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文檔簡介
專題06平面直角坐標系-壓軸兩大類型考點一:規(guī)律性問題-五大題型考點二:坐標與幾何圖形綜合【考點一:規(guī)律性問題-五大題型】【典例1】(2023秋?任城區(qū)期末)如圖,動點M按圖中箭頭所示方向運動,第1次從原點運動到點(2,2),第2次運動到點(4,0),第3次運動到點(6,4),…,按這樣的規(guī)律運動,則第2024次運動到點()A.(2024,2) B.(4048,0) C.(2024,4) D.(4048,4)【變式1-1】(2023秋?鐵鋒區(qū)期末)如圖,直角坐標平面xOy內(nèi),動點P按圖中箭頭所示方向依次運動,第1次從點(﹣1,0)運動到點(0,1),第2次運動到點(1,0),第3次運動到點(2,﹣2),…,按這樣的運動規(guī)律,動點P第2023次運動到點()A.(2023,0) B.(2022,﹣2) C.(2023,1) D.(2022,0)【變式1-2】(2023春?鐵東區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線,點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒π個單位長度,則第2023秒時,點P的坐標是()A.(2023,0) B.(2023,1) C.(4046,0) D.(4046,﹣1)【變式1-3】(2023秋?河口區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動1個單位,依次得到點P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,﹣1),P5(2,﹣1),P6(2,0),…,則點P2024的坐標是(675,1).【典例2】(2023秋?碭山縣期中)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1)、B(﹣1,1)、C(﹣1,﹣2)、D(1,﹣2),動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位的速度按逆時針方向沿四邊形ABCD的邊做環(huán)繞運動;另一動點Q從點C出發(fā),以每秒3個單位的速度按順時針方向沿四邊形CBAD的邊做環(huán)繞運動,則第2023次相遇點的坐標是()A.(﹣1,﹣1) B.(﹣1,1) C.(﹣2,2) D.(1,1)【變式2-1】(2023?九龍坡區(qū)校級開學)如圖,在平面直角坐標系中A(﹣1,1),B(﹣1,﹣2),C(3,﹣2),D(3,1),一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行,問第2025秒瓢蟲在點()(﹣1,0) B.(﹣1,﹣1) C.(﹣1,﹣2) D.(0,﹣2)【變式2-2】(2023春?武穴市期末)如圖,長方形BCDE的各邊分別平行于x軸、y軸,物體甲和物體乙由點A(2,0)同時出發(fā),沿長方形BCDE的邊做環(huán)繞運動,物體甲按逆時針方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,物體乙按順時針方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動則兩個物體運動后的第2023次相遇地點的坐標是()A.(﹣1,1) B.(1,﹣1) C.(2,0) D.(﹣1,﹣1)【變式2-3】(2023春?西充縣校級期末)在如圖所示的平面直角坐標系中,一只螞蟻從A點出發(fā),沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行,其中A點坐標為(1,﹣1),B點坐標為(﹣1,﹣1),C點坐標為(﹣1,3),當螞蟻爬了2017個單位時,它所處位置的坐標為()A.(1,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)【典例3】(2023秋?南岸區(qū)校級期中)如圖,已知A1(1,0),A2(1,1),A3(﹣1,1),A4(﹣1,﹣1),A5(2,﹣1),…則點A2025的坐標為()A.(506,506) B.(﹣506,﹣506) C.(507,﹣506) D.(﹣507,506)【變式3-1】(2023秋?慈溪市月考)如圖,在平面直角坐標系中,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,?都是斜邊在x軸上,斜邊長分別為2,4,6,?的等腰直角三角形,若△A1A2A3的頂點坐標分別為A1(2,0),A2(1,1),A3(0,0),則依圖中所示規(guī)律,A2023的坐標為()A.(﹣1010,0) B.(﹣1008,0) C.(2,﹣505) D.(1,506)【變式3-2】(2023春?正陽縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,從點P1(﹣1,0),P2(﹣1,﹣1),P3(1,﹣1),P4(1,1),P5(﹣2,1),P6(﹣2,﹣2),……,依次進行下去,則P2023的坐標為()A.(506,﹣506) B.(506,506) C.(﹣506,505) D.(﹣506,﹣506)【典例4】(2023秋?紫金縣期中)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫縱坐標分別為整數(shù)的點,其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,根據(jù)這個規(guī)律,第331個點的坐標為()A.