高三數學二輪培優(yōu)微專題36講02.三角函數求最值的六種類型

三角函數求最值的六種類型類型1.與幫助角公式1.幫助角公式:形如的式子可做如下變換:--------(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的單調遞增區(qū)間.解析：化簡得，令，，解得，所以單調遞增區(qū)間為，.例2．已知函數，其中，且．（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的單調遞增區(qū)間為；（2）.類型2.二次函數型（1）把形如或的三角函數最值問題看成與或有關的二次函數解析式，再將其解析式變形轉化為或，最終依據已知變量的范圍求最值.（2）對于和的形式，也可轉化為二次函數來求解.例3．函數的定義域為，值域為，則α的取值范圍是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函數開口向下，對稱軸為，因為，所以函數為遞增函數，因為當時，，當時，，所以，即時，，使函數的值域為，所以由余弦函數圖象與性質可知，，所以的取值范圍是：．故選：A類型3.如求三角函數的最值，可將看作，則原函數可變形為，該函數是我們熟識的二次函數，可求它的最值.例4．已知函數，則的最大值為（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，則.故選：A.類型4.分式型其中同名函數利用分別常數法，形如非同名函數利用數形結合的方法，形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題.例5.求值域。解：，故，則值域為.例6.求函數的最大值和最小值。解：法一：如圖所示，表示過點的直線與單位圓有交點時，直線的斜率，令直線方程為，原點到直線的的距離為，故函數的最大值為，最小值為0.法二：利用幫助角公式：計算，，解得：.類型5.三次函數（1）形如：等均為三次函數.（2）三倍角結構這類函數雖然最終是借助導數來實現，但它的轉化方向是一樣的，結果就是三次函數！例7．已知函數，則函數的最大值為_____.解析：因為，令，則，，令，解得，當時，在上是減函數；當時，在上是增函數；當時，在上是減函數，又，，由此，得在時取得最大值，最大值為，故的最大值為.故答案為：例8．函數的值域為____________．解析：，設，，則，，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，，所以值域為.例9．函數在上的最大值為______.解析：.又，故令，.，，當時，；當時，，在單調遞增，在單調遞減..故答案為：.類型6.導數型例10．（2024全國1卷）已知函數，則的最小值是__________．解析：，所以當時函數單調減，當時函數單調增，從而得到函數的減區(qū)間為，函數的增區(qū)間為，所以當時，函數取得最小值，此時，所以，故答案是.例11．已知函數，則的最小值是（

）A． B． C． D．解析：函數；明顯，，函數值才取最??；由．令，可得：或．當，可得；當，，，時，函數取得最小值為．故選：A．例12．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．的周期為 B．的圖象關于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間在上單調遞減解析：由于，故A正確；由于，即的圖象不關于對稱