中學(xué)數(shù)學(xué)開放題設(shè)計(jì)及教學(xué)策略

內(nèi)容摘要

中學(xué)數(shù)學(xué)新課程新課本已經(jīng)大量的引入了數(shù)學(xué)開放題，這不但早已是數(shù)學(xué)教誨

家存眷的一個(gè)熱點(diǎn)，并且正逐步成為寬大一線數(shù)學(xué)西席所必須面對(duì)的一個(gè)講授方面

問題。因?yàn)閿?shù)學(xué)開放性問題的非完整性、不確定性、發(fā)散性、條理性、創(chuàng)新性等特

點(diǎn)順應(yīng)了新課程改造的理念，順應(yīng)了新課程中問題解決的需要。

數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、遼闊性、靈活性、縝密性、創(chuàng)造性

和批判性；能引起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的順應(yīng)，從而使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生質(zhì)的變革，使

他們的知識(shí)水平和數(shù)學(xué)能力得到較洪流平的提高；能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使

學(xué)生樂于參加，久而久之就會(huì)成為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力；有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意

識(shí)與創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)開放題的諸多特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)開放題在教誨講授中的諸多代價(jià)。

開放題的挑戰(zhàn)性有利于引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，開放題答案的多樣性使學(xué)生可

在差別水平的答案的交換中配合討論，相互學(xué)習(xí)，不絕優(yōu)化，最后得出較好的答案,

從而培養(yǎng)學(xué)生精益求精、不絕探索、追求卓越的精神，并提高解題的能力。陪同著

問題的解決，學(xué)生解決問題的思路越發(fā)開闊，信息流量越發(fā)富厚，知識(shí)結(jié)構(gòu)越發(fā)完

善，適應(yīng)社會(huì)的能力不絕提高。在開放學(xué)習(xí)的歷程中，經(jīng)過差別角度差別要領(lǐng)的闡

發(fā)、推理的訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生綜合思維的能力。而這種能力是學(xué)生繼承學(xué)習(xí)的后推

動(dòng)因素，這對(duì)學(xué)生未來走上社會(huì)后公道處理懲罰問題是至為要害的，這正是新課程

理念下教誨追求的結(jié)果。

開放題講授作為一種新的講授形式，能夠變更學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引發(fā)學(xué)生的

學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表述能力和批判、評(píng)價(jià)能力，

有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力等。開放題在數(shù)學(xué)講授中的應(yīng)用，它還直接干系到

學(xué)生的數(shù)學(xué)觀及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的態(tài)度和信念，這些都與當(dāng)前素質(zhì)教誨的要求是相

吻合的。因?yàn)殚_放題講授不但是一個(gè)知識(shí)得到的歷程、能力得到的歷程，更是一種

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文精神形成的歷程。

數(shù)學(xué)開放題是相對(duì)付封閉題的，是一種比力新穎的題型，它時(shí)常出現(xiàn)在中考、

高考中，同時(shí)也現(xiàn)身于少少部分西席的課堂中，它具有不完備性、發(fā)散性、條理性、

生長性、創(chuàng)新性、綜合性等特點(diǎn)。

本文在闡發(fā)中學(xué)數(shù)學(xué)開放題及其講授的相關(guān)理論底子上，重在對(duì)中學(xué)開放題的

設(shè)計(jì)進(jìn)行論述，為中學(xué)數(shù)學(xué)講授準(zhǔn)備具體的素材。然后以學(xué)生為中心，憑據(jù)建構(gòu)主

義，認(rèn)知理論和最近生長區(qū)來探討中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的講授，結(jié)合具體的講授內(nèi)容在

實(shí)踐中體驗(yàn)，總結(jié)歸納。以便積聚較多的實(shí)例，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)開放題講授提供一

些借鑒。

中學(xué)數(shù)學(xué)開放題設(shè)計(jì)及講授戰(zhàn)略

1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題提出的配景

國際數(shù)學(xué)教誨的生長經(jīng)歷了多次改造運(yùn)動(dòng)，從60年代的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”到70年

代的“回到底子”遞到80年代的“問題解決”，可以說是“歷盡坎坷”。與此同時(shí)，

也就是這種風(fēng)雨經(jīng)歷造就了70年代出現(xiàn)的一種新型問題一一數(shù)學(xué)開放題。

幾經(jīng)轉(zhuǎn)側(cè)，數(shù)學(xué)開放題進(jìn)入我國，經(jīng)歷了從理論的引入到講授的實(shí)驗(yàn)，到大面

積的推廣，最終走進(jìn)了種種類型的數(shù)學(xué)考試或考試。種種考試中，不少學(xué)生對(duì)此類

題體現(xiàn)出束手無策，以致放棄這類題去花更多的時(shí)間和精力霸占難度更大更繁的問

題。同時(shí)，不少老師也深感此類問題不知如何進(jìn)行處理懲罰，致使以題論題，不能

放開思維而拓廣。

在平常的講授中，許多老師還沒有很好的進(jìn)行開放性問題講授或開放課堂講授，

甚至另有部分老師對(duì)開放題的代價(jià)持否定態(tài)度，將開放性思維與思維的嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)立起

來?，F(xiàn)在的新課程改造中，致使許多老師明顯不適應(yīng)新課標(biāo)，新課本的講授，感觸

十分迷茫。這中間不乏對(duì)新課程中的開放性問題及其講授的無所適從，也存在自己

思維的不適應(yīng)。

在新課程改造的實(shí)踐中，我曾參加一些運(yùn)動(dòng)，到不少學(xué)校聽了一些實(shí)驗(yàn)的課堂，

大家都知道新課程理念提出將開放性問題引入課堂，有利于生長學(xué)生思維的發(fā)散性,

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。因此，在課堂講授中或多或少地都市引入一些開放題。

曾經(jīng)在某校遇到這樣一個(gè)關(guān)于開放性問題的研討：

在小學(xué)一節(jié)“數(shù)的整除”溫習(xí)課的課尾，某西席設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題目：在1、2、

4、15和28中，哪個(gè)數(shù)與眾差別？在西席的引導(dǎo)下，學(xué)生紛紛答復(fù)：因?yàn)橹挥?是

質(zhì)數(shù)，所以2與眾差別；因?yàn)橹挥?8是4的倍數(shù)，所以28與眾差別；因?yàn)橹挥?

比1多3,所以4與眾差別；因?yàn)橹挥?5的十位上是1,所以15與眾差別。西席隨

機(jī)小結(jié)：由此可見，每個(gè)數(shù)都與眾差別，你們的每一種想法都是正確的。

課后，聽課老師紛紛議論。有的說：本課引入了開放題，學(xué)生們個(gè)個(gè)踴躍參加，

學(xué)習(xí)積極性明顯提高，體現(xiàn)了“面向全體學(xué)生”這一新理念。有的說：這個(gè)題目設(shè)

計(jì)得太好了，能讓學(xué)生熱愛問題答案的多樣性，有利于打開學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生

的能力。另有的說：我覺得這個(gè)題目設(shè)計(jì)欠妥，將“開放性”轉(zhuǎn)釀成了“隨意性”，

有悖于我們的講授目標(biāo)。更有的老師說：這樣的開放太太過了，會(huì)讓學(xué)生陷入“任

何一種解答都是可以擔(dān)當(dāng)?shù)摹边@一誤區(qū)……

由此我與新課改的相關(guān)研究員對(duì)老師就有關(guān)開放性問題進(jìn)行了一次調(diào)盤問卷，

如表lo

表1數(shù)學(xué)開放題與其它題型的比力闡發(fā)

題型答案選項(xiàng)及各選項(xiàng)被選中的百分比

A.一題多解是對(duì)封閉B.一題多解題可算作C.開放題肯定是一題

1.開放題與題而言的開放題多解題

一題多解

4人選A,占16.7%2人選B,占8.3%18人選C,占75%

A.開放題必是分類討B(tài).分類討論題肯定是C.開放題與分類討論

2.開放題與論題開放題題有區(qū)別

分類討論題

8人選A,占33.3%10人選B,占41.7%6人選C,占25%

A.兩者沒什么區(qū)別B.探索題是開放題C.開放題必是探索題

3.開放題與

探索題

17人選A,占70.8%3人選B,占12.5%4人選C,占16.7%

B.問題答案必是問題C.兩者是兩個(gè)差別條

A.兩者沒有什么區(qū)別

4.開放題的結(jié)論理的問題

結(jié)論與答案

15人選A,占62.5%5人選B,占20.8%4人選C,占16.7%

A.開放題與封閉題兩B.開放題是對(duì)封閉題C.開放題的育人成果

5.開放題與者相互排斥的相對(duì)增補(bǔ)比封閉題大

封閉題

4人選A,占16.7%17人選B,占70.8%3人選C,占12.5%

A.應(yīng)大力大舉增強(qiáng)B.應(yīng)適當(dāng)增加C.不宜增強(qiáng)

