江蘇省南京市南師附中集團新城中學2025屆數(shù)學九上期末監(jiān)測試題含解析

江蘇省南京市南師附中集團新城中學2025屆數(shù)學九上期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣12．在同一平面直角坐標系內，將函數(shù)y＝2x2+4x﹣3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到圖象的頂點坐標是（）A．（﹣3，﹣6） B．（1，﹣4） C．（1，﹣6） D．（﹣3，﹣4）3．如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足為E,∠BAE=30°,那么△ECD的面積是（）A．2 B． C． D．4．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線平分一組對角 D．對角線互相垂直6．當取何值時，反比例函數(shù)的圖象的一個分支上滿足隨的增大而增大()A． B． C． D．7．下列運算正確的是()A． B． C． D．8．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A．5x+5＝2x﹣1 B．y2﹣7y＝0C．a(chǎn)x2+bc+c＝0 D．2x2+2x＝x2-19．如圖，將繞點順時針旋轉，得到，且點在上，下列說法錯誤的是（）A．平分 B． C． D．10．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為A．9 B．6 C．4 D．311．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．頂點坐標是C．對稱軸是直線 D．與軸有兩個交點12．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B．C．x2=0 D．a(chǎn)x2+bx+c=0二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在正方形和正方形中，點和點的坐標分別為，，則兩個正方形的位似中心的坐標是___________.14．如圖，以點為圓心，半徑為的圓與的圖像交于點，若，則的值為_______．15．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，若∠BOC=100°，則∠BAC=______．16．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的長等于________cm．17．小莉身高，在陽光下的影子長為，在同一時刻站在陽光下，小林的影長比小莉長，則小林的身高為_________．18．如圖，小楊沿著有一定坡度的坡面前進了5米，這個坡面的坡度為1:2，此時他與水平地面的垂直距離為____米.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，折疊邊長為的正方形，使點落在邊上的點處（不與點，重合），點落在點處，折痕分別與邊、交于點、，與邊交于點.證明：（1）；（2）若為中點，則；（3）的周長為.20．（8分）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線與△ABC的外接圓相交于點D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．21．（8分）如圖，點在軸正半軸上，點是反比例函數(shù)圖象上的一點，且.過點作軸交反比例函數(shù)圖象于點.（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求點的坐標.22．（10分）如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．（1）求證：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半徑R=3，NP=，求NQ的長．23．（10分）如圖，正方形ABCD的過長是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE．（1）求證：AQ⊥DP；（2）求證：AO2＝OD?OP；（3）當BP＝1時，求QO的長度．24．（10分）已知直線y＝x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B．（1）求拋物線解析式；（2）點C（m，0）在線段OA上（點C不與A，O點重合），CD⊥OA交AB于點D，交拋物線于點E，若DE＝AD，求m的值；（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點D，B，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．25．（12分）問題背景：如圖1設P是等邊△ABC內一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度數(shù)．小君研究這個問題的思路是：將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ABP'，易證：△APP'是等邊三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．簡單應用：（1）如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P為△ABC內一點，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，則∠BPC＝°．（2）如圖3，在等邊△ABC中，P為△ABC內一點，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，則PC＝．拓展廷伸：（3）如圖4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求證：BD＝AD+DC．（4）若圖4中的等腰直角△ABC與Rt△ADC在同側如圖5，若AD＝2，DC＝4，請直接寫出BD的長．26．如圖，某中學一幢教學樓的頂部豎有一塊寫有“校訓”的宣傳牌，米，王老師用測傾器在點測得點的仰角為，再向教學樓前進9米到達點，測得點的仰角為，若測傾器的高度米，不考慮其它因素，求教學樓的高度．（結果保留根號）

