\f(9,7))＝1解析設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如圖，因為AB＝BC＝CD＝2，易知a＝1，又坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))在雙曲線上，得到eq\f(9,2)－eq\f(\f(9,2),b2)＝1，整理得b2＝eq\f(9,7)，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,\f(9,7))＝1.12．(2023·上饒模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點B(0，b)，直線F1B與雙曲線的漸近線在第一象限交于點A，若|F2A|＝|F1F2|，則雙曲線的離心率為________．答案eq\f(\r(2),2)＋1解析因為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，所以直線F1B的方程為y＝eq\f(b,c)x＋b，又雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,y＝\f(b,a)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(ac,c－a)，,y＝\f(bc,c－a)，))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)，\f(bc,c－a)))，又因為|F2A|＝|F1F2|，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)－c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,c－a)))2＝4c2，整理得2c2－4ac＋a2＝0，即2e2－4e＋1＝0，解得e＝eq\f(\r(2),2)＋1或e＝1－eq\f(\r(2),2)(舍去)．四、解答題13．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1有相同的漸近線，且經(jīng)過點M(eq\r(2)，－eq\r(2))．(1)求雙曲線C的方程；(2)求雙曲線C的實軸長、離心率、焦點到漸近線的距離．解(1)在雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1中，a′＝2，b′＝eq\r(2)，則漸近線方程為y＝±eq\f(a′,b′)x＝±eq\r(2)x，∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1有相同的漸近線，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴方程可化為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2a2)＝1，又雙曲線C經(jīng)過點M(eq\r(2)，－eq\r(2))，代入方程得eq\f(2,a2)－eq\f(2,2a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq\r(2)，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，∵a＝1，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，∴實軸長2a＝2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，設(shè)雙曲線C的一個焦點為(－eq\r(3)，0)，一條漸近線方程為y＝eq\r(2)x，∴焦點到漸近線的距離d＝eq\f(|－\r(3)×\r(2)|,\r(2＋1))＝eq\r(2).14．已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸的上方交雙曲線C于點M，且∠MF1F2＝30°.(1)求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))的值．解(1)在Rt△MF1F2中，因為∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝eq\f(|MF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(\r(3),3)，又a＝1，a2＋b2＝c2，聯(lián)立解得c＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，所以雙曲線C的方程是x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)是雙曲線C上任意一點，故有2xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝2，兩條漸近線方程為l1：eq\r(2)x－y＝0，l2：eq\r(2)x＋y＝0，設(shè)l1：eq\r(2)x－y＝0的傾斜角為α，故tanα＝eq\r(2)，設(shè)兩條漸近線在第一、四象限的夾角為θ，所以cosθ＝cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(1,3)，于是有cos〈eq\o(PP1,\s\up6(→))，eq\o(PP2,\s\up6(→))〉＝－cosθ＝eq\f(1,3).因為P到雙曲線兩條漸近線的距離為|PP1|＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))，所以eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))·cos〈eq\o(PP1,\s\up6(→))，eq\o(PP2,\s\up6(→))〉＝eq\f(|2x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,3)·eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).15．(2023·咸陽模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作F1F2的垂線，交雙曲線于A，B兩點，D是雙曲線的右頂點，連接AD，BD并延長，分別交y軸于點M，N.若點P(－3a,0)在以MN為直徑的圓上，則雙曲線C的離心率為_______．答案2解析由eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)－1))＝eq\f(b4,a2)，即y＝±eq\f(b2,a)，不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，而D(a,0)，所以直線AD的方程為y－0＝eq\f(\f(b2,a),c－a)(x－a)，y＝eq\f(b2,ac－a)(x－a)，令x＝0得y＝eq\f(b2,a－c)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2,a－c)))，同理可求得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2,c－a)))，所以以MN為直徑的圓的方程為x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c－a)))2，將P(－3a,0)代入上式得9a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c－a)))2＝eq\f(b4,c－a2)＝eq\f(c2－a22,c－a2)＝eq\f(c＋a2c－a2,c－a2)＝(c＋a)2，即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，則c＝2a，即離心率為eq\f(c,a)＝2.16．(2023·安慶模擬)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過x軸上方的焦點F1的直線與雙曲線上支交于M，N兩點，以NF2為直徑的圓經(jīng)過點M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為________．答案y＝±eq\f(\r(6),3)x解析如圖所示，由雙曲線的定義知|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因為|MF2|，|MN|，|NF2|成等差數(shù)列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MN，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2，2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3)，故該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(6),3)x.§8.7離心率的范圍問題重點解讀圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔．題型一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍例1(1)(2023·德陽模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，∠F1PF2＝60°，則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為()A．2eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(3),2)D．2答案C解析不妨設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)．橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，兩曲線的半焦距均為c，由橢圓及雙曲線的定義得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，又在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos60°＝4c2?(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，則aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c2，得eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＝4，由基本不等式得4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))≥2eq\r(\f(3,e\o\al(2,1)e\o\al(2,2)))?e1e2≥eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)時，等號成立，所以橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為eq\f(\r(3),2).(2)(2023·襄陽模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(2eq\r(6)，0)，點A的坐標(biāo)為(0,1)，點P為雙曲線左支上的動點，且△APF的周長不小于18，則雙曲線C的離心率的取值范圍為__________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))解析由右焦點為F(2eq\r(6)，0)，點A的坐標(biāo)為(0,1)，可得|AF|＝eq\r(24＋1)＝5.因為△APF的周長不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13.設(shè)F2為雙曲線的左焦點，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點共線時，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，最小值為|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因為c＝2eq\r(6)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(6),a)≤eq\f(\r(6),2).又e>1，所以e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2))).思維升華此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．跟蹤訓(xùn)練1(2023·寧波模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓C上存在一點M，使得△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為eq\f(c,2)，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，1))答案A解析△MF1F2的面積為eq\f(1,2)|F1F2|·|yM|，因為△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為eq\f(c,2)，所以△MF1F2的面積可表示為eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(c,2)，所以eq\f(1,2)·2c·|yM|＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(c,2)，解得|yM|＝eq\f(a＋c,2)，因為|yM|≤b，所以eq\f(a＋c,2)≤b，兩邊平方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2≤b2，又因為b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，因為e＝eq\f(c,a)，不等式兩邊同時除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1<e≤eq\f(3,5)，又橢圓C的離心率e∈(0,1)，所以橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5))).題型二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍例2(1)(2023·張掖模擬)若橢圓E：x2＋eq\f(y2,1－m2)＝1(0<m<1)上存在點P，滿足|OP|＝m(O為坐標(biāo)原點)，則橢圓E的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案D解析設(shè)橢圓E的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，由題意知a＝1，b＝eq\r(1－m2)，c＝m，橢圓E上存在點P滿足|OP|＝m，等價于以O(shè)為原點，以c為半徑的圓與橢圓有交點，得c≥b，所以c2≥b2＝a2－c2，解得eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(2),2).又0<e<1，所以橢圓E的離心率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，若離心率e＝eq\f(|PF1|,|PF2|)，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A．(0，eq\r(2)－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，1))答案D解析因為e＝eq\f(|PF1|,|PF2|)，所以|PF1|＝e|PF2|，由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)，因為a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤eq\f(2a,e＋1)≤a＋c，兩邊同除以a得1－e≤eq\f(2,e＋1)≤1＋e，解得e≥eq\r(2)－1，因為0<e<1，所以eq\r(2)－1≤e<1，所以離心率e的取值范圍是[eq\r(2)－1,1)．思維升華利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2)) D．(1,1＋eq\r(2))答案B解析由題意可知|AE|＝|BE|，即△ABE為等腰三角形，∵△ABE是銳角三角形，∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°，將x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得y＝±eq\f(b2,a)，故在Rt△AFE中，|AF|＝eq\f(b2,a)，|FE|＝a＋c，∵∠AEF<45°，∴|AF|<|FE|，∴eq\f(b2,a)<a＋c，化簡整理，得2a2－c2＋ac>0，∴e2－e－2<0，∴－1<e<2，又e>1，∴1<e<2.(2)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點．若橢圓C上存在兩點A，B滿足FA⊥FB，且A，B，O三點共線，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))答案C解析設(shè)橢圓C的右焦點為F′，連接AF′，如圖所示．由橢圓的性質(zhì)得，AF′∥BF，∠FAF′＝eq\f(π,2)，即橢圓上存在點A，滿足∠FAF′＝eq\f(π,2)，即以FF′為直徑的圓與橢圓有公共點．設(shè)橢圓C的半焦距為c(c>0)，所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥eq\f(1,2)，又0<e<1，所以eq\f(\r(2),2)≤e<1，所以橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).題型三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍例3(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝eq\f(a2,c)上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))答案D解析如圖所示，因為線段PF1的中垂線過F2，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c，又|QF2|＝eq\f(a2,c)－c，且|PF2|≥|QF2|，故2c≥eq\f(a2,c)－c，即3c2≥a2，故e2≥eq\f(1,3)，又0<e<1，所以eq\f(\r(3),3)≤e<1.(2)(2023·溫州模擬)設(shè)過原點且傾斜角為60°的直線與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右支分別交于A，B兩點，F(xiàn)是C的焦點，若△ABF的面積大于eq\r(6a2a2＋b2)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(7)) B．