浙教版2018-2019學(xué)年九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

浙教版2018-2019學(xué)年九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

—.選擇題(共10小題，3*10=30)

1.從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是()

A.1B.1C.ZD.1

533

2.將二次函數(shù)y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下列結(jié)果中正確的是

()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5

C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-9

3.如圖，矩形ABCD中，已知點M是線段AB的黃金分割點，且AM>BM,AD=AM,

FB=BM,EF和GM把矩形ABCD分成四個小矩形，其面積分別用Si,S2,S3,S4表示，

EF與MG相交與點N,則以下結(jié)論正確的有()

①N是GM的黃金分割點②Si=S4③包=近工.

S32

D.GC

S3邑

AMB

A.①②B.①③C.③D.①②③

4.在AABC與△ABC，中，有下列條件：(1)，電=產(chǎn)，，(2)產(chǎn)=產(chǎn)；

(3)ZA=ZA'；(4)ZC=ZC\如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷AABC

saAB'C的共有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

5.用圓心角為60。，半徑為24cm的扇形做成一個圓錐的側(cè)面，那么這個圓錐底面的半

徑是()

A.4兀cmB.871cmC.4cmD.8cm

6.如圖，E、F分別在矩形ABCD的邊CD、AB上，EFLAB,G、H分別是BC、EF

的中點，EH>HG,除矩形EFBC外，圖中4個矩形都彼此相似，若BC=1,則AB等于

()

7.已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線ACLBD,AB>CD.若CD=4,則AB的弦

心距為（）

A.遍B.2C.V3D.V2

8.二次函數(shù)y=x?+5x+4,下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.當x>-3時，y隨x的增大而增大

C.二次函數(shù)的最小值是-2

D.拋物線的對稱軸是x=-9

2

9.如圖，ZkABC中，AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的頂點E,F在AABC內(nèi)，

頂點D,G分別在AB,AC上，AD=AG,DG=6,則點F到BC的距離為（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空題（共6小題，4*6=24）

12

11.若L+X=3,則—=.

XX+X+1

12.在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰

梯形，其中有個旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

13.在盒子里放有四張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、圓的卡片（卡片除所

畫內(nèi)容不同外，其余均相同），從中隨機抽取一張卡片，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形

的概率是.

14.如圖，直角梯形ABCD中，AD〃:BC,ZBAC=ZADC=90°,AB=AC,CE平分/

ACB交AB于點E,F為BC上一點，BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC

于點H.下列結(jié)論：

@AF±CE；②△ABFs^DGA；③AF=*DH；④S四邊形曲0G

其中正確的結(jié)論有.

15.若拋物線y=2x?-px+4p+l中不管p取何值時都通過定點，則定點坐標為.

16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,動點P為矩形邊上的一點，點P沿著B-C的路

徑運動（含點B和點C）,則4ADP的外接圓的圓心0的運動路徑長是.

三.解答題（共7小題，66分）

17.（8分）小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光

源到物體的距離有關(guān).因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位

置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,邊長AB為30cm,在其正上方有一

燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A，B,DC的長度和為6cm.那么燈泡

離地面的高度為

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請計算

此時橫向影子A，B,DC的長度和為多少？

（3）有n個邊長為a的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A，B,DC的長度和為b,求

燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示）

18.（8分）如圖，已知在中，AB=3,AC是。。的直徑，ACLBD于F,ZA=30°.

（1）求。O的半徑；

（2）求出圖中陰影扇形OBD的面積.

19.（10分）如圖，點D在AABC的邊BC上，且與B,C不重合，過點D作AC的平

行線DE交AB于E,作AB的平行線DF交AC于點F.又知BC=5.

（1）設(shè)AABC的面積為S.若四邊形AEFD的面積為看$；求BD長.

（2）若四步處；且DF經(jīng)過AABC的重心G,求E,F兩點的距離.

