第2章　高考研究在線2　高考試題中的抽象函數(shù)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

抽象函數(shù)可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，新高考連續(xù)三年在此點命題，破解此類問題的一般方法為賦值法、函數(shù)性質(zhì)法和構(gòu)造函數(shù)法．命題點一與奇偶性、對稱性相關(guān)的求值問題[典例1](1)(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)＝y(tǒng)2f(x)＋x2f(y)，則()A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函數(shù)D．x＝0為f(x)的極小值點(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x)．若f32?2x，g(2＋A．f(0)＝0 B．g?1C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)(1)ABC(2)BC[(1)取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故C正確；由于f(0)＝0，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以x＝0可能為函數(shù)f(x)的極小值點，也可能為函數(shù)f(x)的極大值點，也可能不是函數(shù)f(x)的極值點，故D不正確．故選ABC.(2)因為f32?2x，g(2＋所以f32?2x＝f即f32?x＝f32+x，g(2＋x所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，則f(－1)＝f(4)，故C正確；函數(shù)f(x)，g(x)的圖象分別關(guān)于直線x＝32，x＝2對稱，又g(x)＝f′(x)，且函數(shù)f(x)可導(dǎo)，所以g32＝0，g(3－x)＝－g(所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以g?12＝gg(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正確，D錯誤；若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f(x)＋C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定f(x)的函數(shù)值，故A錯誤．故選BC.]本例(2)改編于2021年新高考Ⅱ卷T8，主要考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的性質(zhì)關(guān)聯(lián)問題．設(shè)函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，則f(x)與f′(x)有如下關(guān)系：(1)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f′(x)的圖象關(guān)于點A(a，0)中心對稱；(2)f′(x)關(guān)于直線x＝b對稱?f(x)關(guān)于點B(b，f(b))中心對稱；(3)f(x)的圖象是周期為T的周期函數(shù)?f′(x)圖象是周期為T的周期函數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x)，若f(3－x)，g52A．f(3)＝0 B．g(3)＝0C．f52＝f72 D．g(5)＝－AD[∵f(3－x)，g52∴f(3＋x)＝－f(3－x)，g52+2x＝－g52?2x，∴f(x)的圖象關(guān)于點(3，0)對稱，g(x)的圖象關(guān)于點52，0對稱，∴A正確；∵∴g(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，B錯誤；∵g(x)圖象關(guān)于點52，0∴g(x)的周期為2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正確；∵f(3＋x)＝－f(3－x)，∴f52＝－f7命題點二與周期性相關(guān)的求值問題[典例2](2022·新高考Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則＝()A．－3 B．－2C．0 D．1A[法一(賦值法)：令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)?f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期為6；令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)?f(0)＝2，∴f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2，故＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即＝－3.故選A.法二(特殊函數(shù)法)：取f(x)＝2cosπ3x符合條件，則T＝6，計算可得f(2)＝f(1)－ff(3)＝f(2)－f(1)＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，∴＝1－1－2－1＋1＋2＝0，一個周期內(nèi)的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0．由于22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.]常見的抽象函數(shù)7大模型：(1)一次函數(shù)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b.(2)二次函數(shù)：f(a－x)＝f(a＋x)．(3)冪函數(shù)：f(xy)＝f(x)f(y)．(4)指數(shù)函數(shù)：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝fx(5)對數(shù)函數(shù)：f(xy)＝f(x)＋f(y)，fxy＝f(x)－f(y(6)正切函數(shù)：f(x±y)＝fx(7)余弦函數(shù)：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(x)＋f(y)＝2fx?y2[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f(x＋y)＝fx+fA．f(0)＝0B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)為周期函數(shù)，且4為f(x)的周期D．f(2023)＝－1ACD[對于A，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，故A正確；對于B，令y＝－x，則f(0)＝fx+f?x1?fxf?x＝0，因此又f(x)的定義域為{x|x≠4k＋2，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，令y＝1，則f(x＋1)＝fx+f11?f所以f(x＋2)＝－1＋21?fx+