高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (35)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（35）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.一個四面體的所有棱長都為企，四個項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）

A.37rB.47rC.3V3TTD.67r

2.一個圓錐的體積為也當(dāng)這個圓錐的側(cè)面積最小時(shí)，其母線與底面所成角的正切值為（）

A.立B.立C.在D.V2

323

3.如圖，在4ABC中，41CB=90°,NC4B=為A8的中點(diǎn)。將44cM沿著CM翻折至ZM'CM,

使得4MlMB,則。的取值不可能為（）

4.如圖，邊長為2的正方形ABCO中，點(diǎn)E、尸分別是48、BC的中點(diǎn)，將△ADE,4EBF,&FCD

分別沿。E,EF,尸。折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4',若四面體AEFD的四個頂點(diǎn)在同一

個球面上，則該球的表面積為（）

5.在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，正四面體P—4BC的頂點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上移動.若該正

四面體的棱長是2,則|OP|的取值范圍是（）.

A.[V3-1,V3+1]B.[1,3]

C.[V3-1.2]D.[1,73+1]

6.已知圓錐SO的側(cè)面積是底面積的2倍，4c與3。是底面內(nèi)互相垂直的兩條直徑，過BZ）與SC

平行的平面與5A交于點(diǎn)E,則異面直線BE與C。所成角的余弦值是（）

A.-B.JC.-D.在

4334

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

7.如圖，正方體4BCD-A/iGDi的棱長為1,P為的中點(diǎn)，M在側(cè)面相/避上，有下列四個

命題：

①若DiMICP,則ABCM面積的最小值為導(dǎo)

②平面4B。內(nèi)存在與DiG平行的直線；

③過A作平面a,使得棱AD,AG在平面a的正投影的長度相等，則這樣的平面a有4個;

④過A作面/?與面48。平行，則正方體4BCD-4B1GD1在面口的正投影面積為百.

則上述四個命題中，真命題是（）

A.①B.②C.③D.④

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

8.已知三棱柱ZBC-4祖6的側(cè)棱BBi在下底面的射影BD與4c平行，

若BBi與底面所成角為30。，且NBiBC=60。，則N4CB的余弦值為

9.已知三棱錐。一ABC的體積為2,△ABC是等腰直角三角形，其斜邊AC=2,且三棱錐。一ABC

的外接球的球心。恰好是A。的中點(diǎn)，則球。的體積為.

10.下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成.已知兩個圓錐的頂點(diǎn)分別為P,。，高分別為

2,1,底面半徑為1,A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動點(diǎn)（不與A重合）.下列四個結(jié)

①三棱錐P-ABQ體積的最大值為也

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為會

③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為嚕;

④直線BQ與AP所成角的最大值為宗

其中正確的結(jié)論有.（寫出所有正確結(jié)論的編號）

11.已知二面角a—2—0為60。，動點(diǎn)P、。分別在面a、0內(nèi)，P到0的距離為舊，。到a的距離為

2V3,則P、。兩點(diǎn)之間距離的最小值為

12.湖結(jié)冰時(shí)，一個球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一個直徑為24c，〃?，深為8c”的

空穴，則該球的半徑為

13.把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形M'稱為

圖形M在這個平面上的射影.如圖，在長方體ABC。-EFGH中，

AB=5,AD=4,AE=3.則△EBD在平面EBC上的射影的面積是

14.在三棱錐P-4BC中，AP,AB,4c兩兩垂直，且4P=AB=4C=e.若點(diǎn)Q，E分別在棱尸8,

PC上運(yùn)動（都不含端點(diǎn)），則A。+DE+EA的最小值為.

15.如圖，在一個底面邊長為2,側(cè)棱長為g的正四棱錐P-ABC。中，大

球。1內(nèi)切于該四棱錐，小球。2與大球。1及四棱錐的四個側(cè)面相切，則小

球。2的體積為.

16.如圖，已知圓錐的母線長為8,底面圓的圓心為。，直徑4B=8，點(diǎn)。

是母線P4的中點(diǎn).若點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)，且直線OC與QB所成

的角為30。，M在線段尸4上且P4=4M4則MC與底面所成角的正弦

值為.

四、解答題(本大題共14小題，共168.0分)

17.如圖，在四棱錐V—48CZ)中，底面ABC。是邊長為4的正方形，。為正方形A8CQ內(nèi)一點(diǎn)，它

至U邊BC,CD的距離分別是1,2,VOABCD,V。=4,E是棱上一點(diǎn)，且VE：EA=1：

2,

(1)求直線8。與VC所成角的余弦值;

(2)求二面角U-BE-C的余弦值.

18.如圖，在三棱柱ABC-4BiG中，P、。分別是441、&G的中

點(diǎn).

(1)設(shè)棱BBi的中點(diǎn)為。，證明：GD〃平面PQBi；

(2)若AB=2,AC=AAr=ACr=4,^AA1B1=60°,且平面

441clic_L平面441/8,求二面角Q-PBX-&的余弦值.

