人教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提升精講精練專題11平行四邊形經(jīng)典最值問題專訓(xùn)(36道)(原卷版+解析)

專題11平行四邊形經(jīng)典最值問題專訓(xùn)（36道）【平行四邊形經(jīng)典最值問題專訓(xùn)】1．（2022秋·山東濟南·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，E在上，，，P點在上，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．2．（2022秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，M為的中點，H為上一點，過點C作，交的延長線于點，若，，則四邊形周長的最小值是（

）A．28 B．26 C．22 D．183．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，點E是邊上一點，且，點P是邊上一動點，連接，，則下列結(jié)論：①；②當時，平分；③連接，周長的最小值為；④當或6或時，為等腰三角形．其中正確的個數(shù)有

（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市天一實驗學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到，連接，則線段長度的最小值是（

）A．－1 B．－1 C．－1 D．26．（2021秋·河北保定·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，P為邊上一動點，于E，于F，M為的中點，則的最小值是（

）A．4.8 B．4 C．3 D．2.47．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，AB=4，AD=8，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（

）A．2 B． C． D．8．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點P運動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．9．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級校考期中）如圖，在直角三角形中，，，，點是邊上一點（不與點，重合），作于點，于點，若點是的中點，則的最小值是（

）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.510．（2021秋·重慶璧山·九年級重慶市璧山中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為AB邊上一動點，點B關(guān)于P的對稱點為E，連接DE，DE的中點為點F，則AF的最小值為（

