高三數(shù)學二輪培優(yōu)微專題36講22雙曲線焦點三角形的十大應用

雙曲線焦點三角形的十大應用一．基本原理本節(jié)中約定已知雙曲線方程為如圖，頂點在第一象限，對于雙曲線焦點三角形，有以下結論：1.如圖，、是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上隨意一點，記，則的面積.證明：由余弦定理可知．由雙曲線定義知||，可得所以則．2.如圖，有，3.離心率.4.若，則有.5.若，則有.6.焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，，對雙曲線，其焦半徑的范圍為.7.雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a.8.如圖，直線與雙曲線交于兩點，的左右焦點記為，則為平行四邊形.結論9.已知具有公共焦點的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個交點，且，則有.證明：依題意，在中，由余弦定理得，所以，即.結論10.如圖，過焦點的弦的長為，則的周長為.二．典例分析例1．已知為雙曲線的兩個焦點，在雙曲線上，若的面積是1，則的值是__________．解析：由雙曲線焦點三角形面積公式得：，所以，即．所以，從而．例2．已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則（）A．2B．4C．6D．8解析：由雙曲線焦點三角形面積公式得：所以．故選B．例3已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：由題意知，且，即，所以，解得，故選A．例4.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在C上，且，則的面積為________.解析：由焦點三角形面積公式，.例5.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在C上，且，則的面積為________.解析：記，則，所以，由知，所以，從而，故.例6.已知、是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線C右支上的一點，，則________.解析：由焦點三角形面積公式，，又，所以，故，由雙曲線定義，，解得：.例7.（1）雙曲線,過焦點的直線與該雙曲線的同一支交于、兩點,且，另一焦點為,則的周長為（）

A.

B.C.D.（2）設與是雙曲線的兩個焦點,點在雙曲線上,且滿意,則的面積是（）A.1B.C.2D.例8．如圖所示，已知雙曲線：的左焦點為，右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿意，且，則雙曲線的離心率是__________.解析：由條件可得，，，則，，，所以在中，，即，即，則，所以雙曲線的離心率為：.故答案為：.例9．如圖所示,已知雙曲線:的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關于原點的對稱點為,滿意,且,則雙曲線的離心率是______.解析：設雙曲線的左焦點為,連接,,依據(jù)雙曲線的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，由題意以及雙曲線定義，可得,則,,,所以,即,即，所以雙曲線的離心率為:.故答案為：.例10．如圖，，是雙曲線上的兩點，是雙曲線的右焦點.是以為頂點的等腰直角三角形，延長交雙曲線于點.若，兩點關于原點對稱，則雙曲線的離心率為______.解析：設左焦點為，連接，依題意：是以為頂點的等腰直角三角形，，兩點關于原點對稱，結合雙曲線的對稱性可知：四邊形是矩形，所以，設，則，，由，即，整理得，.故答案為：例11．已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線交于點，，橢圓和雙曲線的離心率分別是、，那么__________（點為坐標原點）．解析：設橢圓的長半周長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距都為，并設，依據(jù)橢圓的定義和雙曲線的定義可得，在中，由余弦定理得，即在中，由余弦定理得，即又由,兩式相加，則，又由，所以，所以，即.雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線上的一點P滿意，則點P的坐標為_______.解析：由題意，，，，，由焦半徑公式，，，因為，所以，解得：或（舍去）代入雙曲線的方程可求得，所以P的坐標為.例13.已知橢圓，雙曲線，，為的焦點，為和的交點，若△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為1，和的離心率之積為，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6解析：不妨