第7章 第6課時　空間向量的運算及其應用-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

第6課時空間向量的運算及其應用[考試要求]1．了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3．理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．1．空間向量及其有關(guān)定理概念語言描述共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在實數(shù)λ，使a＝λb共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．2．空間向量的數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉．3．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝a·a夾角公式cos〈a，b〉＝a·b4．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．5．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0[常用結(jié)論]1．三點共線：在平面中A，B，C三點共線?OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點．三點共線AB＝λBC(λ≠0)．2．四點共面：在空間中P，A，B，C四點共面?OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面． ()(2)在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)． ()(3)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c． ()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P33練習T1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]2．(人教A版選擇性必修第一冊P10習題1.1T5改編)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若AC1＝xAB1＋yAC＋zAD1，則A．3B．2C．32C[AC1＝xAB1＋y＝x(AB+AA1)＋y(AB+＝(x＋y)AB＋(y＋z)AD＋(z＋x)AA而AC1＝所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝323．(多選)(人教A版選擇性必修第一冊P22練習T3改編)已知點A(1，2，2)，B(1，－3，1)，點C在Oyz平面上，且點C到點A，B的距離相等，則點C的坐標可以為()A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)C．(0，1，－6) D．(0，2，10)BC[依題意，點C在Oyz平面上，設C(0，y，z)，由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通過驗證可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC選項正確．故選BC.]4．(人教A版選擇性必修第一冊P27思考改編)O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP＝34OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，18[∵P，A，B，C四點共面，∴34+18＋t＝1，考點一空間向量的線性運算[典例1](1)(2023·遼寧大連雙基測試)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝x，?12x，3A．5B．21C．4D．21(2)(2024·山東濟南模擬)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，ON＝23OM，設OA＝a，OB＝b，OC＝A．OP＝14a＋14b＋B．AN＝a＋13b＋1C．AP＝－34a＋14b－D．OM＝12b－1(1)D(2)A[(1)由題意x?2＝?12x1即b＝?1，12，2，|b故選D.(2)因為ON＝23OM，OA＝a，OB＝b，所以AN＝AO+ON＝AO+23OM＝AO+23因為AP＝34AN＝3413b+13c因為OM＝12(OB+OC)＝1因為OP＝OA+AP＝a＋?34a+14b＋14c＝空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點[跟進訓練]1．(1)在空間四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AD＝c，則CD＝()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．a(chǎn)－b－c D．b－a＋c(2)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點．①化簡A1②用AB，AD，AA1(1)B(2)①A1A②12CD＝CB+BD＝CB＋(AD?AB)＝－b＋c－a＝c－(2)①A1O?12AB?12②因為OC＝12AC＝1所以OC1＝OC+CC1＝【教師備選資源】以下四組向量在同一平面的是()A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)B[對于A，設(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以n=對于B，因為(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三個向量共面；對于C，設(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以x+對于D，設(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以0=考點二空間向量數(shù)量積的應用[典例2]如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C(1)求AC1的長；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值．[解](1)記AB＝a，AD＝b，AA1＝則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.AC1＝a＋b∴|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12+12+12＝6，∴|A(2)證明：∵AC1＝a＋b＋c，BD＝b－a∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(b＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴AC1⊥BD，∴AC1⊥BD(3)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝2，|AC|＝3，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·∴cos〈BD1，AC〉＝BD∴AC與BD1夾角的余弦值為66空間向量數(shù)量積的應用[跟進訓練]2．(1)(多選)空間直角坐標系中，已知O(0，0，0)，OA＝(－1，2，1)，OB＝(－1，2，－1)，OC＝(2，3，－1)，則()A．|AB|＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．與OA平行的單位向量的坐標為66，D．OA在OB方向上的投影向量的坐標為?(2)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，則DC·(1)AC(2)[0，1][(1)根據(jù)空間向量的線性運算，AB＝OB?∴|AB|＝02AC＝OC?OA＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，∴|AC|＝32+1BC＝OC?∴|BC|＝32+1計算可得，△ABC三條邊不相等，B錯誤；與OA平行的單位向量為e＝±OAOA＝±＝±?1，2，OA在OB方向上的投影向量與向量OB共線，而?23，43故選AC.(2)由題意，設BP＝λBD1，其中λ∈[0，1]，DC·AP＝AB·(AB+BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝AB2考點三利用向量證明平行與垂直[典例3]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[證明](1)由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32∴DP＝(0，－1，2)，DA＝(23，3，0)，CM＝32設n＝(x，y，z)為平面PAD的法向量，由DP·n令y＝2，則n＝(－3，2，1)是平面PAD的一個法向量．∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1∴n⊥CM.又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)法一：由(1)知BA＝(0，4，0)，PB＝(23，0，－2)，設平面PAB的法向量為m＝(x0，y0，z0)，由BA·m令x0＝1，則m＝(1，0，3)是平面PAB的一個法向量．又∵平面PAD的一個法向量n＝(－3，2，1)，∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD.法二：取AP的中點E，連接BE，則E(3，2，1)，BE＝(－3，2，1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.