高考數(shù)學一輪復習考點探究與題型突破第35講等差數(shù)列及其前n項和(原卷版+解析)

第35講等差數(shù)列及其前n項和1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，根據等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.考點1等差數(shù)列的基本運算[名師點睛]1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.2.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.[典例]1．(2023·河北·石家莊二中模擬預測）記為等差數(shù)列的前項和.若，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·山東威?！と＃┑炔顢?shù)列的前n項和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．3．(2023·山東泰安·模擬預測）若等差數(shù)列滿足，則它的前13項和為（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江·杭師大附中模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13[舉一反三]1．(2023·海南?？凇ざ＃┰O公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．62．(2023·浙江·海寧中學模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則其首項與公差的比（

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇淮安·模擬預測）已知等差數(shù)列}的前n項和為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(2023·湖北武漢·模擬預測）設公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．5．（多選）(2023·福建·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，則（

）A． B．C． D．6．（多選）(2023·河北衡水·二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，則（

）A． B．C． D．7．(2023·全國·高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．8．(2023·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．9．(2023·重慶八中模擬預測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．10．(2023·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）記為等差數(shù)列的前項和，若，，則=_______．11．(2023·山東淄博·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則______．12．(2023·河北唐山·一模）記是公差不為的等差數(shù)列的前項和，若，，則________.考點2等差數(shù)列的判定與證明[名師點睛]1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關于an－1的an代入an－an－1，再化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結論：(1)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.[典例](2023·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.[舉一反三]1．(2023·江蘇常州·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求出數(shù)列的通項公式和前n項和．2．(2023·重慶市涪陵高級中學校模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2).已知數(shù)列的前項和為，求證：.考點3等差數(shù)列的性質及應用[名師點睛]1.項的性質：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質求最值.[典例]1．(2023·福建省德化第一中學模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．142．(2023·遼寧·三模）若一個等差數(shù)列的前5項和為15，后5項和為145，且該數(shù)列共有31項，則這個等差數(shù)列的公差為___________.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35 B.42 C.49 D.634.(2023·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊.向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊5．(2023·北京·北師大實驗中學模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7[舉一反三]1．(2023·北京東城·三模）在公差不為零的等差數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·黃岡中學模擬預測）設是等差數(shù)列的前n項和，，，則（

）A．90 B．100 C．120 D．2003．(2023·廣東廣州·二模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．4．(2023·北京通州·一模）設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．60 B．70 C．120 D．1405．(2023·河北石家莊·二模）等差數(shù)列的前n項和記為，若，則（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．80886．(2023·廣東佛山·模擬預測）已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，對任意的，均有成立，則不可能的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（多選）(2023·福建泉州·模擬預測）設等差數(shù)列的公差為，其前項和為，且，，則（

）A． B．，，為等差數(shù)列 C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．是的最小值8．（多選）(2023·湖南永州·三模）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項和，且，則（

）A． B．C． D．、均為的最大值9．(2023·湖南·模擬預測）設是等差數(shù)列的前項和，，則的最小值為______________．10．(2023·廣東·模擬預測）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.11．(2023·重慶八中模擬預測）在等差數(shù)列中，，當取得最小值時，______.12．(2023·湖北·宜昌市夷陵中學模擬預測）寫出一個數(shù)列的通項公式，使得這個數(shù)列的前項和在時取最大值，_____.13．（2023·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．14．(2023·重慶·三模）公差非零的等差數(shù)列的前n項和為，若是，的等比中項，．(1)求；(2)數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列的公差為，數(shù)列的前n項和為，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在請說明理由．第35講等差數(shù)列及其前n項和1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，根據等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.考點1等差數(shù)列的基本運算[名師點睛]1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.2.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.[典例]1．(2023·河北·石家莊二中模擬預測）記為等差數(shù)列的前項和.若，，則（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用等差數(shù)列通項和求和公式可構造不等式組求得，由等差數(shù)列通項公式可求得結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.故選：D.2．(2023·山東威?！と＃┑炔顢?shù)列的前n項和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．答案：B分析：根據等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出關于和d的方程組求解即可．【詳解】由題可知．故選：B．3．(2023·山東泰安·模擬預測）若等差數(shù)列滿足，則它的前13項和為（

）A． B． C． D．答案：B分析：根據等差數(shù)列的通項公式及前項和公式即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則因為，所以，即.所以.故選：B.4．(2023·浙江·杭師大附中模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13答案：B【詳解】因為，又，所以，所以，故選：B．[舉一反三]1．(2023·海南?？凇ざ＃┰O公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6答案：C【詳解】因為，又，所以，所以，即，設等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.2．(2023·浙江·海寧中學模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則其首項與公差的比（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】設等差數(shù)列，則因為數(shù)列也是等差數(shù)列，所以，則，所以即有，解得故選：D．3．(2023·江蘇淮安·模擬預測）已知等差數(shù)列}的前n項和為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】由題意可得，則，因為，可得，則，設等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，可得.即的取值范圍是.故選：C.4．(2023·湖北武漢·模擬預測）設公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．答案：C【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.5．（多選）(2023·福建·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，則（

