2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案

2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷第一部分選擇題一、選擇題（共16分,每題2分）第1-8題均有四個選項,符合題意的選項只有一個1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖,直線和相交于點,,若,則的大小為（）A. B. C. D.3.實數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示,下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)的值為（）A. B. C.4 D.165.不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球,除顏色外兩個小球無其他差別．從中隨機(jī)取出一個小球后,放回并搖勻,再從中隨機(jī)取出一個小球,則兩次都取到白色小球的概率為（）A. B. C. D.6.為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展,北京積極推進(jìn)多個公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位）,整體投產(chǎn)后,累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍,達(dá)到Flops,則的值為（）A. B. C. D.7.下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖,以點為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交,于點,（2）作射線,以點為圓心,長為半徑畫弧,交于點;以點為圓心,長為半徑畫弧,兩弧交于點（3）過點作射線,則.

上述方法通過判定得到,其中判定的依據(jù)是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等8.如圖,在菱形中,,為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形,兩個菱形的公共點為,,,.對八邊形給出下面四個結(jié)論:①該八邊形各邊長都相等②該八邊形各內(nèi)角都相等③點到該八邊形各頂點的距離都相等④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分,每題2分）9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實數(shù)的取值范圍是_________．10.分解因式:___________.11.方程的解為___________.12.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,則的值是___________.13.某廠加工了200個工件,質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位:g）,得到的數(shù)據(jù)如下:50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個工件的質(zhì)量（單位:g）滿足時,評定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計這200個工件中一等品的個數(shù)是___________.14.如圖,的直徑平分弦（不是直徑）.若,則___________15.如圖,在正方形中,點在上,于點,于點．若,,則的面積為___________．16.聯(lián)歡會有A,B,C,D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始。一個節(jié)目彩排完畢,下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位:min）如下:節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節(jié)目按“”的先后順序彩排,則節(jié)目D的演員的候場時間為____________min若使這23位演員的候場時間之和最小,則節(jié)目應(yīng)按___________的先后順序彩排三、解答題（共68分,第17-19題每題5分,第20-21題每題6分,第22-23題每題5分,第24題6分,第25題5分,第26題6分,第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.計算:18.解不等式組:19.已知,求代數(shù)式的值.20.如圖,在四邊形中,是的中點,,交于點,,.（1）求證:四邊形為平行四邊形（2）若,,,求的長.21.為防治污染,保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境,自2023年7月1日起,我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號汽車,“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過,,兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的,兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進(jìn),該汽車的類物質(zhì)排放量降低了,類物質(zhì)排放量降低了,,兩類物質(zhì)排放量之和為,判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”,并說明理由.22.在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象交于點.（1）求,的值（2）當(dāng)時,對于的每一個值,函數(shù)的值既大于函數(shù)的值,也大于函數(shù)的值,直接寫出的取值范圍.23.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.（1）初賽由名數(shù)師評委和名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）對評委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息..教師評委打分:.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,第6組）:.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委學(xué)生評委根據(jù)以上信息,回答下列問題:①的值為___________,的值位于學(xué)生評委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第__________組②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分,記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為,則___________（填“”“”或“”）（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手,計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前,若平均數(shù)相同,則方差較小的選手排序靠前,5名專業(yè)評委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下:

評委1評委2評委3評委4評委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中,則這三位選手中排序最靠前的是____________,表中（為整數(shù)）的值為____________.24.如圖,是的直徑,點,在上,平分.

（1）求證:（2）延長交于點,連接交于點,過點作的切線交的延長線于點.若,,求半徑的長.25.小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯）,在科技活動中,小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯,并將其制作出來,新水杯（記為2號杯）示意圖如下當(dāng)1號杯和2號杯中都有mL水時,小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位:cm）和2號杯的水面高度（單位:cm）,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:/mL040100200300400500/cm0

2.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（2）通過分析數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與,與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中,畫出這兩個函數(shù)的圖象（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象,解決下列問題:①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時,2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）②在①的條件下,將2號杯中的一都分水倒入1號杯中,當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時,其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．26.在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線.（1）當(dāng)時,求拋物線的頂點坐標(biāo)（2）已知和是拋物線上的兩點.若對于,,都有,求的取值范圍.27.已知,點,分別在射線,上,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點作的垂線交射線于點.

