2024八年級數(shù)學下冊第08講多邊形核心考點講與練含解析新版浙教版

Page38第08講多邊形（核心考點講與練）1．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）隨意多邊形．2．多邊形的對角線（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（2）n邊形從一個頂點動身可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點動身引出（n﹣3）條，而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對多邊形對角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個頂點，應為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對角線條數(shù)時，干脆代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程思想，解方程求n．3．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點動身引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的全部內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是探討多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和恒久為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．4．平面鑲嵌（密鋪）（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形態(tài)，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（2）正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．推斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能．（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個正三角形和2個正方形、四個正三角形和1個正六邊形、2個正三角形和2個正六邊形、1個正三角形和2個正十二邊形、1個正方形和2個正八邊形等．（5）用隨意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個平面圖案．一．多邊形（共2小題）1．（肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形須要黑色棋子的個數(shù)是n2+2n．【分析】第1個圖形是2×3﹣3，第2個圖形是3×4﹣4，第3個圖形是4×5﹣5，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形須要黑色棋子的個數(shù)是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．【解答】解：第一個是1×3，其次個是2×4，第三個是3×5，…第n個是n?（n+2）＝n2+2n故答案為：n2+2n．【點評】首先計算幾個特別圖形，發(fā)覺：數(shù)出每邊上的個數(shù)，乘以邊數(shù)，但各個頂點的重復了一次，應再減去．2．（寧波校級自主招生）將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8分別填寫到八邊形ABCDEFGH的8個頂點上，并且以S1，S2，…，S8分別表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8組相鄰的三個頂點上的數(shù)字之和．（1）試給出一個填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）請證明任何填法均不行能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．【分析】（1）首先確定1的位置，1最小，讓它的一個相鄰的數(shù)是最大的數(shù)8，再依據(jù)三個相鄰的數(shù)的和應大于或等于12且各個頂點的數(shù)都不相等，進行推斷；（2）首先依據(jù)八組的數(shù)的和是104，正確分析出其中至多有四組的數(shù)的和大于13，且每一組的數(shù)的和都小于或等于14；然后再進一步用設未知數(shù)的方法分析．【解答】解：（1）不難驗證，如圖所示填法滿足．s1，s2，…s8都大于或等于12．（2）明顯，每個頂點出現(xiàn)在全部8組3個相鄰頂點組的3個組中，所以有s1+S2+…+S8＝（1+2+3+…+8）?3＝108．假如每組三數(shù)之和都大于或等于13，因13?8＝104，所以至多有108﹣104＝4個組的三數(shù)之和大于13．由此我們可得如下結(jié)論：1、相鄰兩組三數(shù)之和確定不相等．設前一組為（i，j，k），后一組為（j，k，l）．若有i+j+k＝j+k+l，則l＝i，這不符合填寫要求；2、每組三數(shù)之和都小于或等于14．因若有一組三數(shù)之和大于或等于15，則至多還有另外兩個組，其三數(shù)之和大于13，余下5個組三數(shù)之和等于13，必有相鄰的兩組相等，這和上述結(jié)論（1）不符．因此，相鄰兩組三數(shù)之和必定為13或14．不妨假定1填在B點上，A點所填為i，C點所填為j．1、若S1＝i+1+J＝13，則s2＝1+j+l＝14，S3＝j+l+k＝13，因J＞1，這是不行能的．2、若s1＝i+1+j＝14，則S2＝1+j+（i﹣1）＝13，S3＝j+（i﹣1）+2：14，s4＝（i﹣1）+2+（j﹣1）＝13，這時S5＝14，只能是S＝2+（j﹣1）+i，i重復出現(xiàn)：所以不行能有使得每組三數(shù)之和均大于或等于13的填法．【點評】做此題的時候，留意各個頂點的數(shù)字不得重復，且每一組的數(shù)的和應大于或等于12進行解答．二．多邊形的對角線（共4小題）3．（海曙區(qū)期末）從六邊形的一個頂點動身可以作對角線（）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【分析】已知多邊形的邊數(shù)為n（n＞3時），從多邊形的一個頂點動身，可以畫出（n﹣3）條對角線，依據(jù)以上內(nèi)容求出即可．【解答】解：從六邊形的一個頂點動身，可以畫出6﹣3＝3條對角線，故選：A．【點評】本題考查了多邊形的對角線，能熟記多邊形的對角線的定義是解此題的關(guān)鍵．4．（邕寧區(qū)校級期中）六邊形有9條對角線．【分析】利用多邊形對角線條數(shù)公式：進行計算即可．【解答】解：＝＝9，故答案為：9．【點評】此題主要考查了多邊形的對角線，關(guān)鍵是駕馭多邊形對角線公式．5．（沙坪壩區(qū)校級期末）若過六邊形的一個頂點可以畫n條對角線，則n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】從一個n邊形一個頂點動身，可以連的對角線的條數(shù)是n﹣3．【解答】解：對角線的數(shù)量n＝6﹣3＝3（條）；故選：C．【點評】本題考查多邊形的對角線及分割成三角形個數(shù)的問題，解答此類題目可以干脆記憶：一個n邊形一個頂點動身，可以連的對角線的條數(shù)是n﹣3．6．（碭山縣期末）從一個多邊形的一個頂點動身可以引5條對角線，這個多邊形的邊數(shù)是8．【分析】依據(jù)從n邊形的一個頂點可以作對角線的條數(shù)公式（n﹣3）求出邊數(shù)即可得解．