數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第四章第4講正余弦定理及解三角形

第4講正、余弦定理及解三角形

考綱展示命題探究

考點展示考綱要求高考命題探究

掌握正、余弦定理，并能解決一些簡單的三1.內(nèi)容探究：在三角形中，已知邊角求其他邊或角，判斷三

正、余弦定理

角度量問題.角形的形狀，求三角形的面積，用數(shù)學(xué)模型結(jié)合正、余弦定

理解決實際問題.

能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識和方法解決形式探究：本講內(nèi)容在高考中可能以選擇題、填空題、解答

解三角形及其綜合應(yīng)用2.

一些與測量和幾何計算仃關(guān)的實際問題.題形式出現(xiàn).

U_____

肥考點-正、余弦定理

基礎(chǔ)點重難點

1正'余弦定理

定理正弦定理余弦定理

a2=b2Ji-c2—

2Z?ccosA；

b2=a2Ji-c2—

內(nèi)容sinAsinBsinC

2accosB；

（其中H是△ABC外接圓的半徑）

c2=q2+12—2aZ?cosC

a=2HsinA,b=2RsinB,

c—27?sinC；sinA—^sinC

__c_

Z?2+c2-a2

—2E；cosA-2慶；

變形abc=sinA:sing:

?2+c2—Z?2

形式cosB—)；

sinC；lac

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=?2+Z?2—C2

cosC-2ab

csinA；

Q+Z?+C

-----------------=2R

sinA+sinB+sinC

2利用正、余弦定理解三角形

(1)已知兩角一邊，用正弦定理，只有一解.

(2)已知兩邊及一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為幾

種情況.

4為鈍角或直角時，a=b,均無解.

(3)已知三邊，用余弦定理，有解時，只有一解.

(4)已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.

M注意點解三角形時注意角的范圍

在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函數(shù)問題時，要注意角

的范圍與三角函數(shù)符號之間的聯(lián)系.

小?小題快做：

1.思維辨析

(1)正弦定理和余弦定理對任意三角形都成立.()

(2)三角形中各邊和它所對角的弧度數(shù)之比相等.()

(3)已知兩邊及其夾角求第三邊，用余弦定理.()

(4)在△A5C的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元

素.()

(5)在△A5C中，若sinA>sin"則A〉A(chǔ)()

(6)若滿足條件。=60。，AB=&。的△45。有兩個，那么

。的取值范圍是(小，2).()

答案(1)J(2)X(3)V(4)X(5)V(6)V

2.已知△A5C中，a=l,b=j,5=45。，則4等于()

A.150°B.90°

C.60°D.30°

答案D

解析由正弦定理，得白得sinA=：

&J-ILZAIJ乙

又a<b,：.A<B=45°.：.A=3Q°,故選D.

3.在△45。中，A=60。，AC=2,BC=y[3,則AB等于

答案1

解析由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA,

gP3=4+AB2-2AB,即A4—2AJ5+1=0.

：.AB=1.

話命題法解題法

?［考法綜述］正、余弦定理是每年高考的必考內(nèi)容，客觀題與

解答題均可出現(xiàn).客觀題以正、余弦定理的簡單應(yīng)用為主，解三角形、

判斷三角形的形狀，而解答題常與三角恒等變換相結(jié)合，屬于解答題

中的中低檔題型，難度一般不會太大.

命題法利用正余弦定理解三角形或判斷其形狀

典例(1)設(shè)△A5C的內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,

c.若Z?+c=2a,3sinA=5sin5,則角。=()

A712.71

A-3B.^~

C囪-5兀

J4D?不

~D〃—|-c

(2)在△A5C中，cos弓b,c分別為角A,B,。的對邊),

則△A5C的形狀為()

A.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

［解析］(l)V3sinA=5sinB,

由正弦定理知3a=5b,

7Q2+吩一

代入b+c=2a中，得c=p.由余弦定理知cosC=------------=—

J/.。=與.選B.

Q+C

⑵Teos2=2c'

a~\~c.a

=一..cosnB=~,

2cos21=c—1,c

.g2+c2-Z72a

,lac二丁c2=a2+Z?2.

二.△人呂。為直角三角形.

