求不定方程整數(shù)解的方法淺析

求不定方程整數(shù)解的方法淺析摘要：：引言所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程式的個(gè)數(shù)的方程或方程組.因此，要求一個(gè)不定方程的全部的解抑或是其全部整數(shù)解都是相當(dāng)困難的，有時(shí)甚至是不可能的或不現(xiàn)實(shí)的.然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，特別是一些具體的生活實(shí)例中，它的應(yīng)用又是非常的廣泛的；另外，不定方程的重要性在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也得到了充分表達(dá)，每年世界各地的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，不定方程問(wèn)題都占有一席之地；它也是培養(yǎng)和考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的好材料，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不定方程問(wèn)題，不僅要求選手對(duì)初等數(shù)論的一般理論、方法要有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性的解決相關(guān)問(wèn)題.數(shù)千年來(lái)，不定方程問(wèn)題一直是一些數(shù)學(xué)家甚至草根階級(jí)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，仿佛它是一塊資源豐富的土地，每個(gè)人都能有希望在這占有自己的一席之地.也正是由于它具有這樣一個(gè)特點(diǎn)，不定方程的類型，以及解各類不定方程的各種方法層出不窮，求解各類不定方程也幾乎毫無(wú)固定章法可循，而本文，只針對(duì)于不定方程整數(shù)解問(wèn)題做一個(gè)初步的探索，歸納提煉出一些解這類題的常規(guī)方法和技巧，對(duì)解不定方程具有一定的指導(dǎo)意義；并且著重針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不定方程整數(shù)解問(wèn)題進(jìn)行分析，研究其方法，思想，具有一定的教學(xué)意義；另外，還根據(jù)自己的積累，總結(jié)，開(kāi)掘出一些新的方法，技巧，具有創(chuàng)新和學(xué)習(xí)的意義.第二章：解決某些不規(guī)那么類不定方程的常規(guī)思想方法不等式分析法其一般操作步驟：想方法通過(guò)構(gòu)造不等式求出其中某個(gè)〔某些〕變量的范圍；根據(jù)該變量的范圍求出該變量的整數(shù)解；分情況討論該變量分別取某個(gè)整數(shù)解時(shí)其他變量的取值.常見(jiàn)的構(gòu)造不等式的技巧：注意題中的隱含條件，常見(jiàn)的如：1〕假設(shè)給出的是對(duì)稱形式的不定方程，解題是可增加一個(gè)“不妨設(shè)”的條件.2〕假設(shè)題目要求是正整數(shù)解，那么有“”假設(shè)要求是相異的正整數(shù)，那么有“”利用根本不等式求變?cè)秶?，常?jiàn)的如“”別離變量：可將某個(gè)變量別離出來(lái)，并通過(guò)該變量的范圍求其他變量的范圍.=4\*GB3④可利用二次方程有整數(shù)解的條件，即“”，或更強(qiáng)點(diǎn)的“為完全平方數(shù)”.常規(guī)應(yīng)用：一般在某些對(duì)稱式中能用到此方法進(jìn)行放縮估值；在具體的限制某個(gè)〔或某些〕變量的范圍時(shí)，可別離變量利用此方法對(duì)其他變量進(jìn)行估值；對(duì)于方程“〔其中u,v,w是常數(shù)或者是含其他變量的式子〕”可利用關(guān)于x的方程有整數(shù)根的條件，即“”，或更強(qiáng)點(diǎn)的“為完全平方數(shù)”對(duì)其他變量進(jìn)行估值；=4\*GB3④具體能通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為關(guān)于某些整體的表達(dá)式，再利用常規(guī)不等式進(jìn)行估值，比方”轉(zhuǎn)化為關(guān)于x+y與xy的表達(dá)式，用等“例1：求不定方程的正整數(shù)解.解：方法1：由于此不定方程是對(duì)稱的，這里不妨設(shè)，那么1〕當(dāng)x=1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足方程；當(dāng)x=2時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足方程，滿足方程；當(dāng)x=3時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足方程，不滿足方程，不滿足方程；∴綜上所述：取消不妨設(shè)，由對(duì)稱性知：不定方程的正整數(shù)解為方法2：方程化為令，那么即利用不等式：那么：當(dāng)t=2時(shí)，此方程無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)t=3時(shí)，，當(dāng)t=4時(shí)，.