4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2

指數(shù)函數(shù)4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).2.會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)冪值的大?。顒?dòng)方案下面我們類比研究?jī)绾瘮?shù)性質(zhì)的過(guò)程和方法，進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)．首先畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，然后借助圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．先從簡(jiǎn)單的函數(shù)y＝2x開(kāi)始．活動(dòng)一指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)思考1???請(qǐng)同學(xué)們完成x，y的對(duì)應(yīng)值表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝2x的圖象.【解析】0.25

0.5

1

2

4x－2－1.5－1－0.500.511.52y

0.35

0.71

1.41

2.83

思考3???選取底數(shù)a(a>0，且a≠1)的若干個(gè)不同的值，

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的圖象．觀察這些圖象的位置、

公共點(diǎn)和變化趨勢(shì)，它們有哪些共性？由此你能概括出指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的值域和性質(zhì)嗎？【解析】

如圖，選取底數(shù)a的若干值，用信息技術(shù)畫圖，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象按底數(shù)a的取值，可分為0<a<1和a>1兩種類型．因此，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以分0<a<1和a>1兩種情況進(jìn)行研究．一般地，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下所示．例

1

當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過(guò)定點(diǎn)________.【解析】

當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，總有f(2)＝a2－2－3＝a0－3＝1－3＝－2，所以函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過(guò)定點(diǎn)(2，－2)．【答案】(2，－2)例

2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：(1)1.52.5,1.53.2；活動(dòng)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用【解析】

考察指數(shù)函數(shù)y＝1.5x.因?yàn)?.5>1，所以y＝1.5x是增函數(shù)．又因?yàn)?.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.5－1.2,0.5－1.5；【解析】

考察指數(shù)函數(shù)y＝0.5x.因?yàn)?<0.5<1，所以y＝0.5x是減函數(shù)．又因?yàn)椋?.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【解析】

考察指數(shù)函數(shù)y＝1.5x.因?yàn)?.5>1，所以y＝1.5x是增函數(shù)．又因?yàn)?.3＞0，所以1.50.3＞1.50＝1.同理0.81.2＜0.80＝1，故1.50.3>0.81.2.(3)1.50.3,0.81.2.比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，一般是將其看作一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，利用函數(shù)的單調(diào)性直接比較它們的大小，如例2的(1)、(2)．當(dāng)兩個(gè)數(shù)不能直接比較時(shí)，我們可以將其與一個(gè)已知的過(guò)渡數(shù)進(jìn)行比較大小，從而得出該兩數(shù)的大小關(guān)系．常用來(lái)過(guò)渡的值有0或±1等，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題也可能是其他數(shù)值．比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?1)30.8,30.7；【解析】

因?yàn)?>1，所以指數(shù)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)．因?yàn)?.8>0.7，所以30.8>30.7.(2)0.75－0.1,0.750.1；【解析】

因?yàn)?<0.75<1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.75x是減函數(shù)．因?yàn)椋?.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.(3)1.012.7,1.013.5；【解析】

因?yàn)?.01>1，所以指數(shù)函數(shù)y＝1.01x是增函數(shù)．因?yàn)?.7<3.5，所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3,0.994.5.【解析】

因?yàn)?<0.99<1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.99x是減函數(shù)．因?yàn)?.3<4.5，所以0.993.3>0.994.5.例

3

(1)已知3x≥30.5，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；【解析】

因?yàn)?>1，所以指數(shù)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)．由3x≥30.5，可得x≥0.5，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[0.5，＋∞)．(2)已知0.2x<25，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

通過(guò)函數(shù)值的大小關(guān)系來(lái)尋找出自變量的取值范圍是單調(diào)性運(yùn)用的又一常用方法．不等式2x2－x＜4的解集為_(kāi)_______.【解析】

由題意得x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集為(－1,2)．【答案】(－1,2)活動(dòng)三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問(wèn)題(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，還需注意：在求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)值域時(shí)，先求得f(x)的值域(即函數(shù)t＝f(x)中t的范圍)，再根據(jù)y＝at的單調(diào)性，列出指數(shù)不等式(組)，得出at的范圍，即y＝af(x)的值域．例

5

如圖，某城市人口呈指數(shù)增長(zhǎng)．(1)根據(jù)圖象，估計(jì)該城市人口每翻一番所需的時(shí)間(倍增期)；(2)該城市人口從80萬(wàn)人開(kāi)始，經(jīng)過(guò)20年會(huì)增長(zhǎng)到多少萬(wàn)人？活動(dòng)四指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【解析】(1)觀察圖，發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過(guò)20年約為10萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)40年約為20萬(wàn)人，即由10萬(wàn)人口增加到20萬(wàn)人口所用的時(shí)間約為20年，所以該城市人口每翻一番所需的時(shí)間約為20年．(2)因?yàn)楸对銎跒?0年，所以每經(jīng)過(guò)20年，人口將翻一番．因此，從80萬(wàn)人開(kāi)始，經(jīng)過(guò)20年，該城市人口大約會(huì)增長(zhǎng)到160萬(wàn)人．檢測(cè)反饋245131.(2022·桂林高一期中)函數(shù)y＝5－