［答案］(1)B(2)B

Q【解題法】

CLhC

(1)已知兩角A,B與一邊a,由A+5+C=TI及?c

可先求出角。及再求出c.

(2)已知兩邊。，c及其夾角A,由a2=b2+c2—2bccosA,先求出

a,再求出角B,C.

(3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.

ah

(4)已知兩邊a,8及其中一邊的對角4,由正弦定理新印=而值可

求出另一邊的對角由。=兀一可求出角再由

Z?5,(A+5),C,sin/i

ccih

后sin可e求出c,而通過s;in^A7=s訴in/)求角B時，可能有一解或兩解或無

解的情況.

2.利用正、余弦定理判定三角形形狀

三角形中常見的結(jié)論

(1)A+B+C=7i.

(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然.

⑶任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(4)三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式：

sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC;

,一A+BC

tan(A—tanC;sin-=cos1;

A+B.C

cos—2—=sm,.

(5)在△A5C中，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-

tanC.

(6)4A5C中，A,B,。成等差數(shù)列的充要條件是5=60。.

(7)Z\A5C為正三角形的充要條件是A,B,。成等差數(shù)列且a,0,

c成等比數(shù)列.

,髭對點題必刷題

1.在△ABC中，若sin2A+sin2j5<sin2。，則△人5。為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

答案C

解析由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為屋+房々2.

屋+吩一

又COSC=2ab<0,所以三角形為鈍角三角形.

△A5C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,0若a=小，sinB

=],C=T,則》=______.

zo

答案1

解析由sineH得5=聿或等，因為0=聿，所以"稱，所以5

2oooo

弋于是A號由正弦定理,得嗎當(dāng)所以人1?

smT2

3.在平面四邊形A5CD中，/A=/B=/C=75。,BC=2,則

AB的取值范圍是.

答案（五一理，加+也）

解析如圖，作△尸5C,使N5=NC=75。，BC=2,作直線AZ）

分別交線段尸5、尸。于A、。兩點（不與端點重合），且使NR4Z）=75。，

則四邊形45CZ）就是符合題意的四邊形.過。作AZ）的平行線交尸5

BE

于點Q,在△尸5。中，過尸作5C的垂線交5C于點E,則PB=^^市

=^6+^2；在△QBC中，由余弦定理QB?=BC2+QC2—

22C-BC-cos30°=8-4^3=（^6-A/2）2,故QB=#一巾,所以的

取值范圍是（加一表，加+理）.

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知△

45。的面積為34B,b—c=2,cosA=-1,則a的值為.

答案8

解析由cosA=—1得sinA=^^,所以△A5C的面積為夕?csinA

=，?cX^^=3qi3,解得bc=24,又b-c=2,所以屋=Z?2+c2—

0=64,故

2bccosA=（b—c）2+2bc—2bccosA=22+2X24-2X24X

Q=8.

5.已知a,b,c分別為△A5C三個內(nèi)角A,B,。的對邊，a=2,

且(2十份(sinA—sin5)=(c—b)sinC,則△A5C面積的最大值為

答案小

解析因為a=2,所以(2+》)(sinA—sinB)=(c—Z?)sinC可化為(a

+Z>)(sinA—sinB)=(c—Z?)sinC,由正弦定理可得(a+Z?>(a—b)=(c—

尼+理一Q2T1

b)c,即〃+,一屋=兒，由余弦定理可得cosA==王二=5，

兀1Z?2-1-02—42bc—4

又0<Av?i,故A=g,因為COSA=2=2bc三—2bc-'所以bcW4,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.由三角形面積公式知SAABc=1^csinA=|

be卷=?bcW木,故△45C面積的最大值為小.

2兀

6.在△A5C中，a=3,b=^6,ZA=y,則N5=.

套口水案-4

解析由正弦定理扁=扁，得心=鳴>而5=當(dāng)，因為

S1DASIIIJD./兀sin/?Z

sinT

jr

a>b,所以N5=不

7.在△A5C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c.已知方

—c=^a,2sinB=3sinC,則cosA的值為.

套案一工

口水4

解析由2sinB=3sinC,結(jié)合正弦定理得2b=3c,

13

又b—c=%a,所以Z?=]c,a=2c.