6.開放題在

講授中

8人選A,占33.3%9人選B,占37.5%7人選C,占29.2%

由上表可以看出，西席對(duì)開放題的具體情況認(rèn)識(shí)不敷，對(duì)開放性問題的運(yùn)用等

還存在一定的偏差，較以前對(duì)開放性問題的作用有一定的認(rèn)可，但對(duì)開放到什么水

平，與傳統(tǒng)的封閉性問題怎樣結(jié)合運(yùn)用開發(fā)學(xué)生的思維，對(duì)開放題的具體代價(jià)等還

不十分了解。但是，隨著教誨改造的深入生長，新課程改造的逐步實(shí)施，數(shù)學(xué)開放

題的教誨代價(jià)日益突出，新的課程標(biāo)準(zhǔn)已為數(shù)學(xué)開放題的講授搭建了平臺(tái)，新課程

高考也即將隨之進(jìn)入西席的講授中。因此，有須要對(duì)開放性問題及其講授的代價(jià)和

操縱予以總結(jié)介紹，以便順利進(jìn)入平常課堂，真正發(fā)揮其應(yīng)有的作用。

2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的根本認(rèn)識(shí)

目前，中學(xué)數(shù)學(xué)新課程新課本已經(jīng)大量的引入了數(shù)學(xué)開放題，這不但早已是數(shù)

學(xué)教誨家存眷的一個(gè)熱點(diǎn)，并且正逐步成為寬大一線數(shù)學(xué)西席所必須面對(duì)的一個(gè)講

授方面問題。因?yàn)閿?shù)學(xué)開放性問題的非完整性、不確定性、發(fā)散性、條理性、創(chuàng)新

性等特點(diǎn)順應(yīng)了新課程改造的理念，順應(yīng)了新課程中問題解決的需要。

2.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的產(chǎn)生

2.1.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的國際表面

上世紀(jì)60年代以后，隨著聲勢(shì)浩大的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”的急劇衰落，數(shù)學(xué)“回到底

子”迅速成為70年代的主題，數(shù)學(xué)開放題在這種陣痛后的冷靜與理性中應(yīng)運(yùn)而生。

1971年，日本學(xué)者島田茂、橋本吉彥、澤田利夫等27人率先研究“開放式結(jié)尾(open

-ended)問題”，并于1977年頒發(fā)了陳訴文集《算術(shù)、數(shù)學(xué)課的開放式問題一一改

進(jìn)講授的新方案》。至80年代，一方面“問題解決”成為數(shù)學(xué)教誨的主題，另一方

面以布魯納為首的教誨家將建構(gòu)主義引向深入，在此配景下，開放性問題迅速成為

數(shù)學(xué)教誨的一面旗幟。同時(shí)，新西蘭等國度也對(duì)開放性問題進(jìn)行了卓有成效的講授

實(shí)驗(yàn)和理論闡發(fā)?？梢哉f，從首開先河的日本到美國遞至新西蘭等國度對(duì)開放題的

實(shí)踐探索和理論研究，直接促進(jìn)了數(shù)學(xué)開放題的成熟并使之迅速成為一種國際潮流。

2.1.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題在國內(nèi)的生長

在我國，數(shù)學(xué)開放題從理論的引入到講授的實(shí)驗(yàn)遞至大面積進(jìn)入數(shù)學(xué)考試，大

要上經(jīng)歷了幾個(gè)歷程。

1980年，《外國教誨》(第4期)頒發(fā)了澤田利夫關(guān)于數(shù)學(xué)開放題的研究結(jié)果，

其內(nèi)容包羅開放題的涵義、開放題的舉例以及開放題講授的優(yōu)缺點(diǎn)等問題，該文拉

開了我國研究數(shù)學(xué)開放題的序幕。1984年，浙江教誨學(xué)院戴再平傳授首先運(yùn)用開放

題進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試發(fā)明：知識(shí)和技能的堆砌與學(xué)生的創(chuàng)造思維沒有一定的聯(lián)系。1988

年，王慧斌在《外國教誨資料》上介紹了日本的開智法，其中也涉及到數(shù)學(xué)開放題

的一些知識(shí)，如開放題應(yīng)該具備的條件等。

1990年，胡林瑞對(duì)安徽省黃山市一所中學(xué)的學(xué)生也進(jìn)行了數(shù)學(xué)開放題的測(cè)試。

并得出以下結(jié)論：①高中生的發(fā)散性、創(chuàng)造性思維與初中生沒有區(qū)別；②底子知識(shí)

和根本技能的增長不能作為創(chuàng)造性思維能力生長的充實(shí)條件，但卻是創(chuàng)造性思維生

長的須要條件；③學(xué)生的底子知識(shí)不一定能自然地轉(zhuǎn)化為能力。1994年，胡啟迪寫

文章也介紹了日本的一堂開放題講授課。

1993年，戴再平又在浙江省五所中學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行講授試驗(yàn)，試驗(yàn)發(fā)明：

①在中學(xué)適當(dāng)增加開放題是須要的；②開放題與封閉題應(yīng)該并存而不是相互排斥；

③開放題所包羅的事件應(yīng)為學(xué)生所熟悉，通過學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)能夠解決；④開放題

能使學(xué)生得到各不相同的種種水平的解答；⑤開放題應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體職位；⑥開

放題應(yīng)注重學(xué)生的探索歷程。1994年，湖南省教研室趙雄輝運(yùn)用數(shù)學(xué)開放型應(yīng)用題

進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)認(rèn)為：①學(xué)生對(duì)開放型應(yīng)用題非常歡迎；②開放型應(yīng)用題有利于

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和探索的精神。至此，中學(xué)數(shù)學(xué)開放題講授試驗(yàn)開始遍及

進(jìn)行。

1996年2月，“開放題一一數(shù)學(xué)講授的新模式”立項(xiàng)（1997年得到批準(zhǔn)）為全

國教誨科學(xué)“九五”籌劃重點(diǎn)課題。1998年11月，課題組在上海金匯學(xué)校召開“數(shù)

學(xué)開放題及其講授學(xué)術(shù)研討會(huì)”，此次聚會(huì)會(huì)議擴(kuò)大了國際交換并形成一些理論認(rèn)

識(shí)。別的，上海師范大學(xué)小學(xué)教誨研究所與香港相助，也進(jìn)行了小學(xué)數(shù)學(xué)開放性問

題的課題研究，并頒發(fā)了一些有關(guān)文章。這表明數(shù)學(xué)開放題的研究進(jìn)入了有籌劃有

組織的研究階段。

2.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的涵義

2.2.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的界定

數(shù)學(xué)開放題，又叫數(shù)學(xué)開放型題，或數(shù)學(xué)開放性題，學(xué)術(shù)界還沒有統(tǒng)一的界說,

查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料大抵分三類：

（1）條件不完備、結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題稱為開放題，代表性看法有：①數(shù)學(xué)

開放題是相對(duì)付傳統(tǒng)中條件完備、結(jié)論確定的封閉題而言的，是指那些條件不完備、

結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題（劉萍）；②開放型問題是指題目的條件不完備或結(jié)論不明確,

從而蘊(yùn)涵著多種可能性，要求解題者自行推斷（孫耀庭）。

（2）答案不確定的數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)開放題，代表性看法有：①有幾種正確答

案似乎都帶有可能性或成為未完結(jié)的問題稱為開放的問題（澤田利夫）；②答案不唯

一的問題稱為開放題，開放題的一個(gè)顯著特性是答案的多樣性（俞求是）。

（3）數(shù)學(xué)開放題是指條件開放（條件在不絕變革）、結(jié)論開放（多結(jié)論或無結(jié)

論）、戰(zhàn)略開放（可以采取多種要領(lǐng)和途徑去解決）的問題。

其實(shí)，“數(shù)學(xué)開放題”并未經(jīng)審定的范例的數(shù)學(xué)專業(yè)名詞，它只是相對(duì)封閉題而

言的，是相對(duì)付封閉題的一種否定。因而，對(duì)數(shù)學(xué)開放題內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)可比擬封閉性

問題歸納出兩個(gè)明顯的特征，也是最根本的特征：一是條件不完備即條件開放；二

是結(jié)論不確定即結(jié)論開放。

2.2.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類

目前已有不少的學(xué)者依據(jù)開放題的按命題要素、解題目的、學(xué)習(xí)歷程、問題答

案等差別的特性，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行了多種分類。

綜合種種情況如表2：

表2數(shù)學(xué)開放題的常見題型可歸納成下表

按命題要素的按解題目標(biāo)的按學(xué)習(xí)歷程的按問題答案的

發(fā)散傾向分類操縱模式分類訓(xùn)練代價(jià)分類結(jié)構(gòu)類型分類

綜合開放型量化設(shè)計(jì)型知識(shí)牢固型有限可列型

條件開放型分類討論型知識(shí)產(chǎn)生型無限離散型

戰(zhàn)略開放型問題探求型信息遷移型無限連續(xù)型

結(jié)論開放型規(guī)律探索型有限混沌型

情境研究型

結(jié)構(gòu)東西型

數(shù)學(xué)建模型

2.2.3中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的特征

（1）問題的條件經(jīng)常是不完備的（條件開放題）

這類型目是給定結(jié)論來反探滿足結(jié)論的條件，而滿足結(jié)論的條件并不唯一，這

類題常以根本知識(shí)為配景加以設(shè)計(jì)而成，主要考查學(xué)生對(duì)底子知識(shí)的掌握水平和歸

納能力。A

【例1】如：（2003年山東濟(jì)南市中考試題）/7

如圖，^ABC中，已知AB=AC,//\\

要使AD=AE,需要添加的一個(gè)條件是—o//\\

（2）問題的答案是不確定的（結(jié)論開放題）BDEc

這類問題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散性思維和對(duì)