【解答】解：∵從一個多邊形的一個頂點動身可以引5條對角線，設多邊形邊數(shù)為n，∴n﹣3＝5，解得n＝8．故答案為8．【點評】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．駕馭n邊形從一個頂點動身可引出（n﹣3）條對角線是解題的關(guān)鍵．三．多邊形內(nèi)角與外角（共6小題）7．（寧波期末）正八邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．140° D．144°【分析】依據(jù)多邊形的外角和等于360°，求出正八邊形的外角度數(shù)，進而求出．【解答】解：∵多邊形的外角和等于360°，∴正八邊形的外角度數(shù)為：360°÷8＝45°，∴正八邊形的內(nèi)角度數(shù)為：180°﹣45°＝135°．故選：B．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭多邊形的外角和等于360．8．（越城區(qū)期末）假如一個正多邊形的一個內(nèi)角為120°，則這個正多邊形為（）A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形【分析】一個正多邊形的每個內(nèi)角都相等，依據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)．依據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：外角是180﹣120＝60度，360÷60＝6，則這個多邊形是六邊形．故選：B．【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，依據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，須要嫻熟駕馭．9．（長興縣開學）如圖，小麗將平放在桌面上的正五邊形磁力片和正方形磁力片拼在一起（一邊重合），則形成的∠ABC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．162°【分析】依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及正多邊形的性質(zhì)求出∠ABD＝90°，∠CBD＝108°，再依據(jù)周角的定義即可求解．【解答】解：如圖，在正方形ABDE中，∠ABD＝＝90°，在正五邊形BDMNC中，∠CBD＝＝108°，∴∠ABC＝360°﹣∠ABD﹣∠CBD＝360°﹣90°﹣108°＝162°，故選：D．【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．10．（溫嶺市期末）一個多邊形的每一個外角都為72°，這個多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．八邊形 D．十邊形【分析】多邊形的外角和是固定的360°，依此可以求出多邊形的邊數(shù)．【解答】解：∵一個多邊形的每個外角都等于72°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷72°＝5．故這個多邊形的邊數(shù)是5．故選：A．【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理：多邊形的外角和是360°．11．（臨海市期末）如圖，∠1是正五邊形兩條對角線的夾角，則∠1＝72度．【分析】由正五邊形的性質(zhì)可求得∠DBC，∠ACB的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：由正五邊形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，∴∠DBC＝∠ACB＝＝36°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝72°．故答案為：72．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓的學問，駕馭正五邊形的特征是解題的關(guān)鍵．12．（舟山期末）已知一個正多邊形的內(nèi)角是140°，則它是幾邊形（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，故又可表示成140°n，列方程可求解．此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解．【解答】解：設正邊形的邊數(shù)是n，由內(nèi)角和公式，得（n﹣2）×180°＝n×140°．解得n＝9，故選：B．【點評】本題考查依據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會依據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．四．平面鑲嵌（密鋪）（共5小題）13．（綠園區(qū)期末）學校購買一種正多邊形形態(tài)的瓷磚來鋪滿教室的地面，所購買的瓷磚形態(tài)不行能是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正方形【分析】依據(jù)一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360°，進而推斷得出即可．【解答】解：A、等邊三角形的每個內(nèi)角是60°，能整除360°，能密鋪；B、正五邊形的每個內(nèi)角為：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密鋪；C、正六邊形的每個內(nèi)角是120°，能整除360°，能密鋪；D、正方形的每個內(nèi)角是90°，4個能密鋪．故選：B．【點評】本題主要考查了平面鑲嵌，由平面鑲嵌的學問可知只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形．14．（上蔡縣期末）我們知道正五邊形不能進行平面鑲嵌，若將三個全等的正五邊形按如圖所示拼接在一起，那么圖中的∠1的度數(shù)是（）A．18° B．30° C．36° D．54°【分析】正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．【解答】解：正五邊形的內(nèi)角：（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠1＝360°﹣108°×3＝36°，故選：C．【點評】本題考查了平面鑲嵌，嫻熟運用多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．15．（余姚市期末）如圖，是某廣場用地板鋪設的部分圖案，中心是一塊正六邊形的地板磚，四周是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，依此遞推，第50層中含有正三角形個數(shù)為594個．【分析】分析、歸納并發(fā)覺其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題．【解答】解：第1層包括6個正三角形，第2層包括18個正三角形，…，每一層比上一層多12個，故第50層中含有正三角形個數(shù)是6+12×（50﹣1）＝594（個），故答案為：594．【點評】此題考查了平面鑲嵌（密鋪），規(guī)律型：圖形的變更等學問，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．16．（射洪市期末）在現(xiàn)實生活中，鋪地最常見的是用正方形地板磚，某小區(qū)廣場準備用多種地板磚組合鋪設，則能夠選擇的組合是（）A．