(8,17) B.(8,16) C.(7,17) D.(7,18)【變式4-1】(2023春?武漢期末)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫坐標,縱坐標均為整數(shù)的點,其順序按圖中“→”方向依次排列:(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→???根據(jù)這個規(guī)律,第2023個點的坐標為()A.(45,1) B.(45,2) C.(45,3) D.(45,4)【變式4-2】(2023春?房縣期中)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點.如圖,一列有規(guī)律的整點,其坐標依次為(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,根據(jù)這個規(guī)律,第2022個整點的坐標為()A.(45,3) B.(45,13) C.(45,22) D.(45,0)【變式4-3】(2023秋?哈爾濱期末)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫、縱坐標均為整數(shù)的點,按(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→…的順序用線段依次連接起來.根據(jù)這個規(guī)律,第50個點的坐標為.【典例5】(2023春?江門期末)如圖,在平面直角坐標系上有一個質(zhì)點A0(﹣1,0),質(zhì)點A0第一次跳動至點A1(1,1),第二次跳動至點A2(﹣2,1),第三次跳動至點A3(2,2),第四次跳動至點A4(﹣3,2),…依此規(guī)律跳動下去,則點A2023與點A2024之間的距離是()A.2023 B.2025 C.2027 D.2029【變式5-1】(2023春?長安區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A1(1,0),點A1第1次跳動至點A2(﹣1,1),第2次跳動至點A3(2,1),第3次跳動至點A4(﹣2,2),第4次跳動至點A5(3,2)…依此規(guī)律跳動下去,點A1第50次跳動至點A51的坐標是()A.(24,23) B.(25,25) C.(26,25) D.(27,26)【變式5-2】(2023春?長安區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A1(1,0),點A1第1次跳動至點A2(﹣1,1),第2次跳動至點A3(2,1),第3次跳動至點A4(﹣2,2),第4次跳動至點A5(3,2)…依此規(guī)律跳動下去,點A1第50次跳動至點A51的坐標是()A.(24,23) B.(25,25) C.(26,25) D.(27,26)【考點二:坐標與幾何圖形綜合】【典例6】(2023春?江油市期末)如圖1,在平面直角坐標系中,點A為x軸負半軸上一點,點B為x軸正半軸上一點,C(0,a),D(b,a),其中a,b滿足關(guān)系式|a+2|+(b﹣a+1)2=0.(1)a=,b=;(2)如圖2,若AC⊥BC,BQ平分∠ABC交AC于點Q,交OC于點P,求證:∠CPQ=∠CQP;(3)如圖3,若點A、點B分別在x軸負半軸和正半軸上運動,∠ACB的角平分線交x軸于點M,點N在x軸上,且∠BCF=∠DCN,請補全圖形,探究的值的變化情況,并直接寫出結(jié)論(不要求寫出探究過程).【變式6-1】(2022春?雄縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A(﹣3b,0)為x軸負半軸上一點,點B(0,4b)為y軸正半軸上一點,其中b滿足方程:3(b+1)=6.(1)求點A、B的坐標;(2)點C為y軸負半軸上一點,且△ABC的面積為12,求點C的坐標;(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在點P,使得△PBC的面積等于△ABC的面積的一半?若存在,求出相應(yīng)的點P的坐標;若不存在,請說明理由.【變式6-2】(2022春?齊齊哈爾期末)如圖①,在平面直角坐標系中,點A、B在x軸上,AB⊥BC,AO=OB=2,BC=3(1)寫出點A、B、C的坐標.(2)如圖②,過點B作BD∥AC交y軸于點D,求∠CAB+∠BDO的大?。?)如圖③,在圖②中,作AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB,求∠AED的度數(shù).【變式6-3】(2022春?隨縣期末)如圖1,在平面直角坐標系中,A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2),且|a+2|+(b﹣3)2=0(1)求a,b的值.(2)①在y軸的正半軸上存在一點M,使,求點M的坐標;②在坐標軸的其它位置是否存在點M,使仍然成立,若存在,請直接寫出符合條件的點M的坐標.(3)如圖2,過點C作CD⊥y軸交y軸于點D,點P為線段CD延長線上一動點,連接OP,OE平分∠AOP,OF⊥OE.當點P運動時,的值是否會改變?若不變,求其值;若改變,說明理由.1.(2023春?海珠區(qū)期末)如圖,一個機器人從點O出發(fā),向正西方向走2m到達點A1;再向正北方向走4m到達點A2;再向正東方向走6m到達點A3;再向正南方向走8m到達點A4:再向正西方向走10m到達點A5…,按如此規(guī)律走下去,當機器人走到點A2023時,點A2023的坐標為()A.