（1）如圖1,當(dāng)點在射線上時,求證:是的中點（2）如圖2,當(dāng)點在內(nèi)部時,作,交射線于點,用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系,并證明。28.在平面直角坐標(biāo)系中,的半徑為1,對于的弦和不在直線上的點,給出如下定義:若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部,且,則稱點是弦的“可及點”．（1）如圖,點,．①在點,,中,點___________是弦的“可及點”,其中____________②若點是弦的“可及點”,則點的橫坐標(biāo)的最大值為__________（2）已知是直線上一點,且存在的弦,使得點是弦的“可及點”．記點的橫坐標(biāo)為,直接寫出的取值范圍．

2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷解析一、選擇題.1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】B【解析】向兩方分別延長,連接根據(jù)菱形,,則,∵菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形∴點一定在對角線上,且,∴,∵∴∴,,同理可證∵∴∴∴∴該八邊形各邊長都相等故①正確根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理,得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等∴④正確根據(jù)題意,得∵,∴∴該八邊形各內(nèi)角不相等∴②錯誤根據(jù)∴∴故∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤故選B．二、填空題.9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】013.【答案】16014.【答案】5516.【答案】①.60②.【解析】解:①節(jié)目D的演員的候場時間為故答案為:60②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣,彩排時長不一樣,那么時長長的節(jié)目應(yīng)該放在后面,那么C在A的前面,B和D彩排時長一樣,人數(shù)不一樣,那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排,這樣等待時長會短一些,那么B在D前面∴①按照順序,則候場時間為:分鐘②按照順序,則候場時間為:分鐘③按照順序,則候場時間為:分鐘④按照順序,則候場時間為:分鐘⑤按照順序,則候場時間為:分鐘⑥按照順序,則候場時間為:分鐘．∴按照順序彩排,候場時間之和最小故答案為:．三、解答題.17.【答案】18.【答案】19.【答案】320.【答案】（1）見詳解（2）【小問1詳解】證明:∵是的中點,∴∵∴四邊形為平行四邊形【小問2詳解】解:∵∴在中,,∴∵是的中點,∴∵四邊形為平行四邊形∴∴在中,由勾股定理得．21.【答案】符合,理由見詳解【解析】解:設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為,則B類類物質(zhì)排放量為由題意得:解得:∵∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是符合“標(biāo)準(zhǔn)”．22.【答案】（1）（2）【小問1詳解】解:由題意得將代入得:解得:將,,代入函數(shù)中得:解得:∴【小問2詳解】解:∵∴兩個一次函數(shù)的解析式分別為當(dāng)時,對于的每一個值,函數(shù)的值既大于函數(shù)的值,也大于函數(shù)的值即當(dāng)時,對于的每一個值,直線的圖像在直線和直線的上方,則畫出圖象為:由圖象得:當(dāng)直線與直線平行時符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意∴當(dāng)直線與直線平行時,∴當(dāng)時,對于的每一個值,直線的圖像在直線和直線的上方時,∴m的取值范圍為．23.【答案】（1）①,;②（2）甲,【小問1詳解】①從教師評委打分的情況看,分出現(xiàn)的次數(shù)最多,故教師評委打分的眾數(shù)為所以共有45名學(xué)生評委給每位選手打分所以學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個,從頻數(shù)分面直方圖上看,可得學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組故答案為:,②去掉教師評委打分中的最高分和最低分,其余8名教師評委打分分別為:,,,,,,,故答案為:【小問2詳解】丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中依題意,當(dāng),則解得:當(dāng)時,此時∵,則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中,不合題意當(dāng)時,此時∵,則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中,這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為:甲,．24.【答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】根據(jù)題意,得∵∴∴∵平分∴∴∴【小問2詳解】∵,不妨設(shè),則∴∵∴,∴∴解得取的中點M,連接則∵∴∴∴∵是的切線∴∴解得故半徑的長為.

25.【答案】（1）1.0（2）見詳解（3）1.2,8.5【小問1詳解】解:由題意得,設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為:由表格數(shù)據(jù)得:解得:∴∴當(dāng)時,∴【小問2詳解】解:如圖所示,即為所畫圖像【小問3詳解】解:①當(dāng)時,,由圖象可知高度差故答案為:1.2②由圖象可知當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時,估算高度約為故答案為:．26.【答案】（1）;（2）或．【小問1詳解】解:把代入得,∴拋物線的頂點坐標(biāo)為【小問2詳解】解:分兩種情況:當(dāng)時,如圖,此時∴又∵∴當(dāng)時,如圖,此時解得又∵∴綜上,當(dāng)或,都有．27.【答案】（1）見詳解（2）,理由見詳解【小問1詳解】證明:連接

由題意得:,∴∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴點是的中點【小問2詳解】解:在射線上取點H,使得,取的中點G,連接

∵∴∴∴又∵∴∴,∴∵∴,∵是的中點∴,∴∴∴∴∵∴∴．28.【答案】（1）①,45;②（2）或【小問1詳解】解:①:反過來思考,由相對運動理解,作出關(guān)于的對稱圓∵若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部,且,則稱點是弦的“可及點”∴點C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上∵點,∴而∴由對稱得:∴為等腰直角三角形∴設(shè)半徑為則,故在外,不符合題意,故在上,符合題意,故在外,不符合題意∴點是弦的“可及點”可知三點共線∵∴故答案為:,45②取中點為H,連接∵則∴∴點D在以H為圓心,為半徑的上方半圓上運動（不包括端點A,B）∴當(dāng)點軸時,點D橫坐標(biāo)最大∵,∴∴∵點,∴∴此時∴點的橫坐標(biāo)的最大值為故答案為:【小問2詳解】解:反