所學(xué)底子知識(shí)的應(yīng)用能力。

[例2]1994年荷蘭數(shù)學(xué)教誨學(xué)派的代表人物，德?朗治（deLange）在上海

做陳訴中有這樣一個(gè)題目：“如果A離學(xué)校5千米，B離學(xué)校10千米，問A、B相

總巨JL千米？”

這一題目擬乎是一道小學(xué)算術(shù)題，事實(shí)上，它的內(nèi)涵很富厚，涉及到從自然相

加，有理數(shù)加減，圓的多少軌跡，點(diǎn)的距離，以至圓的參數(shù)體現(xiàn)，復(fù)數(shù)相減等許多

數(shù)學(xué)知識(shí)，題目可適合種種條理的學(xué)生，可以考慮一直線的情況，可以做為平面來

盤算，也可以在空間丈量，留給學(xué)生的思考空間很大。

（3）問題的解決戰(zhàn)略具有非通例性、發(fā)散性和創(chuàng)新性（戰(zhàn)略開放題）

【例3】（2002年浙江省金華中考試題）試比力下面兩個(gè)多少圖形的異同，如圖,

請(qǐng)分別寫出它們的兩個(gè)相同點(diǎn)和兩個(gè)差別點(diǎn)。

相同點(diǎn)：正方形的對(duì)角線相等，正五邊形的對(duì)角線也相等；

差別點(diǎn)：正方形是中心對(duì)稱圖形，正五邊形不是中心對(duì)稱圖形。

此題是考察學(xué)生正多邊形的知識(shí)和有關(guān)性質(zhì)，通過視察闡發(fā)能從正多邊形的邊、

角（中心角、內(nèi)角和）對(duì)稱性有無外接圓與內(nèi)切圓，從一個(gè)頂點(diǎn)作三角形的個(gè)數(shù)等

方面去理解，就可以寫出許多相同點(diǎn)與差別點(diǎn)。

2.2.4中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的現(xiàn)實(shí)意義

從皮亞杰產(chǎn)生認(rèn)識(shí)論的看法看，數(shù)學(xué)開放題能引起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的順應(yīng)，從

而使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生質(zhì)的變革，使他們的知識(shí)水平和數(shù)學(xué)能力得到較洪流平的提

高。數(shù)學(xué)開放題的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，核心是靈活地運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想要領(lǐng)解決問題。數(shù)學(xué)開放題的諸多特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)開放題在教誨講授中的

諸多代價(jià)。

對(duì)學(xué)生來說，李永桃認(rèn)為，數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、遼闊性、

靈活性、縝密性、創(chuàng)造性和批判性。俞求是認(rèn)為，數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)

造性思維。開放題的答案不統(tǒng)一，給學(xué)生提供了較多尋求新穎奇特要領(lǐng)的時(shí)機(jī)，也

正是這種尋求答案的歷程，刺激了學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識(shí)。問題意識(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生

思維的遼闊性、靈活性、發(fā)散性和獨(dú)創(chuàng)性。強(qiáng)烈的問題意識(shí)經(jīng)常會(huì)引起學(xué)生濃厚的

探究興趣，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探求欲望，尋找解決問題的要領(lǐng)，并在尋找多種答案

和最優(yōu)解的歷程中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與嚴(yán)謹(jǐn)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)合性思維。

劉萍認(rèn)為，開放題的挑戰(zhàn)性有利于引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，為學(xué)生主動(dòng)學(xué)

習(xí)創(chuàng)造了條件。在開放題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生必須沖破原有的思維模式，展開富厚的聯(lián)

想和想象，從多角度、多方位、多條理進(jìn)行思考，其思維偏向和模式的發(fā)散性有利

于創(chuàng)造能力的形成。開放題的條理性使全體學(xué)生真正參加講授運(yùn)動(dòng)成為可能，縱然

學(xué)習(xí)困難的學(xué)生也能做出一種或幾種答案，并從中體驗(yàn)到樂成的樂趣。從而有利于

數(shù)學(xué)教誨面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有代價(jià)的數(shù)學(xué)，人人都能得到必須的數(shù)學(xué)，

差別的人在數(shù)學(xué)上得到差別的生長”的“新課改”目標(biāo)。開放題的開放性決定了沒

有現(xiàn)成的牢固的解題模式，需要學(xué)生獨(dú)立地進(jìn)行探索，這就為培養(yǎng)學(xué)生的主體性創(chuàng)

造了條件。

范黎明認(rèn)為，在開放題的講授中，學(xué)生打仗到許多實(shí)際問題，有的有許多答案,

有的有多種解法，其中許多問題不能靠一小我私家的力量在有限的時(shí)間內(nèi)完成，必

須依靠大家的力量和團(tuán)體的智慧分工相助進(jìn)行，在這種相助、交換的講授歷程中，

學(xué)生們不但學(xué)到了知識(shí)，并且學(xué)會(huì)了與人相助，學(xué)會(huì)資助他人等。俞求是認(rèn)為，開

放題答案的多樣性使學(xué)生可在差別水平的答案的交換中配合討論、相互學(xué)習(xí)、不絕

優(yōu)化、最后得出較好的答案，從而培養(yǎng)學(xué)生精益求精、不絕探索、追求卓越的精神，

并提高解題的能力。

開放題的可操縱性給學(xué)生提供了能充實(shí)表達(dá)自己看法的舞臺(tái)，拓展了學(xué)生發(fā)揮

各自想象的空間，創(chuàng)造了數(shù)學(xué)思想要領(lǐng)相互交換的條件。因?yàn)樵陂_放學(xué)習(xí)歷程中，

人人可以動(dòng)手操縱，個(gè)個(gè)可以參加探索，并且差別條理的學(xué)生都能享受到樂成的快

樂。朱樂平認(rèn)為，由于數(shù)學(xué)開放題自己有條理，縱然學(xué)習(xí)困難的學(xué)生也能做出一種

或多種答案，使學(xué)生體驗(yàn)到樂成的樂趣，這就有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心。能引發(fā)學(xué)

生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生樂于參加，久而久之就會(huì)成為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。在

開放學(xué)習(xí)的歷程中，經(jīng)過差別角度差別要領(lǐng)的闡發(fā)、推理的訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生綜合

思維的能力。而這種能力是學(xué)生繼承學(xué)習(xí)的后推動(dòng)因素，這對(duì)學(xué)生未來走上社會(huì)后

公道處理懲罰問題是至為要害的，這正是新課程理念下教誨追求的結(jié)果。

開放題的會(huì)合性和系統(tǒng)性特征體現(xiàn)在課堂講授中就是以全方位多角度對(duì)某知識(shí)

點(diǎn)或某題型進(jìn)行思路發(fā)散而內(nèi)容相對(duì)會(huì)合的研究學(xué)習(xí)，當(dāng)問題得到徹底解決后，學(xué)

生對(duì)此的收獲不是一“點(diǎn)”而是一條“線”或是一個(gè)面，這樣在解決一個(gè)開放題的

歷程中就構(gòu)建了一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，課堂效率大大提高，從而資助學(xué)生扔掉了課后費(fèi)力

費(fèi)時(shí)效率低下的結(jié)構(gòu)與鏈接的包袱，可見開放題是減輕學(xué)生過重課業(yè)包袱的重要手

段。

對(duì)西席來說，開放題的出現(xiàn)以及對(duì)其教誨成果的肯定，既反應(yīng)了數(shù)學(xué)教誨看法

的轉(zhuǎn)變，也適應(yīng)了迅速生長的時(shí)代需要。實(shí)際上反應(yīng)了人們對(duì)付數(shù)學(xué)講授新模式的

追求，是人們站在新時(shí)代歷史的高度上對(duì)數(shù)學(xué)教誨改造的新探索。我國教誨部底子

教誨司明確指出：“課程是一個(gè)歷史領(lǐng)域，課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容都將隨著

時(shí)代的生長而厘革?！币虼耍n本應(yīng)體現(xiàn)科學(xué)性、底子性和開放性。開放題課堂講授

的數(shù)學(xué)觀是動(dòng)態(tài)的、全面的甚至可墮落的。數(shù)學(xué)觀即對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，西席的數(shù)