(2024,2024) B.(2024,2022) C.(2023,2023) D.(2023,﹣2023)2.(2023春?南康區(qū)期中)如圖,一個粒子在第一象限內(nèi)及x軸、y軸上運動,在第一分鐘,它從原點運動到點(1,0);第二分鐘,它從點(1,0)運動到點(1,1),而后它接著按圖中箭頭所示在與x軸、y軸平行的方向上來回運動,且每分鐘移動1個單位長度,那么在第2022分鐘時,這個粒子所在位置的坐標是()A.(44,5) B.(44,4) C.(44,3) D.(44,2)3.(2023春?涵江區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中有點A0(1,0),點A0第一次跳動到點A1(﹣1,1),第二次點A1跳動到點A2(2,1),第三次點A2跳動到點A3(﹣2,2),第四次點A3跳動到點A4(3,2),…,依照此規(guī)律跳動下去,點A2023與點A2024之間的距離是.4.(2023春?封開縣校級期中)如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),按向上,向右,向下,向右的方向不斷地移動,每移動一個單位,得到點A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么點A2020的坐標為.5.(2023春?玉林期中)如圖在平面直角坐標系中,有若干個整數(shù)點,其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),…,根據(jù)這個規(guī)律探索可得,第2023個點的坐標為.6.(2023春?西華縣期中)如圖,在長方形ABCD中,一只螞蟻從A點出發(fā),沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行,其中A點的坐標為(1,﹣1),C點的坐標為(﹣1,3),D點的坐標為(1,3),當螞蟻爬行了2023個單位長度時,它所處位置的坐標為.7.(2023春?扎賚特旗期末)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(﹣3,0),B(0,4),將Rt△ABO順著x軸無滑動的滾動.第一次滾動到①的位置,點A的對應(yīng)點記作點A1;第二次滾動到②的位置,點A1的對應(yīng)點記作點A2;第三次滾動到③的位置,點A2的對應(yīng)點記作點A3;…;依次進行下去,發(fā)現(xiàn)點A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,則點A2023的坐標為8.(2022春?北流市期末)如圖,平面直角坐標系中,四邊形ABCD的頂點坐標分別為A(1,0),B(5,0),C(3,3),D(2,4),求四邊形ABCD的面積.9.(2022?橋東區(qū)校級三模)如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標系的原點,點A坐標為(a,0),點C的坐標為(0,b),且a、b滿足+|b﹣6|=0,點B在第一象限內(nèi),點P從原點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的線路移動,回到點O后停止運動.(1)a=,b=,點B的坐標為;(2)當點P移動4秒時,請指出點P的位置,并求出點P的坐標;(3)在移動過程中,當點P到x軸的距離為5個單位長度時,求點P移動的時間.10.(2022春?隨縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,2),B(4,0),C(4,3)三點.(1)求△ABC的面積;(2)如果在第二象限內(nèi)有一點P(m,1),且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍;求滿足條件的P點坐標.11.(春?全南縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為A(a,0),B(b,0),且a、b滿足a=+﹣1,現(xiàn)同時將點A,B分別向上平移2個單位,再向右平移1個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,連接AC,BD,CD.(1)求點C,D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC.(2)在y軸上是否存在一點P,連接PA,PB,使S△PAB=S四邊形ABDC?若存在這樣一點,求出點P的坐標;若不存在,試說明理由.(3)點P是線段BD上的一個動點,連接PC,PO,當點P在BD上移動時(不與B,D重合)的值是否發(fā)生變化,并說明理由.專題06平面直角坐標系-壓軸兩大類型考點一:規(guī)律性問題-五大題型考點二:坐標與幾何圖形綜合【考點一:規(guī)律性問題-五大題型】【典例1】(2023秋?任城區(qū)期末)如圖,動點M按圖中箭頭所示方向運動,第1次從原點運動到點(2,2),第2次運動到點(4,0),第3次運動到點(6,4),…,按這樣的規(guī)律運動,則第2024次運動到點()A.(2024,2) B.(4048,0) C.(2024,4) D.(4048,4)【答案】B【解答】解:∵第1次從原點運動到點(2,2),第2次運動到點(4,0),第3次運動到點(6,4),第4次從原點運動到點(8,0),第5次運動到點(10,2)……,∴動點M的橫坐標為2n,縱坐標按照2,0,4,0四個為一組進行循環(huán),∵2024÷4=504,∴第2023次運動到點(2×2024,0),即:(4048,0);故選:B.