山西省運(yùn)城市三校聯(lián)考2021-2022年八下期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

山西省2021-2022學(xué)年度八年級(jí)期中綜合評(píng)估（C）數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章-第三章說明：共三大題，23小題，滿分120分，答題時(shí)間120分鐘．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每個(gè)小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)的大小關(guān)系解答．【詳解】解：在數(shù)軸上表示不等式的解集，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)軸表示不等式的解集，正確數(shù)軸上有理數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2.剪紙藝術(shù)是中華民族的瑰寶，下列剪紙中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3.圖，線段AB經(jīng)過平移得到線段，若點(diǎn)、，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵，，∴∵∴，即故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和平移的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系和平移的性質(zhì)，從而完成求解．4.設(shè)“▲”“●”“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次，情況如圖所示，那么下列式子成立的是（）A.■＝2×● B.■＞2×● C.■＜2×● D.■＞3×●【答案】B【解析】【分析】設(shè)▲、●、■分別表示三種不同物體的質(zhì)量分別為x，y，z，根據(jù)題意列出不等式，判斷即可．【詳解】解：▲、●、■分別表示三種不同物體的質(zhì)量分別為x，y，z，根據(jù)題意得：z＋x＞2x，即z＞x；x＋y＝3y，即x＝2y，∴z＞2y，即■＞2×●，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5.如圖，△COD是由△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)角為（）A.∠AOD B.∠AOB C.∠BOC D.∠AOC【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義：圖形在作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線，與這個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線這兩條線的夾角即為旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，與均為旋轉(zhuǎn)角故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握旋轉(zhuǎn)角的定義．6.若關(guān)于x的不等式組有解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式組有解，利用大小小大中間找可得a的范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組有解，∴a?1＜2，解得a＜3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，△CDE是由△OAB繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心為Q（0，5），故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．8.圖，在△ABC中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由作圖可得直線DE是線段AC的垂直平分線．然后根據(jù)等腰三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：由作圖可知，直線DE是線段AC的垂直平分線．∴EC＝EA，∴∠C＝∠EAC＝40°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB（180°﹣∠C）＝70°．∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣40°＝30°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．9.如圖，在Rt△ABC中，，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，，，則△ABD的面積是（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由角平分線的定義可求得∠CAD的度數(shù)，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CD的長，再根據(jù)勾股定理求得AC的長，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，∴∠CAD，∴CD，∴AC，∴BCAC＝3，∴S，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，角平分線的定義，含30°角的直角三角形，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10.在平面坐標(biāo)系中，已知直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得線段AC，連接BC，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，作于，將，代入，求出的坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，證明，，，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作于將代入得，∴將代入得，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∵，，∴在和中∵∴∴，∴OD=7∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于證明三角形全等．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.太原環(huán)城快速路大大減輕了市內(nèi)道路的擁堵程度，環(huán)城快速路要求車速不得高于每小時(shí)80千米，某私家車在太原環(huán)城快速路上行駛速度為x千米/時(shí)，被抓拍了超速，則x的取值范圍為_________．【答案】x＞80【解析】【分析】根據(jù)環(huán)城快速路要求車速進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵環(huán)城快速路要求車速不得高于每小時(shí)80千米，某私家車被抓拍了超速，∴x的取值范圍是x＞80．故答案為：x＞80【點(diǎn)睛】本題考查行程問題，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意進(jìn)行解答即可．12.命題“若，則”的逆命題是_________命題．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】先寫出命題逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：原命題逆命題為，若，則∵當(dāng)時(shí)，∴∴逆命題為假命題故答案為：假．