20.（10分）某批足球的質(zhì)量檢測結(jié)果如下：

抽取足球數(shù)n1002004006008001000

合格的頻數(shù)m93192384564759950

合格的頻率皿0.930.960.960.94

n

（1）填寫表中的空格.（結(jié)果保留0.01）

（2）畫出合格的頻率的折線統(tǒng)計圖.

（3）從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值是多少？并說明理由.

0.9S卜++++++T

0.96卜++++++T

0.94卜++++++T

0.9*++++++T

0.9（^++++-j-+T

0I20ci6CC?106。i-土DA*資—

hoc4W8001200

21.（10分）某水果店在兩周內(nèi)，將標價為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價

格為8」元/斤，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該種水果每次降價的百分率；

（2）從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費用

的相關(guān)信息如表所示.已知該種水果的進價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第X（天）的利

潤為y（元），求y與x（lWx<15）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？

時間x（天）l<x<99<x<15xN15

售價（元/斤）第1次降價后的價格第2次降價后的價

銷量（斤）80-3x120-x

儲存和損耗費用（元）3x2_64X+400

（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則

第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元？

22.（10分）如圖，已知。。的半徑長為4,弦AB垂直平分半徑OC,弦DE〃AB,過

點B作AD的平行線交直線DE于點F.

（1）當點E,F不重合時，試說明4BEF是等腰三角形.

（2）填空：當AD=時，四邊形ABFD是菱形.

23.（10分）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線1：產(chǎn)件x+ir與x軸、y軸分別交

于點A和點B（0,-1）,拋物線尸5x2+bx+c經(jīng)過點B，且與直線1的另一個交點為C

(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t(0<tV4).D￡〃丫軸交直線1于點E,點

F在直線1上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求p與t

的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

(3)M是平面內(nèi)一點，將AAOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，得到△AiOiBi,點

A、O、B的對應(yīng)點分別是點Ai、01、Bi.若△AiOiBi的兩個頂點恰好落在拋物線上，

請直接寫出點Ai的橫坐標.

參考答案與試題解析

選擇題(共10小題)

1.從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是()

A.1B.1C.ZD.1

533

【分析】讓2除以總?cè)藬?shù)即為所求的可能性.

【解答】解：選兩名代表共有以下情況：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三種情況.故甲被

選中的可能性是2.

3

故選：C.

【點評】本題考查的是可能性大小的判斷，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與

總情況數(shù)之比.

2.將二次函數(shù)y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下列結(jié)果中正確的是

()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-9

【分析】運用配方法把一般式化為頂點式即可.

【解答】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x-3)2-4,

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把一般式化為頂點式是解

題的關(guān)鍵.

3.如圖，矩形ABCD中，已知點M是線段AB的黃金分割點，且AM>BM,AD=AM,

FB=BM,EF和GM把矩形ABCD分成四個小矩形，其面積分別用Si,S2,S3,S4表示,

EF與MG相交與點N,則以下結(jié)論正確的有()

①N是GM的黃金分割點②Si=S4③包=五上

S32

D__________G

S1

s2

N

S3S4

B

A.①②B.①③C.③D.①②③

【分析】首先證明四邊形AMGD,四邊形BMNF都是正方形，推出AM=AD=MG=BC,

MB-BF=MN=FN,由點M是線段AB的黃金分割點，AM>BM,推出AM?=BM?AB,

可得S1+S3=S3+S4,推出S1=S4,故②正確，推出MN2=GN?DG=NG?GM,可得N是GM

的黃金分割點故①正確’因為￡=器需=器’由器上導(dǎo)可得GN：27^+1=3-\/^

'GM22-

故③錯誤；

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，AM=AD,BM=BF,

???四邊形AMGD,四邊形BMNF都是正方形，

.*.AM=AD=MG=BC,MB-BF=MN=FN,

,點M是線段AB的黃金分割點，AM>BM,

.*.AM2=BM?AB,

.*.S1+S3=S3+S4,

，S1=S4,故②正確，

MN2=GN?DG=NG?GM,

AN是GM的黃金分割點，故①正確，

-?S2_GN>FN_GN

■S3AM-MN而，

-GM~2-_

故③錯誤，

AGN=2-V5+1=32/5,>

GM22

故選：A.

nGc

Sis2

N

邑S4

1MB

【點評】本題考查黃金分割、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決

問題，所以中考?？碱}型.

