高中數(shù)學(xué)隱含條件的挖掘

高中數(shù)學(xué)隱含條件的挖掘

《高中數(shù)學(xué)隱含條件的挖掘》

作者單位：綏中一高中作者姓名：撰寫日期:

旗中縣秋t學(xué)會(huì)

2011芹盛數(shù)，學(xué)給文

綏中縣教育學(xué)會(huì)優(yōu)秀論文申報(bào)我

姓名劉志華性別男職務(wù)

單位綏中一高中學(xué)

論文題目高中數(shù)學(xué)隱含條件的挖掘

單位

意見

（蓋章

縣教育學(xué)

會(huì)意見

/U

摘要

木文從高考數(shù)學(xué)試題中隱含條件對學(xué)生的影響入手，首先論述了挖掘隱含條件的重要

性，其次分別從概念與性質(zhì)中，從類比中，從推理中，從題目的結(jié)構(gòu)特征中，從聯(lián)想中，

從聯(lián)系中，從數(shù)形結(jié)合中去挖掘隱含條件。以分析為主、解答為輔的方法闡述了如何去挖

掘隱含條件，給學(xué)生們做示范，啟在得到拋磚引玉的作用。使高中師生在較短時(shí)間內(nèi)有意

識地去挖掘隱含條件，提高他們的解題能力。最后說明了隱含條件的挖掘?qū)μ岣邔W(xué)生數(shù)學(xué)

解題的影響及促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：隱含條件，挖掘，認(rèn)知?jiǎng)右?，激活，降維思想3

Highschoolmathquestionsimpliedconditionsexcavation

AbstractThemathematicalquestionsfromthecollegeentranceexamination,

impliedconditionsofthestudentsaffectedby,firstdiscussedexcavation

conditionsimpliedimportance,followedfromtheconceptandnature,from

analogy,fromreasoning,fromthestructuralcharacteristicsoftopics,from

theLegend,fromlinksfromShuxingjieheChinatotapthehiddenconditions.

Toanalyseprimaryandsecondarymethodsanswerexpoundedhowtotapimplicit

conditionforthestudentstodoamodel,Kaibeenvaluableintherole.For

highschoolstudentsinarelativelyshorttimeconscioustotapimplicit

conditions,andimprovetheirabilitytosolve.Finallyontheimplied

conditionsofthestudentsdiggingtheimpactandthepromotionoftheroleof

mathematicalcalculations.

Keyword：Impliedconditions,excavation,cognitivedynamics,thus,would

fallDavid4

目錄

ji口I，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，1

（-）嚴(yán)格查看概念與性質(zhì)，從概念與性質(zhì)中去挖掘隱含條件1三.從類比中去

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

（一）仔細(xì)分析已知條件，從類比中挖掘隱含條件2

（二）利用“降維思想”將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從類比中挖掘隱

（一）嚴(yán)格審視求證結(jié)論，從推理中挖掘隱含條件,,3

（-）聯(lián)系數(shù)列方程與韋達(dá)定理，從推理中去挖掘隱含條件?3五.從題目的結(jié)構(gòu)

特征中挖掘隱含條件4

（―）從題目中挖掘數(shù)學(xué)公式4

（-）從題目中挖掘幾何圖形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4六.從聯(lián)想中挖掘隱含條件

（-）類比聯(lián)想數(shù)量關(guān)系，從認(rèn)知?jiǎng)右蚺c方法中挖掘隱含條件6

（二）聯(lián)想數(shù)列方程，從抽象函數(shù)中挖掘隱含條件6七.從聯(lián)系中挖掘隱含

!牛7

（-）聯(lián)想中審視已知條件，從聯(lián)系中挖掘隱含條件7

（二）仔細(xì)分析條件，從聯(lián)系中挖掘隱含條件7八.從數(shù)形結(jié)合中挖掘隱含條

（?）仔細(xì)分析已知條件，從圖形特征中挖掘隱含條件7

（二）利用轉(zhuǎn)化思想，從圖形特征中挖掘隱含條件，,,,,,,,,,,,,,8九.結(jié)束語

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，9卜.jW^，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10。

引言

隨著近兒年高考數(shù)學(xué)難度的增大，減輕了計(jì)算難度，加大了對思維能力的考查。許多數(shù)

