九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題06相似三角形的基本模型(子母型)(原卷版+解析)(人教版)

專題06相似三角形的基本模型（子母型）【模型說明】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；【例題精講】例1．（基本模型1）（1）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，求證：；（2）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，，，，求的值；（3）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的值．例2．（基本模型）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，平分在延長(zhǎng)線上，且，若，，則的長(zhǎng)為．例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為．例5．（最值問題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F在邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)，且滿足BE=CF，連接AE，BF交于點(diǎn)G，連接CG，則CG的最小值為；當(dāng)CG取最小值時(shí)，CE的長(zhǎng)為例6．（與圓綜合）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)，直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．弦平分，交直徑于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）探究線段，之間的大小關(guān)系，并加以證明；（3）若，，求的長(zhǎng)．例7．（與函數(shù)綜合）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式．課后訓(xùn)練1．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．3．如圖，在等邊三角形的邊上各取一點(diǎn)P，Q，使，相交于點(diǎn)O，若，，則的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長(zhǎng)是．5．如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，分別連接BD、AE交于點(diǎn)F．若∠BFE＝45°，則CE＝．7．在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．（3）連接，當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．8．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延長(zhǎng)交AD于F．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）求證：；（3）若，，求PA的長(zhǎng)．9．（1）問題感知如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，點(diǎn)P是邊AC的中點(diǎn)，連接BP，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．連接AD．過點(diǎn)P作PE∥AB交BC于點(diǎn)E，則圖中與△BEP全等的三角形是，∠BAD＝°；（2）問題拓展如圖2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，點(diǎn)P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BP，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段PD，使得∠BPD＝∠C，連接AD，則線段CP與AD之間存在的數(shù)量關(guān)系為CP＝AD，請(qǐng)給予證明；（3）問題解決如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，點(diǎn)P在直線AC上，且∠APB＝30°，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段PD，連接AD，請(qǐng)直接寫出△ADP的周長(zhǎng)．10．如圖1，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．(1)求的長(zhǎng)．(2)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)如圖2，將本題改為點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．

專題06相似三角形的基本模型（子母型）【模型說明】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；【例題精講】例1．（基本模型1）（1）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，求證：；（2）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，，，，求的值；（3）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）要證，可證，根據(jù)可得，即可證得；（2）根據(jù)，，可得到，從而求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度，得到的值；（3）根據(jù)，可得到，可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)已知條件證得即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴．(2)解：如解圖，與交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，解得，∴；（3）解：如解圖，∵，，∴，∴，∴，解得，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵．例2．（基本模型）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②【分析】（1）由已知易證，利用可求得AD的長(zhǎng)；（2）①由（1）和已知易證，進(jìn)而證得；②過作，與的延長(zhǎng)線交于，易證：、和均為等腰三角形，進(jìn)而得到AC=BG，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可得證．【詳解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②過作，與的延長(zhǎng)線交于，∵，∴，∴、和均為等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)借助作平行線，用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解決問題是解答的關(guān)鍵．例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，平分在延長(zhǎng)線上，且，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】通過證，得到求出BF=2，，，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到∠BAD=∠DFC，從而證CFD∽CAB，得到，將證得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，DE=BD∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD∴∠DBC=∠AED如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE則在與中，∴∴AE=BF=2，，∴CF=BC-BF=8-2=6∵∠BAD=，∠DFC=∴∠BAD=∠DFC又∵∠C=∠C∴CFD∽CAB∴∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∠BAD=∠DFC∴∵∴∴DF=FC=6，則AD=DF=6∴CA=6+CD又∵CF=6，BC=8∴解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是中考綜合性題目，而且還要會(huì)解一元二次方程，用方程法解幾何問題．解答此題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系．例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】在CD上取點(diǎn)F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.例5．