4.在AABC與△ArB，C中，有下列條件：(1)，嗎=產(chǎn)，(2)產(chǎn)=產(chǎn)；

NC'C'NC'

(3)ZA=ZA'；(4)ZC=ZC\如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷^ABC

的共有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對各個條件進行分析，從而得到答案.

【解答】解：共有3組，其組合分別是（1）和（2）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;

（2）和（4）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

（3）和（4）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

故選：C.

【點評】考查相似三角形的判定定理：

（1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊

對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

5.用圓心角為60。，半徑為24cm的扇形做成一個圓錐的側(cè)面，那么這個圓錐底面的半

徑是（）

A.4兀cmB.8兀cmC.4cmD.8cm

【分析】正確理解圓錐側(cè)面與其展開得到的扇形的關(guān)系：圓錐的底面周長等于扇形的弧

長.扇形中已知圓心角，半徑，則根據(jù)扇形的弧長公式1=電￡三=蚓￡必_=8兀，設(shè)底面圓

180180

的半徑是r,貝！J8兀=2兀r,r=4cm.

【解答】解：根據(jù)扇形的弧長公式1=史1三=四上圓_=8兀，

180180

設(shè)底面圓的半徑是r,

則8兀=2兀r

.*.r=4cm,

這個圓錐底面的半徑是4cm.

故選：C.

【點評】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算.解題思路：解決此類問題時要緊緊

抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）

圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，E、F分別在矩形ABCD的邊CD、AB上，EF±AB,G、H分別是BC、EF

的中點，EH>HG,除矩形EFBC外，圖中4個矩形都彼此相似，若BC=1,則AB等于

()

【分析】根據(jù)條件矩形ABCDs矩形EHGC,根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可求

解.

【解答】解：GC=1BC=0.5.設(shè)AB=CD=X,CE=y.則DE=x-y.

：矩形ABCDs矩形EHGC.

AAB=BC>即(1)

GCHG0.5y

:矩形ABCDs矩形ADEF.

.?.坦=邁，即l=紅(2)

ABADx1

由(1)(2)解得：x①.

2

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，注意分清對應(yīng)邊是解決本題的

關(guān)鍵.

7.已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線ACLBD,AB>CD.若CD=4,則AB的弦

心距為（）

A.VsB.2C.V3D.V2

【分析】設(shè)AC和BD的交點是O.過點O作GHLCD于G,交AB于H.

根據(jù)等角的余角相等以及圓周角定理可以證明點H是AB的中點.

再過點。作MNLAB于M,交CD于點N.同樣可以證明N是CD的中點.

設(shè)該圓的圓心是0',連接ON、（YH.根據(jù)垂徑定理的推論，得ONLCD,O'HXAB.

則ON〃GH,O，H〃MN,則四邊形ONOH是平行四邊形，則0rH=ON=A_CD=2.

2

【解答】解：如圖，設(shè)AC與BD的交點為0,過點。作GHLCD于G,交AB于H；

作MNLAB于N,交CD于點M.

在Rt^COD中，ZCOD=90°,OG±CD；

.*.ZDOG=ZDCO；

VZGOD=ZBOH,ZDCO=ZABO,

.*.ZABO=ZBOH,即BH=OH,同理可證，AH=OH；

即H是RtAAOB斜邊AB上的中點.

同理可證得，M是RtACOD斜邊CD上的中點.

設(shè)圓心為O，，連接0，M,O'H；則O'MLCD,O'HXAB；

VMNXAB,GH±CD；

...0，H〃MN,0M〃GH；即四邊形0HoM是平行四邊形；

因此0M=0，H.由于0M是RtAOCD斜邊CD上的中線，所以0M=0，H=LcD=2.

