導(dǎo)數(shù)與積分（高中數(shù)學(xué)）

01導(dǎo)數(shù)的概念及運算

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴定義

如果函數(shù))，=")的自變量X在沏處有增量Ar,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量△y=/(xo+Ar)-7U)),比值盒就叫函數(shù)尸

危)從用到即+盤之間的平均變化率，即把J堡°+醺；7(丁).如果當(dāng)打T)時,先有極限，我們就說函數(shù)y

=/U)在點沏處,并把這個極限叫做;U)在點松處的導(dǎo)數(shù)，記作或y'L〃，即/'(xo)=lim

令=lim…。+/-/(松)

A*AIO故

(2)導(dǎo)函數(shù)

當(dāng)x變化時，尸(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為兀v)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作下，即

于(x+Ax)―f(x)

尸

(x)=y'=—limAx,

(3)求函數(shù)y=y(x)在點xo處導(dǎo)數(shù)的方法

①求函數(shù)的增量?=;

②求平均變化率第=;

③取極限，得導(dǎo)數(shù)r(xo)=lim

Ax-?O"

2.導(dǎo)數(shù)的意義

⑴幾何意義

函數(shù))，=兀0在點xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/㈤在點P(xo,4次))處的切線的斜率.也就是說，曲線y

=/(x)在點P(x0,y(xo))處的切線的斜率是.相應(yīng)的切線方程為.

⑵物理意義

函數(shù)S=s⑺在點力處的導(dǎo)數(shù)「(%),就是當(dāng)物體的運動方程為S=s⑺時，物體運動在“時刻的瞬時速度v,

即.設(shè)v=出)是速度函數(shù)，則V”0)表示物體在r=fo時刻的.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(l)c，=(c?為常數(shù))，

(?)'=(a《Q*)；

(2)(sinx)，=,

(cosx)'=；

(3)(hu)，=，

,=

(log(,x);

(4)(e,)'=，(?')'=.

4.導(dǎo)數(shù)運算法則

a)[Ax)±g(x)r=..

(2)[/(x)g(x)r=；

當(dāng)g(x)=c(c為常數(shù))時，即[歐x)「=.

17⑴1

(3)L7<^~J，=(ga)，°).

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=_/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=J(u),w=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的

導(dǎo)數(shù)與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【答案】

1.⑴可導(dǎo)f'(x0)

?Z-/(3+/x)—f(xo)

(3)①/(xo+Ax)-1A%o)(&五

2.(1?'(即)y—yo=/'(xo)(x—xo)

⑵片s"o)加速度

3.(1)0cui^1(2)cosx—siar(3)：江焉

(4)eva^na

4.(l?3±g3(2)mg(x)+j(x)gf(x)cf\x)

/(x)g(x)-f(x)g'(x)

⑶[g(x)F

=

5.yx'y'u-u'x

【基礎(chǔ)自測】

1函數(shù)火x)=l的導(dǎo)函數(shù)是()

A.y=0B.y=\C.不存在D.不確定

解：常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是y=/'(x)=O.故選A.

2函數(shù)./0=43+5層*的導(dǎo)數(shù)/(x)=()

A.3屋+1Oax2B.3a2+1Oar2+1Oa2x

C.10a2xD.以上都不對

解：/《)=10人.故選c.

3曲線y=e*在點A(0,1)處的切線斜率為()

A.1B.2C.eDe

解：y/=ev,y,|,^o=1，故選A.

4曲線y=/—x+3在點(1,3)處的切線方程為.

解：尸=3/-1,當(dāng)x=l時，y'=2,此時切線斜率&=2,故切線方程為y—3=2(》-1),即2x-y+l=0.故填

2x-y+l=0.

5物體的運動方程是s=-/P+Z產(chǎn)一5,則物體在/=3時的瞬時速度為.

解：v(f)=s")=—產(chǎn)+4f,f=3時,v=3,故填3.

【典例】

類型一導(dǎo)數(shù)的概念

例一(X)為可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x趨近于0時，-------右-------趨近于一1,則過曲線y=/(x)上點(1,.汜))處的切線

斜率為()

A.2B.-1C.ID.-2

/(1)—f(1—2x)f(1—2x)~f(1)，，+…LTLJ+A'LT.

解：’--------五-------=-------二^:------，當(dāng)X趨近于0時，一2x也趨近于0,，y1x=i=-1,所以y=/(x)

在點(1,#1))處的切線斜率為-1.故選B.

【評析】本題利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，將“表達式”變形為導(dǎo)數(shù)的“定義式”的標(biāo)準(zhǔn)形.式是關(guān)鍵，這里要找準(zhǔn)增量M

=-2x."y%=i''是指曲線在x=1處的切線斜率.

變式已知/(0)=2,則h趨近于0時，fCQ趨近于.