（最值問題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F在邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)，且滿足BE=CF，連接AE，BF交于點(diǎn)G，連接CG，則CG的最小值為；當(dāng)CG取最小值時(shí)，CE的長(zhǎng)為【答案】2-2；；【分析】在正方形中，易證，可得，則點(diǎn)的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，因此當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，根據(jù)勾股定理可得的最小值為，根據(jù)，則有可得，得到：，則，設(shè)，則，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合題意，舍去），從而得到的長(zhǎng)為．【詳解】解：如圖示：在正方形中，在和中，，，∴∵∴即有：點(diǎn)的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，因此當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，∵,∴∴，∴的最小值為，∵∴∴∴∴,設(shè)，則，∴，∴又∵，，∴∴,即：解之得：，（不合題意，舍去），∴，故答案是：，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（與圓綜合）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)，直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．弦平分，交直徑于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）探究線段，之間的大小關(guān)系，并加以證明；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，則AD∥OC，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及平行線的性質(zhì)即可證得；（2）根據(jù)圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)定理證明∠PFC=∠PCF，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；（3）證明△PCB∽△PAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB與PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．【詳解】解：（1）連接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，∴∠OCP=∠D=90°，∴OC∥AD．∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）PC=PF．證明：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．∴∠PFC=∠PCF．∴PC=PF．（3）連接AE．∵∠ACE=∠BCE，∴，∴AE=BE．又∵AB是直徑，∴∠AEB=90°．AB=BE＝10，∴OB=OC=5．∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，∴△PCB∽△PAC．∴．∵tan∠PCB=tan∠CAB=．∴．設(shè)PB=3x，則PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0，x2＝．∵x＞0，∴x＝，∴PF=PC=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．例7．（與函數(shù)綜合）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式．【答案】（1）直線的解析式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為；；（3）．【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)D作軸于E，則．求得AB=5，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，ED=x，證明，由相似三角形的性質(zhì)求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，將L′的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，設(shè)，則是方程的兩根，得到，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，，可求得m的值，即可求得L′的函數(shù)解析式．【詳解】（1）在中，令，則，解得，∴．令，則，∴．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）如圖，過點(diǎn)D作軸于E，則．∵，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴．∵，∴，∴，∴，∴．而，∴，∵，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，的最大值為．，∴．（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，聯(lián)立，∴，整理，得：，設(shè)，則是方程的兩根，∴．而A為的中點(diǎn)，∴，∴，解得：．∴拋物線的解析式．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．課后訓(xùn)練1．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算可知，結(jié)合定理兩邊成比例且夾角相等的三角形相似證明△PQC∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；連接AD，根據(jù)PQAB和點(diǎn)D在∠BAC的平分線上可證∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分別表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12．∵＝＝，＝＝，∴＝．∵∠C＝∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ＝∠B，∴PQAB；連接AD，∵PQAB，∴∠ADQ＝∠DAB．∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ，∴AQ＝DQ．∵PD＝PC＝3x，QC=4x∴在Rt△CPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵．2．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接，∴∵，，∴，∴，，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．3．如圖，在等邊三角形的邊上各取一點(diǎn)P，Q，使，相交于點(diǎn)O，若，，則的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】證明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP為60°角，再證△AOP相似于△BAP，通過對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AP長(zhǎng)；過A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通過勾股定理得到等式，求出OG長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．【詳解】∵在△AQC和△BAP中，∴∵∴過作的垂線與OP交于點(diǎn)G，在△中，設(shè)OG=x，則AO=2x，在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2，∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=，，故答案為：4，．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長(zhǎng)是．【答案】【分析】取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝MH，連接AG，先證出四邊形ABNM是正方形，利用SAS證出ABG≌AMH，再利用SAS證出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行證出AHM∽AFD，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝MH，連接AG，∵點(diǎn)M，點(diǎn)N是AD，BC的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵AD∥BC，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵AB＝AM＝4，∴四邊形ABNM是菱形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴ABG≌AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE∴AEG≌AEH（SAS）∴EH＝GE，∴EH＝2+MH，在RtHEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝∵M(jìn)N∥CD，∴AHM∽AFD，∴∴DF＝×＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，此題難度較大，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過點(diǎn)F作FH⊥AC于H，則∽，設(shè)FH為x，由已知條件可得，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的長(zhǎng)．