）A． B． C．3 D．11．（2022秋·安徽蕪湖·九年級校考開學(xué)考試）如圖，在邊長為a的正方形中，E是對角線上一點，且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值a D．是定值12．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F(xiàn)是邊AC上的一個動點，DE＝，則CD+EF的最小值為(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．313．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長為12，點、分別為、上動點（、均不與端點重合），且，是對角線上的一個動點，則的最小值是________．14．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，．點D為邊上一個動點，作、，垂足為E、F，連接．則長度的最小值為______．15．（2022秋·四川綿陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知：，，P是上的一個動點，的最小值為_____．16．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為2的菱形中，，點是邊的中點，點是菱形內(nèi)一動點，且滿足，連接，則的最小值為______．17．（2022秋·河南焦作·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是以AB為斜邊的直角三角形，，，P為AB上一動點，且于E，于F，則線段EF長度的最小值是___________．18．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點O是正方形的中心，，過點O的直線分別交、于點E、F，過點B作于點G，連接，則的最小值為__________．19．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③的最小值為2；④．其中正確結(jié)論的序號為______．20．（2022春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，P，Q分別是上的兩個動點，，沿EQ翻折形成，連接，則的最小值是___________．21．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運動，且．連接，．則周長的最小值是______．22．（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點（不與A重合，可與重合），連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角，，連接，則的最小值為________．23．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．24．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市第九中學(xué)校考期中）如圖所示，在菱形中，，，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連接，在移動的過程中，面積的最小值為______．25．（2021秋·陜西西安·八年級?？计谥校﹩栴}提出：(1)同學(xué)們在探索求代數(shù)式的最小值的過程時，老師進行了如下的引導(dǎo)，如圖1，C為線段BD上的一個動點，分別過點B，D作，，連接AC，EC．已知，，，設(shè)．①則的長為__________．（用含x的代數(shù)式表示）②如圖2，過A作交ED的延長線于F，構(gòu)造長方形ABDF，連接AE，此時A、C、E三點共線，的值最小，求最小值．問題解決：(2)請用上述的構(gòu)圖法求出代數(shù)式的最小值．26．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，求的最小值．27．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，將平行四邊形沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，折痕交邊于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若是直線上的一個動點，請計算的最小值．28．（2022秋·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，長方形紙片中，，，折疊紙片的一邊，使點D落在邊上的點F處，為折痕．請回答下列問題：(1)______；(2)試求線段的長度；(3)若點P為線段上的一個動點，連接和，求線段的最小值．29．（2022秋·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝BC，過A點作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)過點D作AC的平行線交直線BC于點E，連接DE，點P是線段BD上的動點，若，請直接寫出PC+PE的最小值．30．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形是正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交射線于點，以，為鄰邊作矩形，連．(1)求證：四邊形是正方形；(2)求的最小值．31．（2022春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，動點在的延長線上，是以為斜邊的直角三角形，是的中點，連接，，且．(1)證明：、、三點共線；(2)連接．①試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②當，且線段取到最小值時，求的長度．32．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個長為9，寬為6的大矩形分割成如圖所示的九個完全相同的小矩形，點、為的三等分點，點為線段上的動點．請在圖1、圖2中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中，當點與點重合時，過點畫兩條直線將矩形分成面積相等的三部分．(2)在圖2中，當點不與點、重合時，過點畫兩條直線、將矩形分成面積相等的三部分，且、在邊上；在點運動的過程中，的周長的最小值為______．33．（2022春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，△GEF是一個等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的兩個端點E、F分別安裝在矩形框架的邊AB、BC上（點E、F可以在邊上滑動），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在觀察△GEF運動的過程中，給出了兩個結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB、BC的距離一定相等．(1)小明給出的兩個結(jié)論是否都正確？若結(jié)論是正確的，請寫出證明過程，若結(jié)論不正確，請說明理由；(2)請思考并解決小明提出的兩個問題：問題1：B、G兩點間距離的最大值為；問題2：過點G分別作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足為點M、N，連接MN，那么MN長度的最小值為多少？34．（2023秋·河北邯鄲·八年級校考期末）已知點是正方形對角線上一點，與交于點，，垂足為，直線與交于點．(1)如圖1，當在線段上時，求證；(2)如圖2，當在線段上時，的延長線交于點，若，求證：①四邊形為菱形；②；(3)如圖3，若，在點從到的運動過程中，的最小值為______．35．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期中）（1）如圖1，在等腰中，，，D是邊的中點，E是邊上一動點，則的最小值是______．（2）如圖2，在正中，，P、M、N分別是上的動點，①的最小值為______；②求的最小值．（3）如圖3，正方形的邊長為4，E、F分別是邊和上的動點且始終滿足，連結(jié)，求的最小值．36．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】（1）小明在學(xué)習(xí)過程中遇到這樣的一道試題：如圖，正方形的邊長為2，為邊上一動點．，垂足為，求證：．請你幫助小明完成證明；【問題探究】（2）小明在“問題情境”的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究．如圖2，點在的延長線上，且滿足．連接，，．①求證：；②判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題探究】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，如圖3，若為的中點，直接寫出的最小值為_________．專題11平行四邊形經(jīng)典最值問題專訓(xùn)（36道）【平行四邊形經(jīng)典最值問題專訓(xùn)】1．（2022秋·山東濟南·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，E在上，，，P點在上，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】D【分析】連接，先證出，再兩點之間線段最短可得當點共線時，取得最小值，最小值為的長，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形為菱形，，，∴關(guān)于對稱，，，∴，則，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，最小值為的長，又，，∴為等邊三角形，，∴，∴，即的最小值為，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，M為的中點，H為上一點，過點C作，交的延長線于點，若，，則四邊形周長的最小值是（

）A．28 B．26 C．22 D．18【答案】A【分析】通過證明可得，可得四邊形的周長即為，進而可確定當時，四邊形的周長有最小值，通過證明四邊形為矩形可得的長，進而可求解．【詳解】解：，，是的中點，，在和中，，，，，，，四邊形的周長，當最小時，即時四邊形的周長有最小值，，，，四邊形為矩形，，四邊形的周長最小值為，故選：A．【點睛】本題主要考查軸對稱最短路徑問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定的值是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，點E是邊上一點，且，點P是邊上一動點，連接，，則下列結(jié)論：①；②當時，平分；③連接，周長的最小值為；④當或6或時，為等腰三角形．其中正確的個數(shù)有