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】試題分析：由題意，得x+4≥0且x≠0，解得x≥﹣4且x≠0，故選C．考點：函數(shù)自變量的取值范圍．2、C【分析】首先得出二次函數(shù)y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，再求出將二次函數(shù)y=2（x+1）2-5的圖象向右平移2個單位的解析式，再求出向下平移1個單位的解析式即可y=2（x-1）2-6，從而求解．【詳解】解：y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，∵將二次函數(shù)y=2（x+1）2-5的圖象向右平移2個單位的解析式，再求出向下平移1個單位，∴y=2（x-1）2-6，∴頂點坐標為（1，-6）．故選C【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移性質．3、D【分析】根據(jù)已知條件，先求Rt△AED的面積，再證明△ECD的面積與它相等．【詳解】如圖：過點C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF.∴S△AED=S△CDE∵AE=1,DE=，∴△ECD的面積是.故答案選:D.【點睛】本題考查了矩形的性質與含30度角的直角三角形相關知識，解題的關鍵是熟練的掌握矩形的性質與含30度角的直角三角形并能運用其知識解題.4、B【解析】試題解析：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于點F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴，∴CF=2AF，故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正確；設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有

，即b=，∴tan∠CAD=．故④不正確；故選B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應用，正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．解題時注意：相似三角形的對應邊成比例．5、B【分析】根據(jù)正方形和菱形的性質逐項分析可得解.【詳解】根據(jù)正方形對角線的性質：平分、相等、垂直；菱形對角線的性質：平分、垂直，故選B．【點睛】考點：1.菱形的性質；2.正方形的性質．6、B【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得：∵的一個分支上y隨x的增大而增大,∴a-3<0,

∴a<3.故選B.7、D【分析】按照有理數(shù)、乘方、冪、二次根式的運算規(guī)律進行解答即可.【詳解】解：A.，故A選項錯誤；B.，故B選項錯誤；C.，故C選項錯誤；D.，故D選項正確；故答案為D.【點睛】本題考查了有理數(shù)、乘方、冪、二次根式的運算法則，掌握響應的運算法則是解答本題的關鍵.8、D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、是關于x的一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B、是關于y的一元二次方程，不是關于x的一元二次方程，故本選項不符合題意；C、只有當a≠0時，是關于x的一元二次方程，故本選項不符合題意；D、是關于x的一元二次方程，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義的內容是解此題的關鍵．9、C【分析】由題意根據(jù)旋轉變換的性質，進行依次分析即可判斷.【詳解】解：解：∵△ABC繞點A順時針旋轉，旋轉角是∠BAC，∴AB的對應邊為AD，BC的對應邊為DE，∠BAC對應角為∠DAE,∴AB=AD，DE=BC，∠BAC=∠DAE即平分，∴A，B，D選項正確，C選項不正確．故選：C．【點睛】本題考查旋轉的性質，旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．10、D【分析】已知ab＝8可求出四個三角形的面積，用大正方形面積減去四個三角形的面積得到小正方形的面積，根據(jù)面積利用算術平方根求小正方形的邊長.【詳解】故選D.【點睛】本題考查勾股定理的推導，有較多變形題，解題的關鍵是找出圖形間面積關系，同時熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．11、B【分析】根據(jù)二次函數(shù)基本性質逐個分析即可.【詳解】A.a=3，開口向上，選項A錯誤B.頂點坐標是，B是正確的C.對稱軸是直線，選項C錯誤D.與軸有沒有交點，選項D錯誤故選:B【點睛】本題考核知識點：二次函數(shù)基本性質：頂點、對稱軸、交點.解題關鍵點：熟記二次函數(shù)基本性質.12、C【解析】分析：本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是1；（1）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．詳解：A．是二元二次方程，故本選項錯誤；B．是分式方程，不是整式方程，故本選項錯誤；C．是一元二次方程，故本選項正確；D．當a、b、c是常數(shù)，a≠0時，方程才是一元二次方程，故本選項錯誤．故選C．點睛：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1．二、填空題（每題4分，共24分）13、或【分析】根據(jù)位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當點E和C是對應頂點，G和A是對應頂點；另一種是A和E是對應頂點，C和G是對應頂點.【詳解】∵正方形和正方形中，點和點的坐標分別為，∴（1）當點E和C是對應頂點，G和A是對應頂點，位似中心就是EC與AG的交點.設AG所在的直線的解析式為解得∴AG所在的直線的解析式為當時，，所以EC與AG的交點為（2）A和E是對應頂點，C和G是對應頂點.，則位似中心就是AE與CG的交點設AE所在的直線的解析式為解得∴AE所在的直線的解析式為設CG所在的直線的解析式為解得∴AG所在的直線的解析式為聯(lián)立解得∴AE與CG的交點為綜上所述，兩個正方形的位似中心的坐標是或故答案為或【點睛】本題主要考查位似圖形，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況討論是解題的關鍵.14、【分析】過點B作BM⊥x軸，過點A作AN⊥y軸，先證△BOM≌△AON，由此可求出∠BOM的度數(shù)，再設B（a，b），根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出a、b的值,即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點B作BM⊥x軸，過點A作AN⊥y軸，∵點B、A均在反比例函數(shù)的圖象上，OA=OB，