19.在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面PAD_L底面ABC。，底面A8CD為直角梯形,8(7/4。，乙4。。=90°,

BC=CD=1,AD=2,PA=PD=V3,E為AD的中點(diǎn)，尸為PC的中點(diǎn)。

(1)求證：P4〃平面BEF；

(2)求二面角F-BE-A的余弦值。

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PDI5??ABCD,CD//AB,AD=CD=BC=2,AB=4.

(I)求證：平面PAD1平面PBD;

(11)若三棱錐(7-28。的體積為百，求PB的長.

21.在棱長為1的正方體ABCD-4B1GD1中，點(diǎn)P是底面A8CD內(nèi)的動點(diǎn)，tanWiPD21,則動

點(diǎn)P的軌跡的面積為,動線段QP的軌跡所形成幾何體的體積是

22.如圖，在直三棱柱ABC-ABiG中，&B1J.41C1，。是當(dāng)口的中點(diǎn)，AXA=A1B1=

2.

(I)求證:AB】〃平面&CC；

(II)異面直線力Bi和BC所成角的余弦值為等，求幾何體為B1CCA的體積.

23.如圖，在四棱錐P-ABC。中，P4_L平面ABCD,四邊形A8C。為正方形，PA=AD=4,G為

PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在4B上，平面PDC1平面PEC.

(1)求證：4G_L平面PCC；

(2)求三棱錐A-PEC的體積.

24.如圖，四棱錐P-4BCD的底面A8CQ為平行四邊形，E,F分別為CD,P8的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面P4O.

(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)。，使得A,E,Q,尸四點(diǎn)共面？若存在，求出方的值；若不存

在，請說明理由.

25.如圖，在三棱柱ABC-4通傳1中，AB=BC=近，A&=2AC=2,4G。4傳=0,點(diǎn)B在

平面4CG4內(nèi)的射影為0.

(1)證明：四邊形4CC14為矩形;

AD

(2)E、尸分別為必當(dāng)與BC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡＞在線段AC1上，已知EF〃平面&B0,求鬲的值.

(3)求平面OB】C與平面ACC14所成銳二面角的余弦值.

26.如圖，在正三棱柱ABC-4B?中，邊BC的中點(diǎn)為。，BC=CCr=2.

(1)求三棱錐C-4G。的體積;

(2)點(diǎn)E在線段BiQ上，且&E〃平面4G。，求翳的值.

27.如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與

剩下的幾何體體積的比.

28.如圖，四棱錐P-4BC0的底面ABC。是平行四邊形，AABP是等邊三角形且邊長是4,DA=

DP=2V2.

(1)證明：AP1BD-.

(2)若B0=4,求四棱錐P-4BCD的體積.

29.已知三棱柱在4BC-4iBiG中，側(cè)面4BB1必為正方形，延長AB到。，使得4B=B0,平面

44傳傳1平面ABB14,41的=企4/11，/的4遇=今

D

(I)若E,尸分別為GBi，4C的中點(diǎn)，求證：EF〃平面4BB141；

(II)求平面&B1Q與平面CBi。所成的銳二面角的余弦值.

30.在如圖的空間幾何體中，回ABC是等腰直角三角形，44=90。，BC=2&，四邊形BCED為

直角梯形，乙DBC=90°,BD=1,DE=V2,F為AB中點(diǎn).

(1)證明：DF〃平面ACE；

(2)若遍，求CE與平面ACB所成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查正四面體的外接球的表面積的求法，注意正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球是

本題解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力.

正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求

出球的表面積.

解：由于正四面體擴(kuò)展為正方體，四面體的棱為正方體的面對角線，二者有相同的外接球，所以正

方體的棱長為：1，

所以正方體的體對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為：3.

2

所以球的表面積為：4nR2=4兀x(9之—37T.

故選A.

2.答案：D

解析：

本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面積與體積計(jì)算，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)體積得出底面半徑，?和高/?的關(guān)系，根據(jù)基本不等式得出側(cè)面積最小的條件，計(jì)算半徑和高即

可得出答案.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則母線長為|="不存，

則V=-nr2h-

36

???r2h=即h=上，

22r2

??S側(cè)=nrlt

=nr=7T

-r4+.1k「4i+薩1+?薩1?3&=［3，

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=/即N=［時(shí)取等號，

此時(shí)，h=3=1,

2rz

???母線與底面所成角的正切值為：

：一逅_V2.

2

故選D.

3.答案：A

解析：

把△ACM繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一直旋轉(zhuǎn)到平面4BC里面，這時(shí)4'在"位置，由此能推導(dǎo)出。的取值不可能為M

本題難點(diǎn)在于思維問題的方法，本題考查到△ACM沿著CM翻折到時(shí)的一種極端情況，即把

△4CM繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一直旋轉(zhuǎn)到平面A8C里面，從而找到分析揄的依據(jù)，是難題.

