年高考數(shù)學(xué)（理）課時作業(yè)（二十三）第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

課時作業(yè)(二十三)第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用基礎(chǔ)熱身1.以觀測者的位置作為原點(diǎn),東、南、西、北四個方向把平面分成四部分,以正北方向?yàn)槭歼?按順時針方向旋轉(zhuǎn)280°到目標(biāo)方向線,則目標(biāo)方向線的位置在觀測者 ()A.北偏東80°的方向 B.東偏北80°的方向C.北偏西80°的方向 D.西偏北80°的方向2.一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走,某時刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,前進(jìn)200m后,測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角,則河的寬度為 ()A.50(3+1)m B.100(3+1)mC.502m D.1002m3.如圖K231所示,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ()A.30° B.45°C.60° D.75°圖K2314.如圖K232所示,為了測量一棵樹的高度,在地面上取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)之間的距離為60m,則樹的高度為m.圖K2325.[2017·海南中學(xué)月考]如圖K233所示,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一名測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出A,C兩點(diǎn)間的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為m.

圖K233能力提升6.在直徑為30m的圓形廣場中央上空,設(shè)置一個照明光源,光源射向地面的光呈圓錐體,且其軸截面的頂角為120°,若要求光源恰好照亮整個廣場,則光源的高度為 ()A.153m B.15mC.53m D.5m7.甲船在島A正南方向的B處以每小時4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同時乙船自島A出發(fā),以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為 ()A.1507分鐘 B.15C.21.5分鐘 D.2.15小時8.如圖K234所示,一座建筑物AB的高為(30103)m,在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為 ()A.30m B.60mC.303m D.403m圖K2349.如圖K235所示,為了了解某海域海底構(gòu)造,在海平面上取一條直線上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測量,已知AB=50m,BC=120m,于A處測得水深A(yù)D=80m,于B處測得水深BE=200m,于C處測得水深CF=110m,則∠DEF的余弦值為 ()A.1665 B.C.1657 D.圖K23510.[2017·北大附中期中]如圖K236所示,某住宅小區(qū)的平面圖形是圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于OA的小路DC.已知住戶張先生從O沿OD走到D用了3min,再從D沿DC走到出入口C用了4min.若張先生步行的速度為50m/min,則該扇形的半徑為 ()A.4013m B.5013mC.3015m D.4015m圖K23611.某工廠實(shí)施煤改電工程防治霧霾,欲拆除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C,D,測得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在點(diǎn)C處正上方的點(diǎn)E處觀測煙囪頂部A的仰角為30°,且CE=1米,則煙囪的高AB=米.

12.某小區(qū)的綠化地有一個三角形的花圃區(qū),若該三角形的三個頂點(diǎn)分別用A,B,C表示,其對邊分別為a,b,c,且滿足(2bc)cosAacosC=0,則在A處望B處和C處所成的視角為.

13.[2017·湖北百所重點(diǎn)中學(xué)模擬]我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里記載了這樣一個題目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一塊三角形的沙田,三邊長分別為13里,14里,15里,假設(shè)1里按500米計算,則該沙田的面積為平方千米.