【點(diǎn)睛】本題考查了逆命題，真假命題，不等式的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于寫出原命題的逆命題．13.如圖，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)B恰好落在邊上．已知，，，則的長是_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，折痕為DE，則CD的長是_____________.【答案】【解析】【分析】由翻折易得DB=AD，在直角三角形ACD中，設(shè)CD=x，利用勾股定理即可求得CD長．【詳解】由題意得DB=AD；設(shè)CD=x，則AD=DB=（8-x），∵∠C=90°，∴AD2-CD2=AC2（8-x）2-x2=36，解得x=；即CD=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運(yùn)用．本題中得到BD=AD是關(guān)鍵．15.如圖，在中，，是的角平分線，交于點(diǎn)N，，若，，則__________．【答案】8【解析】【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案【詳解】如圖所示：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，∵AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM為等邊三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關(guān)鍵；三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）解不等式組．（2）下面是嘉欣同學(xué)解不等式的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．．解：，第一步，第二步，第三步，第四步．第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)不等式的基本性質(zhì)_______________進(jìn)行變形的；②嘉欣同學(xué)解答過程在第_________步出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是___________________．任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該不等式的正確解集．【答案】（1）（2）①2；②五；不等號(hào)的方向發(fā)生改變；【解析】【分析】（1）先分別計(jì)算兩個(gè)不等式的解集，然后得到不等式組的解集；（2）①根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可；②根據(jù)解不等式的性質(zhì)判斷即可；然后解不等式即可．【詳解】（1）解：解不等式得，解不等式得，∴不等式組的解集為．（2）解：①由題意知，第一步依據(jù)不等式的基本性質(zhì)2故答案為：2．②嘉欣同學(xué)解答過程在第五步出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是不等號(hào)的方向發(fā)生改變故答案為：五，不等號(hào)的方向發(fā)生改變．任務(wù)二：去分母得，去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并得，系數(shù)化為1得，∴不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與解不等式組，不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于正確的計(jì)算．17.如圖，函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)．（1）求m，a的值．（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】（1）m=-1，a=1（2）【解析】【分析】（1）先把點(diǎn)代入，可得a=1，，再把點(diǎn)A（1，3）代入，即可求解；（2）觀察圖象可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象位于的圖象的下方，即可求解．【小問1詳解】解：∵函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)．∴，解得：a=1，∴點(diǎn)A（1，3），把點(diǎn)A（1，3）代入，得：，解得：m=-1；【小問2詳解】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象位于的圖象的下方，∴不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．18.為加快舊城改造步伐，增強(qiáng)城市功能，改善人居環(huán)境，我市對(duì)部分舊城區(qū)天然氣管道進(jìn)行改造，在改造過程中發(fā)現(xiàn)原有管道因彎道過多帶來安全隱患，因此需要改造．某小區(qū)管道A→B改造方案如圖．（實(shí)線為改造前，所有實(shí)線均互相平行或垂直，虛線為改造后）（1）改造前管道的長度是多少？（2）改造后AB之間的距離減少了多少？【答案】（1）410m（2）280m【解析】【分析】（1）由圖可知，，計(jì)算求解即可；（2）如圖，作于，由圖可知m，m，在中，由勾股定理得m，根據(jù)計(jì)算求解即可．【小問1詳解】解：由圖可知，m∴改造前管道的長為410m．【小問2詳解】解：如圖，作于由圖可知mm在中，由勾股定理得m∵m∴改造后AB之間的距離減少了280m．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于明確線段的數(shù)量關(guān)系．19.芯片是制造汽車不可或缺的零件，某芯片廠制造的兩種型號(hào)芯片的成本和批發(fā)價(jià)如表所示：該廠制造A，B兩種型號(hào)芯片若干件成本為320萬元，制造后立刻被汽車廠搶購一空，經(jīng)會(huì)計(jì)核算后共盈利44萬元．價(jià)格型號(hào)成本（萬元/萬件）批發(fā)價(jià)（萬元/萬件）A3034B3540（1）芯片廠制造A，B兩種型號(hào)芯片各多少萬件？（2）由于芯片暢銷，該廠計(jì)劃再制造A，B兩種型號(hào)芯片共30萬件，其中B型號(hào)芯片的數(shù)量不多于A型號(hào)芯片數(shù)量的2倍，那么該廠制造兩種型號(hào)芯片各多少件時(shí)會(huì)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）A種型號(hào)芯片6萬件，B種型號(hào)芯片4萬件（2）制造A型芯片10萬件，B型芯片20萬件；最大利潤是140萬元【解析】【分析】（1）設(shè)芯片廠制造A種型號(hào)芯片x萬件，制造B種型號(hào)芯片y萬件，根據(jù)等量關(guān)系式：A型號(hào)芯片成本價(jià)+B型號(hào)芯片成本價(jià)=320萬，A型號(hào)芯片獲利+B型號(hào)芯片獲利=44萬，列出方程組，解方程組即可，可解得芯片廠制造A種型號(hào)芯片6萬件，制造B兩種型號(hào)芯片4萬件；（2）設(shè)制造這批芯片獲得利潤為w萬元，制造A種型號(hào)芯片m萬件，則制造B種芯片（30?m）萬件，根據(jù)B型號(hào)芯片的數(shù)量不多于A型號(hào)芯片數(shù)量的2倍，得30?m≤2m，解得m≥10，而w＝（34?30）m＋（40?35）（30?m）＝?m＋150，由一次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【小問1詳解】解：設(shè)芯片廠制造A種型號(hào)芯片x萬件，制造B兩種型號(hào)芯片y萬件，根據(jù)題意得：，解得：，答：芯片廠制造A種型號(hào)芯片6萬件，制造B種型號(hào)芯片4萬件；【小問2詳解】解：設(shè)制造這批芯片獲得利潤為w萬元，制造A種型號(hào)芯片m萬件，則制造B種芯片（30?m）萬件，∵B型號(hào)芯片的數(shù)量不多于A型號(hào)芯片數(shù)量的2倍，∴30?m≤2m，解得m≥10，根據(jù)題意得w＝（34?30）m＋（40?35）（30?m）＝?m＋150，∵?1＜0，∴w隨m的增大而減小，∴m＝10時(shí)，w取最大值，最大值為?10＋150＝140（萬元），此時(shí)30?m＝20，答：制造A型芯片10萬件，B型芯片20萬件，會(huì)獲得最大利潤，最大利潤是140萬元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組及函數(shù)關(guān)系式．