橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（6大題型）

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、橢圓的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、橢圓定義的集合語(yǔ)言表示：3、注意事項(xiàng)：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的．否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段；②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：1、怎樣建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？以經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1.2、橢圓可以看作是哪些點(diǎn)的集合？用坐標(biāo)如何表示？設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù).圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因?yàn)?，所?、遇到根式怎么辦？?jī)蓚€(gè)根式在同一側(cè)能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比四、橢圓的焦點(diǎn)三角形1、定義：橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長(zhǎng)及角的有關(guān)問(wèn)題（設(shè)∠F1A性質(zhì)1：AF1+A拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c五、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；（2）定量：依據(jù)條件及確定的值；（3）寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；2、求橢圓方程時(shí)，若沒(méi)有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；3、當(dāng)橢圓過(guò)兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)。題型一橢圓的定義及應(yīng)用【例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡是（）A．橢圓B．直線C．線段D．點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，知點(diǎn)C的軌跡是線段AB．故選：C.【變式11】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A，B．設(shè)p：為定值，q：點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)為定值時(shí)，若定值大于時(shí)，點(diǎn)M軌跡是橢圓，若定值等于，點(diǎn)M軌跡是線段，若定值小于，則軌跡不存在；當(dāng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓時(shí)，必為定值；所以，但，故p為q的必要不充分條件．故選：B【變式12】（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，而點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：A【變式13】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成10等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，…，，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，則（）A．16B．18C．20D．22【答案】B【解析】因?yàn)榘褭E圓的長(zhǎng)軸AB分成10等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，…，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，且，可得，由橢圓的定義及橢圓的對(duì)稱性，可得，所以.故選：B.題型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,焦點(diǎn)在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.【變式21】（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得：到與的距離之和為，且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C【變式22】（2023秋·江西撫州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)；（2）短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入可知，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，由已知，有解得，，若焦點(diǎn)在軸上，則，若焦點(diǎn)在軸上，，∴所求橢圓方程為或.【變式23】（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個(gè)焦點(diǎn)為（2）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知，，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，又，所以，所以，橢圓方程為.（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)所求橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.題型三根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）如果方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】焦點(diǎn)在x軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．【變式31】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，方程，可化為標(biāo)，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓，即充分性成立；若方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓，則滿足，即必要性成立，所以時(shí)方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓的充要條件.故選：A.【變式32】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知m、n均為實(shí)數(shù)，方程表示橢圓，且該橢圓的焦距為4，則n的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得，，，所以，若，即時(shí)，則焦點(diǎn)在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；若，即時(shí)，則焦點(diǎn)在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；綜上，n的取值范圍是.故答案為：.【變式33】（2023秋·江蘇淮安·高二開學(xué)考試）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】AD【解析】當(dāng)即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.題型四橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例4】（2023秋·全國(guó)·高二期中）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A．12B．24C．D．【答案】D【解析】由題意可得，對(duì)于橢圓有長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，又過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，故的周長(zhǎng)，故選：D【變式41】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為（）A．B．C．4D．【答案】B【解析】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為，故選：B【變式42】（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．的周長(zhǎng)為6B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為【答案】D【解析】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長(zhǎng)為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯(cuò)誤，故選:D.【變式43】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．（1）若，求；（2）若的面積為9，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）設(shè)，設(shè)，由，則，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因?yàn)?，所以，因此，?題型五與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例5】（2023秋·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如下圖所示：不妨設(shè)，則滿足；易知，又線段的中點(diǎn)為，可得；即，代入方程可得，整理得.故選：D【變式51】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過(guò)點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.【變式52】（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎獔A：，圓：，圓，圓．（1）若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）若動(dòng)圓與圓、圓都外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，∴，且.于是，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.從而，所以.故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)椋瑒t圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.【變式53】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)，過(guò)B的直線l與圓A交于點(diǎn)C，D，過(guò)B作直線BE平行AC交AD于點(diǎn)E.求點(diǎn)E的軌跡的方程.【答案】.【解析】圓的圓心，半徑為4，如圖，因?yàn)?，于是，而，則，于是，因此E的軌跡是焦點(diǎn)為A，B，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，則，，，從而橢圓方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)E不在x軸上，則，所以點(diǎn)E的軌跡的方程為.題型六橢圓中的距離和差最值【例6】（2023秋·黑龍江大慶·高二校考開學(xué)考試）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（）A．12，B．，C．12，8D．9，【答案】C【解析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C【變式61】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（）A．5B．6C．D．【答案】D【解析】依題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立.而，所以，當(dāng)四點(diǎn)共線，且在之間，是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：D【變式62】（2022秋·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