初/(3A)-/(0)3-(0+3力)一八。)]

解：-------h---------------3A--------

當(dāng)“趨近于。時，3力也趨近于0.

「3叱產(chǎn)久■趨近于3八0)=6.故填6.

類型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

14

例二已知曲線y=#+,

(1)求滿足斜率為1的曲線的切線方程；

(2)求曲線在點尸(2,4)處的切線方程；

(3)求曲線過點P(2,4)的切線方程.

解：(1)設(shè)切點為(xo，州)，故切線的斜率為％=端=1，解得加=±1,故切點為(1，號，(-1,1).

故所求切線方程為＞—|=x-1和y—1=x+1,

即3*-3丁+2=0和*->+2=0.

(2)?.?p=x2,且P(2,4)在曲線)，=掃+?上，

，在點P(2,4)處的切線的斜率k=y^.2=4.

???曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即公一7，一4二0.

(3)設(shè)曲線y=￥+箝過點尸(2,4)的切線相切于點A(xo，又二?切線的斜率k=y'|x=xo=-

???切線方程為y—/+3)=焉(x—xo),

、2、4

即y=^x~^+y

24

??,點P(2,4)在切線上，???4=2看一村+左

即另一3焉+4=0,，x8+.屆一4看+4=0,

看(xo+1)—4(x(>+1)(xo—1)=0,

/.(JCOH-1)(xo—2廠=0,解得xo=-1或x()=2,

故所求的切線方程為

4x—y—4=0或x—y+2=0.

【評析】曲線切線方程的求法：

(1)以曲線上的點(X0,火項))為切點的切線方程的求解步驟：

①求出函數(shù)加0的導(dǎo)數(shù)廣(X)；

②求切線的斜率/'(&);

③寫出切線方程>1-y(xo)=//(xo)(x—Xo),并化簡.

yo-f(xo)，

(2)如果已知點(XI，X)不在曲線上，則設(shè)出切點(xo,州)，解方程組《力一州,、得切點(X0,州)，進而確

....一....項..()X,0)，

定切線方程.

注意：①求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上.②與曲線只有一個公共點的

直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.

變式已知函數(shù)兀[)=/+欠-16.

(1)求滿足斜率為4的曲線的切線方程；

(2)求曲線y=/(x)在點(2,—6)處的切線的方程；

(3)直線/為曲線.y=/(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線/的方程.

解：(1)設(shè)切點坐標(biāo)為(xo，yo),

,?V'(xo)=3"+1=4,.?.xo=±l,

XQ—1,[XQ——1,

：.\或c

Lvo=_14|jo=-18.

切線方程為y=4x-18或y=4x-14.

(2)V/'(x)=3x'+l,

目(2,-6)在曲線/)=x3+x-16上，

二在點(2,-6)處的切線的斜率為f"Q)=13.

,切線的方程為J=13x-32.

(3)解法一：設(shè)切點為(xo,聞，

???直線/的斜率為/'(?)=3x3+1,

二直線/的方程為J=(3xd+l)(x-xo)+五+xo-16,又...直線/過原點(0,0),

.,.O=(3x6+1)(—xo)+x》+xo—16,

整理得XO=-2,

二斜率)=13.

...直線/的方程為y=13x.

解法二：設(shè)直線/的方程為y=筋，切點為(沏，州)，

則斜率％=嗎=咤3，

的一UX。

又?.?卡=/(必)=3焉+1,

../+?一16+],解得一2,

XO

.?.k=13.

???宜線/的方程為y=13x

類型三求導(dǎo)運算

例三求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=5/-4x+l；

(2)y=.(2『T)(3x+l)；

(3)y=sin(xr+e)(其中<p為常數(shù))；

x+3

⑷產(chǎn)而—

解：(1?'=101一4；

(2)y'=4x-(3x+1)+(2/-1>3=18/+4*—3；

(3)y'=COS(7Lv+夕)?(?□：+0)'=7CCOS(7tx+0)；

⑷)''=(1+我)'=——

【評析】求導(dǎo)運算，一是熟記公式及運算法則，二是掌握求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟，遵從“由外到內(nèi)”的原則，三

是要注意在求導(dǎo)前對可以化簡或變形的式子進行化簡或變形，從而使求導(dǎo)運算更簡單.

變式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(l)y=(x+l)(犬+2)；

r

⑵尸口(對0)；

(3)y=cos2x；

x+3

(4)y=ln^pj-(x>—1).