【點評】此題綜合運用了等角的余角相等以及等弧所對的圓周角相等，發(fā)現(xiàn)垂直于一邊

的直線，和另一邊的交點正好是它的中點.再根據(jù)垂徑定理的推論，得到垂直，發(fā)現(xiàn)平

行四邊形.根據(jù)平行四邊形的對邊相等，即可求解.

8.二次函數(shù)y=x?+5x+4,下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.當x>-3時，y隨x的增大而增大

C.二次函數(shù)的最小值是-2

D.拋物線的對稱軸是x=-3

2

【分析】首先利用配方法把二次函數(shù)化成頂點式的形式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【解答】解：y=x2+5x+4=（x+2）2-1,

24

二次項系數(shù)是1>0,則函數(shù)開口向上，故A錯誤；

函數(shù)的對稱軸是*=-反，頂點是（-3,-1）,B錯誤；

224

則D正確，函數(shù)有最小值是-上，選項C錯誤.

4

故選：D.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的頂點式求最值是解題的關(guān)鍵,

即二次函數(shù)y=a(x-h)2+k當x=h時有最值k.

9.如圖，^ABC中，AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的頂點E,F在AABC內(nèi),

頂點D,G分別在AB,AC±,AD=AG,DG=6,則點F到BC的距離為()

【分析】首先過點A作AMLBC于點M,交DG于點N,延長GF交BC于點H,易證

得△ADGS^ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)求解即可求得答案.

【解答】解：過點A作AMLBC于點M,交DG于點N,延長GF交BC于點H,

VAB=AC,AD=AG,

/.AD：AB=AG：AC,

VZBAC=ZDAG,

/.△ADG^AABC,

.*.ZADG=ZB,

.?.DG〃BC,

,??四邊形DEFG是正方形,

/.FG±DG,

AFHXBC,AN±DG,

VAB=AC=18,BC=12,

.?.BM=LBC=6,

2

AM=JAB2-BM2=12五,

???A--N---D--G,

AM-BC

?AN6

??--7=~—--，

127212

AN=6A/2>

AMN=AM-AN=6加，

.*.FH=MN-GF=6&-6.

故選：D.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及

勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

10.方程x2+2x+l=Z的正數(shù)根的個數(shù)為（）

X

A.0B.1C.2D.3

【分析】求方程x2+2x+l=Z的解，可以理解為：二次函數(shù)y=x?+2x+l與反比例函數(shù)y=2的

XX

圖象交點的橫坐標.

【解答】解：二次函數(shù)y=x2+2x+l=（x+1）2的圖象過點（0,1）,且在第一、二象限內(nèi)，

反比例函數(shù)y=2的圖象在第一、三象限，

X

...這兩個函數(shù)只在第一象限有一個交點.

即方程x2+2x+l=Z的正數(shù)根的個數(shù)為1.

X

故選：B.

【點評】本題利用了二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象來確定方程的交點的個數(shù).

二.填空題（共6小題）

121

11.若L+X=3,則，*。=」_.

Xx4+X2+1—

2

【分析】將方程2+x=3的兩邊平方，得：3+2+乂2=9,.?.±+乂2=7,代入彳x,化

xx2x2x4+x2+l

簡后的式子即可.

【解答】解：將方程L+X=3的兩邊平方,

X

得：與+2+x—9,

?1,2—7

,,-7+x

?.?xWO,

2

?x_______11_1

8

x4+x2+lx2+l+4市

故答案為L.

8

【點評】根據(jù)所求分式，將已知條件中的分式方程進行變形，從而求出力+*2=7,是解

X

答問題的關(guān)鍵.

12.在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰

梯形，其中有4個旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始

圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做

旋轉(zhuǎn)角.解答即可.

【解答】解：在等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形

只有等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

故答案為4；

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與

初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度

叫做旋轉(zhuǎn)角.