∴點B和點A關于y=x對稱，

∴AN=BM，ON=OM，

∴△BOM≌△AON，

∴∠BOM=∠AON=∵∴∠BOM==30°，

設B（a，b），則OM=a=OB?cos30°=2×=，BM=b=OB×sin30°=2×=1，

∴k=ab=×1=故答案為．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意作出輔助線構造出直角三角形，根據(jù)直角三角函數(shù)求得B的坐標是解題的關鍵．15、50°【解析】根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半得．【詳解】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC=100°，∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．故答案為：50°．【點睛】本題考查圓周角定理，題目比較簡單．16、1【解析】由條件可證得△ABC∽△ADB，可得到=，從而可求得AC的長，最后計算CD的長．【詳解】∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴=，即=，解得：AC=8，∴CD=8﹣2=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握利用兩組角對應相等可判定兩個三角形相似是解題的關鍵．17、【分析】由同一時刻物高與影長成比例，設出小林的身高為米，列方程求解即可．【詳解】解：由同一時刻物高與影長成比例，設小林的身高為米，則即小林的身高為米．故答案為：【點睛】本題考查的是利用相似三角形的原理：“同一時刻物高與影長成比例”，測量物體的高度，掌握原理是解題的關鍵．18、【分析】設BC＝x，則AB＝2x，再根據(jù)勾股定理得到x2+（2x）2=52，再方程的解即可．【詳解】如圖所示：設BC＝x，則AB＝2x，依題意得：x2+（2x）2=52解得x=或x=-（舍去）．故答案為：．【點睛】考查了解直角三角形，解決本題的關鍵是構造直角三角形利用勾股定理得出．三、解答題（共78分）19、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【分析】（1）根據(jù)折疊和正方形的性質結合相似三角形的判定定理即可得出答案；（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可得出答案；（3）設BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質即可得出答案.【詳解】證明：（1）∵四邊形是正方形，∴，∴，∵為折痕，∴，∴，∴，在與中∵，，∴；（2）∵為中點，∴，設，則，在中，，∴，即，∴，∴，，由（1）知，，∴，∴，，∴；（3）設，則，，在中，，∴，即，解得：，由（1）知，，∴，∵，∴.【點睛】本題考查的是相似三角形的綜合，涉及的知識點有折疊的性質、正方形的性質、勾股定理和相似三角形，難度系數(shù)較大.20、（1）35°；（2）證明見解析.【分析】（1）由點E是△ABC的內心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，進而得出∠CBD=∠CAD=35°；(2)由點E是△ABC的內心，可得E點為△ABC角平分線的交點，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推導出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.【詳解】（1）∵點E是△ABC的內心，∠BAC=70°，∴∠CAD=，∵，∴∠CBD=∠CAD=35°；（2）∵E是內心，∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED，∴DE=DB.【點睛】此題考查了圓的內心的性質以及角平分線的性質等知識．此題綜合性較強,注意數(shù)形結合思想的應用.21、（1）；（2）【分析】（1）設反比例函數(shù)的表達式為，將點B的坐標代入即可；（2）過點作于點，根據(jù)點B的坐標即可得出，,然后根據(jù)，即可求出AD，從而求出AO的長即點C的縱坐標，代入解析式，即可求出點的坐標.【詳解】解：（1）設反比例函數(shù)的表達式為，∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴.解得.∴反比例函數(shù)的表達式為.（2）過點作于點.∵點的坐標為，∴，.在中，，∴.∴.∵軸，∴點的縱坐標為6.將代入，得.∴點的縱坐標為.【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)與圖形的綜合題，掌握用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關鍵.22、（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OP，則OP⊥PQ，然后證明OP//NQ即可．（2）連接MP，在Rt△MNP中，利用三角函數(shù)求得∠MNP的度數(shù)，即可求得∠PNQ的值，然后在Rt△PNQ中利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：連接OP，∵直線PQ與⊙O相切于P點，∴OP⊥PQ，即∠OPQ=90°，∵OP=ON，∴∠OPN=∠ONP．又∵NP平分∠MNQ，∴∠OPN=∠PNQ．∴OP//NQ．∴∠NQP=180°-∠OPQ=90°，∴NQ⊥PQ．（2）連接MP，∵MN是直徑，∴∠MPN=90°．∴，∴∠MNP=30°．∴∠PNQ=30°．