【變式1-1】(2023秋?鐵鋒區(qū)期末)如圖,直角坐標平面xOy內(nèi),動點P按圖中箭頭所示方向依次運動,第1次從點(﹣1,0)運動到點(0,1),第2次運動到點(1,0),第3次運動到點(2,﹣2),…,按這樣的運動規(guī)律,動點P第2023次運動到點()A.(2023,0) B.(2022,﹣2) C.(2023,1) D.(2022,0)【答案】B【解答】解:由題意可知,第1次運動到點(0,1)、第2次運動到點(1,0)、第3次運動到點(2,﹣2)、第4次運動到點(3,0)、第5次運動到點(4,1),∴可得到,第n次運動到點的橫坐標為n﹣1,縱坐標為4次一循環(huán),循環(huán)規(guī)律為1→0→﹣2→0→1,∵2023÷4=505......3,∴動點P第2023次運動到點的坐標為(2022,﹣2),故選:B.【變式1-2】(2023春?鐵東區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線,點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒π個單位長度,則第2023秒時,點P的坐標是()A.(2023,0) B.(2023,1) C.(4046,0) D.(4046,﹣1)【答案】C【解答】解:半徑為1個單位長度的半圓的周長為×2π×1=π,∵點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒π個單位長度,∴點P每秒走1個半圓,當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為1秒時,點P的坐標為(2,0),當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為2秒時,點P的坐標為(4,0),當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為3秒時,點P的坐標為(6,0),當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為4秒時,點P的坐標為(8,0),當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為5秒時,點P的坐標為(10,0),當點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,運動時間為6秒時,點P的坐標為(12,0),…,∵2023÷4=505余3,∴P的坐標是(4046,0).故選:C.【變式1-3】(2023秋?河口區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動1個單位,依次得到點P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,﹣1),P5(2,﹣1),P6(2,0),…,則點P2024的坐標是(675,1).【答案】(675,1).【解答】解:由圖可得,P6(2,0),P12(4,0),…,P6n(2n,0),P6n+1(2n,1),2024÷6=337……2,∴P6×337+2(2×337+1,1),即P2024(675,1),故答案為:(675,1).【典例2】(2023秋?碭山縣期中)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1)、B(﹣1,1)、C(﹣1,﹣2)、D(1,﹣2),動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位的速度按逆時針方向沿四邊形ABCD的邊做環(huán)繞運動;另一動點Q從點C出發(fā),以每秒3個單位的速度按順時針方向沿四邊形CBAD的邊做環(huán)繞運動,則第2023次相遇點的坐標是()A.(﹣1,﹣1) B.(﹣1,1) C.(﹣2,2) D.(1,1)【答案】D【解答】解:∵點A(1,1)、B(﹣1,1)、C(﹣1,﹣2)、D(1,﹣2),∴AB=CD=1﹣(﹣1)=2,AD=BC=1﹣(﹣2)=3,∴矩形的周長為2×(2+3)=10,由題意,經(jīng)過1秒時,P、Q在點B(﹣1,1)處相遇,接下來P、Q兩點走的路程和是10的倍數(shù)時,兩點相遇,相鄰兩次相遇間隔時間為10÷(2+3)=2秒,∴第二次相遇點是CD的中點(0,﹣2),第三次相遇點是點A(1,1),第四次相遇點是點(﹣1,﹣1),第五次相遇點是點(1,﹣1),第六次相遇點是點B(﹣1,1),……,由此發(fā)現(xiàn),每五次相遇點重合一次,∵2023÷5=404??3,∴第2023次相遇點的坐標與第三次相遇點的坐標重合,即A(1,1),故選:D.【變式2-1】(2023?九龍坡區(qū)校級開學)如圖,在平面直角坐標系中A(﹣1,1),B(﹣1,﹣2),C(3,﹣2),D(3,1),一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行,問第2025秒瓢蟲在點()A.(﹣1,0) B.(﹣1,﹣1) C.(﹣1,﹣2) D.(0,﹣2)【答案】D【解答】解:∵AB+BC+CD+DA=3+4+3+4=14,14÷2=7,∴瓢蟲7秒爬行一圈,∵2025÷7=289……2,2×2=4,4﹣3=1,∴第2025秒瓢蟲在點(0,﹣2),故選:D.【變式2-2】(2023春?