解：如圖所示，把△4CM繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，

一直旋轉(zhuǎn)到平面ABC里面，這時(shí)A在4位置，一

這時(shí)乙4MN=乙+巴=/=N4"MN,=乃一如=生，

此時(shí)，N4"MB是直線4M和B例所成的最小角，/-----7T---------、B

???！担翰怀闪?，二。的取值不可能為看

故選：A.7；

4.答案：B

解析：

本題考查幾何體的折疊問題，幾何體的外接球的半徑的求法，考查球的表面積，考查空間想象能力.

把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑，從而可求球的

表面積.

解：由題意可知AAEF是等腰直角三角形，且AD1平面力'EF.

三棱錐的底面4EF擴(kuò)展為邊長為1的正方形，

然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：/I+1+4=76.

???球的半徑為在，

2

二球的表面積為47r-（Y）Z=67r.

故選：B.

5.答案：A

解析：

本題主要考查了空間中的距離的求法，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，固定正四面體P-4BC的位置，則原點(diǎn)。在以AB為直徑的球面上運(yùn)

動，原點(diǎn)。到點(diǎn)尸的最近距離等于尸歷減去球的半徑，最大距離是P歷加上球的半徑.

解：如圖所示，

若固定正四面體P-4BC的位置，則原點(diǎn)。在以AB為直徑的球面上運(yùn)動,

設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則PM=V22—I2=V3;

所以原點(diǎn)。到點(diǎn)P的最近距離等于P歷減去球M的半徑，

最大距離是PM加上球M的半徑；

所以百-1<\0P\<V3+1，

即|0P|的取值范圍是[g一1,6+1].

故選4.

6.答案：A

解析:

本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

由題意可得設(shè)圓錐SO的底面半徑為r,母線長為/,則1=2r,再利用線面關(guān)系可得NABE是BE與

所成角，

根據(jù)余弦定理即可求解.

解：設(shè)圓錐S。的底面半徑為r,母線長為/,則2b2=兀包，解得/=2r,

連接。E,由SC〃平面BCF,SCu平面SAC,平面SACn平面BDE=0E,

所以SC//0E；

由。是8。的中點(diǎn)，得E是S4的中點(diǎn);

由4B//CD,得41BE是BE與CD所成角.

△中，易得BE=V2r?AB=V2r,AE=r.

一產(chǎn)

由余弦定理得cos乙4BE=AB2+BE：TE22r2+2M3

2-2r24

故選A.

7.答案：ACD

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象

能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是難題.

①建立空間坐標(biāo)系，得到M點(diǎn)應(yīng)該滿足的條件，再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法求解即可；

對于②D1G〃DC,DCC平面&BD=D,所以QG也與平面&BD相交.故②錯；

對于③過A作平面a,使得棱在平面a的正投影的長度相等，因?yàn)榱?〃48,且4G=

AB,所以A3在平面a的正投影長度與DiG在平面a的正投影長度相等，然后分情況討論即可得到平

面a的個數(shù)；

對于④面0與面48D平行，則正方體4BCD-48iGDi在面。的正投影為正六邊形，且正六邊形的

邊長為正三角形為BD外接圓的半徑，故其面積為次.

解：對于①，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，OC為y軸，。。1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所

示；

過M作MG_L平面ABCD,G是垂足，過G作GH1BC,交,BC于H,連接

則。(0,0,0),C(0,l,0),4(1,0,0),P(l,0,》，C(0,l,0),Di(0,0,1),8(1,1,0),

設(shè)b),則=(1,。，b—1),CP=(1,—1,1),

???2M1CP,

.-.'DjA-CP=l-a+ih-1=0,解得2a-b=l,

：.CH=l-a,MG=b=2a-l,

MH=y/GH2+MG2=7(1-a)2+(2a-l)2=V5a2-6a+2,

22

-??5ABCM=|xBCxMH=l-l-V5a-6a+2=i-j5(a-|)+i>i-Ji=^，

當(dāng)a=|時(shí)，(SABCM)mE=噂，A正確；

對于。［CJ/OC,DCn平面為80=0,所以D1G也與平面&8D相交.故8錯；

③過4作平面a,使得棱AO,44,。修1在平面a的正投影的長度相等，因?yàn)?1cl〃4B,且=AB,

故。iG在平面a的正投影的長度等于AB在平面a的正投影的長度，使得棱4力，AA.,D】Ci在平面a

的正投影的長度相等，即使得使得棱AQ,AAr,AB面a的正投影的長度相等，若棱AO,AB

面a的同側(cè)，則a為過A且與平面&BD平行的平面，若棱AQ,AB中有一條棱和另外兩條棱分

別在平面a的異側(cè)，則這樣的平面a有3個，故滿足使得棱A。，久的在平面a的正投影的長度

相等的平面a有4個；C正確.