學(xué)試題看起來很常見，但做起來卻非常困難，原因這幾年的高考題所給題的信息比較隱

晦，有隱含條件，這是高考數(shù)學(xué)成績低的一個(gè)重要原因之一。

因此，為了提高高考學(xué)子的挖掘隱含條件的能力，使他們在較短的時(shí)間內(nèi)提高數(shù)學(xué)解題

的能力，提高他們的數(shù)學(xué)成績本文擬從概念與性質(zhì)中，從類比中，從推理中，從題目的結(jié)

構(gòu)特征中，從聯(lián)想中，從聯(lián)系中，從數(shù)形結(jié)合中七個(gè)方面去挖掘隱含條件。

隱含條件是指數(shù)學(xué)問題中那些若明若暗,含而不露的已知條件,或者從題設(shè)中不斷挖掘并

利用條件進(jìn)行推理和變形而從新發(fā)現(xiàn)的條件.它的表現(xiàn)形式主要包括：（1）問題中的字母,變

量或關(guān)系式所隱含的制約條件和取值范圍；（2）問題中的字母,變量或關(guān)系式所隱含的幾何

圖形的特征和位置關(guān)系；（3）問題所涉及的基本概念,它所屬對象的性質(zhì)；（4）問題所適合的

數(shù)學(xué)模型或公式,定理,法則；（5）生產(chǎn),生活的實(shí)際問題中所討論的變量的適用范圍及相互

間滿足的關(guān)系.

從概念與性質(zhì)中挖掘隱含條件

（-）嚴(yán)格查看定義，從概念與性質(zhì)中挖掘隱含條件

定義與性質(zhì)是數(shù)學(xué)解題(證明)的出發(fā)點(diǎn)，雖然這是淺層次的隱含條件，但不注意也會(huì)

變成深層次的隱蔽條件，如一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是非1正

數(shù)等。

例1無窮數(shù)列｛an｝中,

In1a(),n3kIn3,kn時(shí)?，則此數(shù)列的各項(xiàng)和為21/26,證明這個(gè)命題。

a(l)n1,n3kIn3

挖掘隱含條件的分析：首先，數(shù)列通項(xiàng)是一個(gè)分段函數(shù)，這是隱含條件，其次，數(shù)列是

一個(gè)以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，它的值域也是由自然數(shù)組成的分?jǐn)?shù)，當(dāng)n=3k-l時(shí)，即n

1被3除不足1時(shí)，換句話說，n被3除余2時(shí)，由表出，否則，n3k1

時(shí)，即3

1被3除余數(shù)不為2時(shí)，數(shù)列用表出，第三，揭示這“無窮遞縮等比數(shù)列”的

關(guān)鍵是36nn

11111111把數(shù)列揭示出來：()0,()1,()2,()3,()4,()5,()6,()733333333

從定義和性質(zhì)中，挖掘隱含條件得出三個(gè)首項(xiàng)不同，而公比相同的三個(gè)“無窮遞縮等比

數(shù)列”

111(1)()0,()3,()6,333

111(2)()1,()4,()7,333

111(3)()2,()5,()8,333

11127111S1()0()3()6,S2()1()4()733326333

91113,S3()2()5()82633326

27932126262626SIS2S3

二從類比中挖掘隱含條件

(-)仔細(xì)分析已知條件，從類比中挖掘隱含條件

從相似比較中挖掘隱含條件的實(shí)質(zhì)是類比，是一-種鋪墊激活策略。

1例2已知a,b,cR，且abc1,求證:a2b2c23111.證明：設(shè)

atl,bt2,ct3,則tlt2t30

33311112a2b2c2=(tl)2(t2)2(t3)2=t12t22t32(tlt2t3)

