2025年中考數(shù)學(xué)專題74 圓中的新定義問題（原卷版）

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長(zhǎng)是．變式訓(xùn)練【變1-1】．對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圓形A被這個(gè)圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個(gè)圓“覆蓋”．如果邊長(zhǎng)為1的正六邊形被一個(gè)半徑長(zhǎng)為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為．

【變1-2】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b）和正實(shí)數(shù)k，給出如下定義：當(dāng)ka2+b＞0時(shí)，以點(diǎn)P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點(diǎn)P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點(diǎn)P（1，1）的“1倍雅圓”是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點(diǎn)P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點(diǎn)是．該點(diǎn)的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點(diǎn)M是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點(diǎn)M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當(dāng)點(diǎn)C在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若始終存在點(diǎn)C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【例2】．我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點(diǎn)A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開動(dòng)腦筋想一想，經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為___________變式訓(xùn)練【變2-1】．已知定點(diǎn)P（a，b），且動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)r，根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時(shí)，⊙C的方程為．

【變2-2】．【定義】從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所成的最大角稱為該點(diǎn)對(duì)已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點(diǎn)P對(duì)線段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，），B（2，2），C（3，），則原點(diǎn)O對(duì)三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O，半徑為2畫圓O1，以原點(diǎn)O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點(diǎn)P對(duì)圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對(duì)城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對(duì)建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線的表達(dá)式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l2011等于（）A． B． C． D．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點(diǎn)M是線段AB的“好心”；⊙M上的點(diǎn)稱作線段AB的“閃光點(diǎn)”．已知A（2，0），B（6，0）．①點(diǎn)M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點(diǎn)”組成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點(diǎn)”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②3．我們知道沿直線前進(jìn)的自行車車輪上的點(diǎn)既隨著自行車做向前的直線運(yùn)動(dòng)，又以車軸為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，如果我們仔細(xì)觀察這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實(shí)，很早以前人們就對(duì)沿直線前進(jìn)的馬車車輪上的點(diǎn)的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個(gè)軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個(gè)軌跡是一段段的拋物線．你認(rèn)為呢？擺線（Cycloid）：當(dāng)一個(gè)圓沿一條定直線做無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動(dòng)圓稱為母圓，該定點(diǎn)稱為擺點(diǎn)：現(xiàn)做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，那么：（1）當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡大致是什么形狀？（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時(shí)，硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，Q是射線OP上一點(diǎn)，且線段OP、OQ的比例中項(xiàng)等于圓O的半徑，那么我們稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q為這個(gè)圓的一對(duì)反演點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N為圓O的一對(duì)反演點(diǎn)，且點(diǎn)M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M、N的距離之比＝．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點(diǎn)，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長(zhǎng)為18π；若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正n邊形的n重漸開線的長(zhǎng)為．7．一個(gè)玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點(diǎn)為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓O相切，H為切點(diǎn)，M為OB上一點(diǎn)，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長(zhǎng)度．（3）如圖③，M是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點(diǎn)N，在M從O運(yùn)動(dòng)到B的過程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；（填序號(hào)）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求∠BED的余弦值．

9．對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是．（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對(duì)于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點(diǎn)E（3，0）．①直接寫出d（點(diǎn)E）的值；②過點(diǎn)E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

11．【概念認(rèn)識(shí)】與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計(jì)算求解】（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長(zhǎng)．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個(gè)第Ⅰ類圓；②作它的1個(gè)第Ⅱ類圓．

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線MN．對(duì)于點(diǎn)A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．則MN是⊙O的“關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為；（2）如圖2，點(diǎn)A為直線y＝﹣3x+4上一動(dòng)點(diǎn)，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記A，B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝；②若點(diǎn)M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點(diǎn)N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長(zhǎng)為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點(diǎn)P為線段AB的“完美點(diǎn)”．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點(diǎn)”？如果有，求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由；（2）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長(zhǎng)．

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．

17．對(duì)于⊙C與⊙C上一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q，且PA＝2QA，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“倍距點(diǎn)”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑是，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“倍距點(diǎn)”．①若點(diǎn)P在x軸正半軸上，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)是；②若點(diǎn)P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)T（t，0），以點(diǎn)T為圓心，TA長(zhǎng)為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點(diǎn)P，使點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙T的“倍距點(diǎn)”，求t的值．

18．類比學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，頂點(diǎn)在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。愃频?，我們可以把頂點(diǎn)在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝°，歸納總結(jié)：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于．新知應(yīng)用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B．經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)作⊙E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點(diǎn)M、N，設(shè)∠APC＝θ．①求A點(diǎn)坐標(biāo)；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長(zhǎng)度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．

19．（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，則半徑r＝；（2）【問題