2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型四“探究法”突破“幾何圖形折疊、裁剪問(wèn)題”(含答案)

2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型四“探究法”突破“幾何圖形折疊、裁剪問(wèn)題”(含答案)微專題折疊問(wèn)題滿分技法與折疊有關(guān)的計(jì)算常用性質(zhì)：(1)折疊問(wèn)題的本質(zhì)是全等變換與軸對(duì)稱，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形且關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱；(2)折痕可看作垂直平分線(對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分)；(3)折痕可看作角平分線(對(duì)應(yīng)線段所在的直線與折痕的夾角相等)．方法解讀1.折疊問(wèn)題常見(jiàn)的類(lèi)型有：2.折疊問(wèn)題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形；①線段相等：ED′＝________，EG＝________，F(xiàn)D′＝________，②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝________，③全等關(guān)系：四邊形FD′EG≌____________．3.折痕可看做垂直平分線：GF⊥________(折痕垂直平分連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線)；4.折痕可看做角平分線：∠EGF＝________(對(duì)稱線段所在的直線與折痕的夾角相等)．折法1折痕確定例1如圖，已知Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將直角邊AB沿直線AD折疊，使它落在斜邊AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例1題圖例2如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，此時(shí)CE交AD于點(diǎn)F，則CF∶EF＝________．【答題區(qū)】例2題圖滿分技法折疊方式確定，不需分類(lèi)討論，常用到的解題方法有：①勾股定理；②相似；③三角函數(shù)；④等面積法；例3如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，P，Q分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將矩形沿AE按如圖方式折疊，使點(diǎn)B落在PQ上的點(diǎn)G處，則折痕AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例3題圖例4如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，將直角邊AB沿BE折疊，使點(diǎn)A落在斜邊AC的點(diǎn)D處，再將邊BC沿BF折疊，使點(diǎn)C落在BD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C′處，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例4題圖滿分技法當(dāng)折疊后出現(xiàn)含30°，45°角的直角三角形時(shí)，可利用特殊三角形的性質(zhì)解題；折法2折痕過(guò)一動(dòng)點(diǎn)例5如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例5題圖滿分技法折疊中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常結(jié)合題設(shè)條件確定出滿足條件情況，畫(huà)出圖形，求值．例6如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，點(diǎn)P是AD上的點(diǎn)，且AP＝3，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿直線PE折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′，當(dāng)A′、B′、D共線時(shí)，BE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例6題圖滿分技法當(dāng)折疊方式不確定時(shí)，常產(chǎn)生多解問(wèn)題，可以通過(guò)關(guān)鍵條件，進(jìn)行分類(lèi)討論，畫(huà)出所有可能情況，把折疊方式不確定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為折疊方式確定問(wèn)題．