正六邊形，正八邊形 B．正方形，正七邊形 C．正五邊形，正六邊形 D．正三角形，正方形【分析】分別求出各個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【解答】解：∵正三角形的每個內(nèi)角60°，正方形的每個內(nèi)角是90°，正五邊形的每個內(nèi)角是108°，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，正八邊形每個內(nèi)角是180°﹣360°÷8＝135°，∴能夠組合是正三角形，正方形，故選：D．【點評】本題考查平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．17．（永嘉縣校級模擬）建筑工人用邊長相等的正六邊形、正方形、正三角形三種瓷磚鋪設地面，正方形瓷磚分黑白兩種顏色，密鋪成圖（1）的形態(tài)用水泥澆筑前，為便利施工，工人要先把瓷磚按圖1方式先擺放好，一工人擺放時，無意間將3塊黑色正方形瓷磚上翻到一個正六邊形的上面，其中三個正方形的一條邊分別和正六邊形的三條邊重合，如圖（2）所示，按圖（2）方式給各點作上標注，若正方形的邊長AB＝12cm，則ML2＝（480﹣240）cm2．（不考慮瓷磚的厚度）【分析】如圖（2）中，過點M作MW⊥AF于W，連接BL，過點B作BQ⊥EC于Q，過點L作LR⊥AB于R，LN⊥AH于N．解直角三角形想方法求出MN，NL，可得結(jié)論．【解答】解：如圖（2）中，過點M作MW⊥AF于W，連接BL，過點B作BQ⊥EC于Q，過點L作LR⊥AB于R，LN⊥AH于N.由題意，∠MAF＝∠MFA＝30°，∴MF＝MA，∴FW＝AW＝6（cm），∴FM＝MA＝＝4（cm），在Rt△CBQ中，∠CQB＝90°，BC＝12cm，∠BCQ＝30°，∴BQ＝BC＝6（cm），CQ＝BQ＝6（cm），∴LQ＝LC﹣CQ＝12﹣6，∴BL＝＝＝6（﹣）（cm），∵CL＝CB，∠BCL＝30°，∴∠CBL＝∠CLB＝75°，∵∠ABC＝120°，∴∠ABL＝45°，∵LR＝BR＝6（）（cm），∵LN⊥AH，∴∠ANL＝∠NAR＝∠ARL＝90°，∴四邊形ANLR是矩形，∴LN＝AR＝12﹣6（﹣1）＝（18﹣6）（cm），AN＝RL＝6（﹣1）（cm），∴MN＝AM﹣AN＝4﹣6（﹣1）＝（6﹣2）（cm），∴ML2＝MN2+LN2＝（6﹣2）2+（18﹣6）2＝（480﹣240）（cm2）．故答案為：（480﹣240）．【點評】本題考查平面鑲嵌，解直角三角形，正方形，正六邊形等學問，解題的關(guān)鍵是學會添加常用幫助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共10小題）1．（上虞區(qū)期末）小敏將圖1所示七巧板的其中幾塊，拼成如圖2所示的一個四邊形，則該四邊形的最長邊長與最短邊長之比為（）A．2 B．3 C． D．【分析】設圖2中正方形的邊長為1，求出其他邊的長度，即可得出比值．【解答】解：如圖，給圖中頂點標上字母，設CD＝1，則CF＝BF＝1，∴BC＝＝，AE＝BE＝1+1＝2，∴AD＝2+1＝3，∴AB＝，∴最長的邊是AD＝3，最短的邊是CD＝1，∴，故選：B．【點評】本題主要考查勾股定理的應用，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的學問和等腰直角三角形的性質(zhì)．2．（本溪期末）假如過一個多邊形的一個頂點的對角線有6條，則該多邊形對角線一共有（）A．18條 B．14條 C．20條 D．27條【分析】依據(jù)從每一個頂點動身可以作的對角線的總條數(shù)為n﹣3計算即可得到該多邊形的邊數(shù)（或頂角數(shù)），然后由n邊形的對角線總條數(shù)公式為進行解答．【解答】解：∵過一個多邊形的一個頂點的對角線有6條，∴多邊形的邊數(shù)為6+3＝9，∴這個多邊形是九邊形．∴該多邊形對角線一共有：＝27（條）．故選：D．【點評】本題考查了多邊形的對角線公式，熟記從每一個頂點動身可以作的對角線的條數(shù)為（n﹣3）是解題的關(guān)鍵．3．（浦江縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝110°，與∠BAD，∠ABC相鄰的外角都是110°，則∠ADC的外角α的度數(shù)是（）A．90° B．85° C．80° D．70°【分析】依據(jù)多邊形外角和為360°，進行求解即可．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相鄰的外角度數(shù)為：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故選：D．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角的學問，解答本題的關(guān)鍵在于依據(jù)多邊形外角和為360°進行求解．4．（柯橋區(qū)月考）在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠B比∠D大60°，則∠B的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．120° D．130°【分析】利用四邊形的內(nèi)角和即可求出答案．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A+∠C＝180°，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B﹣∠D＝60°，∴2∠B＝240°，∴∠B＝120°．故選：C．【點評】此題考查了四邊形的內(nèi)角和定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是留意駕馭四邊形的內(nèi)角和等于360°．5．（西城區(qū)校級模擬）正八邊形的內(nèi)角和為1080°，它的外角和為（）A．540° B．360° C．720° D．1080°【分析】依據(jù)多邊形的外角和都是360°即可得解．【解答】解：∵多邊形的外角和都是360°，∴正八邊形的外角和為360°，故選：B．【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的外角和是360°是解題的關(guān)鍵．6．（北侖區(qū)期末）正十邊形的每個內(nèi)角都是（）A．36° B．72° C．108° D．144°【分析】首先依據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求出正十邊形的內(nèi)角和是多少，然后用它除以10，求出正十邊形的每個內(nèi)角等于多少度即可．【解答】解：（10﹣2）×180÷10＝8×180÷10＝1440÷10＝144（度），∴正十邊形的每個內(nèi)角等于144度．故選：D．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的計算，解答此題的關(guān)鍵是要明確n邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°．7．（安國市期末）如圖，將正五邊形ABCDE的點C固定，按順時針方向旋轉(zhuǎn)確定角度，使新五邊形的頂點D′落在直線BC上，則旋轉(zhuǎn)的角度是（）A．108° B．72° C．54° D．36°【分析】依據(jù)正多邊形的性質(zhì)求解正五邊形ABCDE的內(nèi)角的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DCD'+∠BCD＝180°，進而可求解．