④過A作面￡與面4BD平行，則正方體4BCD-&B1QD1在面6的正投影為一個正六邊形，其中

AG1平面0,而4G分別垂直于正三角形4BD和CB1D1，所以根據(jù)對稱性，正方體的8個頂點(diǎn)中，力G

在平面0內(nèi)的投影點(diǎn)重合與正六邊形的中心，其它六個頂點(diǎn)投影恰是正六邊形的六個頂點(diǎn)，且正六邊

形的邊長等于正三角形&B0的外接圓半徑(投影線與正三角形480、。占。1垂直)，所以正六邊形的

邊長為a=立+sin60。=店所以投影的面積為6xxa2=6xx(^)2=遮.。對.

2344v37

故選ACD.

8.答案：叵

3

解析：

本題考查了空間線面角的求解，及線線平行的性質(zhì)，直角三角的性質(zhì)，屬于中檔題.

設(shè)當(dāng)在下底面上的射影為Q,連接80,過點(diǎn)。作。E垂直8C,交與點(diǎn)E,分別求出每條邊長，在ABDE

中利用余弦定理求出此角即可，再根據(jù)平行求出所求.

解：設(shè)當(dāng)在下底面上的射影為。，

連接80，過點(diǎn)。作OE垂直8C,交與點(diǎn)E,

??.NBiBD是側(cè)棱BBi與底面所成的角為30。，

設(shè)8/=2,則為。=1,BD=V3,

4B]BC=60°,BE=l,BrE=C,DE=V2,

在ABDE中，CKNDBE—.

3

VBD//AC,.,3/DBECOK/.ACB二，

3

故答案為它.

3

9.答案：竺叵兀

解析:

本題考查球體的體積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于理解球心與相應(yīng)面的外接圓圓心的連線與相應(yīng)的

底面垂直這一性質(zhì)，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.

取AC的中點(diǎn)E,利用球心。與△ABC的外心的連線與平面ABC垂直，得到OE_L平面ABC,再由中

位線得出。E〃CD,于是得出CC1平面48C,根據(jù)已知條件計(jì)算出△ABC的面積，并利用錐體體積

公式計(jì)算出C。，再利用勾股定理得出A。，即可得出球0的半徑為R=TAD，最后利用球體體積公

式可得出答案.

解：如下圖所示，

B

取4c的中點(diǎn)E,連接0E,

由于。為A。的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，貝UOE〃CD,

???4C為等腰直角三角形ABC的斜邊，

所以，點(diǎn)E為AHBC外接圓圓心，且。為三棱錐ABC外接球的球心,

所以0E1平面ABC,所以，CD1平面48C,

???△4BC是等腰直角三角形，且斜邊4c=2,

所以4B=BC=V2>貝必ABC的面積為SA.BC="8-BC=1,

由錐體體積公式可得ZYBC=gS-BC?[X1XCD=2,

:.CD=6,

所以4。=y/AC2+CD2=2V10.則球。的半徑為R=^AD=V10,

3

因此球O的體積為[兀/?3=i7rx（V10）=誓

故答案為：竺回7r.

3

10.答案：①③

解析:

本題考查三棱錐的體積、異面直線的夾角和線面角，屬于較難題,考查空間想象能力、推理能力和計(jì)

算能力.逐個判斷即可求解.

解：設(shè)底面圓的圓心為。.

對于①，當(dāng)8。1平面APQ時(shí)，三棱錐P-ABQ體積的最大，PQ=3,力。=1,8。=1,

則三棱錐P-力BQ最大體積為:xgx3xlxl=：,故①正確；

對于②，當(dāng)801平面4PQ時(shí)，直線PB與平面PAQ所成角的最大，最大角為NBPO,且

sinNBPO=黑4g，顯然②錯誤；

LJrV’5v

對于③和④，建立如圖所示的ko空間直角坐標(biāo)系：

則Q(0,0,-l)M(l,0,0),P(0,0,2),設(shè)B?y,0),JgLx2+y2=l,

則的={-x,-y,-l),AP=(—1,0,2)，

所以cos<A^>=工------=—1=='

所以"rm而再^g

則sin<~AP>={1—[)由于x€[—1,1],

則sin<的,#>€[粵，岬卜故③正確，④錯誤.

綜上，正確的結(jié)論有①③.

故答案為①③.

11.答案：2V3

解析:

本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

構(gòu)造二面角的平面角，將所給數(shù)據(jù)聯(lián)系起來，將尸。放在直角三角形中，轉(zhuǎn)化為求某直角邊的最值.

解：分別作Q4_La于A,于點(diǎn)C,PB1夕于B,PO_U于點(diǎn)￡>,

連結(jié)CQ,BD,則N4CQ=乙PDB=60°,AQ=2百，BP=百，

則PQ=y/AQ2+AP2=y/12+AP2>2百，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)4,P重合時(shí)，取等號.

故答案為275.

12.答案：13cm

解析：

本題給出球與冰面形成的一個空穴，在已知空穴的直徑和深度時(shí)求球的半徑，著重考查了球的截面

圓性質(zhì)的知識，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，設(shè)空穴所在小圓的圓心為B,點(diǎn)A是小圓上的一點(diǎn)，則球

心。與AB構(gòu)成以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.因此設(shè)04=R,結(jié)合題意可得關(guān)于我的方程，解之

即可得到該球的半徑大小.

