備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題41數(shù)列通項(xiàng)

專題41數(shù)列通項(xiàng)【學(xué)問點(diǎn)總結(jié)】一、視察法依據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過視察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式=1\*GB3①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得=2\*GB3②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得=3\*GB3③構(gòu)造幫助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.④利用與的關(guān)系求解形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)，求出【典型例題】例1．（2024·遼寧阜新·校考模擬預(yù)料）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樗?，，所?故選：A.例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前4項(xiàng)為：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將可以寫成，所以的通項(xiàng)公式為；故選:C例3．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】由題意可知數(shù)列中，，，故，所以，故答案為：例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】由題意知，故，故，故答案為：例5．（2024秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)校考期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】因?yàn)椋裕?，，，……，，，所以，所以，因?yàn)?，所以符?hào)該式，故答案為：例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴，整理得：，，∴，明顯對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式.故答案為：.例7．（2024秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，若，則__________．【答案】【解析】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由題得，則等式兩邊同取倒數(shù)得，則，，則數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，則，當(dāng)，則，則，故答案為：.例8．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】由，兩邊取倒數(shù)得，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故，故答案為：例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________.【答案】【解析】由，得.令，則，且.所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴，∴.故答案為：例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】因?yàn)?，明顯，所以，當(dāng)時(shí)，由累乘法得，則，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也符合，所以.例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，可知，則，當(dāng)時(shí)，可知②，①②得，即，所以，又滿意，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知數(shù)列滿意，求；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，求．【解析】（1）設(shè)，當(dāng)n＝1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得，而，也滿意此等式．所以．（2）當(dāng)n＝1時(shí)，，即，解得或，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，整理得，由，則，得，于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以．例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】由，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，即，可得，即，因此數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意，，則的通項(xiàng)為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以.故選：D.2．（2024春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】數(shù)列，，，，，所以第項(xiàng)為，所以通項(xiàng)公式為，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D3．（2024秋·浙江臺(tái)州·高二期末）已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又是等差?shù)列，故首項(xiàng)為3，公差為2，所以，所以．故選：A.4．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：A5．（2024秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也適合此式，∴，,故選:B.6．（2024秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┑缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．-2 B． C．0 D．【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，從而，由于是等比數(shù)列，故，解得，故．故選：C．7．（2024春·江西宜春·高二江西省銅鼓中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，可用來實(shí)現(xiàn)，而各項(xiàng)分母可看作，各項(xiàng)分子均為1，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：D.8．（2024秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，，，，故選：B9．（2024春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：B10．（2024秋·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)?？计谀┮阎?，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因?yàn)?，所以，故選：C．11．（2024秋·重慶大渡口·高二重慶市第三十七中學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和，滿意，則＝（）A．72 B．96 C．108 D．126【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，由題意可得，①當(dāng)時(shí)，，②①﹣②得，，即，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故.故選：B.12．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：A.13．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿意，所以.故選：D.二、多選題14．（2024·江蘇宿遷·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)料）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前5項(xiàng)和最大D．【答案】AC【解析】，，或(舍)，故選項(xiàng)A正確；又，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由得，，數(shù)列的前5項(xiàng)和最大，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，這與沖突，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選:AC.15．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列和滿意，，，．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C．D．【答案】BCD【解析】對(duì)A，，即，，故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，A對(duì)；對(duì)BC，，即，即，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，故，故數(shù)列不為等差數(shù)列，，BC錯(cuò)；對(duì)D，由A得，又，兩式相加得，即，D錯(cuò).故選：BCD16．（2024秋·江蘇南京·高二南京高校附屬中學(xué)校考期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】由已知，當(dāng)時(shí)，可得選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D正確.故選：ACD.17．（2024春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】BCD【解析】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，留意到時(shí)也滿意，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，，當(dāng)最小時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題18．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】由題意知，故，故，故答案為：19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】由已知可得，且，，當(dāng)時(shí)，由得,由于為數(shù)列的前項(xiàng)積，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，即，其中，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，明顯對(duì)于不成立，所以，故答案為：20．（2024春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考開學(xué)考試）數(shù)列的前項(xiàng)和，則___________.【答案】8【解析】，，.故答案為：8.21．（2024春·河南焦作·高二溫縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿意，且，則______.【答案】【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，解得．當(dāng)時(shí)，，與兩式相減得，即，化簡(jiǎn)得：，所以時(shí)，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又不符合上式，故，故答案為：22．（2024秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，解得，不滿意，所以，同理，由可得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，所以.故答案為：.24．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以一個(gè)通項(xiàng)公式可以是，故答案為：四、解答題25．（2024·湖南·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿意，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列滿意，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）由，可得，兩式相減可得：，化簡(jiǎn)可得，由正項(xiàng)數(shù)列知，所以，又，解得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，由可得.（2）由（1）知，所以，所以，，，，由累加法可得，，所以.26．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知在遞增數(shù)列中，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【解析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)為3，8，而數(shù)列遞增，則，，因此數(shù)列是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，，而也滿意上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）證明：由（1）得，因此，而，所以.27．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知滿意，（是正整數(shù)），求．【解析】因?yàn)椋?，則，所以當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，將上述式子相加可得：，因?yàn)?，所以，又符合上式，故?shù)列的通項(xiàng)公式.28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿意求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】，時(shí)有，則時(shí)有可得，即，所以，得，即，經(jīng)檢驗(yàn)滿意上式子，故29．（2024春·安徽·高二安徽師范高校附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和，滿意．(1)求出，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)?，令，可得，令，可得，解?（2）因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，且由（1）知，所以30．（2024春·湖南岳陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）由已知可得．故，.（2）由題得當(dāng)時(shí),，上面兩式相減得整理得：，于是當(dāng)時(shí)相減得由（1），此關(guān)系式對(duì)于也成立所以．31．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，則，即，從而是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，且當(dāng)時(shí)，也滿意，所以故．（2）由（1）可得，則，故．32．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知與都是正項(xiàng)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，且滿意，等比數(shù)列滿意，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿意不等式的自然數(shù)n的最小值．【解析】（1）∵，∴兩式相減得：化簡(jiǎn)得：∵為正項(xiàng)數(shù)列，且∴，，即為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴又∵，，為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，∴，解得或，而為正項(xiàng)數(shù)列，故，.綜上，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為.（2）記，的前項(xiàng)和分別為由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可知∴易知，作差可得：即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴的最小值為8.故滿意不等式的自然數(shù)的最小值為8.33．（2024春·福建·高二福建師大附中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和.(1)求，，及的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【解析】（1）對(duì)于，則有：令，則，解得；令，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，整理得，則；留意到也滿意上式，故.（2）由（1）可得，則，∵當(dāng)時(shí)，恒成立，故.34．（2024春·新疆烏魯木齊·高二烏市一中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿意，數(shù)列滿意.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）依題意，數(shù)列滿意，則，所以，也符合上式，所以.數(shù)列滿意，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，所以.35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）由，且，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得；（2）對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合，.36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因?yàn)?，所以；所以的通?xiàng)公式為.（2）由（1）可知，裂項(xiàng)可得，則.所以數(shù)列的前項(xiàng)和37．（2024春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式及.【解析】（1）依題意，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以.38．（2024·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)料）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；（2）由（1）得，所以，所以.39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，數(shù)列滿意.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】由得，作差得，即，即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，所以.數(shù)列滿意①，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，②，由①-②可得，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和為，