人教版八年級數(shù)學上冊重要考點題型精講精練專題12等腰三角形和等邊三角形(人教版)(原卷版+解析)

專題12等腰三角形和等邊三角形【思維導(dǎo)圖】◎考點題型1等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．備注：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.例．(2023·甘肅白銀·七年級期末）已知等腰三角形的兩邊的長分別為3和6，則它的周長為（）A．9 B．12 C．15 D．12或15變式1．(2023·河北邯鄲·八年級期末）一個等腰三角形的兩邊長分別為3和，則這個三角形的周長是（

）A． B．C．或 D．或變式2．(2023·河南許昌·八年級期末）一個等腰三角形的周長是11cm，底邊長是3cm，則該等腰三角形的一腰長為（

）A．5cm B．3cm或4cm C．5cm或3cm D．4cm變式3．(2023·重慶·四川外國語大學附屬外國語學校七年級期末）若、為等腰三角形的兩邊，且滿足，則這個等腰三角形的周長為（

）A．16 B．14 C．10 D．16或14◎考點題型2等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．（2）等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．（3）等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．例．(2023·廣東廣州·八年級期末）如圖，，點D在BC邊上．若∠EAB＝50°，則∠ADE的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．65° D．30°變式1．（2023·海南省直轄縣級單位·九年級期中）如圖，把繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點C剛好落在邊上．則（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河南周口·八年級期中）如圖，△ABC≌△DBE，點A在DE邊上，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．AB平分變式3．(2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在中，，點E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，，，則四邊形的周長是（

）A．32 B．24 C．16 D．8◎考點題型3三線合一例．(2023·河北滄州·八年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E在AC上，且AE＝AD，則∠DEC的度數(shù)為（）A．105° B．95° C．85° D．75°變式1．(2023·遼寧大連·八年級期末）在中，，D是中點，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式2．(2023·湖北恩施·八年級期末）如圖，，下列條件不能判定△ACD與△BCD全等的是（

）A． B．C． D．點O是AB的中點變式3．(2023·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（

）A．60° B．100° C．110° D．120°◎考點題型4等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”注意：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。例．(2023·河南安陽·八年級期末）如圖，A，B兩點在一個的正方形網(wǎng)格的格點上，每個小方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且為等腰三角形，在圖中所有符合條件的點C的個數(shù)為（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個變式1．(2023·云南昆明·八年級期末）如圖，已知點A，B的坐標分別為（2，0）和（0，3），在y軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的C點共有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5變式2．（2023·福建省建甌市芝華中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，且∠ABO=60°，若P為坐標軸上的一點，則使△APB為等腰三角形的點P有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個變式3．(2023·河北唐山·七年級期中）如圖，在△ABC中，．BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于點E、F，則線段EF和BE＋CF的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定◎考點題型5作等腰三角形例．(2023·浙江杭州·八年級期末）如圖，在中，運用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點P，使，下列作法正確的是（

）A．B．C． D．變式1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，根據(jù)作圖痕跡，可知（

）A． B． C． D．變式2．（2023·山東臨沂·八年級期中）如圖，在中，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連接．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式3．(2023·湖北鄂州·八年級階段練習）已知坐標原點O和點A（2，﹣2），B是坐標軸上的一點，若△AOB是等腰三角形，則這樣的點B一共有多少個（）A．4 B．5 C．6 D．8◎考點題型6等腰三角形的性質(zhì)和判定例．(2023·山東濟南·七年級期中）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中點，EC⊥BD于E，交BA的延長線于F，若BF＝10，則△FBC的面積為（

）A． B． C．40 D．48變式1．(2023·廣東·普寧市華美實驗學校八年級階段練習）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．過點F作DEBC，交AB于點D，交AC于點E．若AB=6，AC=8，則△ADE的周長為（）A．15 B．14 C．13 D．12變式2．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．△BEC≌△DEC D．AB＝BD變式3．(2023·湖北孝感·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝74°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，若AB＋BD＝BC，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．74° B．69° C．65° D．60°◎考點題型7等邊三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。例．(2023·河北保定·八年級期末）如圖，在等邊三角形DEF中，，點A在DF上，點B在DE上，且DA＝2，，，則CE的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式1．(2023·浙江衢州·八年級期末）一輛汽車沿A地北偏東50°方向行駛5千米到達B地，再沿B地南偏東10°方向行駛5千米到達C地，則此時A、C兩地相距（）千米A．10 B．5 C．5 D．5變式2．(2023·廣東廣東·八年級期末）如圖，在中，，CE垂直平分線段AD于E，且CD平分，，則（

）．A．10cm B．16cm C．24cm D．30cm變式3．(2023·貴州貴陽·中考真題）如圖，已知，點為邊上一點，，點為線段的中點，以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，連接，則的長是（