【解答】解：∵多邊形ABCDE為正五邊形，∴∠BCD＝＝108°，當按順時針方向旋轉(zhuǎn)后新五邊形的頂點D′落在直線BC上時，旋轉(zhuǎn)角∠DCD'+∠BCD＝180°，∴旋轉(zhuǎn)角∠DCD'＝180°﹣108°＝72°，故選：B．【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，駕馭正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（洛寧縣模擬）如圖所示，將正六邊形與正五邊形按此方式擺放，正六邊形與正五邊形的公共頂點為O，且正六邊形的邊AB與正五邊形的邊DE共線，則∠COF的度數(shù)是（）A．86° B．84° C．76° D．74°【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解決問題．【解答】解：由題意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故選：B．【點評】本題考查正多邊形，三角形內(nèi)角和定理等學問，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭基本學問，屬于中考?？碱}型．9．（綠園區(qū)期末）學校購買一種正多邊形形態(tài)的瓷磚來鋪滿教室的地面，所購買的瓷磚形態(tài)不行能是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正方形【分析】依據(jù)一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360°，進而推斷得出即可．【解答】解：A、等邊三角形的每個內(nèi)角是60°，能整除360°，能密鋪；B、正五邊形的每個內(nèi)角為：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密鋪；C、正六邊形的每個內(nèi)角是120°，能整除360°，能密鋪；D、正方形的每個內(nèi)角是90°，4個能密鋪．故選：B．【點評】本題主要考查了平面鑲嵌，由平面鑲嵌的學問可知只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形．10．（祁陽縣期末）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中中間一張正方形紙片的面積為c，兩張等腰直角三角形紙片的面積都為b，另兩張直角三角形紙片的面積都為a，則這個平行四邊形的面積確定可以表示為（）A．4b B．4a C．4a+c D．3a+4c【分析】設等腰直角三角形的直角邊為x，正方形邊長為y，求出a（用x、y表示），得出a，b，c之間的關(guān)系，由此即可解決問題．【解答】解：設等腰直角三角形的直角邊為x，正方形邊長為y，則a＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，∴a＝b﹣c，∴c＝2b﹣2a，∴平行四邊形面積＝2b+2a+c＝2b+2a+2b﹣2a＝4b．故選：A．【點評】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等學問，解題的關(guān)鍵是求出a，b，c之間的關(guān)系．二．解答題（共4小題）11．（臺州期中）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；（2）求∠BGD的度數(shù)．【分析】（1）由多邊形的內(nèi)角和公式，即可求得六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；（2）由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：（1）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：180°×（6﹣2）＝720°；（2）∵六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．即∠BGD的度數(shù)是100°．【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．解題的關(guān)鍵是依據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計算公式求得多邊形的內(nèi)角和．12．（溫嶺市期中）已知一個n邊形的每個內(nèi)角是135°．（1）求n；（2）求這個n邊形的內(nèi)角和．【分析】（1）利用內(nèi)角度數(shù)計算出外角度數(shù)，然后再利用外角和求邊數(shù)即可；（2）利用多邊形內(nèi)角和公式計算即可．【解答】解：（1）∵一個n邊形的每個內(nèi)角是135°，∴每一個外角度數(shù)為：180°﹣135°＝45°，∴n＝360°÷45°＝8；（2）內(nèi)角和：180°×（8﹣2）＝180°×6＝1080°．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是駕馭多邊形的外角和等于360°．多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）．13．（雙陽區(qū)期末）若一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多540°，求這個多邊形的邊數(shù)．【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征．【解答】解：設這個多邊形是n邊形．則180°?（n﹣2）＝540°+360°，解得n＝7．【點評】此題較難，要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．14．（黃巖區(qū)期末）（1）如圖1，在△ADC中，∠ADC的平分線和∠ACD的外角平分線交于點P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度數(shù)．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC的平分線和∠BCD的外角平分線交于點P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖3，若將（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改為“∠A＝α，∠B＝β”，其余條件不變，干脆寫出∠P與α+β之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）在射線DC上取一點E，依據(jù)角平分線的定義分別求出∠PDC與∠PCE，再依據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可；（2）在射線DC上取一點E，依據(jù)角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等于360°解答即可；（3）依據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．【解答】解：（1）如圖1，在射線DC上取一點E，∵∠ADC的平分線和∠ACD的外角平分線交于點P，∴，＝65°，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；（2）如圖2，在射線DC上取一點E，∵∠ADC的平分線和∠BCD的外角平分線交于點P，∴，，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝＝＝＝＝＝30°；（3）．