形形色色的切線問題 講義-2024高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸題（解析版）

專題5形形色色的切線問題

導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是一個(gè)主要命題點(diǎn)，內(nèi)容主要涉及求曲

線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)

或參數(shù)范圍等.

知識(shí)點(diǎn)（一）求曲線在某點(diǎn)處的切線

求以曲線上的點(diǎn)（尤0以刈））為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）；

②求切線的斜率了（尤0）;③寫出切線方程y—八xo）=/（xo）（x—xo）,并化簡(jiǎn).

知識(shí)點(diǎn)（二）求曲線過某點(diǎn)的切線

yo=f（無o）＞

求曲線過某點(diǎn)的切線，一般是設(shè)出切點(diǎn)（尤0,比）,解方程組光得切點(diǎn)（xojo）,進(jìn)而確定切線方

!---J=f（Xo），

〔XI—xo'

程.

知識(shí)點(diǎn)（三）求曲線的切線條數(shù)

求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn)（/,/（1））,由己知條件整理出關(guān)于/的方程，把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)

于r的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.

知識(shí)點(diǎn)（四）曲線的公切線

研究曲線的公切線，一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn)，寫出兩切線方程，然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.

知識(shí)點(diǎn)（五）取得滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍

此類問題或判斷符合條件的切線是否存在，或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍，求解思路是把切線

滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.

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一提升?必考題型歸納

重難點(diǎn)題型突破1在某點(diǎn)的切線方程（某點(diǎn)是切點(diǎn)）

例1.（2022上?河南?高三專題練習(xí)）函數(shù)/。）=-丁+3而丈的圖象在點(diǎn)A（0"（0））處的切線方程是（）

A.x-3y=0B.3x-y=0C.x+3y=0D.3x+y=0

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【詳解】因?yàn)?（xh-d+Bsinx,所以/（0）00,所以切點(diǎn)為A（。，。），又/（無）=-3/+3cosx,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點(diǎn)A處的切線斜率％=T（0）=0+3COS0=3,

故得函數(shù)/（x）的圖象在點(diǎn)A處的切線方程是卜。=3（尤-0）,即為3x-y=0.

故選：B

例2.（2019?廣東?校聯(lián)考一模）函數(shù)”x）=e4*r-2的圖象在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程是（）

A.3%+y+l=0B.3x+y—l=0C.3x—y+l=0D.3%—y—1=0

【答案】D

【分析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.

【詳解】因?yàn)槭▁）=4e4x—l,所以A="0）=3.因?yàn)椤?）=-1,

所以切線方程為y+l=3x,即3x-y-l=0.

故選：D.

例3.（2023?四川雅安??？寄M預(yù)測(cè)）若了（力=巴則〃x）在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的面

積為.

2

【答案】-

e

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】易知尸（無）=e'n尸（一1）=」，

e

又〃-1）=L所以在（一1"（一1））處的切線方程為：y--=-（A+l）=-^+-,

eeeee

則切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-2,0）、。j],圍成的三角形面積為gxH|xj=|.

2

故答案為：—

e

例4、（2024?浙江溫州?溫州中學(xué)校考一模）已知/（x）=31nx-以％-1）.

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⑴若過點(diǎn)(2,2)作曲線y=〃x)的切線，切線的斜率為2,求上的值；

(2)當(dāng)xe［1,3］時(shí)，討論函數(shù)g(x)=/(x)-2-cos71jx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

712

【答案】⑴1

⑵答案見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(七,3111%-左伍-1)),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可；

(2)求導(dǎo)，可得g'3在［1,3］內(nèi)單調(diào)遞減，分類討論判斷g(x)在口,3］內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定

理分析判斷.

3

【詳解】(1)由題意可得：f(x)=--k

x9

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(龍0,3In毛一人(七一功，

33

則切線斜率為無=/(/)=---k=2,即左=----2,

%%

可得切線方程為j-［31nx0-Z:(x0-l)］=2(x-x0),

將(2,2),左=』-2代入可得2-31nx0-|--2|(x0-l)=2(2-x0),

整理得ln/_，+l=0,

%

因?yàn)槎?111尤,丁=-:在(°，+00)內(nèi)單調(diào)遞增，

則y=lnx—：+l在定義域(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)x=l時(shí)，y=0,

可知關(guān)于%的方程InX。-工+1=°的根為1,即%=1,

所以％=3-2=1.