"+c2__021

由余弦定理得

cosA=2bc4,

2XXc

8.△45。中，。是BC上的點，AD平分NBA。，△A3。面積是

AADC面積的2倍.

sinZB

⑴求

sinZC'

(2)若AO=1,DC=S求5。和AC的長.

解⑴S“BD=；ABAOsinN5A。,

S^ADc=^AC-ADsinZCAD.

因為S"BD=2SM℃,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC,

、一八、e-gSin/5AC1

由正弦定理可付sinNC=I^=5,

(2)因為SAABD:SAADC=BD：DC,所以BD=正.

在△45。和△ADC中，由余弦定理知，

AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB,

AC2=AD2+DCc-2ADDCcosZADC.

故AB2+2AG=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知A5=2AC,所以4C=1.

肥考點二解三角形及其綜合應(yīng)用

,層基礎(chǔ)點重難點

1三角形的面積公式

設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,對應(yīng)的三個角分別為4,B,C,其

面積為S.

(l)S=|a/z(/z為BC邊上的高)；

(2)S=]QbsinC=]Z?csiiiA=2〃csiiiB；

(3)5=27?2sinAsinBsinC(i?為△ABC外接圓半徑);

abc

(4)S=礪；

(5)S=\lp(p—a)(p-b)(p~c)[p=1(?+Z?+c)j；

(6)S=pr(p同(5),r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).

2解三角形在實際問題中的應(yīng)用

(1)常見的幾種題型

測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、

航海問題、物理問題等.

(2)實際應(yīng)用中的常用術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視

標(biāo)

/目

視

線所成的角中，目標(biāo)線

鉛

水

角

平

視線在水平視線上方垂

.線

視

角

仰角與俯角線

的叫做仰角，目標(biāo)視標(biāo)

/目

線

線在水平視線下方的視

叫做俯角

從某點的正北方向線

起按順時針方向到目北，

標(biāo)方向線之間的水平、135。東

方位角

夾角叫做方位角，方

位角的范圍是(0。，

360°)

正北或正南方向線與

北f北[

目標(biāo)方向線所成的銳

方向角

角，通常表達(dá)為北(南)

偏東(西)XX度北偏東小。南偏西廢

坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為a,坡度為i,

h

貝Ui=7=tana

坡面的垂直高度h和

坡度

水平寬度/的比^^3

M注意點應(yīng)用定理解題中要等價變形

任何等價變形中，一般兩邊不約公因式，應(yīng)移項提取公因式，以

免漏解.

ute小題快做；

1.思維辨析

(1)公式S=^Z?csinA=^acsinB=^absinC適用于任意三角

形.()

(2)東北方向就是北偏東45。的方向.()

(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角.()

(4)方位角大小的范圍是［0,271),方向角大小的范圍一般是

0^)

答案(1)V(2)V(3)X(4)X

2.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，

甲觀測的仰角為50°,乙觀測的仰角為40。，用功，必分別表示甲、

乙兩人離旗桿的距離,那么有()

A.B.d\<d2

C.di〉20mD.必<20m

答案B

2020

解析由(，及〉。可知，d\<di.

tan5r=htan4(T=7aztan5()otan40

3.已知△A5C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且c=巾,

8=加，5=120。，則△A5C的面積等于.

分案追

口木2

解析由余弦定理得（#）2="+（理）2—2/OCOS120。，即屋+也

4=0,因為。＞0,所以。=嫄，于是S"Bc=；acsin5=；X/X表

Xsin1200=^-.

（gg命題法解題法

於［考法綜述］正、余弦定理的應(yīng)用主要是與三角形面積有關(guān)的

題型，往往求某些量的取值范圍.另外一個應(yīng)用是求解實際問題.難

度中等.

命題法與三角形面積有關(guān)的問題和正、余弦定理的實際應(yīng)用

典例（1）在△A5C中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,

7T

c,若c2=（a—份2+6,c=y則△A5C的面積是（）

A.3B.空

C.呼D.373

（2）如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸'。的俯角

分別為67°,30°,此時氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于

（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：

sin67°^0.92,cos670^0.39,sin37°^0.60,cos370^0.80,小=1.73）

［解析］(1)在△ABC中，由已知條件及余弦定理可得c2=(a—6)2

.'一7T1

+6=a2+Z?2—2aZ?cosz,整理得ab=6,再由面積公式S=^absinC,

J乙

1兀3

得SZ\ABC=］X6Xsing=W^.故選C.