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．題組B實力提升練一．選擇題（共6小題）1．（昆明模擬）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于（）A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】利用全等三角形的性質(zhì)和正六邊形的定義可推斷六邊形花環(huán)為正六邊形，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可計算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD減去90°得到∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，∴六邊形花環(huán)為正六邊形，∴∠ABD＝＝120°，而∠CBD＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．故選：A．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）；多邊形的外角和等于360°．2．（紅花崗區(qū)二模）把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的CD邊重合，依據(jù)如圖所示的方式疊放在一起，延長LG交AF于點P，則∠APG＝（）A．141° B．144° C．147° D．150°【分析】先依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式分別求得正六邊形和正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得∠APG的度數(shù)．【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，（5﹣2）×180°÷5＝108°，∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°．故選：B．【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟悉多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．3．（鄞州區(qū)期末）如圖將一張四邊形紙片沿EF折疊，以下條件中能得出AD∥BC的條件個數(shù)是（）①∠2＝∠4；②∠2+∠3＝180°；③∠1＝∠6；④∠4＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別利用同旁內(nèi)角互補兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行得出答案即可．【解答】解：①∵∠2＝∠4，∴AD∥BC，故①符合題意；②∵∠2+∠3＝180°，∠3+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴HE∥GF，HE和GF是由CE和DF折疊得到的，∴CE∥DF，即AD∥BC，故②符合題意；③由折疊的性質(zhì)可得∠1＝∠7，∵∠1＝∠6，∴∠6＝∠7，∴AD∥BC，故③符合題意；④設∠4＝∠5＝x，則∠FEC＝（180﹣x），∠DFE＝（180+x），∴∠FEC+∠DFE＝（180﹣x）+（180+x）＝180°，∴AD∥BC，故④符合題意．故能得出AD∥BC的條件個數(shù)是4．故選：D．【點評】此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補兩直線平行，嫻熟駕馭平行線的判定是解本題的關(guān)鍵．4．（內(nèi)江期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°，故選：A．【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解題的關(guān)鍵．5．（射洪市期末）在現(xiàn)實生活中，鋪地最常見的是用正方形地板磚，某小區(qū)廣場準備用多種地板磚組合鋪設，則能夠選擇的組合是（）A．正六邊形，正八邊形 B．正方形，正七邊形 C．正五邊形，正六邊形 D．正三角形，正方形【分析】分別求出各個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【解答】解：∵正三角形的每個內(nèi)角60°，正方形的每個內(nèi)角是90°，正五邊形的每個內(nèi)角是108°，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，正八邊形每個內(nèi)角是180°﹣360°÷8＝135°，∴能夠組合是正三角形，正方形，故選：D．【點評】本題考查平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．6．（下城區(qū)校級模擬）平面鑲嵌定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做平面鑲嵌問題．如圖，相同邊長的正三角形可以進行平面鑲嵌．那么，利用下列圖形或圖形組合無法進行平面鑲嵌的是（）A．全等三角形 B．邊長相等的正五邊形 C．邊長相等的正三角形和正六邊形 D．邊長相等的正方形和正八邊形【分析】進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內(nèi)角和應為360°，因此我們只需驗證360°是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍即可．【解答】解：A、全等三角形能鑲嵌，因為三角形的內(nèi)角和為180°．180°×2＝360°；B、邊長相等的正五邊形，不能邊長相等的正五邊形，因為正五邊形的內(nèi)角和為108°．108°的整數(shù)倍不等于360°；C、邊長相等的正三角形和正六邊形，可以鑲嵌，比如4個正三角形2個正六邊形；D、邊長相等的正方形和正八邊形，可以鑲嵌，比如一個正方形或2個正八邊形；故選：B．【點評】本題考查了求正多邊形一個內(nèi)角度數(shù)，可先求出這個外角度數(shù)，讓180°減去即可．一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360°；兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．二．填空題（共4小題）7．（諸暨市期中）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)：180°．【分析】連接AC，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得∠E+∠D＝∠1+∠2，然后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：連接AC，∵∠E+∠D+∠EFD＝∠1+∠2+∠AFC＝180°，又∵∠EFD＝∠AFC，∴∠E+∠D＝∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠B+∠EAB+∠BCD+∠1+∠2＝∠B+∠BAC+∠ACB＝180°．故答案為：180°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正確作出幫助線，證明∠E+∠D＝∠1+∠2是關(guān)鍵．8．（黃山期末）如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，則∠B＝95°．