上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析）

高中數(shù)學(xué)精編資源上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.1.設(shè)函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在，若則____________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可得出的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故答案為：.2.2和8的等差中項(xiàng)是________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的概念，直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】2和8的等差中項(xiàng)為故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的概念和計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3.若，則x的值為_(kāi)_____.【答案】3或4【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)?，所以或，故答案為?或44.若直線是圓一條對(duì)稱軸，則__________.【答案】##0.5【解析】分析】由已知，直線過(guò)圓心即可求解.【詳解】由題，直線過(guò)圓心，將代入直線方程得，解得：.故答案為：.5.計(jì)算_____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：2.6.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】70【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得到當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為正，求出各項(xiàng)，得到系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式為，顯然當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為正，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為負(fù)，其中，，，故系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：707.某校組織“杭州亞運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，元元從3道選擇題和2道填空題中不放回地每次隨機(jī)抽取1道作答．記事件為“第一次抽到選擇題”，事件為“第二次抽到填空題”，則__________．【答案】##0.75【解析】【分析】利用條件概率的定義，結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】當(dāng)?shù)诙纬榈教羁疹}且第一次抽到選擇題，共有種;當(dāng)?shù)诙纬榈教羁疹}，第一次抽到是填空題時(shí)有種，故總數(shù)為8種，則，故答案為：．8.若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______【答案】【解析】【分析】先求得直線過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線與橢圓總有公共點(diǎn)，由點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部求解.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，且直線與橢圓總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部，即解得，綜上，故答案為：9.某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）.【答案】216【解析】【詳解】每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分

3

步進(jìn)行，第一步

,A

、B.

C

三點(diǎn)選三種顏色燈泡共有

種選法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中選一個(gè)裝第

4

種顏色的燈泡，有

3

種情況；第三步

,

為剩下的兩個(gè)燈選顏色

,

假設(shè)剩下的為

B1

、

C1,

若

B1

與

A

同色

,

則

C1

只能選

B

點(diǎn)顏色；若

B1

與

C

同色

,

則

C1

有A.

B

處兩種顏色可選,故為

B1

、

C1

選燈泡共有

3

種選法，得到剩下的兩個(gè)燈有

3

種情況，則共有

×3×3=216

種方法．故答案為

21610.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，記圓心為，當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，所以，.故答案為：.11.已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①有極小值，但無(wú)最小值②有極大值，但無(wú)最大值③若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則④若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)________【答案】②④【解析】【詳解】所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此有極小值，也有最小值，有極大值，但無(wú)最大值；若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則或;若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則,即正確結(jié)論的序號(hào)為②④點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．12.對(duì)于正整數(shù)，最接近的正整數(shù)設(shè)為，如，記，從全體正整數(shù)中除去所有，余下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】對(duì)于正整數(shù)，就、分類討論后可求，從而可求，故可求前8項(xiàng)和.【詳解】對(duì)于正整數(shù)，必存在正整數(shù)，使得.如果，則，故，故，此時(shí)，故故此時(shí)取值為區(qū)間中的所有正整數(shù).如果即，則，故，故，此時(shí)，故此時(shí)取值為區(qū)間中的所有正整數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取值為區(qū)間中所有的正整數(shù)，而，，故表示中除以外的所有正整數(shù)，取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數(shù).取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數(shù).依次取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數(shù).故，故前8項(xiàng)和為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的新定義問(wèn)題，首先要弄清楚數(shù)列的形成過(guò)程，特別是與數(shù)論有關(guān)的新數(shù)列構(gòu)建問(wèn)題，要能根據(jù)整數(shù)的形式做合理的分類.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.考生必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則一律得零分.13.已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而在區(qū)間(0,1)上增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢．故選B.14.若，則不正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】時(shí)，A正確；時(shí)；時(shí)；所以兩式相減化簡(jiǎn)得，，B錯(cuò)誤；兩式相加化簡(jiǎn)得，又，所以，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：BC15.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖．若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（）A.144 B.89 C.55 D.34【答案】A【解析】【分析】已知表示第行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個(gè)數(shù)，則有，利用遞推關(guān)系求解.【詳解】已知表示第行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和兩個(gè)黑圈，所以，又因?yàn)樗裕?，，，，故選:A.16.已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定的面積最小時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以斜邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.17.（1）拋物線的焦點(diǎn)在軸上且拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，且一條漸近線為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)所在的象限設(shè)拋物線方程，代入點(diǎn)求得解；（2）根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)分類討論求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，且拋物線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求拋物線方程為，點(diǎn)代入，可得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橐粭l漸近線為，所以設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，雙曲線為，此時(shí)實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，所以雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，雙曲線為，此時(shí)實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，所以雙曲線方程為，故所求雙曲線方程為或.18.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有或兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.問(wèn)：（1）一個(gè)字節(jié)(位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼(碼)包含了個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？【答案】（1）256個(gè)；（2）2個(gè).【解析】【分析】（1）一個(gè)字節(jié)共有位，每位上有種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得解；（2）由（1）知，用一個(gè)字節(jié)能表示個(gè)字符，不夠表示，繼續(xù)利用分步相乘原理計(jì)算個(gè)字節(jié)可以表示的不同的字符，判斷與的大小關(guān)系即可.【詳解】（1）一個(gè)字節(jié)共有位，每位上有種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示個(gè)不同的字符；（2）由（1）知，用一個(gè)字節(jié)能表示個(gè)字符，，一個(gè)字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，個(gè)字節(jié)可以表示個(gè)不同的字符，，所以每個(gè)漢字至少要用個(gè)字節(jié)表示.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，熟練掌握分步計(jì)數(shù)原理的概念及計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，若恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）8【解析】【分析】（1）時(shí)，用代入化簡(jiǎn)，用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）用錯(cuò)位相減法求出，不等式可化為恒成立，再用基本不等式求得的最大值，從而可得的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，即，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.小問(wèn)2詳解】由，由（1）知是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，①所以，②①-②得，所以，所以.因?yàn)?，所以，由于，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正整數(shù)的最大值為8.20.已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】（Ⅰ）直線與圓相切∴橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F2（2，0）的距離，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，，則直線AC的方程為聯(lián)立所以由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得∵，∴四邊形ABCD的面積為由所以時(shí)取等號(hào)．易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為21.已知，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程；（2）對(duì)分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點(diǎn)解得，化簡(jiǎn)欲證不等式，再令，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求得范圍證不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則切線方程為，即切線方程為.【小問(wèn)2詳解