13.在盒子里放有四張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、圓的卡片（卡片除所

畫內(nèi)容不同外，其余均相同），從中隨機抽取一張卡片，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形

的概率是2.

—2一

【分析】先根據(jù)軸對稱圖形的定義得到在所給圖形中軸對稱圖有等邊三角形、矩形、圓

三個，然后根據(jù)概率公式進行計算.

【解答】解：因為在等邊三角形、平行四邊形、矩形、圓中，軸對稱圖有等邊三角形、

矩形、圓，

所以從中隨機抽取一張卡片，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形的概率是3.

4

故答案為3.

4

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除

以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).也考查了軸對稱圖形.

14.如圖，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZBAC=ZADC=90°,AB=AC,CE平分/

ACB交AB于點E,F為BC上一點，BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC

于點H.下列結(jié)論：

?AF±CE；②△ABFs^DGA；③AF=&DH；④S四邊形即0G

其中正確的結(jié)論有①②③④.

【分析】先判斷出^ABC是等腰直角三角形，過點E作EPLBC于F，，根據(jù)角平分線上

的點到角的兩邊的距離相等可得AE=EF,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF，=EP,

從而確定點F、F重合，再利用“HL”證明4ACE和4FCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊

相等可得AC=CF,根據(jù)等腰三角形三線合一的可得AFXCE,判斷出①正確;求出ZAFC=

ZFAC=67.5°,再求出NDAG=NAFB=U2.5。，ZBAF=ZACE=22.5°,再根據(jù)點A、G、

C、D四點共圓得到NADG=NACE,然后利用兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出②

正確；求出AACF和AHCD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到

AF=&DH,判斷出③正確；根據(jù)S四邊形ADCG=S^ACG+SAADC,利用三角形的面積列出整理

成AF-DG的形式，再把AF用DG表示，然后代入進行計算即可判斷④正確.

【解答】解：VZBAC=ZADC=90°,AB=AC,

/.△ABC是等腰直角三角形，

過點E作EF'XBC于P,

則△BEF，是等腰直角三角形，

.\BF,=EF,,

,..CE平分NACB,

.?.AE=EF,

.?.AE=BF',

VBF=AE,

.\BF=BF,,

點F、F重合，

在AACE和AFCE中，ICE=CE

lAE=EF

AAACE^AFCE(HL),

.?.AC=CF,

：CE平分NACB,

/.AF±CE,故①正確；

：ZAFC=ZFAC=90°-lx45°=67.5°,

2

NDAG=NAFB=112.5。，

ZBAF=ZACE=1X45°=22.5°,

2

VZAGC=90°,ZADC=90°,

.?.點A、G、C、D四點共圓，AC是直徑，

.*.ZADG=ZACE=22.5°,

/.ZADG=ZBAF,

AAABF^ADGA,故②正確；

ZCDH=90°-ZADG=90°-22.5°=67.5°,

.,.ZCDH=ZFAC=67.5°,

又：ZACF=ZACD=45°,

.,.△ACF^AHCD,

???A---F-_-A---C-,

DHCD

'.,△ACD中，ZACD=90°-45°=45°,ZADC=90°,

/.△ACD是等腰直角三角形，

.*.AC=V2CD,

.\AF=V2DH,故③正確；

ZGDC=ZGCD=90°-22.5°=67.5°,

.*.DG=CG,

VAABF^ADGA,

???AD_—D--G,

AFAB

AF?DG=AD?AB=AD?V^AD=、&D2,

.*.AD2=2Z1AF?DG,

2

S四邊形ADCG二SZ\ACG+SAADC,

」AG?CG+LAD?CD,

22

=1X1AF?DG+1X返A(chǔ)F?DG,

2222

=^1LAF?DG,

4_

DG=DH+GH=DH+AG=^AF+lAF=2Z2j±AF,

222

.?.AF=^J—DG,

V2+1

2

S四邊形ADCG上巨士X-=3—DG?DG=1DG,故④正確.

4V2+12

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.

