2025版高考數學一輪總復習考點突破第六章數列6.3等比數列

第六章數列6.3等比數列考點一等比數列基本量的計算例1（1）已知各項均為正數的等比數列{an}的前三項和為14，且a5=A.22023-1 B.22023解：設等比數列{an}的公比為qa1又a5=3由①②,解得q=2，a1故S2022=2（2）等差數列{an}的公差為d，且滿足a3，a5，aA.12 B.0或1解：因為a3，a5，所以a52=所以a1-2dd=即da1=0或【點撥】①類似于等差數列，等比數列同樣可以“知三求二”，因此列方程（組）是基本方法.②解方程組時常利用“作商”消元.③解決這類問題要留意公比q=變式1（1）[2024年全國甲卷]已知正項等比數列{an}中，a1=1,Sn為{anA.158 B.65解：由題意,知1+q+q2+q3+q4（2）[2024年全國乙卷]已知等比數列{an}的前3項和為168，a2-A.14 B.12 C.6 D.3解：設等比數列{an}的公比為q，q則a1解得q=12，a故選D.（3）[2024年全國乙卷節(jié)選]設{an}是首項為1的等比數列，已知a1，3a2，解：設數列{an}的公比為q.由題意，得6a2=a1+9a考點二等比數列的性質命題角度1與項或和有關的性質例2（1）設等比數列{an}中，每項均為正數，且a3aA.5 B.10 C.20 D.40解：log3a1（2）[2024年全國Ⅰ卷]設{an}是等比數列，且a1+a2A.12 B.24 C.30 D.32解：設等比數列{an}的公比為q，則a1+a2（3）[2024年全國甲卷]記Sn為等比數列{an}的前n項和.若S2=4A.7 B.8 C.9 D.10解：（方法一）（等比數列性質）因為S2=4由等比數列性質，得S2，S4-S2即6-42（方法二）（基本量法）設等比數列{an}的公比為q所以a11-兩式相除，化簡得1+q2所以a1所以S6=a【點撥】①在等比數列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn,S3n-S2n成等比數列.②變式2（1）在等比數列{an}中，若a2aA.4 B.2 C.-2 D.解：由a2a3則a92a（2）在等比數列{an}中，已知a1+a解：設等比數列{an}a1+a又a9+a11=（3）[2024年新課標Ⅱ卷]記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4=-5A.120 B.85 C.-85 D.解：（方法一）設等比數列{an}因為S4=-5，S6=因為S2,S4-S2所以-5-S22當S2=-1時，S2,S4-S2,S6-S易知S8+21當S2=54時，（方法二）設等比數列{an}的公比為q若q=1，則S6由S4=-5，S6=由①，得1+q2所以S8故選C.命題角度2函數特性例3設{an}是等比數列，則“a22>a1aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：當a2<0時，由a22當{an}為遞增數列時，a2>所以“a22>a1a2故選D.【點撥】要理解等比數列通項和前n項和的函數特性，及a1和q變式3[2024年全國甲卷]等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，設甲：q>A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解：若a1=-1，q=1由{Sn}是遞增數列，得Sn+故甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選B.考點三等比數列的判定例4【多選題】若數列{an}A.數列{1anC.數列{an+解：設等比數列{an}1an+11an當k=0時，kan=an+2an+1=aan+12an2=q【點撥】等比數列的四種常用判定方法,后兩種在解小題時比較常用.定義法若an+1an=q(q為非零常數，n中項公式法若數列{an}中，an≠通項公式法若數列{an}的通項公式可寫成an=c?前n項和公式法若數列{an}的前n項和Sn=k?變式4【多選題】設數列{an}，{A.若cn=aB.若dn=aC.若{an}的前n項和為Sn，則SnD.在數列{an}解：設數列{an}，{bn對于A，由cn=anbn，得對于B，由dn=anbn，得對于C，令an=-1n對于D，新數列的公比為an+k故選ABD.例5已知數列{an}和{bn}滿足a1（1）證明：{an+證明：由題意，得4an+又因為a1+b1=由題意，得4a即an又因為a1-b（2）求{an}[答案]由（1），知an+b所以anbn【點撥】證明一個數列是等比數列，主要應用定義法和等比中項法.若要證明一個數列不是等比數列,只要找到一個正整數m，使am+1變式5設數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1證明:因為a1=1，Sn=當n≥2時，Sn-1又a2=2,所以a因為a2a1所以an課外閱讀·等差、等比數列的應用建模等差、等比數列相關實際問題，生活中比比皆是.將實際問題轉化為數列問題的一般步驟是：審題、建模、求解、檢驗、作答.這一過程須要學生具有較強的抽象概括、數學分析、邏輯推理和學問轉化的實力,體現了數列的工具價值和數學的好用價值.1.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上，空盤時盤芯直徑為60mm，滿盤時直徑為100mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約為(π≈3.14，結果精確到A.35m B.50m C.60解：（方法一）依據題意，空盤時盤芯半徑為30mm，滿盤時半徑為50因為衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，所以滿盤時共有50每一圈衛(wèi)生紙的周長成等差數列，且項數為200.依據等差數列的求和公式，可得S200將π≈3.14代入,計算可得滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約為50（方法二）設衛(wèi)生紙的寬度為d,長度為l.滿盤時衛(wèi)生紙的體積為π×502-故選B.2.某病毒探討所支配改建十個試驗室，每個試驗室的改建費用分為裝修費和設備費，每個試驗室的裝修費都一樣，設備費從第一到第十試驗室依次構成等比數列.已知第五試驗室比其次試驗室的改建費用高42萬元，第七試驗室比第四試驗室的改建費用高168萬元，并要求每個試驗室改建費用不能超過1700萬元.則該探討所改建這十個