學(xué)觀直接影響著其講授觀。如果西席能用動(dòng)態(tài)的、全面的看法來理解數(shù)學(xué)，那么他

所用的講授要領(lǐng)就會(huì)是啟發(fā)式的，其講授觀就是以學(xué)生為中心的。

在開放題引入課堂后，西席的腳色定位，即在講授歷程中，西席不是講授運(yùn)動(dòng)

的唯一主角，而是“編劇”和“導(dǎo)演”；不但是知識(shí)的單純傳授者，而是講授內(nèi)容和

講授運(yùn)動(dòng)的設(shè)計(jì)者、促進(jìn)者、示范者、組織者、協(xié)調(diào)者。西席的注意力應(yīng)會(huì)合到設(shè)

計(jì)問題、引導(dǎo)學(xué)生“建構(gòu)”知識(shí)、調(diào)治講授步伐、評(píng)判學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)等方面上。

同時(shí)，開放題還要求西席注意考究“放”的戰(zhàn)略，既要大膽地“放一放”，把時(shí)

間留給學(xué)生，讓學(xué)生有時(shí)機(jī)去探索全面、正確的結(jié)論，又要善于掌握全局，調(diào)控“放”

力度。通常學(xué)生能提的問題，西席決不取代；學(xué)生能思考的問題，西席決不體現(xiàn)；

學(xué)習(xí)能解決的問題，西席決不參加，真正做到適時(shí)而“放”，提高“放”的整體效率。

這就要求西席轉(zhuǎn)變教誨看法，認(rèn)真鉆研課本，精心設(shè)計(jì)講授，使西席實(shí)施講授的注

意力轉(zhuǎn)移到設(shè)計(jì)好每一道題、上好每一堂課的重心中去，包管學(xué)生在課堂上能夠高

質(zhì)量高效率地學(xué)習(xí)，做到減負(fù)不減重。

3中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的相關(guān)研究

3.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)

3.1.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)原則

中學(xué)數(shù)學(xué)開放題是一種相對(duì)付長期以來只有“唯一答案”的封閉性問題提出來

的，體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)思維方法要領(lǐng)，具有鮮明的針對(duì)性，問題的偏制優(yōu)劣將直接

影響開放題的實(shí)效，因此中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)要考慮以下幾個(gè)原則：

3.1.1.1現(xiàn)實(shí)性原則

所謂現(xiàn)實(shí)性是指既要結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，又要適合學(xué)生的知識(shí)配景，還可是

指切合現(xiàn)實(shí)實(shí)踐性。只有切合學(xué)生的具體情況并體現(xiàn)時(shí)代特征的問題，才華有效的

使問題繼承下去。同時(shí)，也只有切合學(xué)生的“最近生長區(qū)”并具有一定的挑戰(zhàn)性，

才華變更學(xué)生的求知和探索的欲望，到達(dá)應(yīng)有的效果。

3.1.1.2條理性原則

數(shù)學(xué)開放題具有條件的不確定性與結(jié)論的不確定性等特征，因而這種特征肯定

要求問題要有條理感與靈活性，對(duì)差別認(rèn)知水平的學(xué)生來說都有探索的余地，能讓

差別的學(xué)生體驗(yàn)差別的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)，能讓差別的學(xué)生學(xué)習(xí)差別的數(shù)學(xué)。問題的解決要

求能涉及到多種戰(zhàn)略，縱然是同一答案的得到，也能有多種途徑和要領(lǐng)。同時(shí)問題

所涉及的要具有較高的代價(jià)，可使學(xué)生通干涉題的解決，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)探索與發(fā)明的

樂趣，感覺到數(shù)學(xué)的魅力，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)中的高興。

3.1.1.3延展性原則

一道開放題的代價(jià)不但體現(xiàn)在題目自己，還體現(xiàn)在它能否有效的將課本的知識(shí)

遷移到題目中；大概通過它能更好的理解，深化所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)或要領(lǐng)；大概能進(jìn)

一步的引伸拓廣；大概生長成為另一個(gè)新的問題。

3.1.1.4思想性原則

題目引導(dǎo)學(xué)生體貼社會(huì)生長，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的社會(huì)化成果，體例的開放型應(yīng)用問

題要有現(xiàn)實(shí)感、時(shí)代感，解決現(xiàn)實(shí)生活中碰到的實(shí)際問題；開放型應(yīng)用題能體現(xiàn)德

育成果，能對(duì)學(xué)生熱愛祖國、健全人生、積極向上有潛移默化的作用；開放型應(yīng)用

問題的設(shè)計(jì)既要保持問題的實(shí)際配景，又要使學(xué)生在理解社會(huì)信息上不產(chǎn)生困難；

問題的“可讀性”好（容易被看懂讀懂）；模型的“可移植性”強(qiáng)，學(xué)生從建模的求

解的歷程中不但能體會(huì)理論與實(shí)踐相互作用，還能將得到的數(shù)學(xué)模型“移植”到眾

多情境中去；很大一部分好的開放型問題都市展現(xiàn)盤算機(jī)的作用，甚至可以預(yù)言越

來越多的建模求解歷程可以用大概必須用盤算機(jī)；問題應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生查閱（在較為

方便的情況下）有關(guān)資料來解決，甚至要求學(xué)生查閱資料后，憑據(jù)資料中的數(shù)據(jù)來

解決問題，這一歷程培養(yǎng)了學(xué)生視察事物、查閱資料、視察研究、闡發(fā)數(shù)據(jù)等方面

的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)東西去收羅、處理懲罰、闡發(fā)問題的規(guī)律，無疑對(duì)學(xué)生

是一種科研的微縮模擬訓(xùn)練等。

以上這些在一個(gè)問題中很難做到面面俱到，但在開放型問題系統(tǒng)中應(yīng)看成為一

個(gè)目標(biāo)來追求。在以上所述中，開放型問題是否體現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)教誨思

想是一個(gè)要害因素，在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)多考慮解決問題時(shí)涉及到重要的數(shù)學(xué)教誨的

思想，這是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)開放性問題優(yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。

3.1.2數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)要領(lǐng)

數(shù)學(xué)開放題的資料來源主要有兩種：第一，直接源于一些參考資料（包羅課本）,

如《高中數(shù)學(xué)開放題集》、《高中數(shù)學(xué)開放題題型突破例釋》、現(xiàn)行的新課標(biāo)課本等；

第二，源于對(duì)封閉題等的改革或改編。

關(guān)于數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)要領(lǐng)國內(nèi)上都有學(xué)者進(jìn)行探討，并提出了許多可行的方

案，憑據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、干系、順序”，我們可以構(gòu)建立計(jì)開放題的如下框

圖模式：

【例5】原命題：試證明:

將結(jié)論“2”隱去，改編成是否存在最大的正整數(shù)M,使得>M.

G+4

（3）換形法。

視察結(jié)論的正謬性，可得新型的數(shù)學(xué)開放題。

【例6】課本原題：△ABC中，已知AB=AC,

P為BC上任一點(diǎn)，PE1AC,PFA.AB,BH1AC.

求證：PE+PF=BH

改編時(shí)，將“AABC中,AB=AC”換成“等腰梯形ABCD中，AB=CD”是否

能得出同樣結(jié)論呢？通過學(xué)生畫圖、證明，進(jìn)一步將思維引向多樣、遍及。

（4）移動(dòng)法。把原題中的直線或點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)，或?qū)㈧o態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，從而得數(shù)學(xué)

開放題。

【例7】課本原題：如圖，已知AD為圓的直徑，

BC切圓于D,AB、AC與圓交于E、F。

求證：AE?AB=AF?AC

改編時(shí)，將BC向上或向下移動(dòng)，問原結(jié)論是否創(chuàng)建。

（5）特殊化一般法。是指把原命題中的特殊條件轉(zhuǎn)化為一般條件，或把特殊位

置轉(zhuǎn)化為一般位置。

【例8】課本原題：如圖，。。和。。2交于八、B,

點(diǎn)Q在。a上，AD為。Q的直徑，延長DB交。a于C。

求證：CO2±AD

改編時(shí)，將Q不放在。。上，AD由直徑改為弦，看原結(jié)論是否創(chuàng)建。

（6）逆向思維法。將原命題中的條件和結(jié)論對(duì)調(diào)，組成逆向思維題。

【例9】課本習(xí)題：AABC的高AD、BE交于H,

AD延長線交外接圓于G,

求證：D為HG的中點(diǎn)。

改編時(shí)，將結(jié)論：“DH=DG”改為條件，

問BE與AC有何關(guān)系？

（7）建模法。憑據(jù)某些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)要領(lǐng)，在相關(guān)情景下，設(shè)計(jì)應(yīng)用性開放