（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段最短的原理，依次計算判斷即可．【詳解】解：長方形中，，，，設(shè)，則，則，解得x=3，故①正確；長方形，，，由①知，，，，，平分；故②正確，連接，延長到點E，使得，連接，交AD于點P，此時最小，且最小值為的長，根據(jù)勾股定理，得，周長的最小值為；故③正確；，時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形，過點E作，垂足為F，長方形中，，，，，四邊形是矩形，，，；當時，為等腰三角形，過點P作，垂足為H，長方形中，，，，四邊形是矩形，，，,，解得；故當或6或時，為等腰三角形．所以④正確，故選D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段最短原理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理和線段最短原理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】如圖，取的中點O，連接，，，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)兩點之間線段最短得到即可解決問題．【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，，，∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴PC的最小值為1，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市天一實驗學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到，連接，則線段長度的最小值是（

）A．－1 B．－1 C．－1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，在N的運動過程中在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、、C三點共線，得出的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出C的長即可．【詳解】解：如圖所示：由折疊可知M=MA，∵M為AD中點，∴2MA=2MD=AD=2，∴M=MA=1是定值，∵M+C≥MC，∴當線段長度是最小值時，在MC上，過點M作MF⊥DC于點F，∵菱形ABCD，∴CDAB∴∠FDM=∠A=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，F(xiàn)M=，∴MC=，∴C=MC-M=-1．故選：B．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，由兩點之間線段最短得出點位置是解題關(guān)鍵．6．（2021秋·河北保定·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，P為邊上一動點，于E，于F，M為的中點，則的最小值是（

）A．4.8 B．4 C．3 D．2.4【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分，且EF＝AP，又M為EF的中點，∴EF，AP的交點就是M點，∵當AP的值最小時，AM的值就最小，∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，由勾股定理，得，∵，∴，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝＝2.4，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出AP的最小值是關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，AB=4，AD=8，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，∵AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，∵點G在BC上，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，∴AG的最大值為，最小值為，∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為：故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．8．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點P運動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再由垂線段最短的性質(zhì)得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC，最后由面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：連接AP，∵在△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，∴，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF＝AP．根據(jù)垂線段最短可知，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，此時即，解得：∴EF的最小值為，故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積等知識；由直角三角形的面積求出AP是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．9．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角三角形中，，，，點是邊上一點（不與點，重合），作于點，于點，若點是的中點，則的最小值是（