46

(2)AC=2X46=92,AB=—^,

在△A5C中，由正弦定理可知：

ABBC.…ABsin37°_

「=---------------------260

-si-n30-°=-si-n3-7°'Rsin30°ou,

［答案］(1)C⑵60

9【解題法】與三角形面積有關(guān)問題和應(yīng)用題的解題方法

(1)與三角形面積有關(guān)問題的常見類型及解題策略

①求三角形的面積.對于面積公式S=^absinC=^acsinB=

bcsinA,一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式.

②已知三角形的面積解三角形.與面積有關(guān)的問題，一般要利用

正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化.

(2)解三角形應(yīng)用題的常見情況及方法

①實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角

形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

②實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上

的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步

求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，

解方程(組)得出所要求的解.

(3)解三角形應(yīng)用題的一般步驟

1.鈍角三角形A5C的面積是;,4?=1,隹則4。=()

A.5B.小

C.2D.1

答案B

解析由題意知S^ABc=^ABBCsmB,

即:=；X1x/sinB,解得sinB=*.

.?.5=45?；?=135。.

當(dāng)5=45。時，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=I2+(^2)2-

2X1X正X害=1.

此時AG+A4MBC2,△A5C為直角三角形，不符合題意；

當(dāng)5=135。時，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=12+(^2)2-

2XlX^2X(^-^=5,解得47=小.符合題意.故選B.

2.已知△A3。的內(nèi)角A,B,。滿足sin2A+sin(A—5+0=sin(C

—A—或+g,面積S滿足1WSW2,記mb,c分別為A,B,。所對

的邊，則下列不等式一定成立的是()

A.Z?c(Z?+c)>8B.ab(a+b)>16小

C.6WabcW12D.12WabcW24

答案A

解析由sin2A+sin(A—5+O=sin(C—A—得，sin2A+

sin[A—(5—C)]+sin[A+(5—0]=；,所以sin2A+2sinAcos(B~O=|.

所以2sinA[cosA+cosCB—C)]=；,所以2sinA[cos(7i—(5+C))+cos(B

—Q]=^,所以2sinA[—cos(B+C)+cos(B—C)]=^,

即得sinAsiiLBsinC=J.根據(jù)三角形面積公式S=^absinC,①

oZ

S=；acsin5,②

S=；Z?csinA,③

因為1WSW2,所以1WWW①②③式相乘得1WS3=：

a2Z?2c2sinAsinBsinC^8,即64Wa2b2c2^512,所以8WaZ?cW16啦，故

排除C,D選項，而根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，故。+c〉a,得

反(b+c)>8一定成立，而a-\-b>c,Q/?(Q+Z?)也大于8,而不一定大于

16色，故選A.

JT

3.設(shè)△A3。的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且。=§，

a+b=X,若△A5C面積的最大值為9小，則7的值為()

A.8B.12

C.16D.21

答案B

解析&ABC=；Q加inC=?a0W乎[2=興?丸2=”^,當(dāng)且僅

當(dāng)a=。時取“="，解得12.

4.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時

測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達(dá)B

處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為30°,則此山的高度

CD=m.

D

答案100V6

解析依題意，ZBAC=30°,NA5C=105。.在△ABC中，由N

ABC+ZBAC+ZACB=180°,所以NAC5=45。，因為45=600m,

由正弦定理可得黑^=您3即30Mm.在RtABCD中，

All?SJLUDU

「力CD

因為NCfiZ)=30。，BC=300^2m,所以121130。=前=薪區(qū)，所以

CD=10(h/6m.

―?-?

jr

在△。中，已知當(dāng)時，△的面積

5.45AAAC=tanA,OABC

為.

較案-

口木6

->—>—>—>

解析由AAAC=tanA,可得|A和AC|cosA=tanA.

因為A=5,所以|45|以。卜乎=乎，即|ABMC|=m.

所以5AABC=1|AJB||AC|-sinA=1x|x|=1.

6.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,。的對邊，若

4.CL

△斗。的面積為則。的值等于_______.