解：(l)v'=(x+l)'(x+2)+(x+1)(X4-2),

=x+2+x+l=2x+3；

八、，HOD-xST)'

(2》=----------------------

(l-x)1

二Q-D2；

(3)y--sin2x(2x)r=-2sin2x;

(4)y'=[ln(x+3)-ln(x+1)]'=+一崇

="(x+1)(x+3)■

【名師點睛】

1.弄清”函數(shù)在一點xo處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”的區(qū)別與聯(lián),系

(1)函數(shù)在一點X0處的導(dǎo)數(shù)尸(X0)是一個常數(shù)，不是變量；

(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，是針對某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的.函數(shù)兀0在區(qū)間伍，加內(nèi)每一點都可導(dǎo)，是指對

于區(qū)間3,力內(nèi)的每一個確定的值xo,都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)尸(xo),根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間3,。)內(nèi)就

構(gòu)成了一個新的函數(shù)，也就是函數(shù)犬X)的導(dǎo)函數(shù)/(X)；

(3)函數(shù)丫=兀1)在點xo處的導(dǎo)數(shù):(xo)就是導(dǎo)函數(shù)尸(x)在點x=xo處的函數(shù)值.

2.求函數(shù)y=/(x)在x=出處的導(dǎo)數(shù)/(xo)通常有以下兩種方法

(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義：即求

..f(xo+Ax)—f(沏)

hm---------7—^------的值：

⑵利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值：先求函數(shù))，=/(x)在開區(qū)間3,力內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)尸(x),再將xo(xoG(m力)代入導(dǎo)函數(shù)

尸⑴，得尸(xo).

3.求曲線在某一點處的切線方程時，可以先求函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點的切線的斜率，再利用點斜式

寫出直線的方程.如果切點未知，要先求出切點坐標(biāo).

4.在導(dǎo)數(shù)與切線斜率的對應(yīng)關(guān)系中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

【針對訓(xùn)練】

1.函數(shù)/OOur+sinZx的導(dǎo)數(shù)/(x)=()

A./+cos2xB.3X2+COS2X

C.f+ZcosZrD.3^2+2COS2JV

解：(a)=3f+(2x)'cos2x=3『+2cos2x.故選D.

2.已知府)=。-2)。一3),則尸(2)的值為()

A.0B.—1C.-2D.—3

解："：f\x)=(x-3)+(x-2)=2x~5,/?/,(2)=

一1.故選B.

3.曲線、=丁+11在點P(l,12)處的切線與)，軸交點的縱坐標(biāo)是()

A.-9B.-3C.9D.15

解：由yl「i=3,得在點P(l,12)處的切線方程為3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故選C.

4.若正幻=』一2x-41nx,則尸(x)>0的解集為()

A.(0,+oo)B.(-1,0)U(2,+oo)

C.(2,+oo)D.(-1,0)

22)CY+

解：V/V)=2X-2-^=V°->0,x>0,/.x-2>0,解得x>2.故選C.

5.若曲線y=f+5+6在點(0,6)處的切線方程是X一丫+1=0,則()

A.a=1,b—1B.a=—\,h=1

C.u~~1>b=-1D.u—~—1,b=-1

解：'：y'=2x+a,：.y'\x=0=a,1.V(0,b)在切線x-y+1=0上,：.b=\,故選A.

4

6.已知點P在曲線y="[■匕則曲線在點(0,.40))處的切線的斜率是()

A.2B.1C.0D.-1

4'-(ex+l)-4-(ev+l)

解：??>'=

(e^+l)2

4eJ

e2x+2eK+l，

4

，),％=0=-]+2+]=-1.故選D.

7.曲線y=/+x—2的一條切線平行于直線y=4x—1,則切點Po的坐標(biāo)是.

解：..y=3/+l,又?；3X2+1=4,解得x=±l.，切點打的坐標(biāo)為(I，0)或(-1,-4).故填(1,0)或(一1,一

4).

8.(2013?江西)設(shè)函數(shù)兀0在(0,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，且_Aet)=x+eX,則/'(1)=.

解：令e*=f,則x=lm.：y(e")=x+er,.7/")=:+1,.,/(1)=1+1=2.故填2.

9.求函數(shù)共幻=V一氧+4圖象上斜率為一1的切線的方程.

解：設(shè)切點坐標(biāo)為（即，yo）.

:尸(xo)=3高一4=-1,.*.xo—±1.

切點為(1,1)或(一1,7).

切線方程為x+y—2=0或u+y—6=0.

10.設(shè)函數(shù)式》)=丁+2加+法+“，g(x)=x2-3x+2,其中x《R,a,b為常數(shù).己知曲線y=/(x)與)，=g(x)在點

(2,0)處有相同的切線/,求小匕的值，并寫出切線/的方程.

.解：/(x)=3『+4at+6,g，(x)=2x—3,由于曲線)，=/(x)與y=g(x)在點(2,())處有相同的切線，故有人2)=g(2)

=0,f'(2)=g'(2)=\,由此解得a=-2,%=5.從而切線/的方程為x—y—2=0.

11.設(shè)?v)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)歸0時，人為二常.

(1)求》<0時，>U)的表達式；

(2)令g(x)=lnx,問是否存在沏，使得/U),g(x)在x=xo處的切線互相平行？若存在，求出xo的值；若不存在，

請說明理由.