題。

【例10】某企業(yè)進(jìn)行技能改革，有兩種貸款方案：第一種，一次性貸10萬元,

第一年贏利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤。第二種，每年貸款1萬元,

第一年可贏利1萬元，以后每年增加利潤5千元，兩種方案都是10年，到期一次性

還本付息，試比力兩種方案的優(yōu)劣。

（8）引進(jìn)變數(shù)探求結(jié)論。

把問題中的某個(gè)確定的常數(shù)換成變數(shù)，來探求變數(shù)的取值，可得一些開放題。

【例11】把-+2X-15剖析因式，將2換成機(jī)或?qū)?5換成〃，可得開放性題

目：要使下列二次三項(xiàng)式能在整數(shù)范疇內(nèi)因式剖析，加、〃分別可取哪些整數(shù)？并因

式剖析：

（T）x~+ntx—15（2）x~+2x―n

（9）比力某些東西的異同點(diǎn)。

【例12】①試指出下列兩個(gè)代數(shù)式的配合點(diǎn)：1為2b20；8/孫。

②2002年浙江省金華市中考試題，比力正方形和正五邊形的異同（前面已出現(xiàn)）。

（10）利用差別知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行推廣或類比。

【例13】將相克水和〃（〃〈㈤克糖骰雜配成糖水，現(xiàn)向該糖水內(nèi)同時(shí)添加f克糖

和，克水，問糖水變甜了嗎？

你能否理解，該問題的實(shí)質(zhì)就是比力巴和"（〃?>〃>0/>0）的巨細(xì)，結(jié)果如

mm+t

何呢？請(qǐng)你憑據(jù)以下步調(diào)解答。

①用具體的數(shù)據(jù)試驗(yàn)一下（至少用3組）；

②通過①的試驗(yàn)，料想一般結(jié)果；

③我們給出要領(lǐng)：“設(shè)甲、乙兩個(gè)代數(shù)式，如果要證明‘甲（乙'，只要證明‘甲

-乙<0'即可。"那么，你能夠用上述要領(lǐng)證明②中你的料想嗎？

④現(xiàn)在你可以答復(fù)開頭提出的問題了吧！

在開放題的體例、開發(fā)中，要十分重視開放題的設(shè)問方法，語言的體現(xiàn)性要恰

當(dāng)，防備將思維導(dǎo)入歧途；要掌握問題的開放度，差別水平的學(xué)生應(yīng)采取差別的設(shè)

問方法，提出差別的解題要求；開放題中所包羅的事件應(yīng)為學(xué)生所熟悉，其內(nèi)容是

有趣的，是學(xué)生所愿意研究的，是通過學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)能夠解決的可行的問題；要

注意問題的可生長性，給學(xué)生一個(gè)提問題的時(shí)機(jī)，也許比解題自己更重要。

3.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與西席素質(zhì)

理論是行動(dòng)的先導(dǎo)，數(shù)學(xué)開放題講授的樂成與否，要害在于西席的數(shù)學(xué)觀。如

果西席用靜態(tài)的、片面的看法將數(shù)學(xué)理解為是由看法、性質(zhì)、定理、規(guī)矩等要素組

成的正義化系統(tǒng)，認(rèn)為其教誨代價(jià)僅僅在于邏輯推理能力的培養(yǎng)，那么他采取的講

授要領(lǐng)就會(huì)是貫注式的，其講授觀就會(huì)以西席為中心；如果西席用動(dòng)態(tài)的、全面的

看法來理解數(shù)學(xué)，那么他采取的講授要領(lǐng)就會(huì)是啟發(fā)式的，其講授觀就會(huì)以學(xué)生為

中心。“數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)論”的看法認(rèn)為“數(shù)學(xué)不應(yīng)該看成事實(shí)性結(jié)論的搜集，而主要地應(yīng)

被看成是人類的一種創(chuàng)造性運(yùn)動(dòng)”。從這一角度出發(fā)，在數(shù)學(xué)開放題的講授中，我們

不應(yīng)該只注重解題得到了多少結(jié)論，得到了什么結(jié)論，更應(yīng)該注意解題中學(xué)生的思

維歷程，把解題看作數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)發(fā)明的運(yùn)動(dòng)歷程。因此，西席對(duì)付開放題的看

法以及西席所具備的能力和知識(shí)，對(duì)開放題的講授起著要害作用。

而目前的數(shù)學(xué)西席對(duì)數(shù)學(xué)開放題的認(rèn)識(shí)并不樂觀，對(duì)開放題的認(rèn)識(shí)較以前全面

些，但還存在眾說紛紜，不一而終。因此有須要先澄清幾個(gè)認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)開放題差別

于習(xí)慣上所說的“一題多解”，因?yàn)椤耙活}多解”的問題一般是條件完備且結(jié)論也確

定的問題，只是由于解題思路而異或解題手段的差別所造成的多種解法罷了。數(shù)學(xué)

開放題也差別于一般的分類討論題，因?yàn)閿?shù)學(xué)開放題的每一個(gè)答案都可以成為問題

的一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的完整答案，而分類討論題的每一個(gè)答案只能是問題的完整答案的

一部分。數(shù)學(xué)開放題的“結(jié)論”是在問題系統(tǒng)內(nèi)部相對(duì)付問題的“條件”而言的，

它與問題的條件成并列干系，是問題的一部分；問題的“答案（解法）”是相對(duì)付整

個(gè)問題而言的，它與問題自己成并列干系。數(shù)學(xué)開放題與封閉題并不排斥，一個(gè)問

題是開放照舊封閉的，有時(shí)還取決于提出問題時(shí)學(xué)生的知識(shí)水平。

數(shù)學(xué)開放題在講授中的代價(jià)認(rèn)識(shí)上也存在差別，數(shù)學(xué)開發(fā)題的優(yōu)點(diǎn)是開放題順

應(yīng)了開放社會(huì)時(shí)代生長的需要；開放題的講授可使全體學(xué)生主動(dòng)參加，并能賜與學(xué)

生更多地體驗(yàn)樂成的時(shí)機(jī)；開放題的講授有利于實(shí)現(xiàn)講授民主，創(chuàng)建新型的師生干

系，師生觀重新定位；開放題的講授可使學(xué)生更全面理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)

生的優(yōu)化意識(shí)、創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新能力，體會(huì)數(shù)學(xué)美；開放題的解答利于培養(yǎng)學(xué)生元

認(rèn)知；開放題的研究歷程，有利于西席素質(zhì)的提高。而不少西席批判開放題，認(rèn)為

開放題在單一的技能訓(xùn)練、知識(shí)學(xué)習(xí)上費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效率低下，受考試文化的影響，

要使更多師生擔(dān)當(dāng)、重視乃至于推廣開放題，顯得十分艱巨；開放題的講授往往因

課時(shí)制約，課堂上常出現(xiàn)學(xué)生思維在低條理上重復(fù)的現(xiàn)象；開放題的講授對(duì)西席要

求較高，難推廣；開放題很難以制定客觀公平的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，故在用開放題作考試題

時(shí)困難重重；現(xiàn)有適合講授的開放題有限，開發(fā)設(shè)計(jì)更多更好的開放題又面臨較多

困難。

除了西席對(duì)數(shù)學(xué)開放題的有關(guān)理論不太了解外，更主要的是另有現(xiàn)實(shí)因素：一

是開放題答案的不確定性，讓人心里沒有踏實(shí)感；二是開放題的講授比力費(fèi)時(shí)間，

往往受現(xiàn)實(shí)的限時(shí)“課堂講授”的制約；三是在“應(yīng)試教誨”的現(xiàn)實(shí)下，開放題與

封閉題相比，究竟是“冰山之一角”，考試中斷然不會(huì)出現(xiàn)許多。

3.3中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與考試

3.3.1數(shù)學(xué)開放題進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)考試

教誨部在2000年3月宣布的《關(guān)于2000年初中結(jié)業(yè)、升學(xué)考試改造指導(dǎo)意見》

中明確指出：“數(shù)學(xué)考試應(yīng)設(shè)計(jì)一定的……開放型問題”。（教誨部在其下發(fā)的文件中

明確要求在考試中設(shè)計(jì)某類題型，這是開國以來第一次）。以后在2001年7月教誨

部制訂的《全日制義務(wù)教誨數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》和2003年4月頒布的《普通

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中又分別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)開放題的意義和作用。新的國度課

程標(biāo)準(zhǔn)已為數(shù)學(xué)開放題在中小學(xué)數(shù)學(xué)教誨搭建平臺(tái)，從底子上沖破了數(shù)學(xué)封閉題長