不

2兀2兀

(2)因?yàn)間(x)=f(x)——cos—x=31nx-A:(x-l)——cos—x,

7T2712

37T

則g'(%)=一一*+sin—X,

x2

可知》=士在口,3］內(nèi)單調(diào)遞減，

X

LtJCrrtl兀兀3兀l.，.7T37c.、，、E.j,、i、

且xw［l,3］,則不，且37=51口％在—內(nèi)單倜遞減，

TT

可知y=sin］x在［1,3］內(nèi)單調(diào)遞減，所以g'(x)在［1,3］內(nèi)單調(diào)遞減，

且g'(l)=4T,g'⑶=*

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(i)若Tt^o,即左WO時(shí)，則g'(x)2g'(3)20在［1,3］內(nèi)恒成立，

可知g(x)在口,3］內(nèi)單調(diào)遞增，貝iJg(x)2g(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以g⑺在口，3］內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

(回)若4-A:V0,即左“時(shí)，則8’0)48'(1)40在口,3］內(nèi)恒成立，

可知g(x)在口,3］內(nèi)單調(diào)遞減，則g(x)Wg(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以g(x)在［1,3］內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

(4一人＞0

(E)若此〈0，即0〈人＜4時(shí)，則g'(x)在(1,3)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)機(jī)41,3),

可知當(dāng)lWx＜7"時(shí)，g'(x)＞。；當(dāng)機(jī)＜xW3時(shí)，g'(x)＜。；

則g(力在［1,加)內(nèi)單調(diào)遞增,在(rn,3］內(nèi)單調(diào)遞減,

且g⑴=0,可知g(m)＞g(l)=0,可知g(x)在［1,間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn),

且g(3)=31n3-2左，

①當(dāng)g⑶=31n3-2ZWO,即31n3＜左＜4時(shí)，則g(x)在(九3］內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)g⑶=31n3-2左＞0,即0＜人＜/n3時(shí)，則g(x)在(私3］內(nèi)沒有零點(diǎn)；

綜上所述：若建(f,*n3)U［4,+⑹時(shí)，g(元)在口,3］內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

若左e*n3,"時(shí)，g(x)在［1,3］內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解.這類問題

求解的通法是：

(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.

【變式訓(xùn)練11.(2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)曲線〃x)=e'+"在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線＞=2x平行，則。=

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

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【分析】確定曲線，(力=^+依在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可

求得答案.

【詳解】因?yàn)榍€〃x)=e*+依在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線y=2x平行，

故曲線/(x)=e*+依在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2,

因?yàn)榱?(%)=6*+。，所以/'(0)=e°+。=1+。=2,

所以°=1,

故選：C.

【變式訓(xùn)練21.(2023?陜西咸陽(yáng)?校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)則曲線y=/(x)在點(diǎn)處

的切線方程為()

A.ex+y+l=0B.ex-y+l=0

C.ex+y-l=0D.ex-y-l=0

【答案】A

【分析】先由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程寫出即可.

【詳解】由〃無)1=1尸,得洋(力=-卷,

所以廣(—l)=-e,又〃-l)=e—1,

故曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線的方程為y—(e-l)=—e(x+l),即ex+y+l=0.

故選：A.

【變式訓(xùn)練3】.(2024?云南楚雄?云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè))曲線/(x)=d-lnx在點(diǎn)(1,/⑴)

處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為.

【答案】g/0.25

4

【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.

【詳解】易知/(X)的定義域?yàn)橛萫(0,+8),而"1)=1,故切點(diǎn)為(1,1),

設(shè)切線斜率為3且:(無)=3尤2一,，故左=/Q)=3-1=2,

X

切線方程為y-1=2(x-l),化簡(jiǎn)得＞=2彳-1,

當(dāng)y=。時(shí)，x=g，當(dāng)X=O時(shí)，＞=-1,

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易知圍成的圖形是三角形，設(shè)面積為S,故S=；x；xT=；.