(eq\r(2)，7)C．(2,7) D．(2，eq\r(7))答案D解析不妨設(shè)F是雙曲線C的左焦點，如圖，由題可知，直線AB的方程為y＝eq\r(3)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))得x＝±eq\f(ab,\r(b2－3a2))，且b2>3a2，所以yA＝－eq\f(\r(3)ab,\r(b2－3a2))，yB＝eq\f(\r(3)ab,\r(b2－3a2))，因為S△ABF＝eq\f(1,2)·|OF|·|yB－yA|＝eq\f(1,2)·c·eq\f(2\r(3)ab,\r(b2－3a2))＝eq\f(\r(3)abc,\r(b2－3a2))，且S△ABF>eq\r(6a2a2＋b2)＝eq\r(6)ac，所以eq\f(\r(3)abc,\r(b2－3a2))>eq\r(6)ac，所以eq\f(b,\r(b2－3a2))>eq\r(2)，解得0<e<eq\r(7)，又因為b2>3a2，解得e>2，所以2<e<eq\r(7).思維升華利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3(2023·長春模擬)橢圓的中心在坐標(biāo)原點，A1，A2，B1，B2分別為橢圓的左、右、上、下頂點，F(xiàn)2為其右焦點，直線B1F2與直線A2B2交于點P，若∠B1PA2為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(5)－1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))答案A解析如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F(xiàn)2(c,0)，則eq\o(B2A2,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，b)．因為∠B1PA2為向量eq\o(B2A2,\s\up6(→))與eq\o(F2B1,\s\up6(→))的夾角，且∠B1PA2為鈍角，所以eq\o(B2A2,\s\up6(→))·eq\o(F2B1,\s\up6(→))<0，所以b2－ac<0.又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，兩邊同時除以a2得1－e－e2<0，解得e<eq\f(－1－\r(5),2)或e>eq\f(－1＋\r(5),2)，因為e∈(0,1)，所以eq\f(－1＋\r(5),2)<e<1.課時精練一、單項選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上存在點A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則橢圓離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由題意，設(shè)橢圓上頂點為B，若橢圓上存在點A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則只需∠F1BF2≥eq\f(π,3)即可．當(dāng)∠F1BF2＝eq\f(π,3)時，△F1BF2為正三角形，此時a＝2c，故當(dāng)∠F1BF2≥eq\f(π,3)時，a≤2c，即eq\f(1,2)≤eq\f(c,a).又0<e<1，故離心率e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).2．(2023·濰坊模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，直線l：x＝eq\f(a2＋b2,a)，且PQ⊥l，垂足為Q點．若四邊形QPF1F2為平行四邊形，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)－1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案B解析設(shè)P(x0，y0)，則Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,a)，y0))，∵四邊形QPF1F2為平行四邊形，∴|PQ|＝|F1F2|，∴eq\f(a2＋b2,a)－x0＝2c，即x0＝eq\f(a2＋b2,a)－2c＝eq\f(2a2－c2－2ac,a)∈(－a，a)，∴－1<eq\f(2a2－c2－2ac,a2)<1，∴－1<2－e2－2e<1，解得eq\r(2)－1<e<1.3．(2023·武漢模擬)已知圓C1：x2＋y2＝b2(b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在雙曲線C2上存在一點P，使得過點P所作的圓C1的兩條切線(切點為A，B)滿足∠APB＝eq\f(π,3)，則雙曲線C2的離心率的最小值為()A.eq\r(5)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(2)答案C解析如圖所示，△POA≌△POB，|OB|＝|OA|＝b，∠APB＝eq\f(π,3)，∴∠OPB＝eq\f(π,6)，又OB⊥BP，∴|OP|＝2b，又|OP|≥a，故2b≥a，即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥eq\f(\r(5),2).4．(2023·承德模擬)已知過點P(1,2)可作雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條切線，若兩個切點分別在雙曲線C的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(eq\r(5)，＋∞) B．(1，eq\r(5))C．(1，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，＋∞)答案B解析要滿足題意，點P(1,2)必須在漸近線y＝eq\f(b,a)x與y軸圍成的區(qū)域內(nèi)，且不能在漸近線及y軸上．所以必須滿足eq\f(b,a)<2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)<eq\r(5)，又e>1，所以1<e<eq\r(5).5．(2023·合肥模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>2，b>0)的焦距為2c(c>0)，已知點A(a,0)，B(0，b)，點(2,0)到直線AB的距離為d1，點(－2,0)到直線AB的距離為d2，且d1＋d2≥eq\f(4,5)c，則雙曲線離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(10))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)，2\r(3)))答案B解析依題意得直線AB：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，又a>2，所以d1＝eq\f(|2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(|－2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))，所以d1＋d2＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))＋eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，所以5eq\r(c2－a2)·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4，即4e4－25e2＋25≤0，解得eq\f(5,4)≤e2≤5，又e>1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))).6．已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線PF1與y軸交于Q點．若AQ∥PF2，則雙曲線E的離心率的取值范圍為()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)＋1，＋∞)C．(eq\r(2)＋1，＋∞) D．(eq\r(3)，eq\r(2)＋1]答案C解析如圖所示，根據(jù)題意可得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(a,0)，設(shè)P(x1，y1)，則直線PF1的方程為y＝eq\f(y1,x1＋c)(x＋c)，所以直線PF1與y軸的交點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(cy1,x1＋c)))，由AQ∥PF2可得kAQ＝，即eq\f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq\f(y1,x1－c)，整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝eq\f(c2－ac,a＋c)，又因為P為雙曲線右支上一點，所以x1≥a，當(dāng)x1＝a時，AQ，PF2共線，與題意不符，即x1>a，可得x1＝eq\f(c2－ac,a＋c)>a，整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，解得e>eq\r(2)＋1或e<1－eq\r(2)(舍去)，即雙曲線E的離心率的取值范圍為(eq\r(2)＋1，＋∞)．二、多項選擇