）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5【答案】A【分析】先由勾股定理求出，再證四邊形CEMF為矩形，得，當時，CM最短，此時EF也最小，則CP最小，然后由三角形面積求出，即可求出CP的長度．【詳解】連接CM，如圖所示：∵，，，∴，∵于點，于點，，∴四邊形CEMF為矩形，∴，∵點是的中點，∴，當時，CM最短，此時EF也最小，則CP最小，∵的面積，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積以及最小值等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·重慶璧山·九年級重慶市璧山中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為AB邊上一動點，點B關(guān)于P的對稱點為E，連接DE，DE的中點為點F，則AF的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】取的中點，連接，，根據(jù)，當共線時，最小，勾股定理求得，中位線的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，∴，∴，∵折疊，∴，∵DE的中點為點F，∴，在中，，∵，∴，當三點共線時取得等于號，即的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在邊長為a的正方形中，E是對角線上一點，且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值a D．是定值【答案】D【分析】連接BP，過E點作EG⊥BC于G點，∵四邊形ABCD是正方形，先證明∠GEB=∠GBE=45°，即有，△BEC的面積，也可表示為△BEC的面積等于△BPE的面積與△BPC的面積之和，即有，則有，則問題得解．【詳解】連接BP，過E點作EG⊥BC于G點，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴對角線BD平分∠ABC，∴∠EBG=45°，∵EG⊥BC，∴∠EGB=90°，∴∠GEB=∠GBE=45°，∴，∵BE=BC，∴，∴△BEC的面積，∵△BEC的面積等于△BPE的面積與△BPC的面積之和，∴，∵BE=BC，∴，∴，∴，∴BC=a，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、三角形的面積等知識，根據(jù)面積得到是解答本題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F(xiàn)是邊AC上的一個動點，DE＝，則CD+EF的最小值為(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3【答案】B【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各邊的長分別為，．因為，是邊上的兩個動點，是邊上的一個動點，求的最小值，就是需要轉(zhuǎn)換成同一直線上求解，即求關(guān)于的對稱點，作．構(gòu)建平行四邊形，作于，交于．利用平行四邊形和對稱圖形的性質(zhì)，找出線段之間的關(guān)系．【詳解】解：如圖，過C作AB的對稱點C1，連接CC1，交AB于N；過C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，過C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長度即為所求最小值，∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四邊形C1DEC2是平行四邊形，∴C1D＝C2E，又∵CC1關(guān)于AB對稱，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，過C2作C2M⊥AB，則C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故選：B．【點睛】本題主要考查動點構(gòu)成的線段中最小值問題，轉(zhuǎn)換成三點共線，并在垂直的時候最小，找到對稱點，構(gòu)建最短路徑是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長為12，點、分別為、上動點（、均不與端點重合），且，是對角線上的一個動點，則的最小值是________．【答案】【分析】作點E關(guān)于的對稱點，則，，連接交AC于點P，過F作的垂線交于點G，則即為所求，由即可求出的長，再由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：作點E關(guān)于的對稱點，連接、，過F作于點G，當、、在同一直線上時，，此時最小，即即為所求．∵四邊形是正方形，∴，∴點在邊上．∵，，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，，，∴．故選：C．【點睛】本題考查的是最短路線問題，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理及正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，．點D為邊上一個動點，作、，垂足為E、F，連接．則長度的最小值為______．【答案】【分析】解直角三角形求出和，證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，當時，有最小值，此時有最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出長即可．【詳解】解：∵，，，∴，根據(jù)勾股定理可得，，即,解得：，（舍去），∴，連接，如圖所示：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，當時，最小，此時有最小值，∵，∴，∴長度的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，證明是解此題的關(guān)鍵．15．（2022秋·四川綿陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：，，P是上的一個動點，的最小值為_____．【答案】10【分析】作A關(guān)于的對稱點E，連接，交于點P，則就是的最小值，利用勾股定理計算即可．【詳解】作A關(guān)于的對稱點E，連接，交于點P，則就是的最小值，∴，過E作交的延長線于F，則四邊形是矩形，∴，∴，∴的最小值是10．故答案為：10．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和最小值，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握軸對稱和勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為2的菱形中，，點是邊的中點，點是菱形內(nèi)一動點，且滿足，連接，則的最小值為______．【答案】【分析】過點作交的延長線于點，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)求出，當點運動到線段上的點時，取得最小值，進一步求解即可．【詳解】過點作交的延長線于點，如圖所示：∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴，∵點是邊的中點，∴，∴，根據(jù)勾股定理，得：，∵，∴，根據(jù)勾股定理，得：，∵，當點運動到線段上的點時，取得最小值，，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段最短問題，解題的關(guān)鍵是利用所學(xué)知識點求出．