故答案為：—

4

1—丫

【變式訓(xùn)練4】.（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考一模）函數(shù)f（x）=E+lnx在x=l處的切線方程為.

【答案】y=

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求出切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.

【詳解】由題意知，/（i）=o,則切點(diǎn)為（1,0）,

/,（X）=--—y+—=X+I。（X>0）,

（x+1）2xx（x+V）2

所以切線的斜率為（⑴=;,

故函數(shù)在x=l處的切線方程為=即尸;x-g.

故答案為：y=gx_g.

【變式訓(xùn)練5】.（2023?陜西西安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=一的圖象在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程

為.

【答案】y=3x-3

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?所以尸（尤）尸一（：31）=2丁+1,則"I"。，/⑴=3,

xx2x~

所以所求切線的方程為y-0=3（x-l）,即y=3尤-3.

故答案為：V=3x-3.

重難點(diǎn)題型突破2過某點(diǎn)的切線方程（某點(diǎn)不是切點(diǎn)）

例5.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=ei+l的切線，則切線方程為（）

A.y=xB.y=2xc.D.y=前

e*

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為+1）,求得切線方程為〉-（廣2+1）=/2（尤一）,把原點(diǎn)（0,0）代入方程，得到

『l）e"2=l,解得t=2,即可求得切線方程.

【詳解】由函數(shù)y=ei+l,可得，=/2,

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設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Q,e-2+l),可得切線方程為y-(e-2+l)=e-2(x—),

把原點(diǎn)(0,0)代入方程，可得0-(e-2+i)=e-2(0T),即"l)e7=i,

解得t=2,所以切線方程為y-(e°+l)=e°(x-2),即產(chǎn)工

故選：A.

例6.(2024?貴州校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))過點(diǎn)尸(1,-3)作曲線y=2/一3x的切線，請(qǐng)寫出切線的方程

【答案】3尤+>=0或21x-2y-27=0

【分析】設(shè)切點(diǎn)(。,2/-3°),求導(dǎo)并寫出切線方程，代入點(diǎn)(1,-3)求出a值即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(a,2a3一3a),而1(x)=6/-3,

所以切線的斜率左=f'(a)=6a2-3,故切線方程為y-(2a3-3a)=(6a2-3)(尤-a),

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(1,一3),.'.-3-(2a3-3a)=(6G2-3)(1-a),

化簡(jiǎn)可得“=0或0=；則切點(diǎn)為(o,o)或(I，。

貝|J代入得切線方程為：3x+y=0或2卜一2y—27=0,

故答案為：3x+y=0或2卜-2〉-27=0.

例7.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))曲線y=(x-4)e，過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.

【答案】y=-e2x

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(%，%),則%=(%-4)物，

xA

/=、+(x-4)e=(x-3)e,切線的斜率為(x0-3)e&,

所以切線方程為y-(Xo-4)e'。=?-3)eW(x-Xo),

又切線過原點(diǎn)，所以。一(x「4)ek=(x0-3)e-(0-%),即%-4x°+4=0,

解得不=2,所以切線方程為〉=共2天.

故答案為：J=-e2x

例8.(2023?江蘇連云港?校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(X)=X3+X-16.

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⑴求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程；

⑵直線/為曲線y=/(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)13x7-32=0

⑵y=13x,切點(diǎn)為(—2,—26)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將原點(diǎn)代入即可求解.

【詳解】(1)由/(%)=^+工一16,得/'(x)=3d+l,

所以((2)=3x22+1=13,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程為y+6=13(x-2),即13x-y—32=0.

(2)設(shè)切點(diǎn)為(-%,片+%-16),由(1)得((Xo)=3x：+1,

所以切線方程為'-(片+與T6)=(3考+l)(x-x0),

因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，

所以—(X：+%—16)=—x0(3君+1),

所以2x：=-16,%=-2.

則/(-2)=3乂(-2)2+1=13,

所以所求的切線方程為丫=13%，切點(diǎn)為(-2,-26).