武穴市期末)如圖,長方形BCDE的各邊分別平行于x軸、y軸,物體甲和物體乙由點A(2,0)同時出發(fā),沿長方形BCDE的邊做環(huán)繞運動,物體甲按逆時針方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,物體乙按順時針方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動則兩個物體運動后的第2023次相遇地點的坐標是()A.(﹣1,1) B.(1,﹣1) C.(2,0) D.(﹣1,﹣1)【答案】A【解答】解:由圖已知,矩形周長為12,∵甲、乙速度分別為1單位/秒,2單位/秒,則兩個物體每次相遇時間間隔為秒,則兩個物體相遇點依次為(﹣1,1)、(﹣1,﹣1)、(2,0),(﹣1,1)……∴兩個物體相遇點以(﹣1,1)、(﹣1,﹣1)、(2,0)三次為一個循環(huán),∵2023=3×674+1,∴第2023次兩個物體相遇位置為(﹣1,1),故選:A.【變式2-3】(2023春?西充縣校級期末)在如圖所示的平面直角坐標系中,一只螞蟻從A點出發(fā),沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行,其中A點坐標為(1,﹣1),B點坐標為(﹣1,﹣1),C點坐標為(﹣1,3),當螞蟻爬了2017個單位時,它所處位置的坐標為()A.(1,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)【答案】D【解答】解:∵A點坐標為(1,﹣1),B點坐標為(﹣1,﹣1),C點坐標為(﹣1,3),∴AB=1﹣(﹣1)=2,BC=3﹣(﹣1)=4,∴從A→B→C→D→A一圈的長度為2(AB+BC)=12.∵2017=168×12+1,∴當螞蟻爬了2017個單位時,它所處位置在點A左邊一個單位長度處,即(0,﹣1).故選:D.【典例3】(2023秋?南岸區(qū)校級期中)如圖,已知A1(1,0),A2(1,1),A3(﹣1,1),A4(﹣1,﹣1),A5(2,﹣1),…則點A2025的坐標為()A.(506,506) B.(﹣506,﹣506) C.(507,﹣506) D.(﹣507,506)【答案】C【解答】解:由圖得,點A的坐標有4種情況,依次在四個象限,2025÷4=506……1,∴點A2025在第四象限,縱坐標為﹣506,橫坐標為506+1=507,∴A2025的坐標是(507,﹣506).故選:C.【變式3-1】(2023秋?慈溪市月考)如圖,在平面直角坐標系中,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,?都是斜邊在x軸上,斜邊長分別為2,4,6,?的等腰直角三角形,若△A1A2A3的頂點坐標分別為A1(2,0),A2(1,1),A3(0,0),則依圖中所示規(guī)律,A2023的坐標為()A.(﹣1010,0) B.(﹣1008,0) C.(2,﹣505) D.(1,506)【答案】A【解答】解:觀察圖形可以看出A1~A4;A5~A8……每4個為一組,∵2023÷4=505??3,∴A2021在x軸負半軸,縱坐標為0,∵A3、A7、A11的橫坐標分別為0,﹣2,﹣4,則A4n+3的橫坐標為﹣2n,∴A2023的橫坐標為﹣2×505=﹣1010,∴A2023的坐標為(﹣1010,0).故選:A.【變式3-2】(2023春?正陽縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,從點P1(﹣1,0),P2(﹣1,﹣1),P3(1,﹣1),P4(1,1),P5(﹣2,1),P6(﹣2,﹣2),……,依次進行下去,則P2023的坐標為()A.(506,﹣506) B.(506,506) C.(﹣506,505) D.(﹣506,﹣506)【答案】A【解答】解:根據(jù)點的運動特征,把這些點分為四類,每一象限一類,周期為4,∵2023÷4=505??????3,∴P2023在第四象限,考慮P3(1,﹣1),P7(2,﹣2),P11(3,﹣3)…這些點的橫坐標都是下標與1的和除以4得到的,縱坐標與橫坐標互為相反數(shù),∵(2023+1)÷4=506,∴P2023的坐標為(506,﹣506).故答案為:A.【典例4】(2023秋?紫金縣期中)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫縱坐標分別為整數(shù)的點,其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,根據(jù)這個規(guī)律,第331個點的坐標為()A.(8,17) B.(8,16) C.(7,17) D.(7,18)【答案】D【解答】解:根據(jù)圖形,以最外邊的矩形邊長上的點為準,點的總個數(shù)等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方,例如:右下角的點的橫坐標為1,共有1個,1=12,右下角的點的橫坐標為2時,共有4個,4=22,右下角的點的橫坐標為3時,共有9個,9=32,右下角的點的橫坐標為4時,共有16個,16=42,…右下角的點的橫坐標為n時,共有n2個,∵331=182+7,∴第331個點是邊上有17個點的正方形,再順推7個點,第331個點是(7,18),故選:D.【變式4-1】(2023春?武漢期末)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫坐標,縱坐標均為整數(shù)的點,其順序按圖中“→”方向依次排列:(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→???根據(jù)這個規(guī)律,第2023個點的坐標為()A.(45,1) B.(45,2) C.(45,3) D.