33333

11=tl2t22t3233

這是高中學(xué)習(xí)階段的一個(gè)重要的題型，本題提供了一個(gè)很好的解法，循環(huán)增量換元法。

例題如下：已知m,n,k均大于1,求證：

nkloglogloginmnkmnkmnk1.222

如果被比較的兩道題中，前者是認(rèn)知者已經(jīng)掌握的知識，后者是認(rèn)知者目前還不會(huì)證明

的，在兩個(gè)中仔細(xì)觀察分析中，發(fā)現(xiàn)隱含條件是

nklogmloglogmnkmnkmnk1,這樣這題的解法就被激活了。上述兩題的條件一樣，

要證明的

結(jié)論也一樣，只不過第二個(gè)看起來形式復(fù)雜一些，但它們本質(zhì)上是一樣的。

7

（二）利用降維思想將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從類

比中挖掘隱含條件

例3求證：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值

證明：如圖1,將正四面體與正三角形類比：正三角形內(nèi)任

意一點(diǎn)到各個(gè)邊的距離之和為定值（等于此三角形的高），B

只須用平積法即可得到結(jié)論，那么我們只須用體積法來處理

本例。ADC

圖1

設(shè)四面體A-BCD內(nèi)一點(diǎn)0到各個(gè)面的距離分別是hl,h2,h3,h4,0點(diǎn)與四個(gè)面構(gòu)成了四

個(gè)小四面體，則它們的體積之和等于原四面體的體積，即

1111VVIV2V3V4hlslh2s2h3s3h4s4,其中SIS2S3S4S為四個(gè)三

角3333

形的面積，則

HShS（hlh2h3h4）,hlh2h3h4為定值。（h為正四面體的高）33

“降維思想”是一重要的類比的方法，空間中的許多問題都可以用這一類比方法去解

決。

工從推理中挖掘隱含條件

(-)嚴(yán)格審視求證結(jié)論，從推理中挖掘隱含條件

根據(jù)手段——目的分析的策略，解題的實(shí)質(zhì)是消除或縮小當(dāng)前狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)的差異，

并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法來縮小這種差異，直到問題解決。

例4在三角形ABC中，求證：tg2ABetg2tg21222

由此題的結(jié)構(gòu)特征我們想到了“交叉不等式”，要想證明上述結(jié)論成立，不妨看一看

tgABBCCAtgtgtgtgtg是否大于或等于1。這樣或許能消除已知條件與求證之間的

222222

差異，這是推理中所需要解決的問題，事實(shí)上，

BCtgABCBCtgtg()etgBC2222tgtg22

ABBCCAtgtgtgtgtgtg12222221tg

這是由推理所得出的隱含條件，它的發(fā)現(xiàn)把已知和求證之間的差異徹底消除了。所以命

題得證。

實(shí)際上，推理的過程中也需要我們觀察題目特征，聯(lián)想有關(guān)的數(shù)學(xué)公式，這樣或許能夠

幫8助縮短已知、求證之間的差異，進(jìn)而使推理有效的進(jìn)行。

(二)聯(lián)系數(shù)列方程與韋達(dá)定理，從抽象函數(shù)中挖掘隱含條件

有的數(shù)列方程與降標(biāo)方程一起，表明數(shù)列的兩個(gè)項(xiàng)是二次方程之兩根，于是根據(jù)韋達(dá)定

理而得一可解型方程。

例5數(shù)列｛a

n｝滿足aO0,an15an求其通項(xiàng)。

解：去根號化為：an12lOanan1an210*

降標(biāo)得：

an210anlanan1210

也就是：an12lOanan1an210**

*與**式表明an1與an1是方程x2lOanx(an21)0的兩個(gè)根。這是該題的隱

含條件，利用它將該題轉(zhuǎn)化為較簡單的數(shù)列問題。于是由韋達(dá)定理有：

an1an1lOan

特征方程：

x/6

y210y10,y5

V6

ancl5

R

nc25

J24而+1

n

注意到al5a0,有：

0clc2,

1cl5c25cl

an5

瓜

爬

V6

瓜

c22424n

娓

n5本題隱含條件的挖掘不僅需要學(xué)習(xí)者有豐富的數(shù)列方程知識，而且還需要觀察能

力。四從題目的結(jié)構(gòu)特征中挖掘隱含條件

解題時(shí)?，如果題設(shè)中隱含著與某些數(shù)學(xué)概念、公式具有類似結(jié)構(gòu)的數(shù)式或圖形信息，則

應(yīng)抓住結(jié)構(gòu)特征，挖掘隱含條件，用構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化研究對象，使問題順利解決。