【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，進而求出∠B的度數(shù)以及得出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，故答案為：95°．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解題關(guān)鍵．9．（南京）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形．若l1∥l2，則∠1﹣∠2＝72°．【分析】過B點作BF∥l1，依據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠ABC的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)以及等量關(guān)系可得∠1﹣∠2的度數(shù)．【解答】解：過B點作BF∥l1，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1﹣∠2＝72°．故答案為：72．【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是嫻熟駕馭正五邊形的性質(zhì)，以及添加幫助線．10．（天臺縣期末）如圖所示，則（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝180度．【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式即可求出答案．【解答】解：∵∠1+∠2+（360°﹣∠3）+∠4+∠5+（360°﹣∠6）+∠7+∠8+（360°﹣∠9）＝180°?（9﹣2）＝1260度，∴（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝1260﹣360×3＝180°．【點評】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理．n邊形的內(nèi)角和為：180°（n﹣2）．此類題型干脆依據(jù)內(nèi)角和公式計算可得．三．解答題（共15小題）11．（天臺縣期末）（1）如圖1，在△ABC中，已知OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，則∠O＝115°，∠P＝65°；②若∠A＝α，則∠O＝90°+α，∠P＝90°﹣α．（用含α的式子表示）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平特別角∠EBC，∠FCB，請?zhí)骄俊螾與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在六邊形ABCDEF中，CP，DP分別平特別角∠GCD，∠HDC，請干脆寫出∠P與∠A，∠B，∠E，∠F的數(shù)量關(guān)系∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和以及外角定理解答即可．【解答】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；故答案為：115°；65°．②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；故答案為：90°+α；90°﹣α，（2）解：∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由如下：∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]＝（∠ABC+∠DCB）＝（360°﹣∠A﹣∠D）＝180°﹣（∠A+∠D）．（3）∠P＝180°﹣（∠GCD+∠HDC）＝180°﹣（180°﹣∠BCD+180°﹣∠CDE）＝（∠BCD+∠CDE）＝[（6﹣2）×180°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）]＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．故答案為：∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．正確運用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（下城區(qū)校級月考）如圖是四邊形紙片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°．若將其右下角向內(nèi)折出一∠PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如圖所示，求∠C的度數(shù)．【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：記兩條虛線的交點為E∵CR∥AD，∠D＝50°∴∠D＝∠CRE（兩直線平行，同位角相等），∵CP∥AB，∠B＝120°，∴∠B＝∠CPE（兩直線平行，同位角相等），∵右圖是由左圖折疊而成的，∴∠CPR＝∠RPE＝60°，∠CRP＝∠PRE＝25°，∵三角形內(nèi)角和是180°，∴∠C＝95°．【點評】本題考查的是三角形的外角的概念、三角形內(nèi)角和定理，駕馭三角形內(nèi)角和等于180°、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（蕭山區(qū)模擬）小張升入中學，開學第一天，老師讓班級的同學每兩個人相互握手，結(jié)成好摯友，其中發(fā)覺全部的同學一共握手820次．我們可以通過這個數(shù)據(jù)求出班級里的學生人數(shù)，設班級共有學生n人，則每一個學生需握手n﹣1次，這樣n個學生就握了n（n﹣1）次手，而每兩人之間的握手被重復計算了一次，所以可得，這樣就可以解出n了．你看明白了沒有？（1）請你運用上述方法，探究8邊形對角線的條數(shù)．并寫出你的思路；（2）請你用題目所給方法得出n邊形對角線的條數(shù)的公式．【分析】（1）把8代入所得公式即可．（2）用類比方法求解．【解答】解：（1）．答：8邊形對角線的條數(shù)是20．（2）從每一個n邊形的頂點動身，可以畫（n﹣3）條對角線，n個頂點就有n（n﹣3）條，而每一條又重復了一次，所以有條．【點評】本題需留意：重復一次要想算出精確結(jié)果，重復的結(jié)果應除以2．14．實踐與探究！①過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成3個三角形；②過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成4個三角形；③經(jīng)過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外n﹣2個頂點連線可以把n邊形分成n﹣1個三角形（用含n的代數(shù)式表示）．④你能否依據(jù)這樣劃分多邊形的方法來寫出n邊形的內(nèi)角和公式？請說明你的理由．【分析】①②③在n邊形的邊上隨意取一點，連接這點與各頂點的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個三角形；④欲證明多邊形的內(nèi)角和定理，可以把多邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到三角形中，利用（n﹣1）個三角形，內(nèi)角和為（n﹣1）×180°，n邊形的內(nèi)角和還要再減去P所在的一個平角，所以n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°．