解：設(shè)球的球心為O,空穴所在小圓的圓心為B,點(diǎn)A是空穴上的一點(diǎn)/

連接。A、AB,OB,設(shè)O4=R,得。B=R-8,(o\

AB=x24=12cm,\/

根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，得

122+(R-8)2=R2,解之得R=13cm

.?.該球的半徑為13CTH

故答案為13c%

13.答案：2*/^?

解析：

本題考查射影、線面垂直的判定及三角形的面積計(jì)算，考查空間想象能力和計(jì)算能力.

如圖所示，4EB。在平面EBC上的射影為/MEB,根據(jù)三角形面積公式即可求解.

解：如圖，連接HC,過。作連接ME,MB.

因?yàn)锽C工平面HCD,DMu平面HCD,所以BC1DM,

因?yàn)锽CnHC=C,所以DM1.平面HCBE,

即。在平面HC8E內(nèi)的射影為M,所以ZEBD在平面EBC上的射影為4MEB.

在長方體力BCD-EFGH中，HC//BE,所以4MEB的面積等于4CBE的面積，

所以4EBD在平面E8C上的射影面積為gXV52+32x4=2V34.

故答案為2后.

14.答案：V3+1

解析：

本題考查簡單幾何體中的最小距離問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

將平面PAB,平面尸8C,平面R4C展開到同一平面，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線距離最短即可求解.

解：將平面R4B,平面P8C,平面PAC展開到同一平面（如圖），

（第15題圖）

由題意可知，Pa=PA2=AXB=A2C=V2.PB=PC=BC=2,

連接4&，交PB于M,交PC于N,

則4D+DE+EA>ArM+MN+NA2=ArA2.

在△P&A2中，PAX=PA2=y/2,/.A1PA2=150°,

2

則4遇2=JPA」+PA2-2P&?PA2COS^A1PA2=可4+2百=V3+1-

15.答案:四it

24

解析：

本題考查球的體積公式，考查兩圓相切性質(zhì)，正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔偏難題.

設(shè)。為正方形ABCD的中心，AB的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,P0,則0M=1,PM=y/PA2-AM2=

V10^1=3.PO=V9^1=2V2,如圖，分別可求得大球。i與小球。2半徑分別為它和立，進(jìn)而可

24

得小球的體積.

解：設(shè)。為正方形ABC。的中心，AB的中點(diǎn)為連接PM,OM,P0,則0M=1,

PM=\lPA2-AM2=V10-1=31PO=V9^T=272,如圖，在截面PMO中，設(shè)N為球01與平

面PAB的切點(diǎn)，

則N在P仞上，且01NJ.PM,設(shè)球01的半徑為R,則0iN=R,

因?yàn)閟in/MP。=警=j所以鬻■=?,則P0i=3R,

rM5rU^a

PO=P01+。。1=4R=2V2,所以R=當(dāng)，

設(shè)球0i與球。2相切與點(diǎn)Q,則PQ=PO-2R=2R,設(shè)球。2的半徑為r,

同理可得PQ=4r,所以「=四=五，

43

-r=V-2

故小球。2的體積V37T7T

24

故答案為：立7r.

24

16.答案：立或亙

解析：

本題在圓錐中考查異面直線夾角和直線與平面的夾角，屬于中檔題，關(guān)鍵在于利用定義，通過作輔

助線做出兩個角.

解析：

解：如題目中圖的圓錐，P。是高，PA=PB=AB=8,

有條件可知底面圓周上的C有兩個位置可以滿足OC與母線P8所成的角等于30。.

下面分析點(diǎn)C在如圖的左側(cè).

在線段0A上取點(diǎn)N,使。A=44N,連接0C,CM,MN,

由點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，則0M〃P8,MN//P0,

所以MN垂直于底面，即4MCN即為與底面所成角,

乙M0C即為OC與母線Q8所成的角，大小是30。.

M0=2?0C=4,得MC=2,

在RSMNC中,MN-PO-PBshM)

sinZA/CAT=4_4

NICMC

即MC與底面所成角的正弦值為圣

同理當(dāng)點(diǎn)C在如圖的右側(cè)時(shí)，MC與底面所成角的正弦值為運(yùn).

26

故答案為立或返.