解：⑴當(dāng)x<0時,-x>0,Xr)=-X-x)=-2(-x)2=-2xaj

.".當(dāng)r<0時，<x)的表達式為<x)=-1

(2)若y(x),g(x)在xo處的切線互相平行，貝!]/(Xo)=6'(Xo)，當(dāng)x()>0時，f'(%o)=4xo=g，(必)=；，解得xo=J.故存

在Xo=；滿足條件.

12已知函數(shù)段)=x—l+^aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若曲線)=段)在點(1,川))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)當(dāng)。=1時，若直線小>=依-1與曲線y=?x)相切，求/的直線方程.

解：⑴廣(x)=l一宗因為曲線丁=段)在點(1,火1))處的切線平行于x軸，所以/(1)=1一?=0,解得〃=e.

(2)當(dāng)a=l時，/U)=x-l+±，/(x)=l一看.

設(shè)切點為5),泗)，

fi,xo)=xo-1+——=kx()-1,①

e"

:(即)=1一二=%，②

①+②得即=h()-1+億即供一1)(項)+1)=0.

若2=1,則②式無解，，w=-1,k=l—e.

的直線方程為y=(l—e)x—1.

02導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

在某個區(qū)間(小份內(nèi)，如果尸(x)>0,那么函數(shù)y=?x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果廣。)<0,那么函數(shù)y=?x)在

這個區(qū)間內(nèi).

2.函數(shù)的極值

(1)判斷段o)是極大值，還是極小值的方法：

一般地，當(dāng)/(初)=0時，

①如果在次附近的左側(cè);(x)>0,右側(cè)/(x)<0,那么八項)是極大值；

②如果在檢附近的左側(cè),右側(cè),那么大刈)是極小值.

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：

①求廣⑴；

②求方程的根；

③檢查尸㈤在上述方程根的左右對應(yīng)函數(shù)值的符號.如果左正右負，那么?r)在這個根處取得;如果

左負右正，那么./(x)在這個根處取得.

3.函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間出，句上連續(xù)的函數(shù)y(x)在m，句上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù)?r)在［“，句上單調(diào)遞增，則為函數(shù)在［“，切上的最小值，為函數(shù)在5，b］

上的最大值；若函數(shù)兀0在［〃，切上單調(diào)遞減，則為函數(shù)在口，加上的最大值，

為函數(shù)在［a,句上的最小值.

(3)設(shè)函數(shù)於)在出，加上連續(xù)，在(。，份內(nèi)可.導(dǎo)，求犬外在［“，切上的最大值和最小值的步驟如下：

①求./U)在(a,8)內(nèi)的極值；

②將式幻的各極值與端點處的函數(shù)值__________,比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是

最小值.

【答案】

1.單調(diào)遞減

2.(lW(x)<0f'(x)>0

(2)②T(x)=0極大值極小值

3.(2求a)J(b)fia)加)(3)②/(a)9)

【基礎(chǔ)自測】

1若在區(qū)間［1,2］內(nèi)有尸。)>0,且.1)=0,則在［1,2］內(nèi)有()

A.加巨0B.^)<0

C.y(x)=0D.不確定

解：?.了(x)>0,...危)在［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增.

?./1)=0,...在［1,2］內(nèi)貝x巨0.故選A.

2已知函數(shù)/U)=%—尤，則大外的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(—co,—1)和(0,+co)B.(0,+t?)

C.(-1,0)和(1,+oo)D.(1,+oo)

解：f\x)=x~\,令/(x)>0,解得x>l.故選D.

3關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是()

A.導(dǎo)數(shù)為0的點一定是函數(shù)的極值點

B.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值

C./U)在定義域內(nèi)最多只能有一個極大值，一個極小值

D.若危)在(a,b)內(nèi)有極值,那么式x)在(。,勿內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)

解：導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點(如y=/,在x=0處)，而極值點的導(dǎo)數(shù)一定為0.極值是局部概念，因此極

小值可能有多個且有可能大于極大值.極值點是單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點.故選D.

4已知函數(shù)/Wf3+Gr+nx+d在x=-1時有極值，貝!］"=.

解：?.了(x)=3x2+⑵+%八7)=0,

.,.3-12+?=0,得”=9.故埴9.

5函數(shù)大的=丁-3/+1在》=處取得極小值.

解：/(x)=3.F—6x=3x(x—2).所以式x)的遞增區(qū)間是(一8,0),(2,+oo),遞減區(qū)間是(0,2),因此人功在*=

2處取得極小值.故填2.

典例

類型一導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

例一數(shù)段)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，)，=小)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù))，=/(x)的圖象可能是()

ABCD

解：當(dāng)xVO時，段)為增函數(shù)，尸(x)>0,排除A,C；當(dāng)x>0時,/)先增后減,再增,對應(yīng)尸(x)先正后負，

再正.故選D.