17．（2022秋·河南焦作·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是以AB為斜邊的直角三角形，，，P為AB上一動點，且于E，于F，則線段EF長度的最小值是___________．【答案】##【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形是矩形；連接，則，所以要使，即最短，只需即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得的值．【詳解】連接，∵于E，于F，∴；又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴當最小時，也最小，即當時，最小，∵，，∴，∴，∴．∴線段長的最小值為；故答案是：．【點睛】本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短．利用“兩點之間垂線段最短”找出時，最小是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點O是正方形的中心，，過點O的直線分別交、于點E、F，過點B作于點G，連接，則的最小值為__________．【答案】##【分析】連接，，由題意可知，、都經(jīng)過點O，取中點M，連接，，則，為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：連接，∵點O是正方形的中心∴、都經(jīng)過點O，，，取中點M，連接，，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴．∴．∴，在中，M是的中點，∴．∵．當A，M，G三點共線時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，直角三角形斜邊上的中線等知識點，取中點M，連接，，則，為定長，利用兩點之間線段最短解決問題是解決本題的關(guān)鍵．19．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③的最小值為2；④．其中正確結(jié)論的序號為______．【答案】①②④【分析】利用正方形的性質(zhì)，得到，進而證明是等腰直角三角，最后用勾股定理得到，故①正確；利用等量代換，把四邊形的周長轉(zhuǎn)化為，代入即可得到四邊形的周長為8，故②正確；當時的值最小，求出．再由矩形的對角線相等可知，則的最小值為，故③錯誤；先證明，再利用角的等量代換證明兩銳角的和為，最后得到兩條線的夾角為直角，故④正確．【詳解】解：∵四邊形是正方形∴∵∴是等腰直角三角形∵∴故①正確∵是等腰直角三角形∴同理四邊形的周長=故②正確連接，∵,當時的值最小，∴的最小值為故③錯誤如圖：過點P作，點G為垂足，則，延長交于點H∵∴∴∵∴∵∴∴∴故④正確，故答案為：①②④．【點睛】本題考查矩形、正方形的性質(zhì)和勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練矩形的性質(zhì)，添加合適的輔助線是關(guān)鍵是關(guān)鍵．20．（2022春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，P，Q分別是上的兩個動點，，沿EQ翻折形成，連接，則的最小值是___________．【答案】4【分析】如圖作點D關(guān)于的對稱點，連接，由，推出，又是定值，即可推出當E、F、P、共線時，定值最小，最小值．【詳解】解：如圖作點D關(guān)于的對稱點，連接，在中，∵，∴，∵，∴，∵是定值，∴當E、F、P、共線時，定值最小，最小值，∴的最小值為4，故答案為：4．【點睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決最短問題．21．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運動，且．連接，．則周長的最小值是______．【答案】##【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．由軸對稱的性質(zhì)可得出的周長，此時最小，再結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．，．，，∴四邊形為平行四邊形，．，，三點共線，此時的周長最小．，，即，，周長的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短路線問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識．熟練運用軸對稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點（不與A重合，可與重合），連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角，，連接，則的最小值為________．【答案】【分析】過G作，，可得，可得，可得點G在上運動，則當F與D重合時，最小，即可得到答案．【詳解】解：過G作，，∵在矩形中，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點G在上運動，∴當F與D重合時最小，此時，∴最小值為，，故答案為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定點G在上運動．23．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．【答案】9.6【分析】設(shè)交于點，過點作于點，勾股定理求得，等面積法求得，根據(jù)垂線段最短，當點與點，重合時，最小，進而求得的最小值，即可求解．【詳解】設(shè)交于點，過點作于點，如圖所示，在四邊形中，，，∵，∴，∵，∴,在中，，∵，∴，當點與點，重合時，最小，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在菱形中，，，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連接，在移動的過程中，面積的最小值為______．【答案】【分析】連接，作于H，利用菱形的性質(zhì)得，則可判斷和都是等邊三角形，再證明得到，，接著判定為等邊三角形，即，然后根據(jù)垂線段最短判斷的最小值，則即可求得面積的最小值．【詳解】解：連接，作于H，如圖，根據(jù)運動的特點可知：，∵四邊形為菱形，，∴，而，∴和都是等邊三角形，∴，，∵，，∴，在中，，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴，而當E點運動到H點時，的值最小，其最小值為，∴EF的最小值為，下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，即等邊的最小面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．25．（2021秋·陜西西安·八年級?？计谥校﹩栴}提出：(1)同學(xué)們在探索求代數(shù)式的最小值的過程時，老師進行了如下的引導(dǎo)，如圖1，C為線段BD上的一個動點，分別過點B，D作，，連接AC，EC．已知，，，設(shè)．①則的長為__________．（用含x的代數(shù)式表示）②如圖2，過A作交ED的延長線于F，構(gòu)造長方形ABDF，連接AE，此時A、C、E三點共線，的值最小，求最小值．問題解決：(2)請用上述的構(gòu)圖法求出代數(shù)式的最小值．【答案】(1)①；②13．