期一統(tǒng)天下的現(xiàn)狀。

隨著教誨改造的深入生長和素質(zhì)教誨的進(jìn)一步實(shí)施，數(shù)學(xué)開放題的教誨代價(jià)日

漸破冰而出。其實(shí)在數(shù)學(xué)開放題在開始灼爍正大地進(jìn)入數(shù)學(xué)中考試題和數(shù)學(xué)高考試

題之前，我國各省、市數(shù)學(xué)中考和數(shù)學(xué)高考就己進(jìn)行過一定的實(shí)驗(yàn)和探索。在1982

年山西省太原市中考就出現(xiàn)過一個(gè)數(shù)學(xué)開放題（即例14）0

【例14】已知。O內(nèi)切于四邊形ABCD,AB=AD,連結(jié)AC,BD,由這些條件

你能推出哪些結(jié)論？（要求：繪出工致的圖，不寫畫法，圖中除A,B,C,D,O

五個(gè)字母之外，不再標(biāo)注其他字母，不再添加任何幫助線，不寫推理歷程，推出五

條結(jié)論給滿分，推出五條以上者賜與加分）此題1996年又被寧夏自治區(qū)中考重復(fù)采

取。

開放題被選拔性考試采取，說明人們?nèi)找嬲J(rèn)識(shí)到開放題的測(cè)試能力水平，特別

是測(cè)試創(chuàng)造能力水平中的重要作用。進(jìn)入新課程改造，陪同教誨行政部分對(duì)數(shù)學(xué)開

放題的意義和作用的正式肯定，數(shù)學(xué)開放題中考試題和數(shù)學(xué)高考試題之中必將占有

一席之地，并將出現(xiàn)出百花齊放、異彩紛呈的局面。

3.3.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題在考試中需注意的幾個(gè)問題

盡管在操縱層面上，數(shù)學(xué)開放題已經(jīng)進(jìn)入了中考和高考，并且這也是考試生長

的一大趨勢(shì)，但依然有些問題需要我們進(jìn)一步思考:

3.3.2.1試題的開放度與難度

控制好試題的開放度是數(shù)學(xué)開放題設(shè)計(jì)是否樂成的一個(gè)要害。無視這個(gè)要害，

單純追求答案的多樣性，有可能導(dǎo)致試題設(shè)計(jì)的失敗，這種失敗最突出的體現(xiàn)就是

試題難度失控。試題的開放度與難度并不完全成正比。

【例15］已知點(diǎn)A(1,2)和B(-2,5)o試寫出一個(gè)二次函數(shù)，使它的圖象

經(jīng)過A,B兩點(diǎn)。

三點(diǎn)確定一條拋物線，題目少了一個(gè)條件，因此答案許多，這種試題的開放度

極大，但難度并不十分高，同時(shí)也沒有勉勵(lì)學(xué)生“多方面、多角度、多條理”的探

索，難以考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，反而給閱卷事情平添許多麻煩。

其實(shí)，開放型試題首先是起點(diǎn)要低，不管是底子好能力強(qiáng)的學(xué)生，照舊底子差

能力弱的學(xué)生都能動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并有一定的進(jìn)展和收獲。其次，開放型試題的難度要

有坡度，有條理，開放型試題應(yīng)該比一般的通例題更能區(qū)分學(xué)生思維和能力的差別。

再次，開放型試題能有多種結(jié)論，要讓學(xué)生有發(fā)明余地。最后，開放型試題在解決

問題的每一個(gè)條理上能有多種解法，能體現(xiàn)出綜合題的成果。另外，開放型試題還

應(yīng)注重思維方法和思維能力的考查，其解允許不拘泥于形式和格式(特別是對(duì)付非

形式化開放題更應(yīng)如此)，它應(yīng)有別于通例題注重根本知識(shí)和根本能力的考查。

3.322答案的彈性化與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的剛性化

開放題的一個(gè)突出特點(diǎn)就是結(jié)論的多樣性，因而也就導(dǎo)致了答案的彈性化，可

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)卻是剛性化的，兩者之間似乎難以找到平衡點(diǎn)。開放題的解答水平主要體

現(xiàn)在解題者能給出多少答案，給出哪些答案，給出怎樣的答案。特別值得注意的是,

并不是給出的答案數(shù)量越多，解答水平就越高，分?jǐn)?shù)賦值就越高。

【例16】已知=試寫出滿足條件的(x,y)<.

這里有以下兩種解答：

解答①:(2,2),(5/4,5),(3/2,3),(7/5,7/2),(5/3,5/2)

解答②:(2,2),(0,0),(7/5,7/2),(3-73,3+73)

從答案數(shù)量上看，解答①要多，但從答案類型上看，解答②要富厚。兩者孰優(yōu)

孰劣，伯仲自明，一般而言，開放題的解答水平主要體現(xiàn)為如下幾個(gè)指標(biāo)：解答的

多樣性、解答的完備性、解答的深刻性。到達(dá)以上指標(biāo)，可視為解答水平較高，分

數(shù)賦值相應(yīng)就高些。

3.3.2.3陳題改革與題型創(chuàng)新

在考試中引進(jìn)開放題，應(yīng)注意下面幾個(gè)問題：①當(dāng)前的一段時(shí)間內(nèi)，必須對(duì)峙

以傳統(tǒng)題型為主，適度引入開放型題；②引入開放題必須由淺入深，逐步過渡；③

試題中的開放型題的體例，最好以現(xiàn)行課本中的題目為原形；④努力突破“單項(xiàng)選

擇題”、“填空題”、“解答題”的傳統(tǒng)題型，適當(dāng)進(jìn)行題型創(chuàng)新，如“設(shè)計(jì)圖形”、“漫

筆論述”等，為數(shù)學(xué)開放題注入新的活力。比如：

【例17］寫出一段文字說明界說a°=l(a/O)的公道性。

3.3.3中學(xué)數(shù)學(xué)開放題考試的評(píng)分要領(lǐng)

由于開放題更切合新課程生長的評(píng)價(jià)理念，在新課程的學(xué)業(yè)水平評(píng)價(jià)中應(yīng)大力

大舉加以提倡，但從以往的中考或高考試題來看，雖然增改了一些開放性問題，而

這些題都包羅著高級(jí)思維能力的因素，且評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)照舊憑據(jù)“積分點(diǎn)”來制定，沒

有把這類題目按開放題來處理懲罰，不能很好的發(fā)揮開放題的應(yīng)有成果。這一問題

不解決，開放性問題就難以進(jìn)入學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)，深入平時(shí)的講授之中。因此在進(jìn)行

答案評(píng)分時(shí)，要注意憑據(jù)答案分清學(xué)生所處的思維條理，體現(xiàn)學(xué)生思維進(jìn)程的評(píng)價(jià)。

同時(shí)憑據(jù)開放題自己所具有的思維含量來確定條理，對(duì)付樣板式的標(biāo)準(zhǔn)答案，西席

應(yīng)不拘泥于其表述，而應(yīng)深入考查該題思維條理的分別依據(jù)和要領(lǐng)。還可以采取多

個(gè)西席綜合評(píng)分的要領(lǐng)來權(quán)量。

3.4中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與新課程改造

3.4.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的根本理念中提出：“……數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供選擇和生長的

空間，為學(xué)生提供多條理、多種類的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的本性化生長和對(duì)未來人生

籌劃的思考……”而開放性問題恰好能給學(xué)生提供多條理的問題和思維水平。

新課程中也出現(xiàn)了開放性參考案例，例如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))中

第23頁例2：視察自己的課堂，說出視察到的點(diǎn)、線、面之間的位置干系，并說明

理由。第50頁例2：探求凸多面體的面、頂點(diǎn)、棱之間的數(shù)量干系；例3：平面上

的圓與空間中的球的類比等。

同時(shí)，新課標(biāo)在第三部分內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中花了不少篇幅，報(bào)告了數(shù)學(xué)探究及相關(guān)內(nèi)

容，這中間不少是涉及開放性問題，在第四部分實(shí)施發(fā)起中明確提出：”要重視學(xué)生

做數(shù)學(xué)的歷程，……作業(yè)的類型應(yīng)多樣化，例如通例作業(yè)，開放性、探索性數(shù)學(xué)問

題?！?/p>

總之，數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)較以前的大綱越發(fā)注重開放性問題及其所帶來的作用與

代價(jià)，確定了開放性問題在數(shù)學(xué)講授中的職位。相信，這能給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、

數(shù)學(xué)的根本素養(yǎng)得到長足的提升。

3.4.2中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與課程標(biāo)準(zhǔn)教科書

教科書是西席組織講授與學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)。目前教科書中的問題主要是傳

統(tǒng)封閉題，不外這些傳統(tǒng)封閉題多數(shù)可以改革為布滿活力的開放題。正如戴再平傳

授所說：“目前中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，習(xí)題根本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)

計(jì)的，在這種情況下，學(xué)生在學(xué)習(xí)歷程中產(chǎn)生了以死記硬背取代主動(dòng)參加，以機(jī)器

要領(lǐng)取代智力運(yùn)動(dòng)的傾向，為了使數(shù)學(xué)講授更多地體現(xiàn)積極探究的精神，適當(dāng)增加

開放型題是須要的。開放題和封閉題在數(shù)學(xué)講授中應(yīng)該并存而不是相互排斥，封閉

題主要引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化，而開放題則主要引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的順應(yīng)。前者說明生長