∴綜上所述：不定方程的正整數(shù)解為例2：求不定方程的整數(shù)解.解：方法1：方程可化為:,那么此方程可看成關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)解的情況∴=4〔1-5y)那么必是一個(gè)完全平方數(shù)，這里不妨設(shè)：∴由求根公式：故方程要有整數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴綜上所述：原方程的整數(shù)解為方法2：方程化為：別離y:事實(shí)上當(dāng)y=0時(shí)，x=,不合題意，那么有：，即∴(*)=1\*romani〕假設(shè)那么有：無(wú)解=2\*romanii〕假設(shè)由x為整數(shù)那么有,那么(*)式化為：∴∴當(dāng)時(shí)，y=-3;當(dāng)時(shí)，y=-7;當(dāng)時(shí)，不合題意舍去;當(dāng)時(shí)，不合題意舍去;∴綜上所述：原方程的整數(shù)解為2、同余分析法其一般操作步驟：方程兩邊同時(shí)取特殊數(shù)的模，消去局部未知數(shù)，將等式化為同余式；由同余式來(lái)估計(jì)剩下未知數(shù)的取值范圍〔或特征〕，從而達(dá)到解不定方程的目的.注意：實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程的關(guān)鍵在于取什么數(shù)作為模，這需要較強(qiáng)的觀察力！常規(guī)的取模原那么：能消去某些未知數(shù)時(shí)，取它的系數(shù)〔或底數(shù)〕作模；由費(fèi)馬小定理有“”頻率較高者有模3，模4，模8.常規(guī)應(yīng)用：事實(shí)上，同余理論在證明一個(gè)不定方程無(wú)整數(shù)解時(shí)有廣泛而方便的應(yīng)用；一般對(duì)于某些指數(shù)不定方程，或某些系數(shù)較大的方程應(yīng)用同余理論能起到一個(gè)很好的簡(jiǎn)化作用；具體的：它能解決“Ax+By=C"型整數(shù)解問(wèn)題.例1：求不定方程7x+19y=213的正整數(shù)解.解：方程兩邊同時(shí)得：兩邊同時(shí)乘以3：代入原方程得：∴〔其中k為整數(shù)〕令x>0,y>0,得，∴∴k=0,1.∴方程的正整數(shù)解為例2：證明：無(wú)整數(shù)解.證明：〔*〕設(shè)是方程的整數(shù)解，1〕假設(shè)，那么，2〕假設(shè)，那么，故，從而，與〔*〕式矛盾該方程無(wú)整數(shù)解.例3：求不定方程的全部正整數(shù)解.解：=1\*romani〕假設(shè)，那么方程兩邊模4得：，矛盾；=2\*romanii〕假設(shè)，那么方程兩邊模3，得：，∴y為奇數(shù)假設(shè)x>1,方程兩邊模8得：即，又∴，這與y為奇數(shù)矛盾∴，從而綜上所述:原方程有唯一的整數(shù)解.約數(shù)倍數(shù)分析法：此方法經(jīng)常結(jié)合整除理論，是解決不定方程整數(shù)解十分有效的方法，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也是出現(xiàn)頻率高，實(shí)用性強(qiáng)的一類方法.常規(guī)的次方法分為兩類：因式分解法：1〕將含未知數(shù)的代數(shù)式置于方程一邊作因式分解；2〕將方程另一邊化為常數(shù)，并對(duì)其做質(zhì)因數(shù)分解；3〕考慮各因數(shù)的取值，分解成假設(shè)干方程〔組〕來(lái)求解.別離未知量法：1〕將方程的某個(gè)〔或某些〕未知量別離出來(lái)，目的是將其他未知量轉(zhuǎn)化到某個(gè)常數(shù)的分母位置；2〕將處于分子位置的常數(shù)作質(zhì)因數(shù)分解；3〕考慮分母的取值，分解成假設(shè)干方程〔組〕來(lái)求解部分未知量.常規(guī)應(yīng)用：多半是解決某些能進(jìn)行因式分解〔或局部因式分解〕的整數(shù)不定方程問(wèn)題，并且，有時(shí)要求學(xué)生因式分解功底十分扎實(shí)；具體的：它能解決“”型不定方程.例1：一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等，起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開(kāi)走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上，每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少倆汽車？有多少個(gè)旅客？解：設(shè)起初有m倆汽車；開(kāi)