【評析】導(dǎo)函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間位于x軸上方(下方)，說明導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間大于0(小于0),那么它對應(yīng)的原

函數(shù)在那個區(qū)間就單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).

變式數(shù)兀v)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中與兀0的單調(diào)性不可能相同的是()

解：當(dāng)xVl時，/(x)<0,/U)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，尸(x)>0,./U)單調(diào)遞增，只有C項的單.調(diào)性與/W不同.故選C.

類型二導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性

例二函數(shù)式》)=/一辦，/(1)=0.

⑴求a的值；

(2)求函數(shù)人x)的單調(diào)區(qū)間.

解：(i?q)=3x2-a,由八l)=3—a=0,得

a=3.

(2)：<x)=x3_3x,.?J'(x)=3x2_3.

令_r(x)>0,得x<-1或x>L

所以<x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,-1),(1,+'?),

單調(diào)遞減區(qū)間是［-1,1］.

【評析】①用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，突破口是討論導(dǎo)數(shù)的符號.②注意：區(qū)間的端點可以屬于單調(diào)區(qū)間，也

可以不屬于單調(diào)區(qū)間，對結(jié)論沒有影響.如，本例中［-1,1］也可以寫成(-1,1).③寫單調(diào)區(qū)間時，一般不

要使用符號“U”，可以用“，”“和”分開各區(qū)間，原因是各單調(diào)區(qū)間用“U”連接的條件是在合并后的區(qū)間內(nèi)函數(shù)

單調(diào)性依然成立.如，本例中(-8,-1),(1,+8)不能寫成(-8,-1)U(1,+00),不妨取

33/3、99

Xl=-3，X2-yX1<X2，而危l)={—=,穴及)=一于這時危|)〈於2)不成立.

變式二7(x)=e*-ax,廣(0)=0.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù),/(x)的單調(diào)區(qū)間.

解：(\)f'(x)=e-a,由尸(0)=1—。=0,得

a=l.

⑵?.1）=~X,.（X）=e'—1.

令/（x）>0,得x>0.

所以函數(shù)y（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+oo）,單調(diào)遞減區(qū)間是（一②，0）.

類型三導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值問題

例三已知函數(shù)y（x）=*+cx在x=i處取得

極值.

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）求函數(shù)加x）的極值.

解：（1?8=等+。，當(dāng)x=l時，電）取得極值,

則八1）=0,即2=0,得c=_1

故人x）=%一玄

(2?8=*一|=資-1)二族-l)(x+1),

令f'(x)=0，得x=-l或1.

x,f\x),凡r)的變化情況如下表：

(—00,—

X-1(-1.1)1(1?+oo)

1)

f\x]+0一0+

於）/極大值極小值/

因此，丸x）的極大值為7（—1）=1,極小值為

【評析】找函數(shù)的極值點，即先找導(dǎo)數(shù)的零點，但并不是說導(dǎo)數(shù)為零的點就是極值點（如y=V）,還要保證該零

點為變號零點.

.變式三設(shè)負x）=a（x—5）2+6hu,其中“CR,曲線y=/&）在點（1,川））處的切線斜率為2.

⑴確定。的值；

（2）求函數(shù)段）的單調(diào)區(qū)間與極值.

A

解：（l）T（x）=2a（x-5）+F

依題意，(⑴=6—8a=2,得a總

⑵由(1)知，,/U)=g(x-5)2+61nXx>0),

/(x)=x-5+*=(x—2)(x-3)

令;(x)=0,得x=2或3.

x,f\x),y(x)的變化情況如下表:

X(0,2)2(2,3)3(3,+oo)

/(X)+0一0+

於)/極大值\極小值/

故/%)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2)和(3,+8),

單調(diào)減區(qū)間為(2,3).

9

《X)的極大值火2)=]+61n2,極小值_/(3)=2+61n3.

類型四導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值問題

例四已知函數(shù)8(乂)=必+法.若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線.

⑴求a,6的值：

⑵求函數(shù)於)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(-8,1］上的最大值.

解：(iy\x)=2ax,g8=3x2+另

??TU)=虱1),八i)=g'a),

：.a+2=l+b,目2a=3+匕，解得a=4,6=5.

(2)設(shè)A(x)=/(x)+g(x)=x3+4x:+5x+2,

則h'(x)=3x:+8x+5=(3x+5)(x+1).

x,h'(x),〃(x)的變化情況如下表：

(5A5

VL，F(xiàn)一§67)-1(-1,+oo)

/?'(X)+0一0+

“(X)/極大值\極小值/

所以?在(一8,一|),(-1,+8)上單調(diào)遞增，在(一/一1)上單調(diào)遞減.

，5、44

??力(一,尸藥/?(1)=12,12>27，

??優(yōu)x)+g(x)在(一8，1］上的最大值為12.