（一）從題目中挖掘所應(yīng)用的數(shù)學(xué)公式9

xx3

例6求函數(shù)y的值域。12x2x4

分析：分子，分母為x的高次幕且上下又無公因式，無法直接進(jìn)行解答。但是，注意到

分母可以分解為1x22,分子可以分解為x1x2,即

xx312xlx2

yo聯(lián)想到三角中萬能公式，令xtg,則242212xx21xlx

1111ysin2cos2sin4，所以y,2444

本題的函數(shù)表達(dá)式中隱含著數(shù)學(xué)公式，能挖掘出來這一條件可使問題順利解決。

（二）從題目中挖掘所應(yīng)用的幾何模型

例7已知銳角,,滿足cos2cos2cos21,求證

V2

tgtgtg

分析：直接用三角方法來證頗感棘手，若由條件聯(lián)想到立體

幾何中長方體對角線的性質(zhì)則茅塞頓開。ACD1C1B1A1

圖2

證明：構(gòu)造長，寬，高分別為a,b,c的長方體ABCDA1BC如圖2,使其對角線

AC111D1,

與棱AB,AD,AA1的夾角分別為，，，顯然cos2cos2cos21,且

yjb2+C1

yjc2+a2

Jn'+/?[

\/c2+a2

+b2

+tgtgtg則tgtg

y1b2+c2

tg

y/2

bccaabbacacb

&

)=)()

()]22)2abc2abacbc2c

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號，即時(shí)結(jié)論成立。

此題也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，題目的結(jié)構(gòu)特征隱藏著數(shù)學(xué)模型。利用數(shù)形結(jié)合這一轉(zhuǎn)化

方法把問題的難度降低了，這有利于培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性。

五.從聯(lián)想中挖掘隱含條件

(-)類比聯(lián)想數(shù)量關(guān)系，從認(rèn)知?jiǎng)右蚺c方法中挖掘隱含條件

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既有激活認(rèn)知?jiǎng)右虻牟呗裕€有激活認(rèn)知內(nèi)容與方法的策略。前者靠聯(lián)

想，后者靠類比。解題過程既是聯(lián)想過程，又是類比過程。

例8一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是48,前2n項(xiàng)的和是60,則前3n項(xiàng)的和是多少？10

挖掘隱含條件的分析：讀者根據(jù)認(rèn)知?jiǎng)右虻募せ畈呗?，?lián)想到等差數(shù)列的類似題，必須分

清前n項(xiàng)，次n項(xiàng)與后n項(xiàng)是與題設(shè)中的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)與前3n項(xiàng)是完全不同的概念，

為了挖掘隱含條件，解題經(jīng)驗(yàn)說明一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和，次n項(xiàng)之和與后n項(xiàng)之和

也同樣成等差數(shù)列，試問此題中等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和，次n項(xiàng)之和與后n項(xiàng)之和是否也

成等比數(shù)列呢？這即可以證明，又可以用特殊激活一般的策略，設(shè)2,4,8,16,32,64

成等比數(shù)列，前2項(xiàng)的和是6,次2項(xiàng)的和是24,后2項(xiàng)的和是96,同樣也成等比數(shù)列，

其公比是4(原公比是2)。再回到本例題，它可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和是

48,次n項(xiàng)之和是12即(60-48=12),設(shè)前3n項(xiàng)的和是S,后n項(xiàng)之和是S-60,求S=?

依等比數(shù)列的定義有比利式12/48=(S-60)/12,得出S=63。

(二)聯(lián)想數(shù)列方程，從抽象函數(shù)中挖掘隱含條件

例9設(shè)f(x)

析式。

解：解這類題一般利用fn1xf(fn(x))來建立數(shù)列方程。x,并記fnx

((共n重f),試求fl986(x)的解f(f(f(fx))))21x

fn1x

J+U(x)

f(fn(x))l

fn12(x)fx于是有112fn(x)

可見⑴是等差數(shù)列，公差為1，2fn(x)

這是一個(gè)隱含條件，它把函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為數(shù)列方程，而這是一等差數(shù)列方程容易得到解

決，此種方法的關(guān)鍵是要掌握好等差數(shù)列的知識。

11(n1)1fn2(x)f12(x)

