高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件：8 1 2 樣本相關(guān)系數(shù)(人教A版)

8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)第八章§8.1

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性1.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實例，會通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語散點圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，但無法量化兩個變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說明成對樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個合適的量來對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.隨堂演練課時對點練內(nèi)容索引一、樣本的相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱三、樣本相關(guān)系數(shù)的實際應(yīng)用一、樣本的相關(guān)系數(shù)提示散點圖(略)，發(fā)現(xiàn)正相關(guān)時散點大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，負(fù)相關(guān)時散點大多數(shù)分布在第二象限、第四象限.構(gòu)造一個量：一般情形下，Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).問題2你認(rèn)為Lxy的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？提示因為Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理，提示因為Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理，為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式為知識梳理樣本相關(guān)系數(shù)：r＝________________________________＝______________________________.注意點：樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性和絕對值的大小可以反映出成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).例1假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0反思感悟利用樣本相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，有時需要借助計算器.跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績x(分)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績y(分)如表所示：學(xué)生號12345x120108117104103y8464846869學(xué)生號678910x11010410599108y6869465771所以樣本相關(guān)系數(shù)為二、相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱知識梳理樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為

.當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越

；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越

.注意點：當(dāng)|r|＝1時，表明成對樣本數(shù)據(jù)都在一條直線上，即兩個變量之間滿足一種線性關(guān)系.當(dāng)r＝0時，表明成對數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.[－1,1]強(qiáng)弱例2

(1)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3√解析由給出的四組數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的樣本點集中在一條直線附近，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1.(2)兩個變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是A.變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C.變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)√解析由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān)，又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng).反思感悟線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng).(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng).跟蹤訓(xùn)練2某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070解畫出(x，y)的散點圖如圖所示.(1)畫出(x，y)的散點圖；(2)計算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷售額這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很高.三、樣本相關(guān)系數(shù)的實際應(yīng)用例3以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數(shù)據(jù).(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；解畫出散點圖如圖所示.房屋大小x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).反思感悟當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱.跟蹤訓(xùn)練3在一組成對樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，則所有的樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是√解析∵這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，∴這一組成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān).∴可排除B，C，D，故選A.1.知識清單：(1)樣本相關(guān)系數(shù).(2)相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.(3)相關(guān)關(guān)系的實際應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：樣本相關(guān)系數(shù)絕對值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)對兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是A.|r|越大，相關(guān)程度越大B.|r|越小，相關(guān)程度越大C.|r|趨近于0時，沒有線性相關(guān)關(guān)系D.|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強(qiáng)1234√解析對于A，|r|越大，相關(guān)程度越大，A正確；對于B，|r|越小，相關(guān)程度越小，B錯誤；對于C，|r|趨近于0時，線性相關(guān)關(guān)系越弱，C錯誤；對于D，|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確.√2.給定y與x的一組成對樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則A.y與x線性不相關(guān)

B.y與x正線性相關(guān)C.y與x負(fù)線性相關(guān)

D.以上都不對1234√解析因為r＝－0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān).12343.(多選)下面的各圖中，散點圖與樣本相關(guān)系數(shù)r符合的是解析因為樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性相關(guān)程度越高，且r＞0時正相關(guān)，r＜0時負(fù)相關(guān)，故觀察各選項，易知B不符合，A，C，D均符合.√√√12340.8491234課時對點練則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性A.甲B.乙C.丙D.丁1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r如下表：基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√

甲乙丙丁r0.820.780.690.85解析|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故選D.2.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品單位成本之間的樣本相關(guān)系數(shù)為－0.97，這說明二者之間存在著A.高度相關(guān) B.中度相關(guān)C.弱度相關(guān) D.極弱相關(guān)12345678910111213141516√解析由|－0.97|比較接近1知選A.3.下面的散點圖與樣本相關(guān)系數(shù)r一定不符合的是12345678910111213141516A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④√12345678910111213141516解析①中，由散點圖可得，兩相關(guān)變量呈負(fù)相關(guān)，故①錯誤；②中，由散點圖可得，兩相關(guān)變量呈正相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)可能是r＝0.75；③中，若樣本相關(guān)系數(shù)r＝－1，則所有的點應(yīng)該分布在一條直線上，散點圖顯然不符合，故③錯誤；④中，若樣本相關(guān)系數(shù)r＝1，則所有的點應(yīng)該分布在一條直線上，散點圖顯然不符合，故④錯誤.4.(多選)對于樣本相關(guān)系數(shù)r，下列結(jié)論正確的為A.r∈[－1，－0.75]時，兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)B.r∈[0.75,1]時，兩變量正相關(guān)很強(qiáng)C.r∈(－0.75，－0.3]或[0.3,0.75)時，兩變量相關(guān)性一般D.r＝0.1時，兩變量相關(guān)性很強(qiáng)12345678910111213141516√√√5.(多選)對四對變量y和x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，已知n是觀測值組數(shù)，r是樣本相關(guān)系數(shù)，下面四對變量y和x線性相關(guān)程度最高的兩組是A.n＝7，r＝0.9533