【評析】函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)最多只有一個最大值和一個最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端點

和極大值點取得，最小值一般是在端點和極小值點取得.

變式已知函數(shù),/0=2_^+辦2+法+1,若函數(shù)y=J"(x)的圖象關(guān)于直線X=—J對稱，且尸(1)=0.

(1)求實數(shù)m6的值；

(2)求函數(shù)次x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值.

解：(1?'(*)=6/+2奴+匕，

函數(shù)尸廣⑴的圖象的對稱軸為x=一5

..a_1._

.-7——2'??a=3.

：尸(1)=0,二6+2。+6=0,得6=-12.故a=3,b=~12.

(2)由⑴知/Wu"+Bx2-12x+1,

f\x)=61+6x-12=6(x-1)(x+2).

x,尸(x),/U)的變化情況如下表：

X(—co,-2)-2(-2,1)1(1,+oo)

廣(X)+0一0+

於)7極大值極小值/

-2)=21,42)=5,21>5,

,所以兀v)在［-2,2］上的最大值為21.

類型五實際應(yīng)用問題(優(yōu)化問題)

例五請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全

等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得4BC。四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包

裝盒，E,F在A2上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=EB=x(cm).

⑴若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，x應(yīng)取何值？

(2)若廠商要求包裝盒容積Men?)最大，x應(yīng)取何值？

解：(1)根據(jù)題意有

S=6O2-4x2-(60-2x)-=240x-8x2,0<A<30,

S-240-16x,令S'=0,得x=15.

當(dāng)時，SOO,S遞增；

當(dāng)15?30時，SVO,S遞減.

所以x=15cm時包裝盒側(cè)面積S最大.

⑵根據(jù)題意有

V=(曲)2半(60-2x)=2V2r(30-x),0<x<30,

V(=672x(20-%),

當(dāng)0VxV20時,丫>0,V遞增；

當(dāng)20cx<30時，V<0,丫遞減.

所以x=20cm時包裝盒容積V最大.

【評析】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力、閱讀能力、運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力及建立函數(shù)模型的

能力，屬于中檔題.注意用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時，如果函.數(shù)在區(qū)間只有一個極值點，那么依據(jù)

實際意義，該極值點也就是最值點.

變式用長為15cm,寬為8cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別裁去一個邊長為x的小正方

形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接而成(如圖).問該容器的高為多少時，容器的容積最大？

解：依題意，0<x<4,

容積Iz=(15-2x)(8-2x)x=4x3-46x:+120x,

Fr=12x2-92x+120=4(3x-5)(x-6).

令廣=0,得x=》6(舍去).

當(dāng)寸，7>0,/遞增；

當(dāng)時，V'<Q,尸遞減.

所以高x二|cm時容器的容積最大.

【名師點睛】

1.用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判

斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于。的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷

點.

2.極值與最值的區(qū)別

(1廣極值''反映函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)；“最值”是個整體概念，是整個區(qū)間上

的最大值或最小值，具有絕對性.

(2)從個數(shù)上看，一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值一定存在且是唯一的，而極值可以同時存在若干個或不存

在，且極大值并不一定比極小值大.

(3)從位置上看，極值只能在定義域內(nèi)部取得而最值卻可以在區(qū)間的端點處取得；有極值未必有最值，有最值

未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值.

3.實際問題中的最一值

在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不

必再與端點的函數(shù)值比較.

【針對訓(xùn)練】

1.函數(shù)式x)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，若/(x)>0,設(shè)“=/})，6={|)，c=X—1),則a,b,c?的大小關(guān)系是

()

A.b>a>cB.a>b>c

C.c>b>aD.a>c>b

解：因為/'(X)>0,所以.心濃(-8,+X)上單調(diào)遞增.

一.,次-1)</￡<41),

即故選A.

2.設(shè)廣㈤是函數(shù)小)的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)的圖象如圖所示，則y=/W的圖象有可能是()

解：當(dāng)xVO時，/(x)>0,式x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時，/(x)VO,於)單調(diào)，遞減.故選C.

3.函數(shù)式x)=(x—3)e'的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—oo,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+oo)

解：尸(幻=(無一3)七，+(工-3)?)，=(工一2把*令/(處>0,解得七>2,故選D.

4.函數(shù)/U)=(x—l)(x—2)2的極值點為x=()

414

A-C二-

33-33

4

解：//(x)=U-2)2+2(.r-l)(x-2)=(x-2)(3x-4).令尸(》)=0=為=§,xa=2,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號變化.

故選B.

5./(x)=/—3/+2在區(qū)間［一1,1］上的最大值是()

A.-2B.0C.2D.4

解：尸(/)=3f—6x=3x(x—2),令廣(x)=0,得x=0或x=2(舍去)，當(dāng)一10<0時，/(x)>0；當(dāng)0〈爛1時，

/(x)<0.所以當(dāng)x=0時，<x)取得最大值為2.故選C.