）A．5 B． C． D．◎考點題型8含30°角的直角三角形例．(2023·山東德州·八年級期末）如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，則DF等于（

）A．10 B．7 C．5 D．4變式1．(2023·廣東深圳·八年級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，則AB的長是（）A．8 B．1 C．2 D．4變式2．(2023·河南駐馬店·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC＝6，則DE的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3．(2023·山東濱州·八年級期末）如圖，在中，，則的面積為（

）A．20 B．25 C．50 D．75專題12等腰三角形和等邊三角形【思維導(dǎo)圖】◎考點題型1等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．備注：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.例．(2023·甘肅白銀·七年級期末）已知等腰三角形的兩邊的長分別為3和6，則它的周長為（）A．9 B．12 C．15 D．12或15答案：C【解析】分析：根據(jù)三角形邊的性質(zhì)可知，這個等腰三角形的腰為6，即可得出答案．【詳解】①若三角形的腰為3，則3+3=6，不能構(gòu)成三角形，故排除此種情況；②若三角形的腰為6，6-6<3<6+6，能構(gòu)成三角形，故周長為：6+6+3=15；故答案選擇C．【點睛】本題考查的是等腰三角形的定義以及三角形邊的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．變式1．(2023·河北邯鄲·八年級期末）一個等腰三角形的兩邊長分別為3和，則這個三角形的周長是（

）A． B．C．或 D．或答案：B【解析】分析：沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進行分析．【詳解】解：當三邊是3，3，5時，3+3=6＜5，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；當三邊是3，，時，符合三角形的三邊關(guān)系，此時周長是，∴這個三角形的周長是，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．變式2．(2023·河南許昌·八年級期末）一個等腰三角形的周長是11cm，底邊長是3cm，則該等腰三角形的一腰長為（

）A．5cm B．3cm或4cm C．5cm或3cm D．4cm答案：D【解析】分析：由一個等腰三角形的周長是11cm，底邊長是3cm，可得兩腰之和，從而可得答案．【詳解】解：∵一個等腰三角形的周長是11cm，底邊長是3cm，∴該等腰三角形的一腰長為：（cm），故選D【點睛】本題考查的是等腰三角形的定義，掌握“等腰三角形的兩腰相等”是解本題的關(guān)鍵．變式3．(2023·重慶·四川外國語大學附屬外國語學校七年級期末）若、為等腰三角形的兩邊，且滿足，則這個等腰三角形的周長為（

）A．16 B．14 C．10 D．16或14答案：D【解析】分析：先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：由題意得x-4=0，x-y+2=0，解得x=4，y=6，當4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、6，能組成三角形，周長=4+4+6=14；②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、6、6，能組成三角形，周長=4+6+6=16；故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值非負數(shù)，平方非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，同時要分情況討論．◎考點題型2等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．（2）等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．（3）等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．例．(2023·廣東廣州·八年級期末）如圖，，點D在BC邊上．若∠EAB＝50°，則∠ADE的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．65° D．30°答案：C【解析】分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．【詳解】解：△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∴∠DAC＝∠EAB＝50°，∵AD＝AC∴∠ADC＝∠C＝∠ADE＝故選C．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·海南省直轄縣級單位·九年級期中）如圖，把繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點C剛好落在邊上．則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=，，再利用等腰三角形內(nèi)角和180°解答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知AC=，故選：D．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·河南周口·八年級期中）如圖，△ABC≌△DBE，點A在DE邊上，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．AB平分答案：B【解析】分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DE，AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，∠BAC＝∠BDE，求出∠ABD＝∠CBE，∠BAD＝∠BAC，再得出選項即可．【詳解】A.∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC?∠ABE＝∠DBE?∠ABE，∴∠ABD＝∠CBE，故A一定成立，不符合題意；B.∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，AB＝DB，但不一定成立，故B符合題意；C.∵△ABC≌△DBE，∴，∵，又∵，，∴，故C一定成立，不符合題意；D.∵△ABC≌△DBE，∴AB＝DB，∠BAC＝∠BDE，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BAC，∴AB平分∠DAC，故D一定成立，不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．變式3．(2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在中，，點E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，，，則四邊形的周長是（

）A．32 B．24 C．16 D．8答案：C【解析】分析：根據(jù)，，可得四邊形AEFG是平行四邊形，從而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，從而得到∠B=∠BFE，進而得到BE=EF，再根據(jù)四邊形的周長是2（AE+EF），即可求解．【詳解】解∶∵，，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴FG=AE，AG=EF，∵，∴∠BFE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，∴四邊形的周長是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故選：C【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎考點題型3三線合一例．(2023·河北滄州·八年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E在AC上，且AE＝AD，則∠DEC的度數(shù)為（）A．105° B．95° C．85° D．75°答案：A【解析】分析：先利用等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可求出∠DEC的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴，∵AE＝AD，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·遼寧大連·八年級期末）在中，，D是中點，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵，∴△ABC為等腰三角形，∵D是中點，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，找準各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式2．(2023·湖北恩施·八年級期末）如圖，，下列條件不能判定△ACD與△BCD全等的是（