∴在Rt△PNQ中，NQ=NP?cos30°=．【點睛】本題考查了切線的性質，解直角三角形，正確添加輔助線，靈活運用相關知識是解題的關鍵．23、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）QO＝．【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質得到∠P＝∠Q，根據(jù)余角的性質得到AQ⊥DP．（2）根據(jù)相似三角形的性質得到AO2＝OD?OP（3根據(jù)相似三角形的性質得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；（2）證明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2＝OD?OP．（3）解：∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△PAD，∴，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△PAD，∴=∴QO＝．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，三角函數(shù)的定義，熟練掌握全等三角形或相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．24、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由見解析【分析】（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結論；（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出結論；（3）分兩種情況：①以BD為一邊，判斷出△EDB≌△GNM，即可得出結論．②以BD為對角線，利用中點坐標公式即可得出結論．【詳解】（1）當x＝0時，y＝3，∴B（0，3），當y＝0時，x+3＝0，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，（2）∵CD⊥OA，C（m，0），∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵AC＝m+3，CD＝m+3，由勾股定理得：AD＝（m+3），∵DE＝AD，∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；（3）存在，分兩種情況：①以BD為一邊，如圖1，設對稱軸與x軸交于點G，∵C（﹣2，0），∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），∴E與B關于對稱軸對稱，∴BE∥x軸，∵四邊形DNMB是平行四邊形，∴BD＝MN，BD∥MN，∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，∴△EDB≌△GNM，∴NG＝ED＝2，∴N（﹣1，﹣2）；②當BD為對角線時，如圖2，此時四邊形BMDN是平行四邊形，設M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），∵B(0，3),D(-2，1),∴∴n＝-1，h＝0∴N（﹣1，0）；綜上所述，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)線段之間的數(shù)量關系求點坐標，根據(jù)點的位置構建平行四邊形，（3）中以BD為對角線時，利用中點坐標公式計算更簡單.25、（1）135；（2）13；（3）見解析；（4）【分析】簡單應用：（1）先利用旋轉得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根據(jù)勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形，即可得出結論；（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，進而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出結論；拓展廷伸：（3）先利用旋轉得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判斷出點D'在DC的延長線上，最后用勾股定理即可得出結論；（4）先利用旋轉得出BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，再判斷出點D'在AD的延長線上，最后用勾股定理即可得出結論．【詳解】解：簡單應用：（1）如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ACP繞點C逆時針旋轉90°得到△CBP'，連接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP'＝CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，∴△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形，∴∠BPP'＝90°，∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，故答案為：135；（2）如圖3，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ABP'，連接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP