人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義5.5三角恒等變換(原卷版+解析)

5．5三角恒等變換【題型歸納目錄】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式題型二：兩角和與差的正切公式題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型四：給角求值題型五：給值求值題型六：給值求角題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題題型八：三角恒等式的證明題型九：輔助角公式的應(yīng)用題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開(kāi)，即；（3）公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡(jiǎn)捷地處理問(wèn)題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反．知識(shí)點(diǎn)二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對(duì)分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個(gè)角是的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡(jiǎn)時(shí)，不要將和展開(kāi)，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開(kāi)來(lái)，兩角和與差的余弦公式的等號(hào)右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式的等號(hào)右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的正切函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡(jiǎn)三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問(wèn)題．所以在處理問(wèn)題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過(guò)程簡(jiǎn)單明了．（4）公式對(duì)分配律不成立，即．知識(shí)點(diǎn)四：理解并運(yùn)用和角公式、差角公式需注意的幾個(gè)問(wèn)題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線(xiàn)索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時(shí)，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡(jiǎn)便，不需要再用兩角和、差公式展開(kāi)．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見(jiàn)的角的變換有：；；；等，常見(jiàn)的三角變換有：切化弦、等．知識(shí)點(diǎn)五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識(shí)點(diǎn)六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類(lèi)基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1、對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識(shí)點(diǎn)七：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)豪枚督枪降牡葍r(jià)變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識(shí)點(diǎn)八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．知識(shí)點(diǎn)九：半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個(gè)公式分別稱(chēng)作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無(wú)理式表示的．以上兩個(gè)公式稱(chēng)作半角正切的有理式表示．知識(shí)點(diǎn)十：積化和差公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂?guī)律1：公式右邊中括號(hào)前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號(hào)中前后兩項(xiàng)的角分別為和．規(guī)律3：每個(gè)式子的右邊分別是這兩個(gè)角的同名函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)十一：和差化積公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂?guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相加，右邊是兩個(gè)余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相減，右邊沒(méi)有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒(méi)扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時(shí)，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒(méi)有運(yùn)算錯(cuò)誤，其結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時(shí)需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式例1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）（

）A． B． C． D．例2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·山東臨沂·高一期末）（

）A． B． C． D．變式1．（2022·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）=（

）A． B． C． D．變式2．（2022·四川成都·高一期末）的值為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·山東濰坊·高一期末）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過(guò)程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正切公式例4．（2022·甘肅蘭州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．例5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，則角（

）A． B． C． D．例6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．變式4．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．變式5．（2022·四川成都·高一期末）（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運(yùn)用．題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例7．（2022·河南·安陽(yáng)37中高一期末）已知sinα+cosα＝，則sin2α＝（）A． B． C． D．例8．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．變式6．（2022·浙江·高一期中）若，則=（

）A． B． C． D．變式7．（2022·江西省豐城中學(xué)高一期中）若，則（

）.A． B． C． D．變式8．（2022·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)（求值）的策略：化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．題型四：給角求值例10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）的值為（

）A．0 B． C． D．例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（

）A． B． C． D．例12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）計(jì)算：（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式9．（2022·江蘇·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A．1 B． C． D．2變式10．（2022·河南南陽(yáng)·高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．變式11．（2022·四川成都·高一期中（理））（

）A． B． C． D．變式12．（2022·江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A． B．1 C． D．變式13．（2022·江蘇·昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A． B． C．1 D．【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡(jiǎn)求值，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期末）若，則（

）A． B． C． D．例14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（理））若，則（

）A． B． C． D．例15．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則（

）A． B． C． D．變式14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式15．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．變式16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．變式17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．變式18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則值為（

）A． B． C． D．變式19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，則（

）A．1 B．0 C．-1 D．變式20．（2022·甘肅·卓尼縣柳林中學(xué)高一期末），則（

）A． B． C． D．變式21．（2022·遼寧撫順·高一期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．變式22．（2022·四川·成都七中高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．變式23．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式24．（2022·北京·中關(guān)村中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．變式25．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．變式26．（2022·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．變式27．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．變式28．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知、為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．變式29．（2022·廣東·順德一中高一期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式30．（2022·江蘇·常州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角例16．（2022·北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C．或 D．或例17．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．例18．（2022·陜西·西安中學(xué)高一期中）若，則角的值為（

）A． B． C． D．變式31．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則的大小是（

）A． B． C． D．或變式32．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，若，則＝（

）A． B． C． D．變式33．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，均為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．變式34．（2022·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．變式35．（2022·全國(guó)·高一）若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題的方法步驟（1）給值求角問(wèn)題的步驟．①求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過(guò)大或過(guò)小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題例19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：___________.例20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，是第三象限角，則___________.例21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2).變式36．（2022·安徽·東至縣第二中學(xué)高一期末）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【方法技巧與總結(jié)】1、化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”（1）變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類(lèi)的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱(chēng)，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用計(jì)算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào)．題型八：三角恒等式的證明例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，．(1)證明：；(2)計(jì)算：的值．例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，通過(guò)觀察等式的規(guī)律，寫(xiě)出一般性規(guī)律的命題，并給出證明．例24．（2022·江西·豐城九中高一期末）（1）證明：（2）求值：變式37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下四個(gè)式子的值等于同一個(gè)常數(shù)：①；②；③；④.(1)試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.變式38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：(1)；(2)．【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；（3）拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．題型九：輔助角公式的應(yīng)用例25．（2022·上?！の挥袑W(xué)高一期中）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則___________.例26．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，____________．例27．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）要使有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___________．變式39．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）A、B、C是的內(nèi)角，其中，則的取值范圍是__．變式40．（2022·山西忻州·高一期末）關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①其表達(dá)式可寫(xiě)成；②曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④，使得恒成立.其中正確的是______（填寫(xiě)正確的序號(hào)）.變式41．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．變式42．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱(chēng)、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例28．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例29．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值；(3)若，求的值．例30．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值變式43．（2022·安徽·渦陽(yáng)縣第九中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間變式44．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求.變式45．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.變式46．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的三個(gè)步驟：（1）運(yùn)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明例31．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.例32．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）閱讀材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述結(jié)論，試求的值；(2)類(lèi)比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:.例33．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）如圖，矩形中，兩點(diǎn)分別在邊上，，設(shè)，.（1）試用該圖中提供的信息證明兩角和的余弦公式；（2）若，且，求的值.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例34．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一競(jìng)賽）如圖，是半徑為1，的扇形，C是弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，記，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積S取得最大，則的值為_(kāi)________．例35．（2022·安徽安慶·高一期末）如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點(diǎn)M，連接，過(guò)M點(diǎn)分別向半徑OA，OB作垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個(gè)四邊形MEOF.（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.例36．（2022·山西晉中·高一期末）如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點(diǎn)，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大?。?2)點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大？并說(shuō)明理由．變式47．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知矩形內(nèi)接于半徑為1的圓．（1）求矩形面積的最大值；（2）當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，矩形的周長(zhǎng)也最大嗎？說(shuō)明理由．【方法技巧與總結(jié)】解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用表示，建立關(guān)于的函數(shù)，再運(yùn)用倍角公式、和角公式．構(gòu)成函數(shù)，然后進(jìn)行三角變換求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇南通·高一期末）函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川瀘州·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．5．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在，使成立B．對(duì)任意都成立C．能根據(jù)公式直接展開(kāi)D．在中，若為鈍角，則的值大于17．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高一期末）已知?角滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．18二、多選題8．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．的最小正周期為B．曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．的最大值為D．曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題12．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）函數(shù)的圖像相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是______；13．（2022·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么______14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知都是銳角，，則___________.15．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的值是___________．四、解答題16．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）求的值；（3）在中,，求角.17．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在上的最值．18．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數(shù).設(shè)，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.19．（2022·江蘇南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。?0．（2022·河南信陽(yáng)·高一期末）已知.(1)若，且，求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，以及此時(shí)的取值.22．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.(1)求的解析式.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.(3)對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，…，試確定的值，并求的值.5．5三角恒等變換【題型歸納目錄】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式題型二：兩角和與差的正切公式題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型四：給角求值題型五：給值求值題型六：給值求角題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題題型八：三角恒等式的證明題型九：輔助角公式的應(yīng)用題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開(kāi)，即；（3）公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡(jiǎn)捷地處理問(wèn)題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反．知識(shí)點(diǎn)二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對(duì)分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個(gè)角是的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡(jiǎn)時(shí)，不要將和展開(kāi)，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開(kāi)來(lái)，兩角和與差的余弦公式的等號(hào)右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式的等號(hào)右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的正切函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡(jiǎn)三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問(wèn)題．所以在處理問(wèn)題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過(guò)程簡(jiǎn)單明了．（4）公式對(duì)分配律不成立，即．知識(shí)點(diǎn)四：理解并運(yùn)用和角公式、差角公式需注意的幾個(gè)問(wèn)題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線(xiàn)索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時(shí)，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡(jiǎn)便，不需要再用兩角和、差公式展開(kāi)．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見(jiàn)的角的變換有：；；；等，常見(jiàn)的三角變換有：切化弦、等．知識(shí)點(diǎn)五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識(shí)點(diǎn)六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類(lèi)基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1、對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識(shí)點(diǎn)七：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)豪枚督枪降牡葍r(jià)變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識(shí)點(diǎn)八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．知識(shí)點(diǎn)九：半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個(gè)公式分別稱(chēng)作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無(wú)理式表示的．以上兩個(gè)公式稱(chēng)作半角正切的有理式表示．知識(shí)點(diǎn)十：積化和差公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂?guī)律1：公式右邊中括號(hào)前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號(hào)中前后兩項(xiàng)的角分別為和．規(guī)律3：每個(gè)式子的右邊分別是這兩個(gè)角的同名函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)十一：和差化積公式知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂?guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相加，右邊是兩個(gè)余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相減，右邊沒(méi)有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒(méi)扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時(shí)，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒(méi)有運(yùn)算錯(cuò)誤，其結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時(shí)需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式例1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C例2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?），因?yàn)?，所以?），（1）+（2）得，∴.故選：A．例3．（2022·山東臨沂·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】；；原式.故選：C變式1．（2022·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選:B變式2．（2022·四川成都·高一期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B變式3．（2022·山東濰坊·高一期末）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，，B不是；對(duì)于C，，C是；對(duì)于D，，D不是.故選：C【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過(guò)程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正切公式例4．（2022·甘肅蘭州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】.故選：C.例5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?又，所以由得所以，所以，所以.又，所以.故選：C.例6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故選：B.變式4．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋还?，故選：D變式5．（2022·四川成都·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選：A【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運(yùn)用．題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例7．（2022·河南·安陽(yáng)37中高一期末）已知sinα+cosα＝，則sin2α＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故選：A．例8．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，因此，故選：A例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，分子分母同時(shí)除以，得．故選：D.變式6．（2022·浙江·高一期中）若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.變式7．（2022·江西省豐城中學(xué)高一期中）若，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以，故選：C.變式8．（2022·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)（求值）的策略：化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．題型四：給角求值例10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】①②得：．故選：D例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式.故選：C.例12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）計(jì)算：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，故選：C變式9．（2022·江蘇·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】原式

故選：C.變式10．（2022·河南南陽(yáng)·高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故選：C．變式11．（2022·四川成都·高一期中（理））（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】；故選：B.變式12．（2022·江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】.故選：D變式13．（2022·江蘇·昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)高一期中）（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡(jiǎn)求值，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，則，因?yàn)?，等式兩邊平方可得，即，，解?故選：A.例14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，，化?jiǎn)得，所以，所以，故選：A例15．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選：A.變式14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選：A變式15．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，故選：B變式16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，于是，所以．故選：B變式17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，于是，從而．故選：B變式18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴.故選：D.變式19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，則（

）A．1 B．0 C．-1 D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?所以，,因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?所以,故選：B變式20．（2022·甘肅·卓尼縣柳林中學(xué)高一期末），則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選：D.變式21．（2022·遼寧撫順·高一期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，故，可解得，故，故選：A變式22．（2022·四川·成都七中高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，則，，則.故選：D.變式23．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以，，所以，.故選：A.變式24．（2022·北京·中關(guān)村中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，化為：，即，令，于是有，則有，即，所以.故選：D變式25．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所以，所以，，，故選：A變式26．（2022·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選:C．變式27．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選：C.變式28．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知、為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?、為銳角，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故故選：A變式29．（2022·廣東·順德一中高一期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：C.變式30．（2022·江蘇·常州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，所?故選：B【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角例16．（2022·北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】、是方程的兩個(gè)根，，，，，即、,，則，則，故選：B．例17．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，而，，所以，，，，所以．故選：D．例18．（2022·陜西·西安中學(xué)高一期中）若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，由，，得，，若，則，與矛盾，故舍去，若，則，又，.故選：A.變式31．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則的大小是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由題意，故，且由于，故故選：C變式32．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，若，則＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槿簦瑒t，即，，則，所以，，即又，所以.故選：C變式33．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，均為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，均為銳角，且，，∴，，∴.又∵，均為銳角∴.∴.故選：B.變式34．（2022·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，整理得：，，，因?yàn)?，所以，所以，解得：故選：D.變式35．（2022·全國(guó)·高一）若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，則.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題的方法步驟（1）給值求角問(wèn)題的步驟．①求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過(guò)大或過(guò)小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題例19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：___________.【答案】【解析】∵，∴，∴.又∵，且，∴.∵，∴，∴.∴.故答案為：例20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，是第三象限角，則___________.【答案】【解析】，，，為第三象限角，，故答案為：例21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2).【解析】（1）因?yàn)椋?，所以原?（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所以原式，因?yàn)?，所以，所?所以原式.變式36．（2022·安徽·東至縣第二中學(xué)高一期末）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【解析】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，且，所以．?）由（1）中，，可得．因?yàn)?，所以，而，所以，又因?yàn)?，所以，且，于是．【方法技巧與總結(jié)】1、化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”（1）變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類(lèi)的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱(chēng)，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用計(jì)算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào)．題型八：三角恒等式的證明例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，．(1)證明：；(2)計(jì)算：的值．【解析】（1）方法一：由條件，則即整理得也即，得證．方法二：由條件，即，得，從而可得得證．（2）由于所以原式例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，通過(guò)觀察等式的規(guī)律，寫(xiě)出一般性規(guī)律的命題，并給出證明．【解析】一般形式：，證明：左邊

右邊，原式得證．例24．（2022·江西·豐城九中高一期末）（1）證明：（2）求值：【解析】（1）證明：因?yàn)樽筮呌疫?，所以原命題成立.（2）因?yàn)?，所以，所以變?7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下四個(gè)式子的值等于同一個(gè)常數(shù)：①；②；③；④.(1)試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）（2）觀察①，②，③，④，結(jié)合(1)，歸納可得證明如下：.變式38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：(1)；(2)．【解析】(1)左邊===右邊===左邊=右邊，所以原等式得證.(2)

故原式得證.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；（3）拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．題型九：輔助角公式的應(yīng)用例25．（2022·上?！の挥袑W(xué)高一期中）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在時(shí)取得最值，所以，結(jié)合輔助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案為：例26．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，____________．【答案】【解析】，且，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值2．故答案為：例27．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）要使有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】因，因此，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：變式39．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）A、B、C是的內(nèi)角，其中，則的取值范圍是__．【答案】【解析】由題意得，因?yàn)?，所以所以故答案為：變?0．（2022·山西忻州·高一期末）關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①其表達(dá)式可寫(xiě)成；②曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④，使得恒成立.其中正確的是______（填寫(xiě)正確的序號(hào)）.【答案】②③【解析】，對(duì)①，，故①錯(cuò)誤.對(duì)②，，故②正確；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋盛壅_；的最小正周期，若，使得恒成立，說(shuō)明是的一個(gè)周期，而，與“最小正周期為”矛盾，故④不正確.故答案為：②③變式41．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：變式42．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.【答案】【解析】，其中時(shí)取最小值，，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱(chēng)、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例28．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）