折法3折痕過(guò)兩動(dòng)點(diǎn)例7如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12，P，Q分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△PBQ沿PQ所在直線折疊得到△PB′Q，連接AB′，則AB′的最小值為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例7題圖例8如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在AD，AB上，將紙片沿GH所在直線折疊，當(dāng)點(diǎn)A與線段EF的三等分點(diǎn)重合時(shí)，AH的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答題區(qū)】例8題圖類(lèi)型一幾何圖形折疊問(wèn)題典例精講例1（一題多設(shè)問(wèn))如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O.探究1：一次折疊(1)如圖①，點(diǎn)O恰好落在矩形的對(duì)稱軸上，若BC＝8，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例1題圖①探究2：二次折疊(2)如圖②，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在邊AD上的點(diǎn)F處，此時(shí)恰好B、O、F三點(diǎn)共線．則∠PBE＝________．例1題圖②探究3：三次折疊(3)將矩形ABCD按如圖③所示的方式折疊，若頂點(diǎn)A、C、D都落在點(diǎn)O處，則BC＝________．例1題圖③安徽近年真題精選1.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10.點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰好落在線段BF上的點(diǎn)H處．有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝eq\f(3,2)S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正確的是______________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)第1題圖針對(duì)訓(xùn)練2.一張矩形紙片的長(zhǎng)為m，寬為n(m＞3n)，先在其兩端分別折出兩個(gè)正方形(ABEF、CDGH)后展開(kāi)，如圖①，再分別將長(zhǎng)方形ABHG、CDFE對(duì)折，折痕分別為MN、PQ，如圖②.第2題圖(1)四邊形EFMN和四邊形QPGH的面積之和為_(kāi)_______；(2)MP＝________．3.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是分別是AB、BC上的一點(diǎn)，以EF、CE、FG為對(duì)稱軸將△AEF、△CDE和△BFG折疊，得到△A′EF、△CD′E和△B′FG，且點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合，點(diǎn)B′落在A′C上．第3題圖(1)A′E和B′G的位置關(guān)系為_(kāi)_______；(2)若∠A＝60°，則eq\f(S△A′CE,S△B′FG)的值為_(kāi)_______．4.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿EF折疊，使點(diǎn)A落在A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，A′B′交BC于G.以下結(jié)論：①當(dāng)A′為CD中點(diǎn)時(shí)，△A′DE三邊之比為3∶4∶5；②當(dāng)△A′DE三邊之比為3∶4∶5時(shí)，A′為CD中點(diǎn)；③當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，△A′CG周長(zhǎng)不變；④當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，A′G＝A′D＋BG一定成立．其中正確的有________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))第4題圖類(lèi)型二幾何圖形裁剪問(wèn)題典例精講例2（一題多設(shè)問(wèn))如圖①，有兩張同樣大小的紙片ABCD，已知AB＝4.例2題圖①探究1：折疊后還原(1)如圖②，將第一張紙片按如圖所示折疊，使得點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′、C′落在矩形的對(duì)角線BD上，當(dāng)A′、C′恰好重合時(shí)，原矩形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．