）A． B．C． D．答案：ABC【詳解】取，則，解得，即A正確；由A可知，，則，即B正確；于是有，因為，且，即C正確；因為，即D錯誤.故選：ABC6．（多選）(2023·河北衡水·二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，則（

）A． B．C． D．答案：ABD【詳解】解：由題意得：對于選項A：取，則，解得，即A正確；對于選項B：由A可知，，則，即B正確；對于選項C：因為，即C錯誤；對于選項D：因為，且，即D正確.故選：ABD.7．(2023·全國·高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．答案：2【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.8．(2023·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．答案：4【詳解】設公差為，則，解得：，所以故答案為：49．(2023·重慶八中模擬預測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．答案：【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為d，因為，，，則，故答案為：．10．(2023·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）記為等差數(shù)列的前項和，若，，則=_______．答案：【詳解】是等差數(shù)列，設公差為，又，，，.故答案為：.11．(2023·山東淄博·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則______．答案：4【詳解】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去）.故答案為：412．(2023·河北唐山·一模）記是公差不為的等差數(shù)列的前項和，若，，則________.答案：【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.故答案為：.考點2等差數(shù)列的判定與證明[名師點睛]1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關于an－1的an代入an－an－1，再化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結論：(1)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.[典例](2023·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2a1.因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.①②?③.已知{an}是等差數(shù)列，{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.設數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(1,2)n2d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因為數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}的通項公式是關于n的一次函數(shù)，則a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③?①.已知數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.設數(shù)列{eq\r(Sn)}的公差為d，d＞0，則eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.[舉一反三]1．(2023·江蘇常州·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求出數(shù)列的通項公式和前n項和．【解】(1)證明：由，得．

相減得，即．

所以，故數(shù)列是等差數(shù)列．(2)解：當時，，則，由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，∴．

∴．2．(2023·重慶市涪陵高級中學校模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2).已知數(shù)列的前項和為，求證：.【解】(1)證明：由，得.又，故數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列.故，，故；(2)解：由（1）得，則，故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故，又，故，即得證.考點3等差數(shù)列的性質及應用[名師點睛]1.項的性質：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質求最值.[典例]1．(2023·福建省德化第一中學模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14答案：C分析：根據等差數(shù)列的求和公式，求得，結合等差數(shù)列的性質，化簡得到，即可求解.【詳解】因為，由等差數(shù)列的性質和求和公式得，即，則.故選：C.2．(2023·遼寧·三模）若一個等差數(shù)列的前5項和為15，后5項和為145，且該數(shù)列共有31項，則這個等差數(shù)列的公差為___________.答案：1分析：根據題意，利用等差數(shù)列等差中項的性質即可求得和，進而求得公差.【詳解】設這個等差數(shù)列為，則，，所以，，所以公差.故答案為：1.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.4.(2023·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊.向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊答案C解析設每一層有n環(huán)，由題可知從內到外每環(huán)之間構成公差d＝9，a1＝9的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，得n＝9，則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq\f(27×26,2)×9＝3402(塊).5．(2023·北京·北師大實驗中學模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B分析：根據題中等式求解出等差數(shù)列的公差，進而求解出數(shù)列的前項和，最后根據的表達式求解出結果【詳解】設公差為則，因此，所以當時，取最大值故選：B[舉一反三]1．(2023·北京東城·三模）在公差不為零的等差數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．答案：B分析：根據等差數(shù)列性質若，則，可得．【詳解】∵，則∴故選：B．2．(2023·湖北·黃岡中學模擬預測）設是等差數(shù)列的前n項和，，，則（

）A．90 B．100 C．120 D．200答案：B分析：由等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列下標和性質，即可求.【詳解】由.故選：B3．(2023·廣東廣州·二模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用等差數(shù)列的性質求出，再利用此性質結合誘導公式計算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，則有，即，所以.故選：D4．(2023·北京通州·一模）設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．60 B．70 C．120 D．140答案：B分析：根據等差數(shù)列的性質可求得，利用等差數(shù)列前n項和公式并化簡，可得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，故，故選：B5．(2023·河北石家莊·二模）等差數(shù)列的前n項和記為，若，則（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．8088答案：C分析：根據等差數(shù)列的性質及求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列知，，所以，故選：C6．(2023·廣東佛山·模擬預測）已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，對任意的，均有成立，則不可能的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A分析：由已知分析可得，公差，討論當時，當，時，與的關系，計算即求得的取值范圍,得出結果.【詳解】等差數(shù)列，對任意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前項和中的最小值，必有，公差，當，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最小值，此時，即，則當，此時是等差數(shù)列的前項和中的最小值，此時，，即，則,則有，綜合可得：分析選項可得：BCD符合題意；故選：A7．（多選）(2023·福建泉州·模擬預測）設等差數(shù)列的公差為，其前項和為，且，，則（

）A． B．，，為等差數(shù)列 C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．是的最小值答案：ACD分析：對于A，由已知條件直接求解即可，對于B，由等差數(shù)列的性質判斷，對于C，由等比數(shù)列的定義判斷即可，對于D，求出等差數(shù)的通項公式判斷即可【詳解】由，所以，所以，故A正確；由等差數(shù)列性質，，，所以，，不是等差數(shù)列，故B錯誤；因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；當時，，即