(45,4)【答案】B【解答】解:由圖形可知,圖中各點分別組成了正方形點陣,每個正方形點陣的整點數(shù)量依次為最右下角點橫坐標的平方,且當正方形最右下角點的橫坐標為奇數(shù)時,這個點可以看作按照運動方向到達x軸,當正方形最右下角點的橫坐標為偶數(shù)時,這個點可以看作按照運動方向離開x軸,∵452=2025,∴第2025個點在x軸上坐標為(45,0),則第2023個點在(45,2).故選:B.【變式4-2】(2023春?房縣期中)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點.如圖,一列有規(guī)律的整點,其坐標依次為(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,根據(jù)這個規(guī)律,第2022個整點的坐標為()A.(45,3) B.(45,13) C.(45,22) D.(45,0)【答案】A【解答】解:觀察圖中點的坐標可知,以最外邊的矩形邊長上的點為準,點的總個數(shù)等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方,如:第12個點的坐標為(1,0),第22個點的坐標為(1,22),第32個點的坐標為(3,0),第42個點的坐標為(1,42),第52個點的坐標為(5,0),第62個點的坐標為(1,62),...當n為奇數(shù)時,第n2個點的坐標為(n,0),當n為偶數(shù)時,第n2個點的坐標為(1,n2),∵452=2025,45為奇數(shù),∴第2025個點的坐標為(45,0),∴退3個點,得到第2022個點是(45,3),故選:A.【變式4-3】(2023秋?哈爾濱期末)如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫、縱坐標均為整數(shù)的點,按(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→…的順序用線段依次連接起來.根據(jù)這個規(guī)律,第50個點的坐標為(8,0).【答案】(8,0).【解答】解:第1圈有1個點:(1,0),第2圈有3個點:(1,0),(2,1),(1,1),前2圈共有1+3=4個點,第3圈有5個點:(2,1),(2,2),(3,2),(3,1),(3,0),前3圈共有1+3+5=9=32個點,第4圈有7個點:(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(3,3),(2,3),(1,3),前4圈共有1+3+5+7=16=42個點,……,前圈共有n2個點,∵50=72+1,∴第50個點再第8圈,是第一個點,其坐標為(8,0),故答案為:(8,0).【典例5】(2023春?江門期末)如圖,在平面直角坐標系上有一個質(zhì)點A0(﹣1,0),質(zhì)點A0第一次跳動至點A1(1,1),第二次跳動至點A2(﹣2,1),第三次跳動至點A3(2,2),第四次跳動至點A4(﹣3,2),…依此規(guī)律跳動下去,則點A2023與點A2024之間的距離是()A.2023 B.2025 C.2027 D.2029【答案】B【解答】解:∵由圖象可知:A1(1,1),A2(﹣2,1),A3(2,2),A4(﹣3,2),A5(3,3),A6(﹣4,3),A7(4,4),A8(﹣5,4),∴A1A2=1﹣(﹣2)=3,A3A4=2﹣(﹣3)=5,A5A6=3﹣(﹣4)=7,A7A8=4﹣(﹣5)=9,??????由此可以得出第(n﹣1)次跳動至點與第n跳動至點間的距離等于第n次跳動次數(shù)加1,∴點A2023與點A2024之間的距離是2024+1=2025,故選:B.【變式5-1】(2023春?長安區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A1(1,0),點A1第1次跳動至點A2(﹣1,1),第2次跳動至點A3(2,1),第3次跳動至點A4(﹣2,2),第4次跳動至點A5(3,2)…依此規(guī)律跳動下去,點A1第50次跳動至點A51的坐標是()A.(24,23) B.(25,25) C.(26,25) D.(27,26)【答案】C【解答】解:由圖得,A3,A5,A7,…,A2n+1在第一象限,而A2,A4,A6,…,A2n在第二象限,∴A51在第一象限,由A3(2,1)A5(3,2)A7(4,3)…,得,A2n+1(n+1,n),∵2n+1=51,∴n=25,∴A2n+1(26,25).故選:C.【變式5-2】(2023春?長安區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A1(1,0),點A1第1次跳動至點A2(﹣1,1),第2次跳動至點A3(2,1),第3次跳動至點A4(﹣2,2),第4次跳動至點A5(3,2)…依此規(guī)律跳動下去,點A1第50次跳動至點A51的坐標是()A.(24,23) B.(25,25) C.(26,25) D.(27,26)【答案】C【解答】解:由圖得,A3,A5,A7,…,A2n+1在第一象限,而A2,A4,A6,…,A2n在第二象限,∴A51在第一象限,由A3(2,1)A5(3,2)A7(4,3)…,得,A2n+1(n+1,n),∵2n+1=51,∴n=25,∴A2n+1(26,25).故選:C.【考點二:坐標與幾何圖形綜合】【典例6】(2023春?江油市期末)如圖1,在平面直角坐標系中,點A為x軸負半軸上一點,點B為x軸正半軸上一點,C(0,a),D(b,a),其中a,b滿足關(guān)系式|a+2|+(b﹣a+1)2=0.