例2題圖②探究2：展開(kāi)后裁剪(2)如圖③，將第二張紙片沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，設(shè)B′C交AD于點(diǎn)E，剪去△AB′E和△DEC.例2題圖③①雙層△AEC展開(kāi)為_(kāi)_______；(填“平行四邊形”、“矩形”、“菱形”或“正方形”)②∠AEC的度數(shù)為_(kāi)_______．③如圖④，P、Q分別是AE、CE上的點(diǎn)，點(diǎn)G、H為AC邊上兩點(diǎn)，沿GPQH裁剪并展開(kāi)，要使展開(kāi)圖為邊長(zhǎng)1∶eq\r(3)的矩形，則此矩形的面積為_(kāi)_______．例2題圖④安徽近年真題精選1.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)，分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖所示的四邊形ABCD，且AB⊥BC，CD⊥AC，其中AB＝2，BC＝4，CD＝3，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是()A.10B.4eq\r(5)C.10或4eq\r(5)D.10或2eq\r(17)第1題圖2.在三角形紙片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm.將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD(如圖①)，剪去△CDE后得到雙層△BDE(如圖②)，再沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形．則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.第2題圖針對(duì)訓(xùn)練3.如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝120°，沿過(guò)菱形不同頂點(diǎn)的直線裁剪該菱形兩次，再將所裁下的圖形拼接．若所得部分恰好能無(wú)縫、無(wú)重疊的拼接成一個(gè)矩形，則所得矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第3題圖4.如圖①，將一個(gè)寬為4cm的矩形紙片沿圖中的虛線對(duì)折再展開(kāi)，然后按圖②的方式沿AF對(duì)折，使點(diǎn)B落在圖①所得折線上的點(diǎn)E處，沿AE、EF剪開(kāi)，得到雙層△AEF，再沿過(guò)△AEF的某個(gè)頂點(diǎn)的直線將三角形剪開(kāi)，展開(kāi)后若得到的四邊形中有一個(gè)是菱形，則菱形的面積為_(kāi)_______cm2.第4題圖參考答案微專題折疊問(wèn)題2.①AD，AG，F(xiàn)D；②∠D，∠DAG；③四邊形FDAG；3.AE；4.∠AGF.例13【解析】勾股定理；根據(jù)題意可得，AC＝10，由折疊的性質(zhì)可知，AB＝AE＝6，∴CE＝4，設(shè)BD＝x，則DE＝BD＝x，DC＝8－x，在Rt△EDC中，DE＝eq\r(CD2－CE2)，即x＝eq\r(（8－x）2－42)，解得x＝3，∴BD的長(zhǎng)為3.一題多解解法二：相似；根據(jù)題意可得，AC＝10，由折疊的性質(zhì)可知，DE＝BD，AB＝AE＝6，∴CE＝4，∠AED＝∠ABD＝∠CED＝90°，∠C＝∠ECD，∴△CED∽△CBA，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(DE,AB)，即eq\f(4,8)＝eq\f(DE,6)，解得DE＝3，∴BD的長(zhǎng)為3.解法三：等面積法．根據(jù)題意可得，AC＝10，由折疊的性質(zhì)可知，DE＝BD，AB＝AE＝6，∠AED＝∠ABD＝∠CED＝90°，∴S△ADC＝eq\f(1,2)AB·DC＝eq\f(1,2)AC·DE，即eq\f(1,2)×6×(8－DE)＝eq\f(1,2)DE×10，解得DE＝3，∴BD＝3.例2eq\f(25,7)【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CE＝BC＝4，AE＝AB＝CD＝3，∠ABC＝∠AEC＝∠CDF＝90°，∴在△AEF和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠CFD，,∠AEF＝∠CDF，,AE＝CD，))，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴AF＝CF，EF＝DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理可得，CF2＝CD2＋DF2，即CF2＝CD2＋(CE－CF)2，CF2＝32＋(4－CF)2，解得CF＝eq\f(25,8)，∴EF＝CE－CF＝4－eq\f(25,8)＝eq\f(7,8)，∴CF∶EF＝eq\f(25,7).