111x21注意到2=

5/l+nx1

22

Jl+1986l

1fl(x)f2(x)xx

fn(x)

fl986(x)11

六.從聯(lián)系中挖掘隱含條件

(-)聯(lián)想中審視已知條件，從聯(lián)系中挖掘隱含條件

當(dāng)單獨(dú)、孤立地審視已知條件已經(jīng)達(dá)到“山窮水復(fù)疑無路時(shí)，聯(lián)系審視幾個(gè)已知條件，

就可能出現(xiàn)柳岸花明又一村的新境界”，從而挖掘隱含條件。

例10在銳角三角形中，tgA,tgB,tgC成等差數(shù)列，若f(cos2A)=cos(BCA),試求

函數(shù)f(x)的表達(dá)式。

挖掘隱含條件的分析：一方面有第一個(gè)已知條件得出tgB

導(dǎo)公式得出tgBtg(AC)1(tgAtgC),另一方面由誘2tgAtgC由以上兩方面結(jié)

合得出tgAtgC1

tgAtgtgACtgC32tgAtgC1,推出隱含條件tgA=.因?yàn)?/p>

2tgAtlgCtgCcoBs(Ctg2A13/tgc19tg2CAcos(2A)=-cos2A-2,

=22tgA13/tgc19tgC2

1tgC9tg2c這樣，第二個(gè)已知條件轉(zhuǎn)化為f()21tgC9tgC

用變量替換法求函數(shù)的表達(dá)式：

1x9(1x)/(1x)5x41tg2C2tgCf(x)令=*

21x9(1x)/(lx)4x51tgC

本題將幾個(gè)已知條件一起進(jìn)行推理，將所得的信息取交集，進(jìn)而得到新的已知條件。

(二)仔細(xì)分析條件，從條件中挖掘隱含條件

例11已知a,bR,且lln1,試證，對于每一個(gè)nN,

abanbn22n2n1

ab

成立。(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)證明：由111可推得：ab

abab(1)

(2)(3)得：ab4(2)所以由(1)

a1b11(3)

ab

nanbn=abanbnan1bn11=

nl2a1an1an2an3a1b1bn1bn2bn3

b11

二a

\[ab

n1an

戰(zhàn)

2an3a1bn1b

yfab

n2bn3b11

122nIn)l=22n2n111=(21

在證明過程中，挖掘出上述的三個(gè)隱含條件，巧妙分解出a1b11,使

問題迎韌而解。

七.從數(shù)形結(jié)合中挖掘隱含條件

(-)仔細(xì)分析條件，從圖形特征上挖掘隱含條件

有些數(shù)學(xué)問題，其部分條件隱于圖形之中，若能抓住圖形的特征，利用運(yùn)動(dòng)變換的觀

點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)靥碓O(shè)輔助圖形，可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)含而未漏的條件，使問題獲解。

例12在平面上有兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),在圓x3y44上取一點(diǎn)

P,求使AP2BP2取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：本題的一般解法是列出目標(biāo)函數(shù)yAP2BP2,然后再求最

小值，過程繁且易出錯(cuò)。如圖3,并結(jié)合三角形的中線性質(zhì)，便可得

AP2BP2AP2BP220P220B22。所以當(dāng)0P達(dá)到最小值時(shí)，22也達(dá)到最小值。易知

點(diǎn)0與圓心(3,4)的連線與圓的交點(diǎn)即為所

求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

所以聯(lián)立以下方程得到：4yx消元得到下列一元二次方程

3(x3)2(y4)24921215x230x90xl,x2由于x2不符合題意。

555

9912所以xP點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)555

(-)利用轉(zhuǎn)化思想，從圖形中挖掘隱含條件

例13已知正方形ABCD,邊長為4,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD且

GC=2,求B點(diǎn)到平面EFG的距離。

分析：如圖4

EF//BD,BD〃平面EFG,所以B點(diǎn)到

平面EFG的距離等于正方形ABCD的中心0到平面EFG

13AFPEGBC圖4的距離，故可以將B點(diǎn)處的面垂線平移到0點(diǎn)處。這是一隱含條件，由

題中給的數(shù)據(jù)很難解答本題。但觀察圖形發(fā)現(xiàn)上述隱含條件，這種想法是利用平移的思想

將空間圖形集中到一個(gè)平面內(nèi)。

所以過點(diǎn)。作ON平面