(2)17【分析】（1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得；②求出的值便是的值最??；（2）可作，過點作，過點作，使，，連接交于點，則的長即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形，，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得的值．【詳解】（1）解：①由勾股定理得，，，，故答案為：；②當、、三點共線時，的值最小為；（2）解：如下圖所示，作，過點作，過點作，使，，連接交于點，設(shè)，則的長即為代數(shù)式的最小值．過點作交的延長線于點，得矩形，則，，，所以，即的最小值17．【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的最值，數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理，在求形如的式子的最小值，關(guān)鍵是通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．26．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，求的最小值．【答案】【分析】過點A作，且使得，連接，證明，得到，找到當B、F、G三點共線時，最?。畡t過點A作，交于點I，過點G作，交延長線于點H，利用勾股定理計算即可．【詳解】解：過點A作，且使得，連接．∵，∴．∵，在和中，，∴，∴．∴．當B、F、G三點共線時，最小．過點A作，交于點I，過點G作，交延長線于點H．∵，∴．易知，∴．在中，．∴的最小值為．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的全等，線段和最小值，平行線的性質(zhì)，熟練掌握通過構(gòu)造平行線法構(gòu)造出線段和最小解題模型是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，將平行四邊形沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，折痕交邊于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若是直線上的一個動點，請計算的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，再證明為等邊三角形，根據(jù)菱形的判定定理證明即可；（2）連接交直線于點，連接，可得時最小，作于，根據(jù)勾股定理得出，進而可得出答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，，由折疊得：，，，，為等邊三角形，，，，，四邊形為菱形．（2）解：連接交直線于點，連接．點與關(guān)于直線對稱，，時最小，作于．，，，，，，，即的最小值為．【點睛】本題考查平行四邊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，最短距離問題，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形紙片中，，，折疊紙片的一邊，使點D落在邊上的點F處，為折痕．請回答下列問題：(1)______；(2)試求線段的長度；(3)若點P為線段上的一個動點，連接和，求線段的最小值．【答案】(1)10(2)(3)【分析】（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)即可得出；（2）在中，勾股定理求出，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得到，代入數(shù)值得到，求出即可；（3）由折疊知：D、F關(guān)于對稱，得，則，的最小為的長，利用勾股定理求出其長度即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，∴，，由折疊得，故答案為10；（2）在中，，∴，∴，設(shè)，則，∵長方形紙片中，，∴，∴，解得，∴；（3）連接，∵折疊紙片，使點D落在邊上的點F處，為折痕．∴關(guān)于對稱，∴，則，∴的最小為，，∴的最小為，故答案為：．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，明確點D、F關(guān)于對稱是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝BC，過A點作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)過點D作AC的平行線交直線BC于點E，連接DE，點P是線段BD上的動點，若，請直接寫出PC+PE的最小值．【答案】(1)見解析(2)PC+PE的最小值為【分析】（1）利用平行加角平分線，證明，從而得到，證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；（2）連接，即為PC+PE的最小值，過作，利用等積法求出，再利用勾股定理求出，利用求出，再利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）證明：∵，BO平分∠ABC，∴，∵，∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）過作，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴，∵，∴，∴，∵∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵點關(guān)于的對稱點為點，連接，則PC+PE的最小值=，，∴PC+PE的最小值為．【點睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題中出現(xiàn)平行加角平分線模型以及將軍飲馬問題，是考試中?？嫉牡湫蛦栴}．30．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形是正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交射線于點，以，為鄰邊作矩形，連．(1)求證：四邊形是正方形；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)32【分析】（1）過點作于點，作于點，利用定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)正方形的判定即可得證；（2）連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)、利用定理證出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)垂線段最短求出的最小值，由此即可得．（1）證明：如圖，過點作于點，作于點，四邊形為正方形，，，，且，四邊形為正方形，，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，矩形為正方形．（2）解：如圖，連接，四邊形為正方形，，，，矩形為正方形，，，，在和中，，，，，，由垂線段最短可知，當時，取得最小值，最小值為，的最小值為．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識點，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．31．（2022春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，動點在的延長線上，是以為斜邊的直角三角形，是的中點，連接，，且．