(1)a=﹣2,b=﹣3;(2)如圖2,若AC⊥BC,BQ平分∠ABC交AC于點Q,交OC于點P,求證:∠CPQ=∠CQP;(3)如圖3,若點A、點B分別在x軸負半軸和正半軸上運動,∠ACB的角平分線交x軸于點M,點N在x軸上,且∠BCF=∠DCN,請補全圖形,探究的值的變化情況,并直接寫出結(jié)論(不要求寫出探究過程).【答案】(1)﹣2,﹣3;(2)見解析;(3).【解答】(1)解:如圖1中,∵|a+2|+(b﹣a+1)2=0,∴a=﹣2,b=﹣3,故答案為:﹣2,﹣3;(2)證明:如圖2中,∵BQ平分∠CBA,∴∠OBP=∠CBQ,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠BOP=∠BCQ=90°,∴∠BPO=∠CQP,∵∠CPQ=∠BPO,∴∠CQP=∠CPQ;(3)解:如圖3,結(jié)論:定值=.理由:設(shè)∠DCN=∠BCF=x,∠ACD=y(tǒng),∴∠ACB=180°﹣x﹣y,∠ACN=x﹣y,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=(180°﹣x﹣y),∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCF=x,∴∠BCO=90°﹣x,∴∠OCM=(180°﹣x﹣y)﹣(90°﹣x)=∴=.【變式6-1】(2022春?雄縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,點A(﹣3b,0)為x軸負半軸上一點,點B(0,4b)為y軸正半軸上一點,其中b滿足方程:3(b+1)=6.(1)求點A、B的坐標;(2)點C為y軸負半軸上一點,且△ABC的面積為12,求點C的坐標;(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在點P,使得△PBC的面積等于△ABC的面積的一半?若存在,求出相應(yīng)的點P的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)解方程:3(b+1)=6,得:b=1,∴A(﹣3,0),B(0,4),(2)∵A(﹣3,0),∴OA=3,∵△ABC的面積為12,,∴BC=8,∵B(0,4),∴OB=4,∴OC=4,∴C(0,﹣4);(3)存在,∵△PBC的面積等于△ABC的面積的一半,C(0,﹣4),B(0,4),∴BC上的高OP為,∴點P的坐標(,0)或(﹣,0).【變式6-2】(2022春?齊齊哈爾期末)如圖①,在平面直角坐標系中,點A、B在x軸上,AB⊥BC,AO=OB=2,BC=3(1)寫出點A、B、C的坐標.(2)如圖②,過點B作BD∥AC交y軸于點D,求∠CAB+∠BDO的大小.(3)如圖③,在圖②中,作AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB,求∠AED的度數(shù).【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)依題意得:A(﹣2,0),B(2,0),C(2,3);(2)∵BD∥AC,∴∠ABD=∠BAC,∴CAB+∠BDO=∠ABD+∠BDO=90°;(3):∵BD∥AC,∴∠ABD=∠BAC,∵AE,DE分別平分∠CAB,∠ODB,∴∠CAE+∠BDE=(∠BAC+∠BDO)=(∠ABD+∠BDO)=×90°=45°,過點E作EF∥AC,則∠CAE=∠AEF,∠BDE=∠DEF,∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠CAE+∠BDE=45°.【變式6-3】(2022春?隨縣期末)如圖1,在平面直角坐標系中,A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2),且|a+2|+(b﹣3)2=0(1)求a,b的值.(2)①在y軸的正半軸上存在一點M,使,求點M的坐標;②在坐標軸的其它位置是否存在點M,使仍然成立,若存在,請直接寫出符合條件的點M的坐標.(3)如圖2,過點C作CD⊥y軸交y軸于點D,點P為線段CD延長線上一動點,連接OP,OE平分∠AOP,OF⊥OE.當點P運動時,的值是否會改變?若不變,求其值;若改變,說明理由.【答案】(1)a=﹣2,b=3;(1)①M(0,5);②M(2.5,0)或M(﹣2.5,0)或M(0,﹣5);(3)2.【解答】解:(1)∵|a+2|+(b﹣3)2=0,∴a=﹣2,b=3,(2)①設(shè)M(0,m)(m>0),由題意得:0.5m?1=0.5×0.5×(2+3)×2,解得:m=5,∴M(0,5);②當M在y軸的負半軸上時,0.5(﹣m)?1=0.5×0.5×(2+3)×2,m=﹣5,M(0,﹣5);當M在橫軸上時,設(shè)M(n,0),則:0.5×|n|×2=0.5×0.5×(2+3)×2,解得:n=±2.5,∴M(±2.5,0),所以M(2.5,0)或M(﹣2.5,0)或M(0,﹣5);(3)=2,理由:∵∠EOF=90°,∠ODE=90°,∴∠OED+∠EFO=90°,∠DOE+∠DEO=90°,∠AOE+∠FOB=90°,∠EOP+∠POF=90°,∴∠EOD=∠EFO,∵OE平分∠AOP,EF∥AB,∴∠AOE=∠EOP,∠OFE=∠FOB,∴∠FOP=∠FOB=∠OFP,∵∠OPD=∠PFO+∠POF=2∠OFP=2∠DOE,∴=2.1.(2023春?海珠區(qū)期末)如圖,一個機器人從點O出發(fā),向正西方向走2m到達點A1;再向正北方向走4m到達點A2;再向正東方向走6m到達點A3;再向正南方向走8m到達點A4:再向正西方向走10m到達點A5…,按如此規(guī)律走下去,當機器人走到點A2023時,點A2023的坐標為()A.