）A． B．C． D．點O是AB的中點答案：C【解析】分析：根據(jù)全等三角形的判定定理，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵，CD=CD，∴A、可以利用邊邊邊判定△ACD與△BCD全等，故本選項不符合題意；B、可以利用邊角邊判定△ACD與△BCD全等，故本選項不符合題意；C、不能判定△ACD與△BCD全等，故本選項符合題意；D、因為點O是AB的中點，所以，可以利用邊角邊判定△ACD與△BCD全等，故本選項不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．(2023·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（

）A．60° B．100° C．110° D．120°答案：D【解析】分析：首先求出AB＝AC，然后證明△ABC和△ACD是等邊三角形即可．【詳解】解：∵E是BC的中點，AE⊥BC，∴AB＝AC，∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．◎考點題型4等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”注意：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。例．(2023·河南安陽·八年級期末）如圖，A，B兩點在一個的正方形網(wǎng)格的格點上，每個小方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且為等腰三角形，在圖中所有符合條件的點C的個數(shù)為（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個答案：D【解析】分析：分兩種情況：①AB為等腰三角形的底邊，連接AB，作AB的垂直平分線，得到的格點C有6個符合要求；②AB為等腰三角形的一條腰，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓，得到的格點C有4個；畫出圖形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：①AB為等腰三角形的底邊，符合條件的點C的有6個；②AB為等腰三角形的一條腰，符合條件的點C的有4個．所以符合條件的點C共有10個．故選：D．【點睛】此題考查了畫等腰三角形，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．變式1．(2023·云南昆明·八年級期末）如圖，已知點A，B的坐標分別為（2，0）和（0，3），在y軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的C點共有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5答案：C【解析】分析：分三種情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分別畫圖即可．【詳解】解：如圖，當AB=AC時，以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有三個交點（B點除外），當BA=BC時，以點B為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有三個交點（A點除外），當CA=CB時，畫AB的垂直平分線與坐標軸有2個交點，綜上所述：符合條件的點C的個數(shù)有4個，故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·福建省建甌市芝華中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，且∠ABO=60°，若P為坐標軸上的一點，則使△APB為等腰三角形的點P有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個答案：B【解析】分析：分類討論：AB=AP時，AB=BP時，AP=BP時，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【詳解】①當AB=AP時，在y軸上有2點滿足條件的點P，在x軸上有1點滿足條件的點P．②當AB=BP時，在y軸上有1點滿足條件的點P，在x軸上有2點滿足條件的點P，有1點與AB=AP時的x軸負半軸的點P重合．③當AP=BP時，在x軸、y軸上各有一點滿足條件的點P，有1點與AB=AP時的x軸負半軸的點P重合．綜上所述：符合條件的點P共有6個．故答案為：6．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．變式3．(2023·河北唐山·七年級期中）如圖，在△ABC中，．BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于點E、F，則線段EF和BE＋CF的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定答案：C【解析】分析：由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠EBD=∠EDB，則ED=BE，同理可得DF=FC，則EF=BE+CF，可得答案．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=BE，同理DF=FC，∴ED+DF=BE+FC，即EF=BE+FC，故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得到ED=BE和DF=FC是解題的關(guān)鍵．◎考點題型5作等腰三角形例．(2023·浙江杭州·八年級期末）如圖，在中，運用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點P，使，下列作法正確的是（

）A．B．C． D．答案：C【解析】分析：由題意，PA＝PC，由此判斷即可．【詳解】解：由作圖可知，選項C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，故選：C．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．變式1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，根據(jù)作圖痕跡，可知（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】解：∵AB=AC，∴．由作圖痕跡可知BC=BD，∴．∴．故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·山東臨沂·八年級期中）如圖，在中，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連接．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：由作圖知AB=BD，，由三角形內(nèi)角和，∠BAD=∠BDA，利用兩角的差求即可∠DAC=．【詳解】∵由作圖知AB=BD，，∴∠BAD=∠BDA=，∴∠DAC=．故選：B．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，由圖得結(jié)論，利用三角形內(nèi)角和求出底角，會計算角的和差是解題關(guān)鍵．變式3．(2023·湖北鄂州·八年級階段練習）已知坐標原點O和點A（2，﹣2），B是坐標軸上的一點，若△AOB是等腰三角形，則這樣的點B一共有多少個（）A．4 B．5 C．6 D．8答案：D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使△AOB等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當OA是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標軸出現(xiàn)交點，當OA是腰時，則分別以點O、點A為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標軸出現(xiàn)交點．解：①作OA的垂直平分線，交坐標軸于兩個點；②以O(shè)為圓心，OA為半徑畫弧，交坐標軸于四個點；③以A為圓心，OA為半徑畫弧，交坐標軸于兩個點．如圖所示，顯然這樣的點有8個．故選D．考點：等腰三角形的判定；坐標與圖形性質(zhì)．◎考點題型6等腰三角形的性質(zhì)和判定例．(2023·山東濟南·七年級期中）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中點，EC⊥BD于E，交BA的延長線于F，若BF＝10，則△FBC的面積為（