20.閱讀與思考，請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形觀察右圖中的正六邊形，點(diǎn)O是它的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，將這個(gè)正六邊形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形與旋轉(zhuǎn)前的圖形重合．一般地，如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度（小于）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫它的對(duì)稱中心．（1）中心對(duì)稱圖形_________旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．（填“是”或“不是”）（2）下列圖形中不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有_________，既是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有_________，旋轉(zhuǎn)能夠完全重合的圖形有_________．A．B．C．D．E．【答案】（1）是（2）E；A，C；B，D【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)中心對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義分析，即可得到答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案．【小問1詳解】∵中心對(duì)稱圖形為把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原來的圖形重合，且∴中心對(duì)稱圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形故答案為：是；【小問2詳解】A和C選項(xiàng)的圖形，繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原來的圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，B和D選項(xiàng)的圖形，繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原來的圖形重合，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)的圖形，繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原來的圖形重合，不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，∴不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有：E；既是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形有：A，C旋轉(zhuǎn)能夠完全重合的圖形有：B，D故答案為：E；A，C；B，D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱圖形知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，從而完成求解．21.如圖，在△ABC中，，，，ED、FG分別是AB，AC的垂直平分線，求GE的長．【答案】3cm【解析】【分析】由∠B+∠C=60°，AB=AC，可得∠B=∠C=30°，由AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F兩點(diǎn)，可得AE=BE，AG=CG，則可得∠BAE=∠CAG=30°，繼而求得△EAG是等邊三角形，由BC=9cm，即可求得GE的長．【詳解】解：如圖，連接AE，AG，∵∠B+∠C=60°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠DAE=∠B=30°．∵GF是AC的垂直平分線，∴AG=CG，∴∠CAG=∠C=30°．∴∠AEG=60°，∠AGE=60°，∴△EAG是等邊三角形，∴AE=AG=EG，∵BC=9cm，∴GE=3cm．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22.綜合與實(shí)踐，如圖，在Rt△ABC中，，，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，連接BF．（1）∠EFA的度數(shù)為．（2）求證：．（3）若，求CD的長．【答案】（1）60°（2）見解析（3）CD＝【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠DAC＝∠BAD∠BAC＝15°，∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)條件可得到FM＝FN，再根據(jù)角的度數(shù)可求得∠FDC＝75°＝∠FEN，可證明△EFN≌△DFM，可得到EF＝DF．（3）作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得，即可求解．【小問1詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝15°，∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°，∴∠EFA＝∠DAC+∠ACE＝15°+45°＝60°．故答案為：60°；【小問2詳解】證明：∵F是角平分線交點(diǎn)，∴BF也是角平分線，∴MF＝NF，∠DMF＝∠ENF＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠EFA＝60°，∠BAD＝15°，∴∠NEF＝75°＝∠MDF，在△DMF和△ENF中，，∴△DMF≌△ENF（AAS），∴EF＝DF．【小問3詳解】解：作FH⊥AC于H，∵CE是∠BCA的平分線，∴FH＝FM，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BCAB＝10，AC＝10，設(shè)到的距離為，到的距離為，在的角平分線上，設(shè)CD＝x，則∴CD＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明△EFN≌△DFM是解題的關(guān)鍵．23.與探究，如圖，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，且，把另一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，兩條直角邊DM，DN分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．把Rt△DMN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，保持點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上（不與點(diǎn)A，B，C