B.n＝15，r＝0.3012C.n＝17，r＝0.4991

D.n＝13，r＝0.995012345678910111213141516√√解析樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，變量x，y的線性相關(guān)程度越高.6.變量x與y相對應(yīng)的一組成對樣本數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3，2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量u與v相對應(yīng)的一組成對樣本數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的樣本相關(guān)系數(shù)，則A.r2<r1<0 B.0<r2<r1C.r2<0<r1 D.r1＝r212345678910111213141516√解析由已知中的數(shù)據(jù)，可知第一組成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，則樣本相關(guān)系數(shù)大于零，第二組成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則樣本相關(guān)系數(shù)小于零，故選C.12345678910111213141516一、三解析因為r>0，所以大多數(shù)的點都落在第一、三象限.123456789101112131415160.75123456789101112131415169.5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462試用散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)r判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系，若有，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？12345678910111213141516解(散點圖法)涉及兩個變量：數(shù)學(xué)成績與物理成績，可以以數(shù)學(xué)成績?yōu)樽宰兞?，考察因變量物理成績的變化趨?以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點圖.由散點圖可見，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān).12345678910111213141516(樣本相關(guān)系數(shù)法)列表：ixiyixiyi1807064004900560027566562543564950370684900462447604656442254096416056062360038443720∑35033024750218202319012345678910111213141516∴兩變量具有相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān).1234567891011121314151610.我國北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中型城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣.推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容.國家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價格扶持新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省連續(xù)7個月的煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量.12345678910111213141516在給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點圖，并用散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)說明y與t之間具有線性相關(guān)性.1234567891011121314151612345678910111213141516解作出散點圖如圖所示，由條形圖數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，＝39.75－4×9.24＝2.79，12345678910111213141516∵y與t的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.99，∴y與t的線性相關(guān)性相當(dāng)高.綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.(多選)對于樣本相關(guān)系數(shù)r，以下說法錯誤的是A.r只能是正值，不能為負(fù)值B.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；相反則越小C.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越??；相反則越大

D.r<0時表示兩個變量不相關(guān)√√√解析由樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知B正確，其余均錯誤.12.變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為A.1 B.－0.5C.0 D.0.512345678910111213141516√解析根據(jù)變量x，y的散點圖，得x，y之間的線性相關(guān)關(guān)系非常不明顯，所以樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值應(yīng)為0.13.關(guān)于兩個變量x，y與其樣本相關(guān)系數(shù)r，有下列說法：①若r>0，則x增大時，y也相應(yīng)增大；②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上.其中正確的有A.①② B.②③

C.①③ D.①②③12345678910111213141516√解析根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用樣本相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷.當(dāng)r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時，表示兩個變量x，y負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱.故可知①②③正確.123456789101112131415161234567891011121314151614.(多選)如圖所示是某市2020年4月至2021年3月每月最低氣溫與最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，已知每月最低氣溫與最高氣溫的樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.83，則下列結(jié)論正確的是(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度較強(qiáng))A.每月最低氣溫與最高氣溫有較

強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為正

線性相關(guān)B.月溫差(月最高氣溫－月最低氣

溫)的最大值出現(xiàn)在10月C.9～12月的月溫差相對于5～8月，

波動性更大D.每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在所統(tǒng)計的前6個月里逐月增加√√√12345678910111213141516解析每月最低氣溫與最高氣溫的樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.83，可知每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為正線性相關(guān).由所給的折線圖可以看出月溫差(月最高氣溫－月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月.9～12月的月溫差相對于5～8月，波動性更大.每月的最高氣溫與最低氣溫的平均值在所統(tǒng)計的前5個月里逐月增加，在第6個月開始減少，所以A，B，C正確，D錯誤.拓廣探究1234567891011121314151615.為考察兩個變量x，y的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如表，則兩個變量的線性相關(guān)程度x510152025y103105110111114A.很強(qiáng) B.很弱

C.無相關(guān) D.不確定√12345678910111213141516故相關(guān)程度很強(qiáng).1234567891011121314151616.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9512345678910111213141516求(xi，i)(i＝