安徽省合肥市重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page16一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求解集合，再依據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：D2.不等式的解集是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【詳解】由不等式，則，解得.故選：B.3.已知，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析推斷.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，且，可得，即，又因為在上單調(diào)遞增，且，可得，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件，必要條件的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由，即“”“”，由，可知當(dāng)時，可得，解得；當(dāng)時，可得，可得，即“”“”；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)為偶函數(shù)，可得在上的單調(diào)性，將所求整理為或，依據(jù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因為在R上的偶函數(shù)，且上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，且，則等價于或，依據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，解得或，故選：A6.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可由分段函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】在上是增函數(shù),則需滿意，解得，故選：D7.若兩個正實數(shù)x，y滿意，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)的最小值，依據(jù)不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】因為正實數(shù)x，y滿意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值4，由有解，則，解得或．故實數(shù)m的取值范圍是或.故選：D8.已知函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則，然后推斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可求.【詳解】解：令，則，因為，，∴為奇函數(shù)，又因為，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知為的增函數(shù)，∵，則，∴，，∴，解得或，故故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項推斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域均為R，且，A是；對于B，函數(shù)的定義域為，而的定義域為R，B不是；對于C，函數(shù)的定義域均為，而，C是；對于D，函數(shù)的定義域均為R，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，D是.故選：ACD10.下列說法正確的是()A.命題“，”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)命題的否定即可求解A，依據(jù)即可求解B，依據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系即可求解C，依據(jù)抽象函數(shù)定義域的求解即可推斷D.【詳解】對于A，命題“，”的否定是“，使得”，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，集合也只有一個元素，故B錯誤；對于C，不等式的解集，則是的兩個根，所以，故，則可化為，即，故，所以不等式的解為，C正確；對于D，的定義域是，則函數(shù)滿意，解得，所以函數(shù)的定義域是，D正確，故選：CD11.下列命題中正確的是（）A.的最小值為2B.函數(shù)的值域為C.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，D.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)基本不等式即可推斷A，依據(jù)指數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，依據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解C，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】對于A，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，但無實根，故等號取不到，故A錯誤，對于B,由于，所以，又，故函數(shù)的值域為，B錯誤，對于C，當(dāng)時，則，，由于，故時，，C正確，對于D，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，故D正確，故選：CD12.若函數(shù)同時滿意：對于定義域上的隨意，恒有；對于定義域上的隨意，當(dāng)時，恒，則稱函數(shù)為“志向函數(shù)”，下列四個函數(shù)中能被稱為“志向函數(shù)”的是()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義逐項分析推斷.【詳解】對于①②可知：“志向函數(shù)”在定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減.對于選項A：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故A正確；對于選項B：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故B正確；對于選項C：因為定義域內(nèi)均為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，所以定義域內(nèi)奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：因為,故為上的奇函數(shù).而定義域內(nèi)均為單調(diào)遞減，所以定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.=________.【答案】16【解析】【分析】利用指數(shù)運算法則和分數(shù)指數(shù)冪運算法則計算出答案.【詳解】故答案為：1614.若為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)奇函數(shù)定義域的特征求得，然后依據(jù)奇函數(shù)定義驗證即可.【詳解】由得且，因為為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點對稱，所以，即.當(dāng)時，，所以為奇函數(shù).故答案為：15.若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分和兩種狀況探討求解.【詳解】當(dāng)，即時，恒成立，當(dāng)時，因為不等式對一切恒成立，所以，解得，綜上，，即的取值范圍是故答案為：16.已知.若，求的最小值是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.詳解】由得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故最小值為，故答案為：四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）首先應(yīng)用補集運算求，再由交集運算求即可；（2）由題設(shè)BA，探討、列不等式求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，故或，而，故.【小問2詳解】由“”是“”的充分不必要條件，可得BA，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，需滿意（、等號不能同時成立），解得，綜上，m的取值范圍為或．18.已知，命題：，，命題：，使得方程成立.（1）若是真命題，求的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)恒成立的思想可知，由二次函數(shù)最值可求得結(jié)果；（2）依據(jù)基本不等式可求得，由能成立的思想可知時；由題意可知一真一假，分別探討真假和假真兩種狀況即可.【小問1詳解】若是真命題，則在上恒成立，∵，，∴當(dāng)時，，∴；【小問2詳解】對于，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，若，使得方程成立，只需即可，若為真命題，為假命題，則和一真一假，當(dāng)真假時，，當(dāng)假真時，綜上，的取值范圍為.19.已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時．求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調(diào)性可解；（2）令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解可得.【小問1詳解】是指數(shù)函數(shù)，，解得或，又因為在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，；【小問2詳解】，，令，，，，的值域為．20.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）推斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）若存在，使成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）首先由是奇函數(shù)可知，得出，后面再依據(jù)當(dāng)時，有恒等式成立即可求出；（2）依據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可證得函數(shù)單調(diào)遞減；（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為，由題意可知問題等價于，由此即可得解.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因為，所以，將代入，整理得，當(dāng)時，有，即恒成立，又因為當(dāng)時，有，所以，所以.經(jīng)檢驗符合題意，所以.【小問2詳解】由（1）知：函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù).設(shè)隨意，且，則由，可得，又，則，則，則函數(shù)在上減函數(shù).【小問3詳解】因為存在，使成立，又因為函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，由題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為，又因為，所以.21.漳州市某研學(xué)基地，因地制宜劃出一片區(qū)域，打造成“生態(tài)水果特色區(qū)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)覺：某水果樹的單株產(chǎn)量單位：千克與施用肥料單位：千克滿意如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為單位：元（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元．【解析】【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；（2）分段求出函數(shù)的最大值，取兩個最大值中的較大者得結(jié)論．【小問1詳解】由已知，又，所以，整理得.【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，因為綜上，所以的最大值為390故當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元．22.設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）記為在上的最大值，求的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，得，依據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出在的單調(diào)區(qū)間；（2）對進行探討，分類和兩種狀況，再分和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出在上的最大值，再由分段函數(shù)的解析式