高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：習(xí)題課 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合 (1)(人教A版)

習(xí)題課兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，掌握解決計(jì)數(shù)實(shí)際問(wèn)題的基本思想.2.理解排列、組合的概念，加深公式的理解應(yīng)用；利用排列、組合解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)回顧相關(guān)的知識(shí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究有10個(gè)年輕人在一家飯店吃飯，幾個(gè)人商議想吃免費(fèi)的午餐，老板說(shuō)“你們每次來(lái)吃飯由我安排座位，如果我安排的座位與前面的哪一次完全重復(fù)了，就免去全部費(fèi)用”．大家以為很快就能吃到免費(fèi)的午餐，結(jié)果一年以后還沒(méi)吃到，你認(rèn)為他們可能吃到嗎？問(wèn)題上述情景中，他們能吃到免費(fèi)的午餐嗎，為什么？提示上述情景中，老板安排10人的座位共有10！＝3628800(種)排法，就算每天吃一餐，也要近1萬(wàn)年才能排完，所以這10個(gè)人不可能吃到免費(fèi)的午餐．1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.

分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算公式：N＝m1×m2×…×mn.3．解決受限制條件的排列、組合問(wèn)題的一般策略 (1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略； (2)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； (3)相鄰問(wèn)題，捆綁處理的策略； (4)不相鄰問(wèn)題，插空處理的策略； (5)定序問(wèn)題，除法處理的策略； (6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題，先整體后局部的策略； (7)平均分組問(wèn)題，除法處理的策略； (8)構(gòu)造模型的策略．拓展深化[微判斷]1．從3，5，7，11中任取兩個(gè)數(shù)相除屬于組合問(wèn)題．

(

)

提示由于兩個(gè)數(shù)相除與順序有關(guān)，所以是排列問(wèn)題．2．由于組合數(shù)的兩個(gè)公式都是分式，所以結(jié)果不一定是整數(shù)．

(

)3．區(qū)別組合與排列的關(guān)鍵是看問(wèn)題元素是否與順序有關(guān)．

(

)×√×A．9 B．12 C．15 D．3A．9 B．8C．7 D．6A．9 B．8C．7 D．63．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有(

) A．144種

B．90種 C．260種

D．120種[微思考]1．在排列數(shù)中，n，m的作用是什么？

提示n是連續(xù)相乘正整數(shù)(因式)中的最大的數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)取決于m.2．定序問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？

提示定序是指某些元素的順序是一定的，即順序?qū)υ夭辉佼a(chǎn)生影響，所以是組合問(wèn)題.題型一

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】

(1)如圖所示，使電路接通，開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式共有(

)A．11 B．12 C．20 D．21解析根據(jù)題意，設(shè)5個(gè)開(kāi)關(guān)依次為1，2，3，4，5，若電路接通，則開(kāi)關(guān)1，2與3，4，5中分別至少有1個(gè)接通，對(duì)于開(kāi)關(guān)1，2，共有2×2＝4(種)情況，其中全部斷開(kāi)的有1種情況，則其至少有1個(gè)接通的有4－1＝3(種)情況；對(duì)于開(kāi)關(guān)3，4，5，共有2×2×2＝8(種)情況，其中全部斷開(kāi)的有1種情況，則其至少有1個(gè)接通的有8－1＝7(種)情況，則電路接通的情況有3×7＝21(種)．故選D.答案D(2)電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴，有__________種不同的結(jié)果．解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類(lèi)分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有30×29×20＝17400(種)結(jié)果；(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400(種)結(jié)果．因此共有17400＋11400＝28800(種)不同結(jié)果．答案28800規(guī)律方法“類(lèi)”與“步”可進(jìn)一步地理解為：“類(lèi)”用“＋”號(hào)連接，“步”用“×”號(hào)連接，“類(lèi)”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類(lèi)”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可．(2)電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴，有__________種不同的結(jié)果．解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類(lèi)分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有30×29×20＝17400(種)結(jié)果；(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400(種)結(jié)果．因此共有17400＋11400＝28800(種)不同結(jié)果．答案28800規(guī)律方法“類(lèi)”與“步”可進(jìn)一步地理解為：“類(lèi)”用“＋”號(hào)連接，“步”用“×”號(hào)連接，“類(lèi)”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類(lèi)”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可．【訓(xùn)練1】