2

6.設(shè)函數(shù)y(x)="+iiu,則()

A.》=；為加)的極大值點

B.為./(x)的極小值點

C.x=2為/(X)的極大值點

D.x=2為/)的極小值點

解:r(x)=*，令/(x)=0,得x=2.當(dāng)x<2時，/(x)<0,以x)為減函數(shù)；當(dāng)x>2時，/(x)>0,./U)為增函數(shù)，所

以x=2為/U)的極小值點，故選D.

7.若函數(shù)兀t)=*y+x在x=l處取極值，則4=.

解：/8=-(石:戶+1，/'(1)=牙+l=0=a=4.故填4.

8.一塊形狀為直角三角形的鐵皮，兩直角邊長分別為40cm,60cm,現(xiàn)要將它剪成一個矩形，并以此三角形的

直角為矩形的一個角，則矩形的最大面積是cm2.

解：設(shè)長為40cm和60cm的直角邊上對應(yīng)的矩形邊長分別為xcm,ycm,則2r=忘，得y=60一方.矩形的

面積S=xy={60—|A)=60X一3，令S，=60-3x=0,得x=20.所以當(dāng)x=20時矩形面積最大，最大面積為

600cnf.故填600.

9.已知函數(shù)次幻=2/-3父，其中a>0.

求證：函數(shù)次x)在區(qū)間(-8,0)上是增函數(shù).

證明：f'(x)=6ax1-6x=6x(ax-\).因為。>0且x<0,所以/(x)>0.所以函數(shù)於)在區(qū)間(一8,0)上是增函

數(shù).

10.已知函數(shù)火x)=xe"(xGR).

(1)求函數(shù)次劃的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/U)的極值.

解：(［y(x)=(l-x)e".令1(x)=0,得x=l.x,r(x),Hx)的變化情況如下表：

X(—8，1)1(1,+oo)

廣(X)+0—

Ax)/極大值

所以_Ax)在區(qū)間(一8,I)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)是減函數(shù).

(2)由(1)可知，函數(shù)在x=i處取得極大值

11.已知函數(shù)/(x)=ar+ln(x+l),?eR.

(1)若。=2,求曲線y=/(x)在點(0,式0))處的切線方程；

(2)若?r)在x=l處取得極值，試討論Xx)的單

調(diào)性.

解：/(X)=4+3T[.

(1)若a=2,則/(0)=2+6\=3,又貝0)=0,因此曲線y=_/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為丫-0=3。-0),

即3x—y=0.

(2)..7⑴=0,

.?.八1)=4+；=0,得戶一；，

111—(%—1)

.?貝x)=-F+ln(x+l),x>-l,/r(x)==+在尸、(x+]廣,

令r(x)=0,得x=L

x,f(x),_/u)的變化情況如下表：

X(-1.1)1(1,+co)

廣(無)+0—

於)/極大值X

所以外)在(一1,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減.

12己知於”<*c,且加)=他)=〃)=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①/⑼/u)>o；②/⑼/u)<o；

⑨(0次3)>0；刨0求3)<0.

其中正確結(jié)論的序號是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

解：43)=27-54+27—人一族=40),

因為廣(x)=3(x—l)(x—3),所以凡r)在(一8,1)和(3,+s)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.

?：a<b<c,且,/(a)=Ab)=/(c)=0,次3)=犬0)<0,7(0加3)>0.

故選C.

03導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

1.當(dāng)廣㈤在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余點處均為正(或負)時，7(x)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)

的，例如：在(一8,+oo)上，J(x)=x3,當(dāng)X=0時，當(dāng)今0時，f'(x)>o,而/Wnjv3顯然在(-8,+oo)

上是單調(diào)遞增函數(shù).

2.可導(dǎo)函數(shù)求最值的方法

/'(x)=0=x=xi,xi，xn,[a,b].

直接比較貝a),為b),危|),…，Ax?),找出______和即可.在此基礎(chǔ)上還應(yīng)注意：

(1)結(jié)合可減少比較次數(shù).

(2)含參數(shù)的函數(shù)求最值可用：①按分類：②按分類.

【答案】

1.0

2.最小值.最大值(1)單調(diào)性

⑵單調(diào)性極值點

【基礎(chǔ)自測】

1函數(shù)1x)=a?+x+l在x=—1處有極值，則a的值為()

11

AOC----

B.3D.2

解：((冗)=3加+1,.?■尸(一l)=3a+l=0，，。=一?故選C.

2函數(shù)y=4f+：的單調(diào)增區(qū)間為()

+B+8

A.(O,

C.(—00,—1)D.(-8,-'

解：1=故一5，令y>0,解得x>；,.?.函數(shù)j=4N+f在弓，+工)上遞增.故選B.

3已知函數(shù)1》)=加+法+。3，b,cGR),若/(1)=2,貝丫'(一1)=()

A.0B.3C.-1D.2

解：尸(工)=3加+從/(-1)=((1)=2.故選D.