故答案為：①②③④.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三

角形的判定與性質(zhì)，直角梯形，根據(jù)角的度數(shù)22.5。和67.5。求出相等的角是解題的關(guān)鍵,

也是本題的難點.

15.若拋物線y=2x2-px+4p+l中不管p取何值時都通過定點，則定點坐標為（4,33）.

【分析】把含P的項合并，只有當p的系數(shù)為0時，不管p取何值拋物線都通過定點，

可求x、y的對應(yīng)值，確定定點坐標.

【解答】解：y=2x2-px+4p+l可化為y=2x2-p（x-4）+1,

分析可得：當x=4時，y=33；且與p的取值無關(guān)；

故不管p取何值時都通過定點（4,33）.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象過定點問題，解決此類問題：首先根據(jù)題意，化簡函數(shù)

式，提出未知的常數(shù)，化簡后再根據(jù)具體情況判斷.

16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,動點P為矩形邊上的一點，點P沿著B-C的路

徑運動(含點B和點C),則4ADP的外接圓的圓心。的運動路徑長是旦.

【分析】如圖，連接AC、BD交于點0L當點P與B或C重合時，^PAD的外接圓的

圓心與0,重合，當PA=PD時，設(shè)APAD的外接圓的圓心為0,P0的延長線交AD于E,

設(shè)P0=0D=x,因為APAD的外心在線段AD的垂直平分線上，

觀察圖象可知，點P沿著B-C的路徑運動，AADP的外接圓的圓心0的運動路徑長是

200\由此即可解決問題；

【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點0L

當點P與B或C重合時，4PAD的外接圓的圓心與0,重合，

當PA=PD時，設(shè)APAD的外接圓的圓心為0,P0的延長線交AD于E,設(shè)P0=0D=x,

RtAODE中,OD2=OE2+DE2,

x2=(4-x)2+32,

解得x=空，

8

.*.0E=4-空=工，

88

,.,O'BWD,AE=DE,

.-.O,E=1AB=2,

2

.?.00，=0E-0E=2,

8

.「△PAD的外心在線段AD的垂直平分線上，

觀察圖象可知，點P沿著B-C的路徑運動，4ADP的外接圓的圓心。的運動路徑長是

200，=旦.

4

故答案為旦.

4

【點評】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找

點0的運動軌跡，屬于中考常填空題中的壓軸題.

三.解答題（共7小題）

17.小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光源到物體

的距離有關(guān).因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是,

他們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,邊長AB為30cm,在其正上方有一

燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A，B,DC的長度和為6cm.那么燈泡

離地面的高度為180cm.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請計算

此時橫向影子A，B,DC的長度和為多少？

（3）有n個邊長為a的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A，B,DC的長度和為b,求

燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示）

【分析】（1）設(shè)燈泡的位置為點P,易得△PADs^PATT,設(shè)出所求的未知數(shù)，利用相

似三角形的對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，可得燈泡離地面的高度；

（2）同法可得到橫向影子A，B,DC的長度和；

（3）按照相應(yīng)的三角形相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，用字母表

示出其他線段，即可得到燈泡離地面的距離.

【解答】解：（1）設(shè)燈泡離地面的高度為xcm,

'：AD//A'D',

：.ZPAD=ZPA,D,,ZPDA=ZPD,A,.

.,.△PAD^APA,D,.

根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得*一3

A'D'PM

???3--0--_-x----3--0-,

36x

解得x=180.（4分）

（2）設(shè)橫向影子A，B,DC的長度和為ycm,

同理可得???一”=出，

60+y180

解得y=12cm；（3分）

（3）記燈泡為點P,如圖：

：AD〃AD,/.ZPAD=ZPA,D,,ZPDA=ZPD,A,.

.,.△PAD^APA,D,.

根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得，嗎=PNa分）

ND'PM

（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）

設(shè)燈泡離地面距離為x,由題意，得PM=x,PN=x-a,AD=na,ATT=na+b,

???--n--a---—x-a—_—ii_—a

na+bxx

2=1-na

xna+b

x=na5+ab0分）

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，注意運用相似三角形對應(yīng)高的比等于

相似比這個性質(zhì).