226

17.答案：解：（1）如圖，過。作A8的垂線為x軸，作BC的垂線為y軸，。丫為z軸，建立直角

坐標(biāo)系，

則4(2,-3,0),F(2,l,0),C(-2,l,0),D(-2,-3,0),K(0,0,4),

JD=(-4,-4,0),定=(-2,1,-4)-

設(shè)直線8。與VC所成的角為仇則c?^=|a?（互方，定）|=2-4匚二熠

4y/2xv/2142

???直線8。與vc所成的角的余弦值為詈;

(2)設(shè)E(x,y,z),由沌=9方，即(x,y,z-4)=[(2,-3,-4),

所以x=|,y=-l,z=I，

所以E(|,-l,|),BE=-2,1),VB-(2,1,-4)>

設(shè)面VBE的法向量為”(x“i，zi),則卜3-2y+|z=0=>|x=2z

取z=l,.,.元=(2,0,1),

vBC=(-4,0,0)>~BE=

設(shè)面BEC的法向量為沆=。2，丫2,22)，

—4X2=0

(x2=0

則4Q.8_八=z=

-3X2-2y2+-22=°l^23y2'

取為=4,則z2=3,Am=(0,4,3).

3_3y/5

COK(T7J,*77)=gx5--25-

設(shè)二面角V-BE-C的平面角為a,則cosc：州

25

解析：本題考查異面直線與二面角的求法，屬于中檔題.

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出4B,C,D,V的坐標(biāo),求出向量訪與后所成的角即可;

(2)利用向量的知識進(jìn)行求解.

18洛案：證明：(1)連接AO,TD是的中點(diǎn)，P是44的

中點(diǎn)，

可由棱柱的性質(zhì)知且=

四邊形4DB1P是平行四邊形，40〃PBi，

?；P、。分別是44、41cl的中點(diǎn)，??.ACJ/PQ,

平面4C1?！ㄆ矫鍼QBi，

???GD〃平面PQB「

解：(2)AC=AAt=AC1,.?.三角形是等邊三角形,

又因?yàn)镻是中點(diǎn)，所以GP1441.

以P為原點(diǎn)，在平面4BB14內(nèi)過P作44］的垂線為x軸，以P4為y軸，PC\為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

面占B1P的一個法向量為五=(0,0,1),

P(o,o,0),(2(0,1,回Bl(b,1,0),

PQ=(0,1，V3),西=(e1,0),

設(shè)平面PQBi的法向量記=(xj,z),

則一，廠，取x=l,得沆=(1,-百,1),

l沆?PBi=+y=0

設(shè)二面角Q-PBi-a的平面角為0,

V5

贓。s”黯T

故二面角Q-PB[—4的余弦值為

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

(1)連接A。，推導(dǎo)出四邊形4DB1P是平行四邊形，從而4C〃PBi，再求出4c//PQ,從而平面力的?！?/p>

平面PQa,由此能證明G?！ㄆ矫鍼Qa.

(2)以P為原點(diǎn)，在平面4BB14內(nèi)過P作441的垂線為x軸，以P4為y軸，PC1為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角Q-尸為-4的余弦值.

19.答案：證明(1)連接AC交BE于N,并連接CE,FN,

因?yàn)锽C〃4D,BC=^AD,E為AO中點(diǎn)，

所以4E〃BC,S.AE=BC,

所以四邊形而ce為平行四邊形，

所以N為AC中點(diǎn)，又F為PC中點(diǎn)，

所以NF//PA,

因?yàn)镹Fu平面BE尸，P4C平面BEF,

所以PAF〃平面8EF；

(2)連接PE,由E為4。的中點(diǎn)及P4=PD=百，

得PE14。貝IJPE=y/2,

???側(cè)面PAD1底面ABCD,且交于AD,

???PE_L面ABCD,如圖所示，以E為原點(diǎn)，EA、EB、EP分別為x、八

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),4(1,0,0),F(0,l,0),0),P(0,0,V2)

,F為PC的中點(diǎn)，

IB=(0,1,0)>~EB=(0,1,0).”(一!4片)，設(shè)平面EBF法向量為訪=O,y,z),貝"巴.黑：:

0+y+0=0

1.1.V2

Zn

——2X+2Z-Vd——2=0

平面E8A法向量可取：出=(0,0,1),

設(shè)二面角產(chǎn)一BE-4的大小為。，顯然J為鈍角,

|沆?Jt\

.二eot^G=—|cos<示，7?>|=-

???二面角"一BE一力的余弦值為一星

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

(1)連接AC交BE于M連接EC,FN,推導(dǎo)出四邊形A8CE為平行四邊形，從而N為AC中點(diǎn)，進(jìn)

而NF〃P4由此能證明P4〃平面BEF;

⑵以E為原點(diǎn)，EA、EB、EP分別為x、y、z軸，建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角尸-BE-A

的余弦值.

20.答案：解：(I)證明：如圖，過點(diǎn)。作DE于點(diǎn)E,

因?yàn)镃D〃4B,AD=CD=BC=2,AB=4,所以四邊形ABCD是等腰梯形，

可得4E=1,BE=3,DE=A/31BD=2遍，

所以AB?=402+BD2,所以BDJ.4D.

又因?yàn)镻O1￥0ABCD,BDu平面ABC。，

所以BD1PD.

因?yàn)锳DCPD=D,PD,ADu平面PAD,

所以BD_L平面PAD.