【解答】解：①過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成4﹣1＝3個三角形；②過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成5﹣1＝4個三角形；③經(jīng)過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外（n﹣2）個頂點連線可以把n邊形分成（n﹣2）個三角形（用含n的代數(shù)式表示）．④在n邊形的隨意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個三角形，這（n﹣1）個三角形的內(nèi)角和等于（n﹣1）?180°，以P為公共頂點的（n﹣1）個角的和是180°，所以n邊形的內(nèi)角和是（n﹣1）?180°﹣180°＝（n﹣2）?180°．故答案為：3；4；n﹣2，n﹣1．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的證明，解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形中解決，在n邊形的隨意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個三角形．15．（浙江自主招生）在凸四邊形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四個內(nèi)角中有一個角為84°，求其余各角的度數(shù)．【分析】可設∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，依據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，分四種狀況進行探討，從而求解．【解答】解：設∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x＞0，則∠A＞∠B＞∠C＞∠D，∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，∴∠D+x＝90°．1、∠D＝84°時，x＝4°，∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；2、∠C＝84°時，2x+4∠C＝360°，x＝12°，∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°；3、∠B＝84°時，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，∠A＝72°，∠C＝96°，∠D＝108°（舍去）；4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°（舍去）．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和等于360°，由于四個內(nèi)角中有一個角為84°，不確定，故應當分類探討．16．（恩施市期中）從一個五邊形中切去一個三角形，得到一個三角形和一個新的多邊形，那么這個新的多邊形的內(nèi)角和等于多少度？請畫圖說明．【分析】從一個五邊形中切去一個三角形，得到的可能是四邊形、可能是五邊形、可能是六邊形．再依據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式求解．【解答】解：分三種狀況：①若新多邊形為四邊形，則內(nèi)角和為360°；②若新多邊形為五邊形，則內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°；③若新多邊形為六邊形，則內(nèi)角和為（6﹣2）×180＝720°．【點評】此題較難，考查比較新穎 ，應用了分類思想．本題關(guān)鍵是能夠發(fā)覺從一個五邊形中切去一個三角形，得到的可能是四邊形、可能是五邊形、可能是六邊形．17．（金華期中）如圖所示，一個四邊形紙片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把紙片按如圖所示折疊，使點B落在AD邊上的B′點，AE是折痕．（1）試推斷B′E與DC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）假如∠C＝128°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）由折疊得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，再依據(jù)同位角相等兩直線平行可得B′E∥CD；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠B′EB，由折疊的性質(zhì)得∠AEB＝∠AEB′，即可求得結(jié)論．【解答】（1）B′E∥DC，證明：由折疊得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，∴B′E∥DC；（2）解：∵B′E∥DC，∠C＝128°，∴∠B′EB＝128°，由折疊得：∠AEB＝∠AEB′＝×128°＝64°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，知道翻折變換前后的兩個圖形全等是解題的關(guān)鍵．18．（嘉興期中）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC+∠ADC＝180°；（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數(shù)【分析】（1）依據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計算即可得解；（2）延長DE交BF于G，依據(jù)角平分線的定義可得∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，然后求出∠CDE＝∠CBF，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE＝∠C＝90°，最終依據(jù)垂直的定義證明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長DC交BE于H，再依據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°；故答案為：180°；（2）解：延長DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，∴∠CDE＝∠CBF，又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE＝×180°＝45°，延長DC交BE于H，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E＝90°﹣45°＝45°【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要留意整體思想的利用．19．（衢州期中）如圖所示中的幾個圖形是五角星和它的變形．（1）圖甲中是一個五角星形態(tài)，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）圖甲中的點A向下移到BE上時（如圖乙）五個角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無變更？試說明理由（3）把圖乙中的點C向上移動到BD上時（如圖丙所示），五個角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無變更？