COSB=T。,a=10,542,sin/i

答案16啦

31

解析依題意可得sinB=-j,又SAABC=^acsinB=42,則cb=

\Ja2+c2—2accosB=6A/2,所以“+就=》+熹=16啦?

7.甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60。的方向，兩船

相距Q海里的5處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的小倍，

甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東（填角度）的方向前

進(jìn).

答案30°

解析設(shè)兩船在。處相遇，則由題意NA5C=180。-60。=120。,

且前=小，

由正弦定理得

ACsin120。/.1

BC~sinZBAC~^3^SinZBAC~2-

又0。＜2瓦1。＜60。，所以N5AC=30。，60°-30°=30°.

8.在△人5。中，已知A5=2,AC=3,A=60°.

(1)求的長；

(2)求sin2C的值.

解(1)由余弦定理知，BC2=AB2+Ad2-2ABACcosA=4+9-

2X2X3x1=7,所以BC=yft.

小、上〒公…工用心匚匕?

(2)由正弦正理知，ABBC所以smC=A^B-s.inA=2s-i^n6―0°=

91_________-A

1廠.因為AB<BC,所以。為銳角，則cosC=\l1—sin2C=

2s

7-

因此sin2C=2sinC-cosC=2XX

△A5C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且5

為鈍角.

IT

⑴證明：B—A=2；

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

解⑴證明：由aftanA及正弦定理，得黑豈=嚼，所以

sinB=cosA,即sinBsin^+Aj

又5為鈍角，因此為+4￡性71故5=^+A,即A=5

2'兀，

n

(2)由(1)知，C=7i-(A+B)=7i-2A1=^—2A>0,所以

J2

。，卻

于是sinA+sinC=sinA+sin^—2Aj=sinA+cos2A=—2sin2A+

sinA+1=—2卜inA一；l2+i

因為0<A<?所以0<sinA<乎，因此

孚<-2卜inA-

4f+8^8-

'啦9

由此可知sinA+sinC的取值范圍是

2'8.

10.在△A5C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,已

兀1

知4=不tr—cr=^c1.

(1)求tanC的值；

(2)若△45。的面積為3,求b的值.

解⑴由〃—屋=/2及正弦定理得sin2B—1=1sin2C,所以一

cos2B=sin2C.

TT3

又由A=W，即5+。=邪，

得一cos2B=cos2庠一=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.

2\[5\[5

(2)由tanC=2,Ce(0,兀)得sinC=^-,cosC=^-.

又因為sinB=sin(A+C)=sin^+C),所以sinB=今限.由正弦定

理得。=亭仇

又因為4=不1~csinA=3,所以Z?c=6也，故5=3.

□.△A5C的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.向量次=(a,

小Z?)與〃=(cosA,sin5)平行.

⑴求4;

⑵若a=W，b=2,求△A3。的面積.

解⑴因為《/〃〃，所以asinB—小Z?cosA=0,

由正弦定理，得sinAsinB—小sinBcos4=0,

又sinBWO,從而tanA=小，

JT

由于0<4<九，所以4=5

(2)解法一：由余弦定理，得

屋=〃+c2-2bccosA,

及a=巾,Z?=2,A=?

得7=4+(?—2c,即c2—2c—3=0,

因為c>0,所以c=3.

故△ABC的面積為:AsinA：斗.

解法二：由正弦定理，得鼻=焉

sin3

從而sinB=等，

2市

又由a>Z?,知A>5,所以cosi?=^-.

故sinC=sin(A+5)=sin[5+§]=sini5cosw+cos_Bsin§=.

所以△45。的面積為上加inC=￥.

71

12.如圖，在△A5C中，/B=],A5=8,點。在5。邊上，且

CD=2,cosZADC=^.

(1)求sinZBAD；

(2)求5。，AC的長.

解⑴在△A。。中，因為cosNAZ)C=；,

所以sinZADC=^.

所以sinZBAD=sin(ZADC-ZB)=sinZADCcosB—cosZ

11

X--XV3

ADCsmB272-

8X

,A,?、E,口ABsinXBAD14

(2)在AA加□中，由正弦定理得&)=./4八〃.==值_=3

sinZADl54弋3

7

2

在△A5C中，由余弦定理得AGMA4+B。—

+52-2X8X5X|AC=7.