因?yàn)?。u平面PBD,所以平面PADJ_平面PBD；

(口)SABCD=~x2xV3=V3.

因?yàn)槿忮FC-P80的體積為百，

所以%-PBD=Vp-BCD=J'S^BCD，PD=~Xy/3XPD=y/3)

解得PD=3.

在RtAPDB中，BD=2?PD=3,

所以PB='BD?+PD2=J(2V3)2+32=V21-

解析：本題主要考查面面垂直的判定以及利用棱柱體積求棱長，屬于中檔題.

(1)過點(diǎn)。作DE14B于點(diǎn)E,利用勾股定理證明出BDJ.4D,進(jìn)而證明BDJ.PD,

再得到BD1平面PAD,根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到平面PA。_L平面PBD-,

(2)因?yàn)槿忮FC-PBD的體積為百，

所以%-PBD=^P-BCD=J'SABCD,PD=-xV3XPD=V3,

解得PO=3.進(jìn)而得到PB=VH.

21.答案

解析：

本題考查軌跡問題、圓錐的體積，屬于一般題.

根據(jù)題意可得動點(diǎn)P的軌跡是土圓面，即可求得面積，動線段DiP的軌跡所形成的幾何體為以。為圓

心，1為半徑的圓錐的;部分，代入公式可得體積.

解：如圖所示：

由點(diǎn)尸是底面A8CO內(nèi)的動點(diǎn)，＞1,可知故點(diǎn)在扇形D4C內(nèi)運(yùn)動,

所以動點(diǎn)P的軌跡是！圓面，軌跡的面積為SxI2

444

動線段DiP的軌跡所形成的幾何體為以。為圓心，1為半徑的圓錐的［部分，

即卜=：XXI2X1=；；,

故答案為%

22.答案：解：（I）如圖,

連結(jié)4cl交&C于點(diǎn)E,連結(jié)。E,

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-中，四邊形44C1C是矩形，

所以點(diǎn)E是4c的中點(diǎn)，

因?yàn)?。是BiG的中點(diǎn)，

所以DEf/ABi，

因?yàn)?81,平面40DEu平面AiCD,

所以AB1〃平面&CD；

(II)因?yàn)槔庵?BC—41B1G是直三棱柱，

所以441_L&Ci，

因?yàn)?Bi1A1C1,A1A=A1B1,

所以AG=BG，

因?yàn)楫惷嬷本€4B】和8c所成角的余弦值為等，

所以coszTlBiC]=膏，

因?yàn)榱τ?A1B1=2,ArA14/1，

所以=2V2.

根據(jù)余弦定理，在44&C]中，4c/=BiCj+AB/-2&cos乙4B]Ci

可得BiG=舊，

因?yàn)?41cl,&Bi=2,所以由勾股定理可得41G=3,

因?yàn)镃U小Bidi_LAA4AC4Bi=A,

所以G4_L平面A、B,

同理1平面A、C,

所以匕[B1DC4=^D-AiAB!+^D-AAtC

=-x-x2x2x-+-x-x2x3xl=2,

32232

所以幾何體4B1DC4的體積為2.

解析：本題考查了幾何體的體積問題、線面平行的判定和異面直線所成角，屬于中檔題.

(I)連結(jié)SC1交4C于點(diǎn)E,連結(jié)OE,由中位線可得DE〃ABi，由線面平行的判定即可得證;

(口)因?yàn)楫惷嬷本€力Bi和BC所成角的余弦值為等，所以cos乙4/G=警，根據(jù)余弦定理，可得當(dāng)Ci=

■/13＞由勾股定理可得&C1=3,由匕［B1DC4=%-4遇81+%)-AAC計(jì)算即可.

23.答案：解：(1)PAJ_平面ABCD,CDu平面ABCD,

：.CD1PA,

,??正方形A8CD中，CDLAD,PA^AD=A

CD1平面PAD,乂AGu平面PAD,得CD1AG,

???△PAD中，PA=AD,G為P￡>中點(diǎn)，PD_L4G,

?:PD、CO是平面尸￡>C內(nèi)的相交直線，

???AGJ_平面PCD：

(2)過點(diǎn)E作EH1PC于，，???平面PDC1平面PEC,平面PDCC平面PEC=PC,

EH_L平面PDC.

由(1)知4G_L平面PCD,：.AG//EH.

連接GH,設(shè)EH、AG確定的平面為a,則an平面PDC=GH,

-AE//CD,AB0PDC,CDc^?PDC,AE〃平面POC,

「AEu平面a,an￥ffiPDC=GH,

■■.AE//GH,得四邊形AEHG是平行四邊形，所以EH=4G,

???等腰RtAPAC中，PA=PD=4,AG是P￡?邊上的中線，

PD=45/2.AG=^PD=2V2,

Rt△PDC中，PD=4>/2，CD=4,S&PDC=gX4>/2X4=8V2,

NGC

???。6是4PDC的中線，S=|SAPDC=4V2,

vEHPDC,得EH是三棱錐G-PEC的高，

三棱錐G-PEC的體積為：K=|xS"GCxEH=ix4A/2x2V2=y.

