北京市海淀區(qū)交大附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

北京市海淀區(qū)交大附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若,,則()A. B. C. D.2.某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(fèi)(元)滿足關(guān)系,已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表:月份用氣量煤氣費(fèi)一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣,則其煤氣費(fèi)為()元A. B. C. D.3.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值是()A. B.0 C.1 D.24.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知是圓的一條弦,,則()A. B. C. D.與圓的半徑有關(guān)6.已知數(shù)列滿足,且,其前n項(xiàng)之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是()A.5 B.6 C.7 D.87.圓,那么與圓有相同的圓心,且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程是().A. B.C. D.8.已知三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是,若則的面積等于()A. B. C. D.9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1+a3=6,S4=16,則a4=()A.6 B.7 C.8 D.910.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2 B.4 C.6 D.8二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知是等比數(shù)列,且,,那么________________.12.已知點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)在軸上,若的值最小,則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.13.中,,,,則________.14.已知圓及點(diǎn),若滿足:存在圓C上的兩點(diǎn)P和Q,使得,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.15.在矩形中,,現(xiàn)將矩形沿對(duì)角線折起,則所得三棱錐外接球的體積是________.16.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),從“到”,左邊需增乘的代數(shù)式是___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.如圖,在四棱錐中,,側(cè)面底面.(1)求證:平面平面;(2)若,且二面角等于,求直線與平面所成角的正弦值.18.設(shè)是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求.19.已知函數(shù),,(,為常數(shù)).(1)若方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若的圖像與軸有3個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)記,若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.為了了解當(dāng)下高二男生的身高狀況,某地區(qū)對(duì)高二年級(jí)男生的身高(單位:)進(jìn)行了抽樣調(diào)查,得到的頻率分布直方圖如圖所示.已知身高在之間的男生人數(shù)比身高在之間的人數(shù)少1人.(1)若身高在以內(nèi)的定義為身高正常,而該地區(qū)共有高二男生18000人,則該地區(qū)高二男生中身高正常的大約有多少人?(2)從所抽取的樣本中身高在和的男生中隨機(jī)再選出2人調(diào)查其平時(shí)體育鍛煉習(xí)慣對(duì)身高的影響,則所選出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?21.已知直線l過點(diǎn)(1,3),且在y軸上的截距為1.

(1)求直線l的方程;

(2)若直線l與圓C:(x-a)2+(y+a)2=5相切,求實(shí)數(shù)a的值.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由于,,,,利用“平方關(guān)系”可得,,變形即可得出.【詳解】∵,,∴,∴.∵,∴,∵,∴.∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數(shù)同角基本關(guān)系式、拆分角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.2、C【解析】由題意得:C=4,將(25,14),(35,19)代入f(x)=4+B(x﹣A),得:∴A=5,B=,故x=20時(shí):f(20)=4+(20﹣5)=11.5.故選:C.點(diǎn)睛:這是函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型,根據(jù)題目中的條件和已知點(diǎn)得到分段函數(shù)的未知量的值,首先得到函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)題意讓求自變量為20時(shí)的函數(shù)值,求出即可。實(shí)際應(yīng)用題型,一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型,列出表達(dá)式,根據(jù)條件求解問題即可。3、A【解析】

畫出不等式組的可行域,再根據(jù)線性規(guī)劃的方法,結(jié)合的圖像與的關(guān)系判定最小值即可.【詳解】畫出可行域,又求最小值時(shí),故的圖形與可行域有交點(diǎn),且往上方平移到最高點(diǎn)處.易得此時(shí)在處取得最值.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃與絕對(duì)值函數(shù)的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意畫圖,根據(jù)函數(shù)的圖形性質(zhì)分析.屬于中檔題.4、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【詳解】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)==1﹣i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,﹣1)位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由數(shù)量積的幾何意義,利用外心的幾何特征計(jì)算即可得解.【詳解】是圓的一條弦,易知在方向上的投影恰好為,所以=||||==2.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算,利用定義求解要確定模長及夾角,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

首先分析題目已知3an+1+an=4(n∈N*)且a1=9,其前n項(xiàng)和為Sn,求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|<的最小整數(shù)n.故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到,然后根據(jù)數(shù)列bn=an﹣1為等比數(shù)列,求出Sn代入絕對(duì)值不等式求解即可得到答案.【詳解】對(duì)3an+1+an=4變形得:3(an+1﹣1)=﹣(an﹣1)即:故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項(xiàng)為8公比為的等比數(shù)列.所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數(shù)n=7故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式的求解問題,其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題,屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題,判斷出數(shù)列an﹣1為等比數(shù)列是題目的關(guān)鍵,有一定的技巧性屬于中檔題目.7、B【解析】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,故排除、,代入點(diǎn),只有項(xiàng)經(jīng)過此點(diǎn),也可以設(shè)出要求的圓的方程:,再代入點(diǎn),可以求得圓的半徑為.故選.點(diǎn)睛:這個(gè)題目主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,因?yàn)檫@是一道選擇題,故根據(jù)與條件中的圓的方程可以得到圓心坐標(biāo),進(jìn)而可以排除幾個(gè)選項(xiàng),如果正規(guī)方法,就可以按照已知圓心,寫出標(biāo)準(zhǔn)方程,代入已知點(diǎn)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.8、B【解析】

根據(jù)三角的面積公式求解.【詳解】,故選.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積計(jì)算.三角形有兩個(gè)面積公式:和,選擇合適的進(jìn)行計(jì)算.9、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)已知條件進(jìn)行化簡,由此求得的值.【詳解】依題意,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

如圖,設(shè)拋物線方程為,交軸于點(diǎn),則,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.【點(diǎn)睛】二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

先根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)化簡方程,再根據(jù)平方性質(zhì)得結(jié)果.【詳解】∵是等比數(shù)列,且,,∴,即,則.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì),考查基本求解能力.12、【解析】

作出圖形,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),由對(duì)稱性可知,結(jié)合圖形可知,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),取最小值,并求出直線的方程,與軸方程聯(lián)立,即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),由對(duì)稱性可知,則,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),的值最小,直線的斜率為,直線的方程為,即,聯(lián)立,解得,因此,點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線段長的最小值求點(diǎn)的坐標(biāo),涉及兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.13、7【解析】

在中,利用余弦定理得到,即可求解,得到答案.【詳解】由余弦定理可得,解得.故答案為:7.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,其中解答中熟記三角形的余弦定理,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及兩圓相交的條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn),由得,由點(diǎn)在圓上,得,又在圓上,,與有交點(diǎn),則,解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、利用圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.15、【解析】

取的中點(diǎn),連接,三棱錐外接球的半徑再計(jì)算體積.【詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接.由題意可得,則所得三棱錐外接球的半徑,其體積為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外切球體積,計(jì)算是解題的關(guān)鍵.16、.【解析】

從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是,化簡即可得出.【詳解】假設(shè)時(shí)命題成立,則,當(dāng)時(shí),從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由得,,由側(cè)面底面得側(cè)面,由面面垂直的判定即可證明;(2)由側(cè)面,可得,得是二面角的平面角,,推得為等腰直角三角形,取的中點(diǎn),連接可得,由平面平面,得平面,證明平面,得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,,再利用求解即可【詳解】(1)證明:由可得,因?yàn)閭?cè)面底面,交線為底面且則側(cè)面,平面所以,平面平面;(2)由側(cè)面可得,,則是二面角的平面角,由可得,為等腰直角三角形取的中點(diǎn),連接可得因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為平面且所以平面,點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)槠矫鎰t平面所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,.設(shè),則在中,;在中,設(shè)直線與平面所成角為即所以,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定,二面角及線面角的求解,考查空間想象能與運(yùn)算求解能力,關(guān)鍵是線面平行的性質(zhì)得到點(diǎn)D到面的距離,是中檔題18、(I);(II).【解析】

(I)設(shè)公差為,根據(jù)題意可列關(guān)于的方程組,求解,代入通項(xiàng)公式可得;(II)由(I)可得,進(jìn)而可利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為,∵,∴,又,∴.∴.(II)由(I)知,∵,∴是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.∴.∴點(diǎn)睛:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和共涉及五個(gè)基本量,知道其中三個(gè)可求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.19、(1)(2)(3)或【解析】

(1)由題意,可知只要,即可使得方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)解,得到答案;(2)由題意,得,則,再由的圖象與軸由3個(gè)交點(diǎn),列出相應(yīng)的條件,即可求解.(3)由題意得,分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得到答案.【詳解】由題可得,,與軸有一個(gè)交點(diǎn);與有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可得:實(shí)數(shù)的取值范圍或【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,以及分段函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,合理分類討論及利用函數(shù)的基本性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,試題綜合性強(qiáng),屬于難題,著重考查了分析問題和解答問題的能力,以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20、(1)12600;(2).【解析】

(1)由頻率分布直方圖知,身高正常的頻率,于是可得答案;(2)先計(jì)算出樣本容量,再找出樣本中身高在中的人數(shù),從而利用古典概型公式得到答案.【詳解】(1)由頻率分布直方圖知,身高正常的頻率為0.7,所以估計(jì)總體,即該地區(qū)所有高二年級(jí)男生中身高正常的頻率為0.7,所以該地區(qū)高二男生中身高正常的大約有人.(2)由所抽取樣本中身高在的頻率為,可知身高在的頻率為,所以樣本容量為,則樣本中身高在中的有3人,記為,身高在中的有2人,記為,從這5人中再選2人,共有,,,,,,,,,10種不同的選法,而且每種選法都是互斥且等可能的,所以,所選2人中至少有一人身高大于185的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖,古典概型的相關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,計(jì)算能力和分析能力,難度中等.21、(1

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