例32eq\r(3)【解析】根據(jù)題意可知，∵P是AB的中點(diǎn)，∴AP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB＝AG＝3，∴在Rt△APG中，cos∠PAG＝eq\f(AP,AG)＝eq\f(\f(3,2),3)＝eq\f(1,2)，∴∠PAG＝60°，∵∠BAE＝∠GAE＝eq\f(1,2)∠PAG＝30°，∴在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，∴AE＝eq\f(AB,cos30°)＝2eq\r(3).例4eq\f(18,5)【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，BD＝AB＝3，C′B＝BC＝4，∠ABE＝∠DBE，∠BCF＝∠BC′F，BE⊥AC，∴C′D＝BC′－BD＝4－3＝1，∠DBE＋∠C′BF＝∠ABE＋∠CBF，∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，∠EFB＝45°，∴∠CFB＝∠C′FB＝135°，∴∠C′FD＝135°－45°＝90°，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BE，∴AB·BC＝AC·BE，∵根據(jù)勾股定理求得AC＝5，∴BE＝eq\f(12,5)，∴EF＝BE＝eq\f(12,5)，ED＝AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(32－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴AD＝2×eq\f(9,5)＝eq\f(18,5).例52eq\r(17)－2【解析】如解圖，點(diǎn)B′在以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B′、E共線時(shí)，B′D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB′F，∴EB′＝EB，∴EB′⊥B′F，∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝8，∴DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝eq\r(82＋22)＝2eq\r(17)，∴B′D最小值為2eq\r(17)－2.例5題解圖例61或5【解析】∵點(diǎn)E是BC上動(dòng)點(diǎn)，∴根據(jù)折疊后點(diǎn)B′與點(diǎn)D是否重合分兩種情況討論：①如解圖①，當(dāng)A′、B′、D三點(diǎn)共線時(shí)，在Rt△A′PD中，由折疊性質(zhì)可知，A′P＝AP＝3，∴DP＝5.由勾股定理可知A′D＝4，在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠CMD＝∠ADM，∴△CDM∽△A′PD，∴eq\f(MD,DP)＝eq\f(CD,A′P)，∴eq\f(MD,5)＝eq\f(4,3)，∴MD＝eq\f(20,3)，∴B′M＝DB′－MD＝eq\f(4,3)，∵△B′EM∽△A′PD，∴eq\f(A′D,B′M)＝eq\f(A′P,B′E)，∴B′E＝1，∴BE＝1；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)B′、D重合時(shí)，由折疊性質(zhì)可知，A′P＝AP＝3，A′B′＝AB，∠A′＝∠A＝90°，∠A′B′E＝∠ABE＝90°，∴A′B′＝CD，∠A′＝∠C＝90°，∠A′DP＝∠EDC，∴△A′DP≌△CDE，∴CE＝A′P＝AP＝3，∴BE＝5.綜上所述，BE長(zhǎng)為1或5.圖①圖②例6題解圖例73【解析】如解圖，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合且PQ恰好為∠ACB的平分線時(shí)，AB′有最小值．∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12，∴AC＝15，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，BQ＝B′Q，∵AB′＋B′Q＋QC≥AC，∴AB′＋BQ＋QC≥AC，即AB′＋12≥AC，∴AB′≥3，∴AB′的最小值為3.例7題解圖例8eq\f(13,6)或eq\f(25,6)【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AD＝BC＝AB＝CD＝6，∠A＝90°.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝DF＝CF＝3，∴四邊形AEFD是矩形，∴AD＝EF＝6，如解圖①，當(dāng)EM＝eq\f(1,3)EF＝2時(shí)，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AH＝HM，在Rt△HEM中，根據(jù)勾股定理可知，HM2＝HE2＋EM2，∴AH2＝(3－AH)2＋4，解得AH＝eq\f(13,6)；如解圖②，當(dāng)EM＝eq\f(2,3)EF＝4時(shí)，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AH＝HM，在Rt△EHM中，根據(jù)勾股定理可知，HM2＝HE2＋EM2，∴AH2＝(AH－3)2＋16，∴AH＝eq\f(25,6).