4已知人x)=sinx+2x,x《R,且人2")<73—1),則a的取值范圍是.

解：?.7(x)=cosx+2>0恒成立，，”)在R上單調(diào)遞增.：.2a<a-],得°<一1.故填(一

00,-1).

5若函數(shù)^(x)=eA-3x在(1,+s)上的最小值是.

解：丁。)=^一3,令g&)=0,得x=ln3,g(x)在(-8,M3)上單調(diào)遞減，在(ln3,+oo)上單調(diào)遞增，所以g(x)

在(1,+8)上的最小值g(ln3)=3-31n3.故填3—31n3.

【典例】

類型一函數(shù)單調(diào)性的進一步討論

例一設(shè)函數(shù)./U)=xe，/#O).

(1)若上>0,求函數(shù)?r)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù).”),在區(qū)間(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求2的取值范圍.

解：(nr(x)=(i+H)*.

若DO,令八x)>0,得侖一也

所以函數(shù)犬0的單調(diào)遞增區(qū)間是「-"，+8),

單調(diào)遞減區(qū)間是

(2)：兀0在區(qū)間(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

二尸。)=(1+3/沙在(-1,1)內(nèi)恒成立,

，1+公三)在(一1,1)內(nèi)恒成立，

1+"(-1)>0,

即1+山，解得―一

因為后0,所以我的取值范圍是[-1,O.)U(O,1].

【評析】①函數(shù)單調(diào)性的討論歸結(jié)為對不等式解的討論；②函數(shù)在限定區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求參數(shù)范圍的問

題，可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.

變式若函數(shù)?r)=—x+bln(x+2)在[―1,

+oo)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是()

A.[-1,+oo)B.(—1,+QO)

C.(-oo,1]D.(—00,])

解：?.?尸(》)=一1+我式)在[-1,+8)上恒成立，.x+2在[-1,+oo)上恒成立....*1.故選C.

類型二極值與最值的進一步討論

例二已知函數(shù),/(x)=x-alnXaeR).

(1)當(dāng)。=2時，求曲線y=/(x)在點A(l,人1))處的切線方程;

⑵求函數(shù).")的極值.

2

解：(1)???當(dāng)。=2時，Xx)=x-21or,f\x)=1

二所求切線方程為v-l=-(x-l),即x+y-2=o.

(2y(x)=l-；1，x>0.

若比0,則/'(x)>0恒成立，加0不存在極值.

若a>0,貝「，八x),貝x)的變化情況如下表:

X(0,a)a(a,+oc)

八X)—0+

小)極小值

所以人x)的極小值J[d)=a-cAna.

【評析】本題要求掌握運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值的一般步驟.第二問對分類討論要求較高，其分類是

以表格為基礎(chǔ)進行的.

變式已知函數(shù)./U)=xlnx在區(qū)間[r,+oo)(f>0)上的最小值大于一：，則r的取值范圍是()

cR1)D.g+?)

解：/,(x)=lnx+l,令f(x)=0,得x=4

x,f(x),的變化情況如下表：

1

X(。/)&+9

—0+

式x)極小值/

顯然，若小(則府)的最小值大于T故選D.

類型三方程根的討論

例三已知函數(shù)於)=e*,xGR.

(1)求人x)的圖象在點(0,犬0))處的切線方程；

(2)證明：曲線)，=/(x)與直線)，=ex有唯一公共點.

M：(l)V/'(O)=e°=bXO)=b

,切線方程為>'-1=1(x-0),即x-y+1=0.

(2)證法一：設(shè)式(0=^-以，

曲線［^^與y=ex的公共點的個數(shù)等于函劌g(x)=er-ex零點的個數(shù).

'.'gXx^e-e,令g，(x)=0,得x=l,

...g(X電(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1，+8)上單調(diào)遞熠，

，g(x)的最小值g(l)=e1-e=0,

g(x)=e*—ex20(僅當(dāng)x=l時，等號成立).

?*.曲線y=/(x)與直線y=er有唯一公共點.

證法二：(由于方程e*=ex等價于

設(shè)/心)=3，分析方法類似證法一.

【評析】通過作差或作商可得到新的函數(shù)，求出新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、區(qū)間端點處的函數(shù)值、特殊點(如

圖象與x軸，y軸交點)，來判斷交點的個數(shù).

變式若。>占則方程Inx—以=0的實根的個數(shù)為()

A.0個B.1個

C.2個D.無窮多個

解法一：由于方程lar—or=0等價于半=a.

設(shè)

1I

一1?―Inx1.

x1—lax

?"'(x尸『=一^

令/(?=0,得％=e,

?g)在(0,e)上單調(diào)遞增；在(e,+8)上單調(diào)遞減.

.\/U)的最大值y(e)=F，

外)