）A． B． C．40 D．48答案：A【解析】分析：求出∠ABD=∠ACF，根據(jù)ASA證△ABD≌△ACF，推出AD=AF，得出AB=AC=2AD=2AF，求出AF長，求出AB、AC長，根據(jù)三角形的面積公式得出△FBC的面積等于BF×AC，代入求出即可．【詳解】解：∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，∵在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴AD=AF，∵AB=AC，D為AC中點，∴AB=AC=2AD=2AF，∵BF=AB+AF=10，∴3AF=10，∴AF=，∴AB=AC=2AF=，∴△FBC的面積是×BF×AC=×10×=，故選：A．【點睛】本題考查了三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AF=AD，主要考查學生運用性質(zhì)進行計算的能力．變式1．(2023·廣東·普寧市華美實驗學校八年級階段練習）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．過點F作DEBC，交AB于點D，交AC于點E．若AB=6，AC=8，則△ADE的周長為（）A．15 B．14 C．13 D．12答案：B【解析】分析：根據(jù)角平分線的定義得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行線的性質(zhì)得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代換得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，∵，∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，∴BD=FD，CE=FE，∵AB=6，AC=8，∴△ADE的周長為：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+8=14．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，角形分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明BD=FD，CE=FE是解本題的關(guān)鍵．變式2．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．△BEC≌△DEC D．AB＝BD答案：D【解析】分析：由四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得△ABD與△BCD是等腰三角形，繼而求得答案．【詳解】解：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，故A正確；∴AC平分∠BCD，故B正確；在△BEC和△DEC中，，∴△BEC≌△DEC（SSS），故C正確；AB不一定等于BD，故D錯誤．故選：D．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．變式3．(2023·湖北孝感·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝74°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，若AB＋BD＝BC，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．74° B．69° C．65° D．60°答案：B【解析】分析：連接AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝CD，進而可得∠DAC＝∠C，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ADB＝74°，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，∵邊AC的垂直平分線交BC于點D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．◎考點題型7等邊三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。例．(2023·河北保定·八年級期末）如圖，在等邊三角形DEF中，，點A在DF上，點B在DE上，且DA＝2，，，則CE的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D【解析】分析：由等邊三角形的性質(zhì)得三個角都是60°，三邊相等，證明△ADB≌△CFA（AAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DA＝CF，即可得出答案．【詳解】解：∵∠CAB＝60°，∴∠FAC+∠DAB＝120°，∵△DEF為等邊三角形，∴∠D＝∠F＝60°，DF＝DE＝EF，∴∠FAC+∠FCA＝120°，∴∠DAB＝∠FCA，在△ADB和△CFA中，，∴△ADB≌△CFA（AAS），∴DA＝CF＝2，∵EF＝6，∴CE＝EF﹣CF＝6﹣2＝4，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·浙江衢州·八年級期末）一輛汽車沿A地北偏東50°方向行駛5千米到達B地，再沿B地南偏東10°方向行駛5千米到達C地，則此時A、C兩地相距（）千米A．10 B．5 C．5 D．5答案：D【解析】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE=∠FAB=50°，求得∠ABC=60°，推出△ABC是等邊三角形，于是得到AC=AB=5千米．【詳解】解：如圖，∵∠FAB=50°，AF∥BE，∴∠ABE=∠FAB=50°，∵∠CBE=10°，∴∠ABC=60°，∵AB=BC=5千米，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=5千米，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．變式2．(2023·廣東廣東·八年級期末）如圖，在中，，CE垂直平分線段AD于E，且CD平分，，則（

）．A．10cm B．16cm C．24cm D．30cm答案：B【解析】分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CA＝CD，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD＝∠DCE，求出∠ABC＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵CE垂直平分線段AD，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝∠DCE，∵CD平分∠BCE，∴∠BCD＝∠DCE，∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，∴∠ACD＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝16cm，故選：B．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求出∠ABC＝30°是解題的關(guān)鍵．變式3．(2023·貴州貴陽·中考真題）如圖，已知，點為邊上一點，，點為線段的中點，以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，連接，則的長是（

）A．5 B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)同圓半徑相等可得為等腰三角形，又因為，可得為等邊三角形，即可求得BE的長．【詳解】連接OE，如圖所示：∵，點為線段的中點，∴，∵以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，∴，∴,∴為等