所以的最小正周期（2）由，，得，．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（3）當(dāng)時(shí)，∴∴故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.例29．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值；(3)若，求的值．【解析】（1）因?yàn)椋缘淖钚≌芷冢?，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知的單調(diào)遞減區(qū)間為，∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故；另∵，∴，∵在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；（3）∵，∴，由，得，∴，∴，．例30．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值【解析】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為；（2）解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為．變式43．（2022·安徽·渦陽(yáng)縣第九中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【解析】（1）∴當(dāng)時(shí)取得最大值4；（2）因?yàn)榘训膱D象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．變式44．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求.【解析】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期為，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.變式45．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由.函數(shù)的最小正周期為，令得，故對(duì)稱(chēng)軸為，由得，即單調(diào)增區(qū)間為.（2）設(shè)圖像上任意一點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在函數(shù)上，即，又，所以，則，故，所以；.變式46．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得，故最小正周期為,（2）由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）令，則，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，令，且，則問(wèn)題等價(jià)于在有兩個(gè)根，由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根.故【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的三個(gè)步驟：（1）運(yùn)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明例31．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，.連接.若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：，化簡(jiǎn)得：當(dāng)時(shí)，上式仍然成立.∴，對(duì)于任意角有：.(2)①公式的推導(dǎo)：.公式的推導(dǎo)：正切公式的推導(dǎo)：②公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.例32．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）閱讀材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述結(jié)論，試求的值；(2)類(lèi)比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】試題分析：（1）在已知結(jié)論中令代入可得；（2）根據(jù)結(jié)論，取余弦公式和，相減并換元（令，）可得．試題解析:（1）；（2）因?yàn)椤?，……②，由①②得……③，令，，有，，代入③?例33．（2022·上海·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形中，兩點(diǎn)分別在邊上，，設(shè)，.（1）試用該圖中提供的信息證明兩角和的余弦公式；（2）若，且，求的值.【解析】（1）由已知，，，.（2）由已知，從而，，，，.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例34．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一競(jìng)賽）如圖，是半徑為1，的扇形，C是弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，記，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積S取得最大，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】在直角中，，又在直角中，且，當(dāng)即時(shí)，最大.即即故答案為：例35．（2022·安徽安慶·高一期末）如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點(diǎn)M，連接，過(guò)M點(diǎn)分別向半徑OA，OB作垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個(gè)四邊形MEOF.（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.【解析】（1），，由題意要得到四邊形MEOF，則.（2）由（1）知：，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形MEOF的面積S的最大值為.例36．（2022·山西晉中·高一期末）如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點(diǎn)，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大小；(2)點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大？并說(shuō)明理由．【解析】(1)設(shè)，根據(jù)扇形的面積公式可得，得.(2)連接，設(shè)，則，，在中，，則，于是矩形的面積，由于，則，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大為，此時(shí)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．因此，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，矩形的面積最大，最大為.變式47．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知矩形內(nèi)接于半徑為1的圓．（1）求矩形面積的最大值；（2）當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，矩形的周長(zhǎng)也最大嗎？說(shuō)明理由．【解析】（1）如圖所示，設(shè)，在中，，，，矩形的面積是，當(dāng)時(shí)，矩形的面積取得最大值．（2）矩形的周長(zhǎng)是，當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)取得最大值；綜上，時(shí)，矩形面積與周長(zhǎng)同時(shí)取得最大值，即當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，矩形的周長(zhǎng)也最大【方法技巧與總結(jié)】解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用表示，建立關(guān)于的函數(shù)，再運(yùn)用倍角公式、和角公式．構(gòu)成函數(shù)，然后進(jìn)行三角變換求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，，故選：D.2．（2022·江蘇南通·高一期末）函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，即，故函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為．故選：C3．（2022·四川瀘州·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故選：C4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋裕獾?，于是．故選：C.5．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知，，則