試說明理由．【分析】（1）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠1，∠2，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得答案；（2）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠1，∠2，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得答案；（3）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠1，∠2，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得答案．【解答】解：（1）如圖：由三角形外角的性質(zhì)，得∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2．由三角形的內(nèi)角和定理，得∠A+∠1+∠2＝180°，等量代換，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；（2）如圖：由三角形外角的性質(zhì)，得∠C+∠E＝∠1，∠A+∠D＝∠2，由三角形的內(nèi)角和定理，得∠B+∠1+∠2＝180°，等量代換，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；（3）∵∠ECD是△BCE的一個外角，∴∠ECD＝∠B+∠E（三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD＝∠CAD+∠ACD+∠D＝180°，故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，沒有變更．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．20．（天河區(qū)二模）某校探討性學習小組探討平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時用了以下方法：用2個正三角形和2個正六邊形或4個正三角形和1個正六邊形可以拼成一個無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）（3）．請你仿照此方法解決下面問題：（1）探討用邊長相等的x個正三角形和y個正方形進行平面密鋪的情形，求出x和y的值（2）按圖（4）中給出兩個邊長相等的正方形和正三角形畫出一個密鋪后圖形的示意圖．（畫正三角形時必需用尺規(guī)作圖）【分析】（1）正三角形的每個內(nèi)角是60°，正方形的每個內(nèi)角是90°，能進行密鋪，說明一個頂點處的各內(nèi)角之和為360°，依此列出方程求出x和y的值；（2）作出3個正三角形和2個正方形進行平面密鋪的圖形．【解答】解：（1）依題意，可有60x+90?y＝360，化簡得2x+3y＝12，∴x＝3，y＝2；（2）如圖．【點評】考查了平面鑲嵌（密鋪）問題，兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．21．（永嘉縣校級期中）如圖1我們稱之為“8字形”，請干脆寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540度（3）如圖3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠6，∠7的和與∠8，∠9的和相等．由多邊形的內(nèi)角和得出答案即可；（3）先依據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，由已知條件∠1＝∠2，∠3＝∠4，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）如圖1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵∠6，∠7的和與∠8，∠9的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，如圖3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P＝∠D+∠B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與學問的遷移實力．（1）中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）（3）干脆運用“8字形”中的角的規(guī)律解題．22．（香洲區(qū)校級模擬）“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學中的一種重要思想，即把生疏的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，把困難的問題轉(zhuǎn)化成簡潔的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題．（1）請你依據(jù)已經(jīng)學過的學問求出下面星形圖（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；（2）若對圖（1）中星形截去一個角，如圖（2），請你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（3）若再對圖（2）中的角進一步截去，你能由題（2）中所得的方法或規(guī)律，猜想圖3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數(shù)嗎？只要寫出結(jié)論，不須要寫出解題過程）【分析】（1）依據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；（2）依據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（3）依據(jù)圖中可找出規(guī)律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一個角則會增加180度，由此即可求出答案．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；（3）依據(jù)圖中可得出規(guī)律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一個角則會增加180度，所以當截去5個角時增加了180×5度，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系．有關(guān)五角星的角度問題是常見的問題，其5個角的和是180度．解此題的關(guān)鍵是找到規(guī)律利用規(guī)律求解．23．（永年區(qū)期末）如圖是一個多邊形，你能否用始終線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別滿足下列條件：（畫出圖形，把截去的部分打上陰影）①新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180°．②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等．③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和削減了180°．（2）將多邊形只截去一個角，截后形成的多邊形的內(nèi)角和為2520°，求原多邊形的邊數(shù)．【分析】（1）①過相鄰兩邊上的