(2024,2024) B.(2024,2022) C.(2023,2023) D.(2023,﹣2023)【答案】A【解答】解:由圖可得,點A的位置有4種可能的位置,除第1點外分別是在4個象限內(nèi),∵2023÷4=505…3,余數(shù)是3,∴A2023在第一象限,∵A3(4,4),A7(8,8)…∴A2023(2024,2024).故選:A.2.(2023春?南康區(qū)期中)如圖,一個粒子在第一象限內(nèi)及x軸、y軸上運動,在第一分鐘,它從原點運動到點(1,0);第二分鐘,它從點(1,0)運動到點(1,1),而后它接著按圖中箭頭所示在與x軸、y軸平行的方向上來回運動,且每分鐘移動1個單位長度,那么在第2022分鐘時,這個粒子所在位置的坐標是()A.(44,5) B.(44,4) C.(44,3) D.(44,2)【答案】D【解答】解:由題知(0,0)表示粒子運動了0分鐘,(1,1)表示粒子運動了2=1×2(分鐘),將向左運動,(2,2)表示粒子運動了6=2×3(分鐘),將向下運動,(3,3)表示粒子運動了12=3×4(分鐘),將向左運動,…,于是會出現(xiàn):(44,44)點粒子運動了44×45=1980(分鐘),此時粒子將會向下運動,∴在第2022分鐘時,粒子又向下移動了2022﹣1980=42個單位長度,∴粒子的位置為(44,2),故選:D.3.(2023春?涵江區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中有點A0(1,0),點A0第一次跳動到點A1(﹣1,1),第二次點A1跳動到點A2(2,1),第三次點A2跳動到點A3(﹣2,2),第四次點A3跳動到點A4(3,2),…,依照此規(guī)律跳動下去,點A2023與點A2024之間的距離是2025.【答案】2025.【解答】解:觀察發(fā)現(xiàn),第2次跳動至點的坐標是(2,1),第4次跳動至點的坐標是(3,2),第6次跳動至點的坐標是(4,3),第8次跳動至點的坐標是(5,4),…,第2n次跳動至點的坐標是(n+1,n),則第2024次跳動至點的坐標是(1013,1012),第2023次跳動至點的坐標是(﹣1012,1012).∵點A2023與點A2024的縱坐標相等,∴點A2023與點A2024之間的距離=1013﹣(﹣1012)=2025.故答案為:2025.4.(2023春?封開縣校級期中)如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),按向上,向右,向下,向右的方向不斷地移動,每移動一個單位,得到點A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么點A2020的坐標為(1010,0).【答案】(1010,0).【解答】解:根據(jù)題意可知,A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),A5(2,1),A6(3,1),A7(3,0),A8(4,0),……可得坐標規(guī)律為:A4n(2n,0),A4n+1(2n,1),A4n+2(2n+1,1),A4n+3(2n+1,0),∵2020=4×505,∴點A2020的坐標為(1010,0),故答案為:(1010,0).5.(2023春?玉林期中)如圖在平面直角坐標系中,有若干個整數(shù)點,其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),…,根據(jù)這個規(guī)律探索可得,第2023個點的坐標為(64,6).【答案】(64,6).【解答】解:把第一個點(1,0)作為第一列,(2,0)和(2,1)作為第二列,依此類推,則第一列有1個點,第二列有2個點,?,第n列有n個點,則n列共有個點,并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下,偶數(shù)列點的順序由下到上,∵1+2+3+?+63=2016,∴第2023個點一定在第64列,由下到上是第7個點,因而第2023個點的坐標是(64,6),故答案為:(64,6).6.(2023春?西華縣期中)如圖,在長方形ABCD中,一只螞蟻從A點出發(fā),沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行,其中A點的坐標為(1,﹣1),C點的坐標為(﹣1,3),D點的坐標為(1,3),當螞蟻爬行了2023個單位長度時,它所處位置的坐標為(0,3)..【答案】(0,3).【解答】解:∵A點的坐標為(1,﹣1),C點的坐標為(﹣1,3),D點的坐標為(1,3),∴AB=1﹣(﹣1)=2,BC=3﹣(﹣1)=4,∴從A→B→C→D→A一圈的長度為2(AB+BC)=12.∵2023=168×12+7,∴當螞蟻爬了2023個單位時,它所處位置在點D左邊一個單位長度處,即(0,3).故答案為:(0,3).7.(2023春?扎賚特旗期末)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(﹣3,0),B(0,4),將Rt△ABO順著x軸無滑動的滾動.第一次滾動到①的位置,點A的對應(yīng)點記作點A1;第二次滾動到②的位置,點A1的對應(yīng)點記作點A2;第三次滾動到③的位置,點A2的對應(yīng)點記作點A3;…;依次進行下去,發(fā)現(xiàn)點A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,則點A2023的坐標為(8088,3)
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