(1)現(xiàn)有4種不同顏色，要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(

)A．24種

B．30種

C．36種

D．48種解析將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1，2，3，4.因?yàn)?，2，3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類(lèi)討論1，4同色與不同色這兩種情況．故不同的著色方法種數(shù)為4×3×2＋4×3×2×1＝48.故選D.(2)有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù)．若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)一人，則不同的安排方式共有__________種(用數(shù)字作答)．解析上午總測(cè)試方法有4×3×2×1＝24(種)；我們以A，B，C，D，E依次代表五個(gè)測(cè)試項(xiàng)目．若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試D，則上午測(cè)試A的同學(xué)下午只能測(cè)試B，C，確定上午測(cè)試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上、下午的測(cè)試方法共有2種；若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試A，B，C之一，則上午測(cè)試A，B，C中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測(cè)試D，安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測(cè)試方式就確定了，故共有3×3＝9(種)測(cè)試方法，即下午的測(cè)試方法共有11種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的測(cè)試方法共有24×11＝264(種)．答案264題型二有限制條件的排列、組合問(wèn)題【例2】為迎接國(guó)慶，某校舉辦了“祖國(guó)，你好”詩(shī)歌朗誦比賽．該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名學(xué)生中至少有1人參加，且當(dāng)這3名學(xué)生都參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為(

) A．720 B．768 C．810 D．816答案B規(guī)律方法(1)排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)位置，某個(gè)位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí)，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱(chēng)為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡)．(2)對(duì)于某些特殊問(wèn)題，可采取相對(duì)固定的特殊方法，如相鄰問(wèn)題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問(wèn)題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中．(3)對(duì)于定序問(wèn)題，可采用“除階乘法”解決，即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．【訓(xùn)練2】某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有(

) A．210種

B．420種 C．56種

D．22種題型三排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．

規(guī)律方法解決有關(guān)排列與組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題尤其應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)審清題意，區(qū)分哪是排列，哪是組合；(2)往往綜合問(wèn)題會(huì)有多個(gè)限制條件，應(yīng)認(rèn)真分析確定分類(lèi)還是分步．【訓(xùn)練3】有五張卡片，它們的正、反面分別寫(xiě)著0與1，2與3，4與5，6與7，8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最基本、也是最重要的原理，是解答排列、組合問(wèn)題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題的基礎(chǔ)．3．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)、分步，再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理．4．對(duì)于分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．給一些書(shū)編號(hào)，準(zhǔn)備用3個(gè)字符，其中首字符用A，B，后兩個(gè)字符用a，b，c(允許重復(fù))，則不同編號(hào)的書(shū)共有(

) A．8本 B．9本

C．12本 D．18本

解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同編號(hào)的書(shū)共有2×3×3＝18(本)．

答案D2．從4男3女志愿者中選1女2男分別到A，B，C三地去執(zhí)行任務(wù)，則不同的選派方法有(

) A．36種

B．108種 C．210種

D．72種3．有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本．若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是(

) A．24 B．48 C．72 D．964．8次投籃中，投中3次，其中恰有2次連續(xù)命中的情形有__________種(用數(shù)字作答)．5．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有__________種(用數(shù)字作答)．備用工具&資料4．8次投籃中，投中3次，其中恰有2次連續(xù)命中的情形有__________種(用數(shù)字作答)．2．從4男3女志愿者中選1女2男分別到A，B，C三地去執(zhí)行任務(wù)，則不同的選派方法有(

) A．36種

B．108種 C．210種

D．72種(2)電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴，有__________種不同的結(jié)果．解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類(lèi)分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有30×29