解析：本題給出四棱錐，求證線面垂直并求錐體體積，著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與

平面垂直的性質(zhì)和錐體體積的求法等知識，屬于中檔題.

(1)根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，得到4G，平面PDC-,

(2)過點(diǎn)E作EH1PC于H,由面面垂直的性質(zhì)定理可得EH_L平面PDC.連接GH,設(shè)EH、AG確定的

平面為a,得GH是平面a與平面POC的交線，由線面平行的判定與性質(zhì)證出4E〃GH,可得四邊形

AEHG是平行四邊形，所以EH=4G.等腰RtAPA。中，算出4G=^P0=2方，Rt^PDC^,算出

S^PGC=2九=4近，最后利用錐體體積公式，即可算出三棱錐G-PEC的體積.

24.答案：(1)證明：如圖①，取PA的中點(diǎn)/，連接MD,MF,

因?yàn)榉睲分別為PB,P4的中點(diǎn)，

所以FM//48,FM=\AB.

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以4B〃CD,AB=CD.

又E為CD的中點(diǎn)，所以。E〃AB,DE=\AB.

所以DE〃FM,DE=FM.

所以四邊形DEFM是平行四邊形.

所以FF〃￡W.又EFC平面PAO,DMc^jgfPAD,

所以EF〃平面PAD.

(2)解：存在點(diǎn)。符合題目條件，且此時(shí)PQ：QC=2：1

方法一：如圖①，取AB的中點(diǎn)“，連接P"交A尸于點(diǎn)G,在尸C上取點(diǎn)0,使PQ：QC=2：1,

連接G。，HC,則A,E,Q,F四點(diǎn)共面，證明如下：

在平行四邊形ABC。中，

因?yàn)镋,H分別是CO,AB的中點(diǎn)，所以CH〃AE.

又尸是PB的中點(diǎn)，所以G是△/MB的重心，

且PG：GH=2；1,又PQ：QC=2：1,

所以GQ//HC又CH//AE,所以GQ//4E,

所以GQ與AE確定一個平面a,而F6直線4G,

所以F€a,所以A,E,Q,尸四點(diǎn)共面.

故在線段PC上存在一點(diǎn)Q,使得A,E,Q,F四點(diǎn)共面.

方法二：如圖②，延長8C,AE交于點(diǎn)M,連接PM,FM.

則由AADEm/XMCE,得MC=AD=BC

在平面PBC中，尸例與PC的交點(diǎn)即為Q.

在APBM中，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，C為的中點(diǎn),

故。為△PBM的重心，所以PQ：QC=2.1.

解析：(1)取PA的中點(diǎn)M,連接MD,MF,則有〃/18,FM=\AB,又因?yàn)樗倪呅蜛3C￡＞是平

行四邊形，所以AB〃CD,AB=CD.

又E為C￡＞的中點(diǎn)，所以DE〃4B,DE=^AB,綜上可證得FF〃DM,根據(jù)線面平行的判定定理可

得EF〃平面PAD.

(2)方法一：取AB的中點(diǎn)，，連接P”交4尸于點(diǎn)G,在尸C上取點(diǎn)。，使PQ:QC=2.1,連接G。，

HC,由于GQ〃HC又CH〃4E,則可得GQ〃4E,所以G。與AE確定一個平面a,而Fe直線AG,所

以Fea,所以A,E,Q,尸四點(diǎn)共面；

故在線段PC上存在一點(diǎn)。，使得4,E,Q,尸四點(diǎn)共面.

方法二：延長BC,AE交于點(diǎn)"，連接PM,FM,由AAOE三AMCE,得MC=4D=BC,在平面

PBC中，F(xiàn)M與PC的交點(diǎn)即為Q,在△PBM中，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，C為8M的中點(diǎn)，故。為△P8M的

重心，所以PQ；QC=2：1,使得A,E,Q,尸四點(diǎn)共面.

25.答案：解：

(1)證明：

因?yàn)锽。1平面4CC1&,

OC,0A在平面4CG4內(nèi),

所以8。1OC,BO1OA,

^.Rt^OBC^Rt^OBA'^,

OC=y/BC2-OB2-OA=y/AB2-OB2,

又因?yàn)锳B=BC,

所以04=OC,ACi=AiC,

所以四邊形ZCCiAi為矩形；

(2)取AC的中點(diǎn)M,連接41M交4cl于。，

因?yàn)镸,尸分別為AC,BC的中點(diǎn)，

所以MF=-AB>

2

所以MF414/1，

又E為aB1的中點(diǎn)，

所以MF=AXE'

所以四邊形4EFM為平行四邊形，

所以"7/&M,即EF〃4D,

所以EF〃平面430.

因?yàn)椤?/p>

(3)如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。分別與Q4i，CiC平行的直線為x軸，)，軸，。8為z軸，建立如圖所

示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?C=造，

2