14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四個城市A,B,C,D的位置如圖K237所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80nmile,BC=40+303nmile,CD=2506nmile.現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向D直線航行,60min后,輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行,則收到指令時該輪船到城市C的距離是多少.圖K23715.(13分)如圖K238所示,已知在水平面東西方向上的M,N處各有一座發(fā)射塔,塔頂A,B的海拔高度分別為AM=100米,BN=200米,一輛測量車在M正南方向的點(diǎn)P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測量車沿北偏西60°的方向行駛了1003米后到達(dá)點(diǎn)Q,在點(diǎn)Q處測得發(fā)射塔頂B的仰角為θ,且∠BQA=θ,經(jīng)測量得tanθ=2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離.圖K238難點(diǎn)突破16.(12分)如圖K239所示,某流動海洋觀測船開始位于燈塔B北偏東θ0<θ<π2方向的A點(diǎn),且滿足2sin2π4+θ3cos2θ=1,AB=AD.在接到上級命令后,該觀測船從A點(diǎn)沿AD方向在D點(diǎn)補(bǔ)充物資后沿BD方向投放浮標(biāo)C.已知該觀測船行駛的航程為8km,浮標(biāo)C與A點(diǎn)的距離為43km.(1)求θ的值;(2)求浮標(biāo)C到補(bǔ)給站D的距離.圖K239課時作業(yè)(二十三)1.C[解析]注意旋轉(zhuǎn)的方向是順時針方向,作出相應(yīng)的圖形(圖略),分析可得C正確.2.A[解析]如圖所示,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=75°30°=45°,AB=200m,由正弦定理,得BC=200×sin30°sin45°=1002(m),所以河的寬度為BCsin75°=1002×2+64=50(3+13.B[解析]依題意得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-5024.30+303[解析]由題意及正弦定理可得60sin(45°-30°)=PBsin30°,所以PB=60×12sin15°=30sin15°=30(2+6),則樹的高度為PBsin45°=(30+5.502[解析]在三角形ABC中,AC=50,∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠ABC=30°,由正弦定理有ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,即5012=AB26.C[解析]軸截面如圖所示,則光源高度h=15tan60°=53(m)7.A[解析]如圖所示,設(shè)t小時后甲船行駛到D處,乙船行駛到C處,則AD=104t,AC=6t.∵∠BAC=120°,∴DC2=AD2+AC22AD·AC·cos120°=(104t)2+(6t)22×(104t)×6t×cos120°=28t220t+100.當(dāng)t=514時,DC2最小,即DC最小,此時它們所航行的時間為514×60=1507(8.B[解析]在Rt△ABM中,AM=ABsin∠AMB=30-103sin15°=30-1036-過點(diǎn)A作AN⊥CD于點(diǎn)N,如圖所示.易知∠MAN=∠AMB=15°,所以∠MAC=30°+15°=45°.又∠AMC=180°15°60°=105°,所以∠ACM=30°.在△AMC中,由正弦定理得MCsin45°=206sin30°,解得MC=403(m).在Rt△CMD中,CD=403×sin60°=60(m),故通信塔CD的高為609.A[解析]如圖所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,則DF=MF2+DM2=302+1702=10298(m),DE=DN2+EN2=502+1202=130(m),EF=(BE-FC)10.B[解析]依題意可知OD=50×3=150(m),DC=50×4=200(m).如圖所示,連接OC,在△ODC中,∠ODC=60°,由余弦定理得OC2=OD2+DC22OD·DC·cos∠ODC=1502+20022×150×200×cos60°=32500,即OC=5013(m),故選B.11.(202+1)[解析]易知∠CBD=180°∠BCD∠BDC=45°.在△CBD中,根據(jù)正弦定理得BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=206(米),∴AB=1+tan30°·BC=1+20212.π3[解析]在△ABC中,∵(2bc)cosAacosC=0,∴由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC=0,即2sinBcosAsin(A+C)=0,即2sinBcosAsinB=0,∴cosA=12,得A=π3,即在A處望B處和C13.21[解析]設(shè)在△ABC中,a=13里,b=14里,c=15里,∴cosC=132+142-1522×13×14=132+(14-15)×(14+15)2×13×14=1402×13×14=513,∴sinC=1213,故△ABC的面積為1214.解:連接AC,由題意知,AC=6400+1600+2700+24003-2×80×(40+303)×12=503設(shè)60min后,輪船到達(dá)D',連接CD',則AD'=50×1=50(nmile).在△ABC中,由正弦定理得ACsinB=ABsin∠ACB,即50332=80sin∠ACB,∴sin∴cos∠ACD=cos(135°∠ACB)=210∴AD=7500+62500×6-2×503×2506×210=350∴cos∠DAC=7500+122500×3-62500×62×503×3503=0,∴∴CD'=2500+7500=100(nmile).故收到指令時該輪船到城市C的距離是100nmile.15.解:在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100,∴PM=1003.連接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=1003,∴△PQM為等邊三角形,∴QM=1003.在Rt△AMQ中,∵AQ2=AM2+QM2,∴AQ=200.在Rt△BNQ中,∵tanθ=2,BN=200,∴BQ=1005,cosθ=55在△BQA中,BA2=BQ2+AQ22BQ·AQcosθ=(1005)2,∴BA=1005,即兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離是1005米.16.解:(1)根據(jù)題意,2sin2π4+θ3cos2θ=1cosπ2+2θ3cos2θ=1+sin2θ3cos2θ=