例8題解圖類(lèi)型一幾何圖形折疊問(wèn)題典例精講例1(1)3【解析】如解圖①，由折疊的性質(zhì)可知，PO⊥BD，PO＝AP，∴△POD∽△BAD，eq\f(PO,BA)＝eq\f(PD,BD)，已知AB＝6，BC＝8，∴BD＝10，設(shè)AP＝OP＝x，則PD＝8－x，∴eq\f(x,6)＝eq\f(8－x,10)，解得x＝3，即AP＝3；例1題解圖①(2)45°【解析】由折疊的性質(zhì)可知，∠CBE＝∠FBE，∠ABP＝∠OBP，又∵∠ABC＝∠CBE＋∠FBE＋∠ABP＋∠OBP＝90°＝2∠FBE＋2∠OBP，∴2(∠FBE＋∠OBP)＝∠ABC＝90°，∴∠PBE＝∠FBE＋∠OBP＝45°.(3)6eq\r(2)【解析】由折疊的性質(zhì)可知，DE＝OE，CE＝OE，OB＝AB，∴OB＝6，OE＝CE＝DE＝3，∴BE＝9，BC＝eq\r(BE2－CE2)＝eq\r(92－32)＝6eq\r(2).安徽近年真題精選1.①③④【解析】由折疊的性質(zhì)得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×90°＝45°，故①正確；由折疊的性質(zhì)得，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，∴HF＝BF－BH＝4，在Rt△ABF中，AF＝eq\r(BF2－BA2)＝8，設(shè)GH＝x，則GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG＝3，同理在Rt△FDE中，F(xiàn)D＝2，ED＝6－EF，由FD2＝EF2－ED2得EF＝eq\f(10,3)，∴ED＝eq\f(8,3)，∴eq\f(ED,FD)＝eq\f(4,3)≠eq\f(AB,AG)＝2，∴△DEF與△ABG不相似，故②不正確；∵S△ABG＝eq\f(1,2)×3×6＝9，S△FGH＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴eq\f(S△ABG,S△FGH)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，即S△ABG＝eq\f(3,2)S△FGH，故③正確；∵AG＝3，DF＝2，F(xiàn)G＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，故④正確．2.mn－3n2；n【解析】(1)由折疊的性質(zhì)可知，AF＝AB＝CD＝GD＝n，∴FG＝m－2n，AG＝DF＝m－n.由折疊可得，DP＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(1,2)(m－n)，AM＝eq\f(1,2)AG＝eq\f(1,2)(m－n)，∴FM＝AM－AF＝eq\f(1,2)(m－n)－n＝eq\f(m－3n,2)，PG＝DP－GD＝eq\f(m－3n,2)，∵四邊形EFMN和四邊形QPGH是矩形，∴S矩形EFMN＋S矩形QPGH＝2·eq\f(m－3n,2)·n＝mn－3n2；(2)由(1)可得，MP＝AD－2FM－2AF＝m－2·eq\f(m－3n,2)－2n＝n.3.A′E∥B′G，eq\f(25,9)【解析】由折疊的性質(zhì)知∠EA′F＝∠A，∠FB′G＝∠B，又∵四邊形ABCD是菱形，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠EA′F＋∠FB′G＝180°，則∠EA′B′＝∠FB′G，∴A′E∥B′G；(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H.設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，設(shè)AF＝A′F＝a，則FC＝a＋2，BF＝2－a，BH＝1，F(xiàn)H＝3－a，CH＝eq\r(3).在Rt△FCH中，由FC2＝FH2＋CH2，得(a＋2)2＝(3－a)2＋(eq\r(3))2，解得：a＝0.8，故FB＝FB′＝2－a＝1.2.由題意可知∠CEF＝∠EFG＝90°，∴CE∥FG，∴△A′CE∽△B′FG，∴eq\f(S△A′CE,S△B′FG)＝(eq\f(CA′,FB′))2＝(eq\f(2,1.2))2＝eq\f(25,9).第3題解圖4.①③④【解析】∵A′為CD中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴AD＝8，A′D＝eq\f(1,2)CD＝4，∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)得A′E＝AE，∴設(shè)A′E＝AE＝x，則DE＝8－x，∵在Rt△A′DE中，A′D2＋DE2＝A′E2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴A′E＝5，DE＝3，∴當(dāng)A′為CD中點(diǎn)時(shí)，△A′DE三邊之比為3∶4∶5，故①正確；當(dāng)△A′DE三邊之比為3∶4∶5時(shí)，設(shè)A′D＝3a，DE＝4a，A′E＝5a，則AE＝A′E＝5a，∵AD＝AE＋DE