13.設(shè)△A5C的內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別是。，兒c,且8

=3,c=l,A=2B.

⑴求a的值;

(2)求sin1A+力的值.

解⑴因為A=25,所以sinA=sin25=2sin5cosA

〃2+理一呼

由正弦定理、余弦定理得a=2萬一百丁.

因為。=3,c=l,所以屋=12,a=25.

..、b~~\~c2—cr9+1—121.

(2)由余弦s定理仔cosA=----荻--=--------=-w.由于

0<A<TI,所以sinA="―cos2A=\11一三.故sin(A+^j=

sinAcos^+cosAsin^=

14.在△A5C中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且a>c.

1

已知5A5C=2,cos5=w，6=3.求:

(1)?和c的值；

(2)cos(5一。的值.

1

解(1)由545。=2,得cacosB5=w，所以ac=6.

由余弦定理，得"+c2=Z?2+2accosA

又8=3,所以/+C2=9+2X2=13.

QC=6,

解■<

得Q=2，c=3或Q=3,ca>c,所以Q=3,c

U2+c2=13,

=2.

(2)在△A5C中,sinB=^/l-cos2B=^1—[j,

由正弦定理，#sinC=pinJB=|x^^=^^.

因為Q=》>C,所以。為銳角，

因此cosC=AJ1—sin2C={1一2=^.

于是cos(B—C)=cosBcosC+sinBsinC

=17W2W2=23

一39丁39-27,

學(xué)霸錯題警示代數(shù)式化簡或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤

機(jī)在△A5C中，若（足十加/反瓜一砂=（/—〃）.sin（A+B）,試判斷

△ABC的形狀.

［錯解］

囚方(相十分)$譏(/1一認(rèn)(月十B)

河小比。九(/I十B)十dn(A—B)]=4:[“M/)十8)一

$譏(月-B)〕，

的漢加cosHsJ)10二/sjMcosB,

由正荏定理如a二2七譏義,任2心力護(hù)，

的漢S加*co^f\$力九0二”n?Bs譏4cosB,

又。n/l?sJnB壬0,衿隊s麻4cos/lw譏BcocB

的次s譏2/1二$譏20,的從2人二20,故44*.

衿從△的。石等腰芝4也.

[錯因分析]錯誤的原因是從兩個角的正弦值相等直接得到兩

角相等，忽略兩角互補(bǔ)的情形.

[正解]因為(4+孑/皿4一J5)=(Q2—Wsin(A+5),

所以Z?2[sin(A+B)+sin(A—B)]=屋[sin(A+5)—sin(A—B)].

所以crcosAsinB=Z?2sinAcosB.

解法一：由正弦定理知a=2EsinA,b=2RsmB,

所以sin2AcosAsinB=sin26sinAcosB.

又sinA-sinBWO,所以sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A=sin2B.

在△A5C中，0<2A<2TI,0<2B<2TI,

、、7T

所以2A=25或2A=兀-25,所以A=5或4+5=].

所以△45。為等腰或直角三角形.

解法二：由正弦定理、余弦定理得：

222

,加+。2一屋96f+c—Z7

ab2cb7cba2ac,

所以tz2(Z?2+c2—4i2)=b\a2+c2—Z?2),

所以（4一加乂屋十82-。2）=0,

所以a2—b2=0或?2+Z?2—c2=0,

即a=b或a2-\-b2=c2.

所以△A5C為等腰或直角三角形.

［心得體會］

/.劌幽三笈園呦狀宴對衿宿的邊省關(guān)泵式

迸竹轉(zhuǎn)化，夜之變方必含邊瓦R含否的式子然

后利幽.送童不要猙易兩邊同滁從一個式子.

2.應(yīng)劌漸芝笈母鈉狀時。定率法妥解是否

唯一，并送毒龍捻添金條件.石井，應(yīng)變也應(yīng)

41中要送妥匆A,P,C的兗詞對三笈西玄，瓦的

第響.

M課時撬分練

時間：60分鐘

基礎(chǔ)組

1.［2016?武邑中學(xué)月考］在△ABC中，若a=2b,面積記作S,則

下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.B>30°B.A=2B

C.c<bD.S^b2

答案D

解析由三角形的面積公式知S=^absinC=^2b-bsinC=Z?2sinC,

因為0<sinCWl,所以爐sinCW",即SW按，故選D.