是量的變革，后者說明生長是質(zhì)的變革，同化溫順應(yīng)結(jié)合起來經(jīng)過多次的循環(huán)，乃

是智慧和能力生長的原因。

最初傳入我國的數(shù)學(xué)開放題中，趣味性、游戲性的題目占有較大比例，近幾年

來，我國以“與現(xiàn)行大綱和課本密切結(jié)合”為原則，體例出一批具有中國特色的數(shù)

學(xué)開放題，并逐步進(jìn)入課本。從1980年日本的“五子散度問題”、“方格紙上的多少

問題”等開放題傳入中國，到國產(chǎn)“兩個(gè)代數(shù)式比力異同”遞至“鐘面問題”進(jìn)入

課本，開放題逐漸融入通例數(shù)學(xué)題，并與封閉題相映成趣。課本中引入開放題，將

對(duì)講授產(chǎn)生較大影響，它不但直接促進(jìn)了西席開放式講授力度的提高，并且有力地

加快在講授中引入開放題的進(jìn)程，開放題和封閉題的公道配合、互為增補(bǔ)，是我國

中學(xué)數(shù)學(xué)課本的一大特色。

現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)教科書中沖破大綱課本的體系，大量增加探究性問題和隨處可

見的思考問題，這中間有不少的開放性問題，具體的例子，這里不一一列舉。與此

同時(shí)，練習(xí)題、習(xí)題中也有不少，例如人教A版《必修1》中第一章就有這樣幾道

題：第24頁習(xí)題1.2A組第8題；第39頁習(xí)題1.3A組第3題等。由此可見新課標(biāo)課

本提高了開放性問題在課本中的比例，體現(xiàn)了開放性問題的優(yōu)越性，同時(shí)也順應(yīng)了

新課標(biāo)的指導(dǎo)思想。

3.5中學(xué)數(shù)學(xué)開放題與創(chuàng)新教誨

羅杰斯認(rèn)為，一小我私家的創(chuàng)造力只有在他感觸“心理寧靜”與“心理自由”

的條件下，才華得到最優(yōu)體現(xiàn)與生長。開放性問題的講授切合學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的生理

和心理特點(diǎn)，中學(xué)生精力旺盛，好奇心強(qiáng)，有闖勁，好體現(xiàn)自己，他們有探究和創(chuàng)

造的潛能，開放性問題的挑戰(zhàn)性有利于引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，為學(xué)生主動(dòng)學(xué)

習(xí)創(chuàng)造了條件。開放性問題的講授為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)提供了可能，開放性問題

的挖掘設(shè)計(jì)，既展示了西席的才智和藝術(shù)，也拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間；在開放題的

講授中，往往變單一的西席解說為師生配合研究，變個(gè)別操縱為團(tuán)體相助，從而有

效地引發(fā)學(xué)生敢于思考問題，主動(dòng)參加知識(shí)的建構(gòu)歷程；

開放性問題的講授切合講授模式改造的需要。開放題與開放式講授模式，相對(duì)

付封閉題與封閉式講授而言，完全是一種新的講授思想指導(dǎo)下的新型講授模式。它

主張課內(nèi)外知識(shí)相聯(lián)系、與實(shí)際問題相聯(lián)系、與其他學(xué)科知識(shí)相聯(lián)系。它把培養(yǎng)學(xué)

生的創(chuàng)造性思維提到了主要職位。學(xué)生的創(chuàng)造性思維體現(xiàn)在發(fā)明問題的敏銳性，積

極探索的求異性，解決問題的創(chuàng)新性和結(jié)果表述的新穎性。它允許多向交換，包羅

學(xué)生間交換，師生間交換，學(xué)生與課本的交換，學(xué)生與課本的交換，（即能提出與課

本上差別的看法）等。

中學(xué)數(shù)學(xué)開放題及其講授給創(chuàng)新教誨帶來了新生機(jī)：

3.5.1它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

開放題具有新穎性和條理性的特征。其中新穎性的特征，能一下子就抓住好奇

好勝的學(xué)生，吸引他們立刻進(jìn)入到講授情境中。因?yàn)楹闷媸菍W(xué)生的天性，他們對(duì)新

知識(shí)、新事物、新問題都市產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲和濃厚的興趣，并促使他們進(jìn)一步深

入細(xì)致的視察、思考與探索，繼而提出探究性問題，這是創(chuàng)造本性的具體體現(xiàn)。心

理學(xué)研究表明，學(xué)生的好奇心與創(chuàng)造呈正相關(guān)，它們之間是相互促進(jìn)的。因此西席

進(jìn)行開放題講授，就是從利用和培養(yǎng)學(xué)生的好奇心出發(fā)，引發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望和

追求，使創(chuàng)新由此成為學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的一種需要，這是創(chuàng)新教誨的起點(diǎn)。同時(shí)開

放題條理性特征能使學(xué)生的思維進(jìn)一步得到開放，促使他們不再滿足單一的解法和

答案，而在可能樂成的驅(qū)使下積極主動(dòng)地繼承探索。這樣學(xué)生就會(huì)逐漸布滿自信和

創(chuàng)新意識(shí)。

3.5.2有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

開放題具有利導(dǎo)性和可探性的特征。其中利導(dǎo)性特征對(duì)我們的啟示是，通過西

席的引導(dǎo)，設(shè)計(jì)開放題以啟發(fā)學(xué)生探索，引發(fā)學(xué)生探究解決問題的內(nèi)驅(qū)力，從中掌

握發(fā)明問題息爭(zhēng)決問題的規(guī)律，把引與探有機(jī)結(jié)合起來，有效地促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

和創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)。因此西席一般都可以將需要解決的問題視覺化，借助實(shí)物模型，

組織實(shí)際操縱，資助學(xué)生掌握問題的實(shí)質(zhì)。另外，由于開放題解題戰(zhàn)略繁簡(jiǎn)不一，

多種答案的尋找途徑差別，出現(xiàn)可探索形態(tài)，所以在西席的引導(dǎo)下，學(xué)生必須縝密

地思考，勇于開拓創(chuàng)新，同學(xué)之間相互協(xié)作，才華向著既定的目標(biāo)前進(jìn)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)

過艱苦深入的探討解決問題后，學(xué)生的創(chuàng)新精神就能得到有效的培養(yǎng)，而這種創(chuàng)新

精神是引發(fā)創(chuàng)造力的重要心理?xiàng)l件。

3.5.3有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

開放題具有聯(lián)通性和生長性的特征。其中聯(lián)通性特征意味著開放題之間往往有

著內(nèi)在的聯(lián)系和存在一定的規(guī)律，因此解決開放問題時(shí)，需運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想要

領(lǐng)，及要具備創(chuàng)造思維能力與較好的認(rèn)識(shí)能力，才華到達(dá)既定的目標(biāo)，所以開放題

的講授是使學(xué)生了解、訓(xùn)練、掌握創(chuàng)造性思維要領(lǐng)和培養(yǎng)創(chuàng)造能力的重要途徑。數(shù)

學(xué)開放題給學(xué)生提供遼闊的思維空間，有助于培養(yǎng)和生長學(xué)生空間看法和創(chuàng)造性想

象力，使其創(chuàng)新能力得到不絕提高，這是創(chuàng)新的核心。而開放題的生長性特征，則

說明這類問題能極大誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和智慧潛力。陪同著問題的解決，學(xué)生解

決問題的思路越發(fā)開闊，信息流量越發(fā)富厚，知識(shí)結(jié)構(gòu)越發(fā)完善，適應(yīng)社會(huì)的能力

不絕提高。

4中學(xué)講授開放題的講授探究

開放性講授作為一種新的講授形式，能夠變更學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引發(fā)學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表述能力和批判、評(píng)價(jià)能力，有

利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力等。開放題在數(shù)學(xué)講授中的應(yīng)用，它還直接干系到學(xué)

生的數(shù)學(xué)觀及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的態(tài)度和信念，這些都與當(dāng)前素質(zhì)教誨的要求是相吻

合的。因?yàn)殚_放題講授不但是一個(gè)知識(shí)得到的歷程和能力得到的歷程，更是一種學(xué)

生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文精神形成的歷程。因此在課堂講授中體現(xiàn)出文化內(nèi)涵，對(duì)數(shù)學(xué)開

放題教誨成果和特征進(jìn)行深入的研究了解是非常須要的。

4.1中學(xué)數(shù)學(xué)開放題講授的理論底子

4.1.1建構(gòu)主義理論底子

建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下數(shù)學(xué)開放題的講授模式的最早提出者可追溯至瑞士著名心

理學(xué)家皮亞杰，他通過長期對(duì)兒童智力生長的研究，提出了著名的認(rèn)知生長理論一

一建構(gòu)主義理論。

在對(duì)知識(shí)的理解方面，建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)并不是對(duì)現(xiàn)實(shí)的準(zhǔn)確表征，而只是一