18.如圖，已知在。0中，AB=3,AC是。。的直徑，ACLBD于F,ZA=3O°.

（1）求。O的半徑；

(2)求出圖中陰影扇形OBD的面積.

【分析】(1)由NA=30。，可求得NBOC=60。，再根據(jù)垂徑定理得NBOD=120。，求出

BF以及OB的長即可；

(2)由扇形面積公式求出陰影部分的面積即可.

【解答】解：(1)：AC，BD于F,ZA=30°,

.\ZBOC=60o,ZOBF=30°,ZBOD=120°,

.?.BF」AB=3，

22

3

在RtABOF中，OB=—理k=I=?,

sin60,

即。。的半徑為F；

7rx

(2)圖中陰影扇形OBD的面積J2。'叵==兀.

360

【點評】本題考查了垂徑定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、扇形面積的計

算、以及圓周角定理；熟練掌握垂徑定理，由三角函數(shù)求出半徑是解決問題的關(guān)鍵.

19.如圖，點D在AABC的邊BC上，且與B,C不重合，過點D作AC的平行線DE

交AB于E,作AB的平行線DF交AC于點F.又知BC=5.

(1)設(shè)AABC的面積為S.若四邊形AEFD的面積為25；求BD長.

(2)若ACj巧AB；且DF經(jīng)過AABC的重心G,求E,F兩點的距離.

【分析】(1)由題中條件可得△BDEsaBCAs/XDCF,由相似三角形可得其面積比與

對應(yīng)邊長的比的關(guān)系，進而再由題中的已知條件，求解其長度即可；

(2)由平行線可得對應(yīng)線段的比，通過線段之間的轉(zhuǎn)化以及角的相等，可得aDEFs4

ABC,由其對應(yīng)邊成比例可得線段EF的長.

【解答】解：如圖，

(1)VDE//AC,DF〃AB,

ABDE^ABCA^ADCF,

ifiSABDE-Si,SADCF-S2,

???SAEFD=2S,

5

/.S1+S2=S-2,S=As.①

55

何_BD恒_CD

，

VTBCJVTBC

于是曝魯誓4即日后代

故2^T；=SAEFD=|>S,即SIS2=蚩S2.②

由①、②解得Si=2±Y5s,即包=2土立.

10S10

包=（嗎2,即3土面BD）2,解得BD=」30±1礪—4（5土泥產(chǎn)―5土泥

SW10'5'222

(2)由G是AABC的重心，DF過點G,且DF〃AB,可得型=2,則DF=?AB.

CB33

由DE〃AC,型=2,得DE」AC,

CB33

VAC=V2AB,:.迫=、叵,DF=4^.=V2-

ABEDV2AB

得亞筌，gpDF.=DE,

DEABACAB

又NEDF=NA,故△DEFS^ABC,

得空酒，所以EF=?1.

BCAB3

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的重心的一些基本知識,

能夠掌握并熟練運用.

20.某批足球的質(zhì)量檢測結(jié)果如下:

抽取足球數(shù)n1002004006008001000

合格的頻數(shù)m93192384564759950

合格的頻率皿0.930.960.960.940.950.95

n

(1)填寫表中的空格.(結(jié)果保留0.01)

(2)畫出合格的頻率的折線統(tǒng)計圖.

(3)右從吟這批靖足嗑球“任身意抽f取笑的虹次一數(shù)只布足球是合格品的概率估計值是多少？并說明理由.

-r-r-r-r-r-rn

++++++T

++++++T

++++++T

++++++T

j++++++T

【分析】(1)根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)計算可得;

(2)由表格中數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)用點描出來，再用線段依次相連即可得;

(3)根據(jù)頻率估計概率，頻率都在0.95左右波動，所以任意抽取的一只足球是合格品

的概率估計值是0.95.

