隨機變量和分布函數

關于隨機變量和分布函數§3隨機變量的函數及其分布隨機變量的函數單個隨機變量的函數的分布隨機向量的函數的分布隨機向量的變換第2頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數回顧隨機變量的定義：

（?，?）→（R，B）可測回顧Borel函數的定義：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復合：

（?，?）（R，B）（R，B）第3頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數問題1：為什么要求為Borel函數？問題2：分析學中也研究的函數，概率論中研究函數與其有什么不同？第4頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數隨機變量函數的例子

例1：某保險公司開發(fā)了某種保險產品，每個保單有效期一年，保費為500元，發(fā)生理賠時的理賠額均為10000元，假設共賣出該產品800個保單，記理賠的總次數為，則保險公司在該保險產品上獲得的利潤為：

例2：人們在進行一項決策時通常先對某一重要相關變量進行預測，然后基于這一預測作出決策，當預測不準時就會造成決策損失，損失大小是實際預測誤差的函數的函數，比如，在許多情況下，人們取這一函數為二次函數：

例3：在統(tǒng)計物理中，分子運動的速度為

，則其動能為第5頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數隨機向量：

（?，?）→（R，B）可測n元Borel函數：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復合：

（?，?）（R，B）（R，B）第6頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數及其分布隨機變量的函數單個隨機變量的函數的分布隨機向量的函數的分布隨機向量的變換第7頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數的分布隨機變量函數的分布函數問題：由一個隨機變量的分布確定其函數的分布，對于一般的隨機變量而言，就是要確定其分布函數。一般方法：其中為Borel集，進而的分布函數由下式確定第8頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數的分布

離散情形

第9頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：高爾頓版、二叉樹與證券價格高爾頓板

由英國生物統(tǒng)計學家高爾頓（Galton）設計，自板上端放入一小球,任其自由落下.在下落過程中,當小球碰到釘子時,從左邊落下與從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子

也是如此.自板上端放入n個小球,

觀察小球落下后呈現曲線并統(tǒng)計

小球落入各個格子的頻率.

第10頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：高爾頓版、二叉樹與證券價格從高爾頓板看金融中的二叉樹模型第11頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數的分布連續(xù)型情形第12頁,共36頁，星期六，2024年，5月連續(xù)型情形的例子例1（線性函數）練習：第13頁,共36頁，星期六，2024年，5月連續(xù)型情形的例子例2（對數正態(tài)）注：在現代金融中通常用對數正態(tài)描述資產的價格，也就是假設對數價格服從正態(tài)分布第14頁,共36頁，星期六，2024年，5月非單調函數情形例3：推廣——第15頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數及其分布隨機變量的函數單個隨機變量的函數的分布隨機向量的函數的分布隨機向量的變換第16頁,共36頁，星期六，2024年，5月非單調函數情形先看一個例子：求的密度函數一般公式證明留作練習第17頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數及其分布隨機變量的函數單個隨機變量的函數的分布隨機向量的函數的分布隨機向量的變換第18頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布一般隨機變量情形離散情形練習（離散卷積公式）：進一步：如何推廣到非獨立的情形？取整數的情形？第19頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布探究問題一：一般地兩個獨立的同類分布隨機變量之和的分布還屬于這一類分布，則稱這一分布類具有再生性。探討下列分布的再生性：1.二項分布：2.泊松分布：3.幾何分布：說明幾何分布為什么沒有具有再生性？將幾何分布類拓寬到哪個分布類可以使其具有再生性？第20頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布探究問題2第21頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布連續(xù)型情形第22頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布例（和的分布）——卷積公式思考：1.非獨立情形；2.與離散卷積公式對照練習：求商的分布第23頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數的分布探究問題31.2.討論指數分布、分布的再生性；3.歸納指數分布、埃爾朗分布、、分布之間的關系。第24頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：極值的分布多個隨機變量的極大值、極小值、極差極大值的分布極小值的分布第25頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：極值的分布練習：在連續(xù)型的情形求極值的密度函數探究問題1：探究問題2：第26頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數及其分布隨機變量的函數單個隨機變量的函數的分布隨機向量的函數的分布隨機向量的變換第27頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換隨機向量：

（?，?）→（R，B）可測n元Borel函數：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復合：

（?，?）（R，B）（R，B）第28頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換記變換：第29頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換求分布第30頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換一一對應的變換第31頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換變換的導數反變換的導數第32頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換積分變換隨機向量變化的密度函數第33頁,共36頁，