種解釋和假設(shè)，學(xué)習(xí)者憑據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)配景，以自己的方法建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解，差

別的人看到事物差別的方面。因此對(duì)世界的理解和賦予意義由每小我私家自己決定，

而不存在唯一標(biāo)準(zhǔn)的理解。在對(duì)學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)的理解方面，建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)不

是由西席向?qū)W生通報(bào)知識(shí)，而是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的歷程，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)地?fù)?dān)當(dāng)

信息，而是主動(dòng)地建構(gòu)信息的意義，同時(shí)把社會(huì)性互行動(dòng)用看作促進(jìn)學(xué)習(xí)的源泉。

在新的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者往往憑據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)推出合乎邏輯的假設(shè)，新知識(shí)是以已有

的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為生長點(diǎn)而“生長”起來的。也就是說，建構(gòu)主義包羅兩個(gè)方面的寄義：

①對(duì)新信息的理解是通過運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，逾越所提供的新信息建構(gòu)而成的；②從影

象系統(tǒng)中所提取的信息自己也要按具體情況進(jìn)行建構(gòu)，而不但僅是提取。即建構(gòu)一

方面是對(duì)新信息意義的建構(gòu)一一同化；另一方面又包羅對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的改革和重組一

一順應(yīng)。同時(shí)，建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)歷程中學(xué)習(xí)者的主動(dòng)性、建構(gòu)性，并提出學(xué)習(xí)情

況中情境、協(xié)作、交換、意義建構(gòu)四大要素的相互作用。

數(shù)學(xué)開放題的特點(diǎn)決定了其講授與建構(gòu)主義理論有諸多相通之處，如情境性、

順應(yīng)性、社會(huì)性、主體參加性。數(shù)學(xué)開放題的解答沒有牢固的模式可循，對(duì)問題條

件的認(rèn)定、解答思路簡(jiǎn)直定都將因人而異，具有很大的開放性。在具體的解答歷程

中，開放題往往能引起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)的強(qiáng)烈認(rèn)知辯論，學(xué)生對(duì)新的認(rèn)

知結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建，主要在學(xué)習(xí)情境中通過“同化”與“順應(yīng)”來實(shí)現(xiàn)，以到達(dá)“意義

建構(gòu)”的目的。同時(shí)，在開放題解答歷程中，既要有學(xué)生獨(dú)立思考的個(gè)別運(yùn)動(dòng)，還

需要有學(xué)生之間的“協(xié)作”、“交換”等群體運(yùn)動(dòng)。在由學(xué)生和西席組成的“學(xué)習(xí)配

合體”中，學(xué)生可以充實(shí)頒發(fā)自己的看法，在聆聽別人看法和討論時(shí)形成新的認(rèn)知

辯論，進(jìn)行更進(jìn)一步的“建構(gòu)”。因而開放題的解答在體現(xiàn)學(xué)習(xí)差別性的同時(shí)，也應(yīng)

體現(xiàn)學(xué)習(xí)的社會(huì)性。

中學(xué)數(shù)學(xué)開放題中已蘊(yùn)藏了建構(gòu)觀的一些要素。若將這些潛在的要素挖掘出來，

并用建構(gòu)主義的理論指導(dǎo)開放題講授，將會(huì)使開放題的教誨代價(jià)得以更為有效的發(fā)

揮。開放題講授模式應(yīng)屬于研究型的講授模式，它以開放題為載體，以問題為中心，

以西席為主導(dǎo)，充實(shí)發(fā)揮學(xué)生的主體作用，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)自主權(quán)，在師生互聯(lián)相

助、相助交換中，使學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。憑據(jù)建構(gòu)主義的看法，講授是師生借

助一定的物質(zhì)載體而進(jìn)行的一種互動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在開放題的講授中，經(jīng)常以“問題”為

核心，以“討論”為手段，以“探究”為途徑，以“發(fā)明”為目的而進(jìn)行。中學(xué)數(shù)

學(xué)開放題的講授可歸納綜合為師生借助數(shù)學(xué)開放題而進(jìn)行的一種交互運(yùn)動(dòng)，它包羅

師生的隱性的思維運(yùn)動(dòng)和顯性的行為運(yùn)動(dòng)。

4.1.2最近生長區(qū)理論底子

最近生長區(qū)理論是由原蘇聯(lián)教誨心理學(xué)家維果茨基首先提出的，其理論核心是

至少可以確定學(xué)生有兩個(gè)生長水平，第一個(gè)是現(xiàn)有生長水平，體現(xiàn)為學(xué)生能獨(dú)立自

主地、自如地完成西席提出的智力任務(wù)；第二個(gè)就是潛在生長水平，體現(xiàn)為學(xué)生還

不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但在西席資助下，在團(tuán)體運(yùn)動(dòng)中，通過訓(xùn)練和自己的努力才

華完成的智力任務(wù)。這兩種水平的差別就是最近生長區(qū)。把這一原理應(yīng)用于數(shù)學(xué)開

放題講授中，進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)，在設(shè)計(jì)開放題的思維生長的條理上有較強(qiáng)的指

導(dǎo)作用。

數(shù)學(xué)開放題的條理性與多樣性正好切合這一要求，能夠滿足差別學(xué)生的差別“最

近生長區(qū)”，促進(jìn)差別思維條理的生長。因此開放題的講授設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生的思維潛在

生長水平開始，通過講授把學(xué)生潛在生長水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有生長水平，在新的現(xiàn)

有生長水平的底子上，又出現(xiàn)新的思維潛在生長水平，并形成新的思維最近生長區(qū)，

于是講授又從學(xué)生新的思維潛在生長水平開始，如此循環(huán)。這種螺旋式地不絕轉(zhuǎn)化

和思維生長區(qū)條理逐步遞進(jìn)的歷程，也就是學(xué)生不絕積聚知識(shí)和思維不絕生長的歷

程。

數(shù)學(xué)開放題講授的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，開放題的設(shè)計(jì)與

講授應(yīng)體現(xiàn)思維的起、承、轉(zhuǎn)、合的歷程，必須緊密結(jié)合講授內(nèi)容，貫徹“最近生

長區(qū)”的講授思想，找準(zhǔn)、引入、突破學(xué)生思維的“最近生長區(qū)”，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)新的思

維“最近生長區(qū)”，促進(jìn)學(xué)生思考，挖掘?qū)W生的最大潛能，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的

生長。

4.1.3心理學(xué)底子

開放題及其講授的心理底子是認(rèn)知生長的一致性與差別性。認(rèn)知是近幾十年來由

心理學(xué)家提出的一個(gè)描述人的認(rèn)識(shí)能力的新看法。生長泛指某種事物的增長、變革

和進(jìn)步。認(rèn)知生長指?jìng)€(gè)別得到知識(shí)息爭(zhēng)決問題的能力隨時(shí)間的推移而產(chǎn)生變革的歷

程現(xiàn)象。

認(rèn)知生長的一致性體現(xiàn)為每個(gè)個(gè)別的認(rèn)知生長都是穩(wěn)定性與可變性的對(duì)立統(tǒng)一。

在個(gè)別相對(duì)穩(wěn)定的生長歷程中，當(dāng)情況產(chǎn)生變革時(shí)，認(rèn)知生長的偏向、速度、水平

也會(huì)隨之有所變革。重視個(gè)別認(rèn)知生長的差別性，對(duì)付促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更好

地實(shí)施因材施教，具有重要意義，個(gè)別認(rèn)知生長上的差別性體現(xiàn)為：①在感知信息

上存在“場(chǎng)依存性”與“場(chǎng)獨(dú)立性”的差別。當(dāng)要求學(xué)生從整體質(zhì)料中抽出一部分

內(nèi)容進(jìn)行感知時(shí)，有的人會(huì)感觸非常困難，這種認(rèn)知特點(diǎn)被稱為“場(chǎng)依存性”；而有

的人能較迅速地從整體中抽出一部分內(nèi)容進(jìn)行感知，這種認(rèn)知特點(diǎn)被稱為“場(chǎng)獨(dú)立

性”。李明振(1994)研究了月朔、初二、高二學(xué)生這兩種認(rèn)知方法與數(shù)學(xué)思維靈活

性之間的干系，并得出結(jié)論：具有場(chǎng)獨(dú)立性特點(diǎn)的學(xué)生，在思維上體現(xiàn)出高度的靈

活性；在場(chǎng)獨(dú)立性水平上，各年級(jí)之間存在顯著的差別，并且是年級(jí)越高，場(chǎng)獨(dú)立

性越強(qiáng)。②對(duì)認(rèn)知任務(wù)的反應(yīng)速度上存在“思考型”與“沖動(dòng)型”的差別。研究表

明，在對(duì)信息進(jìn)行加工時(shí)，思考型的個(gè)別使用的是細(xì)節(jié)性加工方法；而沖動(dòng)型的個(gè)

別使用的