【解答】解：(1)完成表格如下:

抽取足球數(shù)n1002004006008001000

合格的頻數(shù)m93192384564759950

合格的頻率20.930.960.960.940.950.95

n

(2)如圖所示:

A實驗次數(shù)加

(3)從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值0.95,

因為從折線統(tǒng)計圖中可知，隨著實驗次數(shù)的增大，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.95附近，

所以從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值0.95.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定

位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率得到的是

近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.也考查了頻率分布折線圖.

21.某水果店在兩周內(nèi)，將標價為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元

/斤，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該種水果每次降價的百分率；

（2）從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費用

的相關(guān)信息如表所示.已知該種水果的進價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利

潤為y（元），求y與x（lWx<15）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？

時間x（天）lWx<99Wx<15xN15

售價（元/斤）第1次降價后的價格第2次降價后的價

銷量（斤）80-3x120-x

儲存和損耗費用（元）3x2_64X+400

（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則

第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元？

【分析】（1）設(shè)這個百分率是x,根據(jù)某商品原價為10元，由于各種原因連續(xù)兩次降

價，降價后的價格為8.1元，可列方程求解；

（2）根據(jù)兩個取值先計算：當lWx<9時和9<x<15時銷售單價，由利潤=（售價-進

價）X銷量-費用列函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)增減性求最大值，作對比；

（3）設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上可降a元，根據(jù)第15天的利潤比（2）中最大利

潤最多少127.5元，列不等式可得結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)該種水果每次降價的百分率是X,

10（1-x）2=8.1,

x=10%或x=190%（舍去）,

答：該種水果每次降價的百分率是10%；

（2）當lWx<9時，第1次降價后的價格：10X（1-10%）=9,

.-.y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,

V-17.7<0,

，y隨x的增大而減小，

??.當x=l時，y有最大值，

y大=-17.7X1+352=334.3(元)，

當9Wx<15時，第2次降價后的價格：8.1元，

Ay=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,

：-3V0,

.,.當9WxW10時，y隨x的增大而增大，

當10<x<15時，y隨x的增大而減小，

.,.當x=10時，y有最大值，

y大=380(元),

1-17.7x+352(l《x<9)

綜上所述，y與x(l<x<15)之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=,

-3X2+60X+80(9<X<15)

第10天時銷售利潤最大；

(3)設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上可降a元，

由題意得：380-127.5<(8.1-4.1-a)(120-15)-(3X152-64X15+400)，

252.5W105(4-a)-115,

aW0.5,

答：第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降0.5元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確的

找到題目中的等量關(guān)系且利用其列出方程，注意第2問中x的取值，兩個取值中的最大

值才是最大利潤.

22.如圖，已知的半徑長為4,弦AB垂直平分半徑OC,弦DE〃AB,過點B作

AD的平行線交直線DE于點F.

(1)當點E,F不重合時，試說明ABEF是等腰三角形.

(2)填空：當AD=4亞時,四邊形ABFD是菱形.

D

【分析】(1)根據(jù)已知條件得到四邊形ABFD是平行四邊形.于是得至UNEFB=NDAB.根

據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)連接0A,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：：DF〃AB,BF/7AD,

???四邊形ABFD是平行四邊形.

ZEFB=ZDAB.

：四邊形ABED是。0的內(nèi)接四邊形，

.,.ZDAB+ZDEB=180°.

又":ZFEB+ZDEB=180°,

NFEB=NDAB,

，BE=BF,

...△BEF是等腰三角形；

(2)解：當AD=4?時，四邊形ABFD是菱形.

理由：連接0A,

???OO的半徑長為4,弦AB垂直平分半徑0C,

.?.0A=4,0G=2,OG±AB,

?*,AG=VOA2-OG2=2^>

/.AB=4V3-

AD=AB=4?時，四邊形ABFD是菱形.

故答案為：45/3?

【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

23.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線1：尸與x軸、y軸分別交于點A和

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點D在拋物