【變式訓(xùn)練61.(2022?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(x+l)/,則()

A.函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+8)B.函數(shù)AX)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)Ax)為奇函數(shù)D.過坐標(biāo)原點(diǎn)有兩條直線與函數(shù)Ax)的圖象相切

【答案】D

【分析】直接利用導(dǎo)函數(shù)判斷A選項(xiàng)；令/(x)=0,求解x判斷8選項(xiàng)；利用奇偶性定義判斷C選項(xiàng)；利用

導(dǎo)函數(shù)的幾何意義判斷D選項(xiàng).

【詳解】由/住)=0+1)-,得/'(x)=(x+2)e",

所以函數(shù)Ax)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,y)上單調(diào)遞增，所以A不正確；

令/(x)=0,得x=—l,可知8錯(cuò)誤；因?yàn)椤?幻?f(x),所以C錯(cuò)誤.

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設(shè)切點(diǎn)為(尤0,(%+1)*),可得切線方程為y-(%+1)*=(%0+2)*(%-/)，

又因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)，可得無：+毛-1=0,該方程有兩個(gè)解，所以。正確；

故選：D.

【變式訓(xùn)練7】.(2024?四川自貢?統(tǒng)考一模)若曲線y=lnx的一條切線為y=ex+b,貝.

【答案】-2

【分析】由'=叱+6是曲線的切線，求導(dǎo)函數(shù)利用斜率出參數(shù)即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,In%),

因?yàn)閥=lnx,所以丁=,，

X

所以在(與,1叫,)處的切線斜率為,，

玉)

1/\

則過該點(diǎn)的切線方程為：y-nlnx0=—(x-%)，

玉)

1I1

即y=-x+lnx0—I,又知切線為：y=cx+b,

故得：XO=1,6=1?)-1=-2.

故答案為：-2.

【變式訓(xùn)練8】.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=(x+2)e*的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

【答案】-1+石或-1-6

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(x。,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將(0,0)代入，即可求得本題答案.

【詳解】由y=(x+2)e*可得y=(x+3)e*,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(％,%),

所以切線斜率左=(%+3)e'。，又因?yàn)?=5+2)B，

則切線方程為y-(x()+2)e風(fēng)=(x()+3)e陽(yáng)(x-%)，

把(0,0)代入并整理可得其+2%-2=0,解得％=-1+6或%=T-6.

故答案為：-1+石或-1-6

【變式訓(xùn)練9】.(2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))若曲線，=(1-彳戶有兩條過點(diǎn)4(°,0)的切線，則。的取值范圍是(

A.(^?,-l)u(3,+co)B.(-3,1)

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C.(-00,-3)D.(-oo,-3)u(l,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(%,(1-%)田)，由已知得=貝憫線斜率左=-x°e-，

切線方程為y-(l-5)e"=-x^(尤一天).

回直線過點(diǎn)A(a,0),回_(1f)e&=_%e"af),

化簡(jiǎn)得片一(。+1)%+1=0.回切線有2條，

0A=(a+l)2—4>0,則a的取值范圍是3)51，+°°),

故選：D

重難點(diǎn)題型突破3切線的條數(shù)

例9.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x+l)e"過點(diǎn)尸(機(jī),0)作曲線y=〃x)的兩條切線，切

點(diǎn)分別為a(a,7(a))和3伍，/(6))，若a+b=0,則實(shí)數(shù)切=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及幾何意義.

【詳解】由題意知尸(x)=(x+2)e]

因?yàn)锽l與曲線y=〃x)相切，

所以(a+2)e“=g+l”,整理得〃+(1_加)。_2帆—1=0,

a-m

同理/+(^1—2m—1=0,

則。，8是方程三+。—機(jī))x—2機(jī)—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以〃+/?=機(jī)一1=0,

所以根=1.

故選：B.

例10.(2023?廣西柳州,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知直線y=%+b是曲線y=ln%+3的一條切線，則"=_.

【答案】2

第10頁(yè)共29頁(yè)

【分析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)值等于1,求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可得解.

【詳解】解：函數(shù)，=lnx+3的定義域?yàn)?0,+8),

X

令y'=，=l,貝1Jx=l,

X

所以切點(diǎn)為(1,3),

代入y=%+b,得3=1+/?,

所以。=2.

故答案為：2.