∵BE·DA＝(－3，2，1)·(2∴BE⊥DA，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，DA，PA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.1．利用向量法證明平行問題(1)線線平行：方向向量平行．(2)線面平行：平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直．(3)面面平行：兩平面的法向量平行．2．利用向量法證垂直問題(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．(3)面面垂直：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．[跟進訓練]3．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．[解]以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，(1)證明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，Ea2，1，0，故AD1＝(0，1，1)，B1因為B1E·AD1＝－a2×因此B1E⊥AD1，所以B1E(2)存在滿足要求的點P，理由如下：假設在棱AA1上存在一點P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE，此時DP＝(0，－1，z0)，設平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)．AB1＝(a，0，1)，AE＝因為n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥得ax取x＝1，則y＝－a2，z＝－a則平面B1AE的一個法向量n＝1，要使DP∥平面B1AE，需滿足n⊥DP，有a2－az0解得z0＝12所以存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝12課時分層作業(yè)(四十七)空間向量的運算及其應用一、單項選擇題1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，則|a－b＋2c|等于()A．310B．210C．10D．5A[∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，∴a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝92+32．(2024·安徽滁州模擬)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，則x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B[向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，則2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，則－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故選B.]3．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，則實數(shù)m等于()A．4 B．6C．8 D．10A[因為向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，且向量a，b，c共面，所以c＝xa＋yb，x，y∈R，即2x+y=?1，x?4y=22故選A.]4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O為坐標原點，OA＋λOB與OB的夾角為120°，則λ的值為()A．±66 B．6C．－66 D．±C[由于OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，OB＝(0，－1，1)，則cos120°＝λ+λ1+2λ2·2＝－12，解得λ＝±5．(2024·山東濰坊模擬)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則向量a在向量b上的投影向量c＝()A．52，54C．54，5B[向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝4+1+故向量a在向量b上的投影向量c＝a·bb·bb6．(2024·廣東廣州模擬)在空間四邊形ABCD中，AB·A．－1 B．0C．1 D．不確定B[令AB＝a，AC＝b，AD＝c，則AB＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故選B.]7．(2024·山西太原模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，AG＝2GE，則GF＝()A．1B．1C．－2D．－1D[因為AG＝2GE，所以GE＝13AE，又E是所以AE＝12(AB+AC)，所以GE＝1因為EF＝EC+CF，E，F(xiàn)分別是BC，CC所以EF＝12(BC因此GF＝GE+EF＝16(AB故選D.]8．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝2a3，則MN與平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi)B[建立如圖所示的空間直角坐標系，由于A1M＝AN＝2a3，則Ma，2a3，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)為平面BB1C因為MN·所以MN⊥C1D1，又MN?平面BB1C所以MN∥平面BB1C1C.]二、多項選擇題9．(2023·湖北十堰二模)《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，B1D＝2DA．AD＝AB．AD＝AC．向量AD在向量AB上的投影向量為2D．向量AD在向量AC上的投影向量為2BD[因為AD＝AA1+A1B1+如圖所示，過點D作DE垂直于BC，過點E作EF垂直于AB，EG垂直于AC，故向量AD在向量AB上的投影向量為AF，向量AD在向量AC上的投影向量為AG，由題意易得AFAB＝13，AGAC＝23，故AF10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，點P為線段AA．當A1C＝2A1P時，B1，B．當AP⊥A1C時，APC．當A1C＝3A1P時，D1PD．當A1C＝5A1P時，A1C⊥ACD[在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為AB＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，則A1C＝(－1，3，－1)，當A1C＝2A1P時，P為線段A1C的中點，則P12，32，12，DP＝12，設A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，AP＝AA1+A由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5所以AP＝?15＝(1，0，－1)＋?15，所以D1P·AP＝－4所以AP與D1當A1C＝3A1P＝13A1C＝?1設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·D令y＝1，則x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，又A1所以D1P＝A1所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－1所以D1P⊥∵D1P?平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正確；當A1C＝5A1P＝15所以D1P＝A1所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×?15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0．所以A1C⊥D1PD1P?平面D1AP，D1A?平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，D正確．故選ACD.]三、填空題11．(2024·河南信陽模擬)如圖是某段新開河渠的示意圖．在二面角α-l-β的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝41，則該二面角的大小為________．120°[設所求二面角為θ，由CD＝CA+AB+BD，得CD＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·＝32＋22＋42＋0－2×3×4cosθ＋0＝41，∴cosθ＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°12．在通用技術(shù)課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-ABCD，設底邊和側(cè)棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為________；過點A作一個平面分別交PB，PC，PD于點E，F(xiàn)，G進行切割，得到四棱錐P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC32π34[設AC，BD交于點O，連接PO由于P-ABCD為正四棱錐，故PO為四棱錐的高，由底邊和側(cè)棱長均為4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22，PO＝PA2?OA2即點O到點P，A，B，C，D的距離相等，故O即為該正四棱錐的外接球球心，則外接球半徑為22，故外接球表面積為4π×(22)2＝32π.PA＝PD+DA＝PD+CB設PD＝tPG，則PA＝tPG+53由于點A，E，F(xiàn)，G四點共面，故t＋53解得t＝43，故PD＝43PG，則PG四、解答題13．已知空間三點A(0，2，3)，B