第19講 探索三角形相似的條件-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版 學(xué)習(xí)新知）

第19講探索三角形相似的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解相似三角形的定義，掌握定義中的兩個條件；2．掌握相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3；3．能熟練運(yùn)用相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3。知識點(diǎn)一、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)：(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.知識點(diǎn)二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.2．判定定理（二）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.3．判定定理（三）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.（簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似）要點(diǎn)：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似）考點(diǎn)一：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似例1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．【答案】見解析【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)可判斷，可證．【詳解】證明，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，三角形相似判定，掌握平行線性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵．【變式1-1】如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長后交AB的延長線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質(zhì)可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，在中，，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于，交邊于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；（2）兩次用同角的余角相等推出和即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定問題，掌握三角形相似的判定定理，靈活運(yùn)用三角形相似的判定定理證明相似是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二：兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似例2.如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可證明【詳解】證明：如圖，∵AB?AF＝AE?AC，∴，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式2-1】如圖所示，點(diǎn)D是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】首先利用已知得出，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可．【詳解】證明：∵，，，∴，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確把握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式2-2】如圖，F(xiàn)E∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【答案】(1)AC=；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，求出AC即可；（2）根據(jù)已知線段的長度求出，根據(jù)相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．（1）解：∵EF∥CD，∴，∵AF=3，AD=5，AE=4，∴，解得：AC=；（2）證明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見解析【分析】（1）先在Rt△BCG中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠GBC的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數(shù)；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的長．（2）利用格點(diǎn)三角形的知識求出AB，BC及DE，EF的長度，繼而可作出判斷．【詳解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，∴；故答案為：，；（2）解：相似．理由如下：∵，，∴，∴又∵∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．考點(diǎn)三：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似例3.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【答案】相似，理由見解析【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的長，再根據(jù)相似三角形的判定定理，即可求解．【詳解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：根據(jù)題意得：AB＝2，，；，，EF＝2，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格圖與勾股定理，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【答案】(1)相似，理由見解析(2)相似，理由見解析【分析】（1）計(jì)算對應(yīng)邊的比，根據(jù)三邊對應(yīng)，兩三角形相似，進(jìn)而判斷即可；（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似，進(jìn)而判斷即可．（1）解：∵，，，∴．∴．（2）∵，，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，在和中，、分別是、上一點(diǎn)，，當(dāng)時，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得，，即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【變式3-3】如圖，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1．點(diǎn)、、和、、都在正方形的頂點(diǎn)上．求證：．【答案】證明見解析【分析】先利用勾股定理分別求解再分別計(jì)算：可得兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由勾股定理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的運(yùn)算，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定，熟悉三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)四：添一個條件使兩個三角形相似例4.如圖，在中，，點(diǎn)在上（點(diǎn)與，不重合），若再增加一個條件就能使，則這個條件是________（寫出一個條件即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】兩個三角形中如果有兩組角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，據(jù)此添加條件即可．【詳解】解：添加，可以使兩個三角形相似．∵，，∴．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應(yīng)成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【變式4-2】如圖，已知相交于點(diǎn)O，若補(bǔ)充一個條件后，便可得到，則要補(bǔ)充的條件可以是________．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意有∠AOB=∠DOC，因此根據(jù)相似三角形的判定條件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可證明△AOB∽△DOC．【詳解】解：∵∠AOB=∠DOC，∴當(dāng)添加條件∠B=∠C時可以證明△AOB∽△DOC，故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補(bǔ)充的一個條件是________．（只要求寫出一個條件即可）【答案】或或（答案不唯一）【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做題即可．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴當(dāng)∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或∴都可得相似．故答案為：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．考點(diǎn)五：判斷三角形相似例5.（23-24九年級上·四川眉山·期末）根據(jù)下列各組條件，不能判斷和相似的是（

）A．，，B．，，，C．，，；，，D．，，；，，【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：∵，，，∴，則，故A不符合要求；∵，，，，∴，，則，故B不符合要求；∵，，；，，，∴，不能判斷和相似，故C符合要求；∵，，；，，，∴，，則，故D不符合要求；故選：C．【變式5-1】（23-24九年級上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知在和中，，則不能使兩直角三角形相似的條件為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查直角三角形相似的判定定理，根據(jù)題中條件，由各個選項(xiàng)中添加的條件，利用兩個直角三角形相似的判定定理驗(yàn)證即可得到答案，熟記直角三角形相似的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、由，加上，利用兩個三角形相似的判定定理：兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似確定和相似，不符合題意；B、由，加上，利用兩個三角形相似的判定定理：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似確定和相似，不符合題意；C、在和中，由，確定、為兩個直角三角形的斜邊，利用兩個直角三角形相似的判定定理：直角邊及斜邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似確定和相似，不符合題意；D、根據(jù)兩個直角三角形相似的判定定理，添加，無法確定和相似，符合題意；故選：D．【變式5-2】（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由于點(diǎn)D，得，則，而，即可證明，可判斷A不符合題意；由，得，則，可證明，可判斷B不符合題意；由，得，而，可證明，可判斷C不符合題意；由，得，，則，而，所以與不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖1，∵于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∵，∴，故A不符合題意；如圖2，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故B不符合題意；如圖3，∵，∴，，∴，∵，∴，故C不符合題意；如圖4，∵，∴，，∴，假設(shè)，∵，∴，與已知條件不符，∴與不相似，故D符合題意，故選：D．【變式5-3】（23-24九年級下·湖南湘潭·階段練習(xí)）如圖，，添加一個條件：①；②；③；④．其中能判定的是（

）．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理“兩角分別對應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似”，先根據(jù)，得出，再由相似三角形的判定定理對各項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：，，①添加，則，本項(xiàng)符合題意；②添加，則，本項(xiàng)符合題意；③添加；無法判斷，本項(xiàng)不合題意；④添加；則，本項(xiàng)符合題意；故選：B．考點(diǎn)六：三角形相似有關(guān)比例變形式例6.（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習(xí)）如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（

）①；②；③平分；④．

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，因?yàn)椋?，所以，可得的度?shù)；②因?yàn)榕c不一定相等，根據(jù)三角形相似的判定即可作出判斷；③證明，得，即可；④，，，根據(jù)勾股定理判斷．【詳解】解：①∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，∴，，，，∵，∴，∴，故結(jié)論①正確；②∵，，∴，但與不一定相等，∴與不一定相似，故結(jié)論②錯誤；③∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴平分，故結(jié)論③正確；④∵，，∴，∴，∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，∴，∴，又∵，∴，故結(jié)論④正確，∴結(jié)論正確的個數(shù)有個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于圖形的旋轉(zhuǎn)變換，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似的判定，等邊對等角，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似的判定是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】如圖，在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，，垂足為F，連接，分析下列四個結(jié)論，①，②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)可證明，，即可證明結(jié)論正確；②根據(jù)可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論正確；③過點(diǎn)D作，分別交，于點(diǎn)M，N，可證明四邊形平行四邊形，則，進(jìn)一步可證明垂直平分，可得結(jié)論正確；④設(shè)，，證明，并利用相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即得，根據(jù)勾股定理求的長，計(jì)算的值，即可判斷結(jié)論是否正確．【詳解】四邊形是矩形，，，，，，，，①正確；，，，是邊的中點(diǎn)，，，②正確；如圖，過點(diǎn)D作，分別交，于點(diǎn)M，N，則四邊形平行四邊形，，，，，，垂直平分，，③正確；設(shè)，，則，，，，，，，，，，，即，，④錯誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的推論，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級上·上海青浦·期中）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，，連接，那么下列結(jié)論中：與相似；與相似；與相似：與相似；；其中錯誤的有（

）個．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定逐一判斷即可，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，則，∵為中點(diǎn)，，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，∴，，，∵，∴為直角三角形，，故正確；∴，∵，∴，∵，∴，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴和不相似，故錯誤；④正確；∴正確的有：①②④⑤，錯誤的有1個，故選：B．【變式6-3】（23-24九年級上·安徽·期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正確；∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正確；在中，，∴，，∴，故③錯誤；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上分析可知，正確的結(jié)論有4個，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七：三角形相似的證明綜合題例7.（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）可推出，，進(jìn)而推出，從而得出，從而平分；（2）可推出，，從而，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，將沿著折疊后得，，，，，，，，平分．（2）證明：由折疊可得：，由（1）得：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，角平分線等知識，解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件和集中條件．【變式7-1】（23-24九年級上·安徽·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？【答案】(1)見解析(2)相似，理由見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得,，再根據(jù)可得，進(jìn)而說明，再結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，利用E為邊的中點(diǎn)，，得到，則可計(jì)算出,由勾股定理逆定理可得以及再說明即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵正方形，∴,∵，∴，∵點(diǎn)F在上，∴,∴,∵,∴．（2）解：與相似，理由如下：設(shè)，∵E為邊的中點(diǎn)，，∴，∴，,,∴,即,∴,∵,∴,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理逆定理等知識點(diǎn)，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24九年級上·上海崇明·期中）如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)E，垂足為F．作，垂足為G．

(1)求證：．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定．熟知相似三角形的判定定理和性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵．（1）由已知條件先證∽，再得出對應(yīng)成比例的線段即可；（2）先證≌，得出，再證∽，得出成比例的線段即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴．又∵，∴∽，∴，即．（2）證明：∵平分，∴．又∵，，∴≌，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴∽，∴，即，∴．【變式7-3】（2024·上海金山·二模）如圖，已知：D是的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在外部，且，，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由得到，根據(jù)“角邊角”推得，即可證得答案；（2）先證明，得到，再證明，得到，所以，由此即得答案．【詳解】（1），，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．一、單選題1．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）依據(jù)下列條件不能判定與相似的是（

）A．，，，，，B．，，，，C．，，D．，，，，，【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定，直接根據(jù)定理內(nèi)容逐一判定即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得故A不符合題意；∵，但與不是夾角，∴不能判定與相似，故B符合題意；∵，，∴∴，根據(jù)兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得故C不符合題意；∵，∴根據(jù)三邊成比例的兩個三角形相似可得故D不符合題意；故選：B．2．（2024·云南昆明·二模）如圖，已知，添加下列條件后，能判斷的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似．【詳解】解：∵，∴，、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意；、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意；、添加，利用“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”能判定，此選項(xiàng)符合題意；、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，下列四個條件：①；②；③；④，其中當(dāng)和相似時滿足的條件有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對①②進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對③④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，，故①正確；∵，∴是等腰三角形，與不一定相等，∴與不相似，故②錯誤；∵，，，故③正確；，即，此兩個對應(yīng)邊的夾角不是，∴與不相似，故④錯誤；能滿足和相似的條件是①③，故選：B．4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，E、F分別為、的中點(diǎn)，連接，H為的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)D，連接，則與相似(不含)的三角形個數(shù)為（

）A．1 B．4 C．8 D．2【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定等知識點(diǎn)，由三角形中位線定理可得，可得，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可證，可得結(jié)論，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵E、F分別為、的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，故選：D．5．（2024·天津和平·一模）如圖，已知，，，．將沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與不相似的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、，，，故A不符合題意；B、，，，故B不符合題意；C、由圖形可知，，，，，，又，，故C不符合題意；D、由已知條件無法證明與相似，故D符合題意，故選：D．二、填空題6．（23-24九年級上·甘肅張掖·期末）如圖，已知，則圖中相似三角形是．

【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定，掌握兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，故答案為：．7．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形中，平分，且，．當(dāng)時，．【答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對應(yīng)邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，當(dāng)時，，即：，∵，，∴，∴；故答案為：9．8．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則圖中所形成的三角形中，與相似的三角形是．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定，利用兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【詳解】解：觀察圖象可知，．故答案為：．9．（23-24九年級上·四川成都·期末）某工件橫截面如圖1所示，已知，，．現(xiàn)將一根寬為2cm的直尺分別按圖2及圖3的方式擺放（圖3中，直尺恰好卡在AD之間），測得，，則該工件的內(nèi)徑長為．【答案】【分析】設(shè)直尺與的交點(diǎn)為F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，先證明四邊形是平行四邊形，得到的長及，根據(jù)勾股定理求得的長，進(jìn)一步得到，的長，再證明，求出的長，以及證明是等腰三角形，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到的長，即得答案．【詳解】解：設(shè)直尺與的交點(diǎn)為F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則由已知得，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在中，，，，，，又，，，，解得，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．10．（22-23九年級下·河北衡水·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫出兩個即可）【答案】是，【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出．【詳解】（1）如圖，

∵矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：是；（2）∵，∴，∵矩形，∴，∴，∴，又，∴；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等邊對等角．熟練掌握矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2024·福建福州·一模）如圖，中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，連接．從下列條件中，選擇一個作為附加條件①；②；③，求證：．【答案】②，見解析【分析】本題考查了相似三角形的