【詳解】如解圖，過點(diǎn)作于，∵，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∽∴∴，設(shè)為，則，由勾股定理得，又∵，∴，則，∵且，∴∽，∴，即，解得，∴．∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作垂直，構(gòu)造相似三角形．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，分別連接BD、AE交于點(diǎn)F．若∠BFE＝45°，則CE＝．【答案】．【分析】過點(diǎn)A，B分別作BC，AC的平行線交于點(diǎn)K，則四邊形ACBK為矩形，過點(diǎn)A作AM∥DB交KB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AM交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作BC的平行線分別交AC，KB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，Q，則四邊形CHBQ為矩形，證明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，證明△ACE∽△AHN，可求出CE的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)A，B分別作BC，AC的平行線交于點(diǎn)K，則四邊形ACBK為矩形，過點(diǎn)A作AM∥DB交KB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AM交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作BC的平行線分別交AC，KB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，Q，則四邊形CHBQ為矩形，∵∠BFE＝45°，AM∥BD，∴∠BFE＝∠MAN＝45°，∴△AMN為等腰直角三角形，∴AM＝MN，∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，∴∠NMQ＝∠MAK，又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，∴△AKM≌△MQN（AAS），∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，∵D為AC的中點(diǎn)，AC＝6，∴AD＝DC＝BM＝3，∴MK＝NQ＝3，∴BQ＝CH＝5，∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，∵CE∥HN，∴△ACE∽△AHN，∴，即，∴CE＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．（3）連接，當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）3；（2）；（3）或1【分析】（1）由，得，又，得，得即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，四邊形是矩形，，可證，得，設(shè)，，利用線段和差即可得到；（3），，推出，當(dāng)與相似時(shí)，分類討論①若，推出，，，求得，②若，設(shè)與交于點(diǎn)，由，，知，可證△AEO∽△ABC，利用性質(zhì)可求，，綜上所述，線段的長(zhǎng)為或1時(shí)與相似．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴2x-y=4,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∴．（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)與相似時(shí)，①若，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵設(shè)，，，∴．②若，設(shè)與交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵AB=4，BC=3，則AC=5，設(shè)，由EO∥BC∴△AEO∽△ABC∴即則，，∴，∴，∴，，∴，綜上所述，線段的長(zhǎng)為或1時(shí)與相似．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．8．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延長(zhǎng)交AD于F．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）求證：；（3）若，，求PA的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得證；（3）先根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，又根據(jù)圓周角定理、正切三角函數(shù)可得，然后設(shè)，由題（2）的結(jié)論可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】（1）如圖，連接OC由圓周角定理得：，即，即又是⊙O的半徑PC是⊙O的切線；（2）如圖，連接BC由圓周角定理得：在和中，即；（3），即由圓周角定理得：又在和中，，即或（不符題意，舍去），即解得，設(shè)，則由（2）可知，，即又由（2）可知，，即解得或經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，是所列方程的增根故PA的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用圓周角定理找出兩個(gè)相似三角形，從而求出AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．9．（1）問題感知如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，點(diǎn)P是邊AC的中點(diǎn)，連接BP，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．連接AD．過點(diǎn)P作PE∥AB交BC于點(diǎn)E，則圖中與△BEP全等的三角形是，∠BAD＝°；（2）問題拓展如圖2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，點(diǎn)P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BP，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段PD，使得∠BPD＝∠C，連接AD，則線段CP與AD之間存在的數(shù)量關(guān)系為CP＝AD，請(qǐng)給予證明；（3）問題解決如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，點(diǎn)P在直線AC上，且∠APB＝30°，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段PD，連接AD，請(qǐng)直接寫出△ADP的周長(zhǎng)．【答案】（1）△PAD，90；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）由“SAS”可證△PAD≌△BEP，可得∠PAD=∠BEP=135°，依據(jù)∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；（2）過點(diǎn)P作PH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由“SAS”可證△APD≌△HBP，可得PH=AD，通過證明△CAB∽△CPH，可得，即可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】證明：（1）∵點(diǎn)P是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AB，∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AC＝BC，∴BE＝AP，∵將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．∴PB＝PD，∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP+∠BPC＝90°，∴∠EBP＝∠APD，又∵PB＝PD，∴△PAD≌△BEP（SAS），∴∠PAD＝∠BEP，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵PE∥AB，∴∠ABC＝∠PEC＝45°，∴∠BEP＝135°，∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，故答案為：△PAD，90；（2）如圖，過點(diǎn)P作PH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴∠CBA＝∠CHP，∠