＝8，∴5a＋4a＝8，解得a＝eq\f(8,9)，∴A′D＝3a＝eq\f(8,3)，A′C＝CD－A′D＝8－eq\f(8,3)＝eq\f(16,3)，∴A′D≠A′C，∴此時(shí)點(diǎn)A′不是CD的中點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥A′G，垂足為點(diǎn)H，連接AA′，AG，則∠AHA′＝∠AHG＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠EA′G＝∠EAB＝90°，A′E＝AE，∴∠EA′A＋∠AA′G＝90°，∠EA′A＝∠EAA′，∵∠D＝90°，∴∠EAA′＋∠DA′A＝90°，∴∠AA′G＝∠AA′D，在△AA′D與△AA′H中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠AHA′,∠AA′D＝∠AA′H,AA′＝AA′))，∴△AA′D≌△AA′H(AAS)，∴AD＝AH，A′D＝A′H，又∵AD＝AB，∴AH＝AB，在Rt△ABG與Rt△AHG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AH,AG＝AG))，∴Rt△ABG≌Rt△AHG(HL)，∴HG＝BG，∴C△A′CG＝A′C＋A′G＋CG＝A′C＋A′H＋HG＋CG＝A′C＋A′D＋BG＋CG＝CD＋BC＝8＋8＝16，∴當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，△A′CG周長(zhǎng)不變，故③正確；∵△AA′D≌△AA′H，△ABG≌△AHG，∴A′D＝A′H，BG＝HG，∴A′G＝A′H＋HG＝A′D＋BG，故④正確．第4題解圖類(lèi)型二幾何圖形裁剪問(wèn)題典例精講例2(1)8＋8eq\r(3)【解析】如解圖①，當(dāng)A′、C′恰好重合時(shí)BD＝AB＋CD＝8，∴AD＝4eq\r(3)，∴矩形的周長(zhǎng)為2(AD＋AB)＝8＋8eq\r(3).例2題解圖①(2)①菱形【解析】由折疊的性質(zhì)可知，AB′＝CD，∠D＝∠B′，∠CED＝∠AEB′，∴△CED≌△AEB′，∴AE＝CE，∴展開(kāi)后四條邊均相等，即是菱形；②120°【解析】由(1)知，BC＝4eq\r(3)，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,4\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝30°，由①得AE＝CE，∴∠ECA＝∠EAC＝30°，∴∠AEC＝120°；例2題解圖②③eq\f(16,3)eq\r(3)或4eq\r(3)【解析】由(2)②知，∠E＝120°，∴∠CAE＝30°，由②可知，AC＝8，AE＝CE＝eq\f(8,3)eq\r(3)，如解圖③，當(dāng)展開(kāi)圖為邊長(zhǎng)1：eq\r(3)的矩形時(shí)，有兩種情況滿足，情況一：P1Q1∶P1G1＝2eq\r(3)∶1，此時(shí)設(shè)P1G1＝x，則P1Q1＝G1H1＝2eq\r(3)x，AG1＝4－eq\r(3)x，tanA＝eq\f(P1G1,AG1)＝eq\f(\r(3),3)，∴x＝eq\f(2,3)eq\r(3)，此時(shí)展開(kāi)矩形的邊長(zhǎng)分別為eq\f(4,3)eq\r(3)和4，面積為eq\f(16,3)eq\r(3)；情況二：P2Q2∶P2G2＝2∶eq\r(3)，設(shè)P2G2＝eq\r(3)x，則P2Q2＝G2H2＝2x，AG2＝4－x，tanA＝eq\f(P2G2,AG2)＝eq\f(\r(3),3)，∴x＝1，此時(shí)展開(kāi)矩形的邊長(zhǎng)分別為2和2eq\r(3)，面積為4eq\r(3).例2題解圖③安徽近年真題精選1.C【解析】情況一：如解圖①，由題意可得，AC∥DE，又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴CE＝BE＝4，AC＝2DE＝6，BC＝8，利用勾股定理可得AB＝10；情況二：如解圖②，GI∥KJ，又∵點(diǎn)J是HG的中點(diǎn)，∴KJ是△HGI的中位線，∴HK＝KI＝4，GI＝2KJ＝4，HI＝8，利用勾股定理可得GH＝4eq\r(5).第1題解圖2.40或eq\f(80\r(3),3)【解析】在Rt△ABC中，AC＝30，∠C＝30°，可得AB＝BE＝AC·tanC＝30×tan30°＝10eq\r(3)，由折疊的性質(zhì)可知∠ABD＝∠EBD＝30°，∴在Rt△ABD中，AD＝10，∴AD＝DE＝10，CD＝20.(1)如解圖①所示，當(dāng)沿過(guò)E點(diǎn)的直線剪開(kāi)，展開(kāi)后所得平行四邊形是以AD和DE為鄰邊的平行四邊形ADEF時(shí)，∵AD＝DE＝10，∴所得平行四邊形ADEF的周長(zhǎng)為4AD＝40；(2)如解圖②所示，當(dāng)沿過(guò)D點(diǎn)的直線剪開(kāi)，展開(kāi)后所得平行四邊形是以∠ABE為頂角，BD為對(duì)角線的平行四邊形DFBG時(shí)，由折疊的性質(zhì)可得DG＝DF，DF∥AB，∴DF∶AB＝CD∶CA＝2∶3，∵AB＝10eq\r(3)，∴D