(1)證明：、、三點共線；(2)連接．①試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②當，且線段取到最小值時，求的長度．【答案】(1)見解析；(2)①EC=OA，證明見解析；②．【分析】（1）證明∠AFE+∠AFB=180°，可得結(jié)論；（2）①結(jié)論：EC=AO．連接EO，OC，證明△EOC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；②如圖2中，取AE的中點J，連接OJ．證明OJ∥EB，推出OF⊥OJ時，OF的值最小，此時四邊形OFEJ是矩形，利用勾股定理求出OA，可得結(jié)論．（1）證明：∵∠AEF=90°，AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=45°，∵2∠CBF+∠EAF=135°，∴∠CBF=45°，∵∠C=90°，∴∠CFB=90°-45°=45°，∴∠CFB=∠AFE，∵∠CFB+∠AFB=180°，∴∠AFE+∠AFB=180°，∴E、F、B共線．（2）解：①結(jié)論：EC=OA．理由：如圖1中，連接EO，CO．∵∠AEB=∠ACB=90°，OA=OB，∴OE=OA=OB=OC，∴∠OAC=∠OCA，∠OEB=∠OBE，∵∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠OBE，∴∠BOC+∠AOE=2∠CAO+2∠OBE=2（∠OAC+∠OBE）=2∠CFB=90°，∴∠EOC=90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∴EC=EO=OA；②如圖2中，取AE的中點J，連接OJ．∵AJ=EJ，AO=OB，∴OJ∥EB，∴OF⊥OJ時，OF的值最小，此時四邊形OFEJ是矩形，∴EF=AE=OJ=2，AJ=EJ=1，∴，∴EC=OA=．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形中位線定理，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．32．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個長為9，寬為6的大矩形分割成如圖所示的九個完全相同的小矩形，點、為的三等分點，點為線段上的動點．請在圖1、圖2中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中，當點與點重合時，過點畫兩條直線將矩形分成面積相等的三部分．(2)在圖2中，當點不與點、重合時，過點畫兩條直線、將矩形分成面積相等的三部分，且、在邊上；在點運動的過程中，的周長的最小值為______．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析，【分析】（1）根據(jù)要求作出直線即可；（2）利用網(wǎng)格特征，作出直線即可，當點是的中點時，的周長最?。?）解：如圖1中，直線，直線即為所求；（2）解：如圖2中，直線，直線即為所求．當點是的中點時，的周長最小，最小值，故答案為：，【點睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題．33．（2022春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，△GEF是一個等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的兩個端點E、F分別安裝在矩形框架的邊AB、BC上（點E、F可以在邊上滑動），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在觀察△GEF運動的過程中，給出了兩個結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB、BC的距離一定相等．(1)小明給出的兩個結(jié)論是否都正確？若結(jié)論是正確的，請寫出證明過程，若結(jié)論不正確，請說明理由；(2)請思考并解決小明提出的兩個問題：問題1：B、G兩點間距離的最大值為；問題2：過點G分別作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足為點M、N，連接MN，那么MN長度的最小值為多少？【答案】(1)①②都正確，證明見解析(2)問題1：1.5；問題2：【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，證明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即點G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可證四邊形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，進而可得當點T、F重合，R、E重合時，GT最大，此時BG最大，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BG最大值；問題2：延長NG交AB于P，由點G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設(shè)PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理得GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，進而可得MN的最小值為．（1）解：①②都正確，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四邊形內(nèi)角和是360°，∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB與∠GFB一定互補，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∵∠B＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°?∠EFB，∵∠GER＝180°?∠BEF?∠GEF＝180°?45°?（90°?∠EFB）＝45°＋∠EFB，∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，∴∠GER＝∠GFT，在△GER和△GFT中，，∴△GER≌△GFT（AAS），∴GR＝GT，即點G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：由（1）可知，GR＝GT，又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°∴四邊形RBTG是正方形，∴∠GBF＝45°，∴BG＝GT，∴當GT最大時，BG最大，在Rt△GFT中，GF≥GT，∴當點T、F重合，R、E重合時，GT最大，此時BG最大，如圖：∵四邊形RBTG是正方形，∴BG＝RT＝EF＝1.5，∴BG最大值為1.5，故答案為：1.5；問題2：如圖，延長NG交AB于P，∵ABCD，GN⊥CD，∴GP⊥AB，由點G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設(shè)PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，∴MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，∵2（a?1）2≥0，∴MN2有最小值2，∴MN的最小值為．【點睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)，正方形的判