2.［2016?冀州中學(xué)期末］△斗5。的內(nèi)角4、B、。的對邊分別為a、

b、c,若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a,則cosi?=（）

A.|B.乎

啦1

cD-

44

答案A

解析?:a,b,c成等比數(shù)列且c=2a,

=

??b2=cic2Q29

..力=誨。.由余弦定理的推論可得cos5=-^7^=（.故選A.

3.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)熱身]在△A5C中，角A,B,。所對的邊分別

為a,b,c,若a=y/2,b=2,sinB+cosB=y[2,則角A的大小為（）

A.60°B.30°

C.150°D.45°

答案B

解析由sinB+cos5=建得l+2sin5cos5=2,則sin2B=l,因

為0。<8<180。，所以5=45。，又因為a=^2,b=2,所以在△AJ5C

中，由正弦定理得、^4=sin45c>,解得si"=]，又a<b,所以A<8=

45°,所以A=30。.

4.[2016彳新水中學(xué)一輪檢測]在△A5C中，a,b,c分別為角A,

B,。所對的邊，若a=2bcosC,則此三角形一定是（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案C

解析解法一：因為a=2bcosC,所以由余弦定理得，a=

"+房一理

2b2b，整理得〃=。2,則此三角形一定是等腰三角形.

解法二：因為Q=2Z?COS。，由正弦定理得sinA=2sin5cos。，又A

+B+C=7i,故sinA=sin(B+C)=sin5cosC+cos5sinC=2siii8cosc得

sin(B-C)=0,又反CG(0,兀)，所以5=C

5.[2016彳斷水二中周測]在△A5C中，角A,B,。的對邊分別為

a,b,c,若A,B,。成等差數(shù)列,2a,2Z?,2c成等比數(shù)列，則cosAcosB

-)

1

-1

B-

A.46

12

C.乙5DQJ

答案A

JT

解析由已知得25=A+C,又A+C+B=TI,故B=q,又4加

TT

=4ac,則b2=ac,所以由余弦定理得加二層十。?一2accos§=ac,即

(?—c)2=0,故a=c,所以△A5C是等邊三角形，貝Icos4cos5=

cos60°Xcos60°=2.

6.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)仿真]某人向正東方向走％km后，向右轉(zhuǎn)150。,

然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點恰好是小km,那么％的值為

()

A.小B.2小

C./或2小D.3

答案C

解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB=%km,BC=3km,

AC=^3km,ZABC=30°,

由余弦定理，得(小)2=%2+32—2%3

cos30°,

整理得％2—34%+6=0,解得x=小或2小.

7.［2016彳斷水二中月考］在不等邊△A5C（三邊均不相等）中，三個

內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且有黑="則角。的大

COSr）a

小為.

較口木案-2

解析依題意得QCOSA=Z?COSS從而sinAcosA=sinBcosB,sin2A

JT

=sin2B,則2A=25或2A=7i—25,即或A+5=/,又△ABC

三邊均不相等，因此A+5=,C=f

8.［2016?武邑中學(xué)熱身］在△A5C中，角4,B,。的對邊分別為

a,b,c,A=1,a=@,若給定一個b的值使?jié)M足條件的三角形有

且只有一個，則》的取值范圍為.

答案（0,?。軺{2}

解析如圖1所示，當(dāng)a=Z?sinA,即小=bsin?b=2時，4ABC

為直角三角形，只有一個解；如圖2所示，當(dāng)心b時，即0<Z?W小時，

三角形有且只有一個.所以。的取值范圍為（0,小］U{2}.

9.［2016彳姮水二中期中］已知a,b,c分別是△A5C中角A,B,

。的對邊，a=45,b=6,cosA=—

⑴求c；

(2)求cos(2B的值.

解(1)在△A5C中，由余弦定理得，

?*2=Z?2+c2—2bccosA,代入數(shù)據(jù)得48=36+c2—2XcX6X

即c2+4c—12=0,(c+6)(c—2)=0,解得c—2或c——6(舍),c

⑵由cosA=—；＜0,得4為鈍角，且sinA=2^.

在△A5C中，由正弦定理，得—一=4，則sinB