例11.(2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃力=r-?與函數(shù)g(x)=lnx+2x的圖象在公共點(diǎn)處有相

同的切線，則實(shí)數(shù)。=()

A.-2B.-1C.eD.-2e

【答案】B

【分析】設(shè)出兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解即得.

【詳解】設(shè)函數(shù)"“=必-依與函數(shù)8(力=11?+2》的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為(尤(),%),

；

x-ax0=Inx0+2x0Xg+Inx0-1=0

求導(dǎo)得/'(x)=2x-a,g'Cr)=，+2,依題意，、1,于是，

x2XQ—d------F2a=2x0---2

%

令函數(shù),(%)=/+U1X-1,顯然函數(shù)版%)在(。,+8)上單調(diào)遞增，且岫=0,

則當(dāng)/?(%)=。時(shí)，冗=1,因此在x；+In/-1=。中，%o=l,此時(shí)〃=一1,經(jīng)檢驗(yàn)a=-1符合題意，

所以a=—1.

故選：B

例12(2022屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx+g,aeR.

x

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)恰好可作兩條直線與曲線y=/(x)相切，求。的取值范圍.

【分析】(1)=妥,x>0,

當(dāng)aV0時(shí),/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；a>0時(shí),/(無)在(0,。)上單減，在3+?)上單增；

第11頁(yè)共29頁(yè)

(2)設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為%,則切線方程為y=工-二尤+lnx°+生一1,代入(0,0)得lnx°+'-1=0,即

【尤°x~)尤0%

2a=x0-x0Inx0，關(guān)于％的方程2a=%-%Inx0在(0,+co)內(nèi)恰有兩個(gè)解，

令g(x)=x-xlnx,g(x)在(0,1)上單增，在(1,+?>)上單減，

又g(D=l,當(dāng)xfO時(shí),g。)一。,且g(e)=0,故當(dāng)0<2。<1時(shí)，方程g(x)=2a有兩個(gè)解，所以0<“<；,故a的取

值范圍為

【變式訓(xùn)練10】.(2022?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知過點(diǎn)P(a,l)可以作曲線>=lnx的兩條切線，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

A.(-00,e)B.(0,e)

C.[0,e)D.(O,e-1)

【答案】B

【分析】設(shè)出曲線上的切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，

可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程，借助于函數(shù)的最值及其圖象，即可得到。的

范圍.

【詳解】設(shè)曲線>=山x與其切線交于A?,%)

切線方程/：y=kx+b,

由導(dǎo)數(shù)與切線方程斜率關(guān)系可得上=-......①

又?切線過點(diǎn)尸(。,1)

要保證過點(diǎn)尸(。,1)可以作曲線y=lnx的兩條切線，可得P(a,l)不能在曲線y=lnx上

x0-a

「點(diǎn)A在曲線y=lnx上，故為=lnx?！?/p>

由①②③式可得：為一=一=——=—

x0-ax0xQ-ax0

/(ln%0—l)=%一〃，解得〃=2%0_劣0111X0

令=2x—x-Inx

第12頁(yè)共29頁(yè)

貝!]f\x)=2-x---ln%=l-ln.r

x

令人元)=0,故l-lnx=0

x=e

故當(dāng)x=e時(shí)，/'(元)=。；

當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

即/(X)在尤=e時(shí)取得極大值,故/(x)111ax=/(e)=2e-e?Ine=e

作出了(x)草圖如下：

得。僅在(0，e)范圍內(nèi)由2個(gè)對(duì)應(yīng)的x值

即ae(0,e)時(shí)，有2個(gè)解，此時(shí)存在2條切線方程

綜上所述，0的取值范圍為(0，e)

故選：B.

【變式訓(xùn)練111(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若曲線C:〃x)=，-4x+5)e'-2e有三條經(jīng)過點(diǎn)A(a,0)的

切線，則〃的范圍為.

【答案】，［,1卜(1,+功

【分析】求導(dǎo)后對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的凹凸性，再數(shù)形結(jié)合分析相切的臨界條件，從而可得.

【詳解】由題意「(耳=(/-2x+l)e*,

令g(x)=(尤2-2x+l)e",則g,(x)=(x-l)(x+l)e\

令g'(x)=?？傻萌?-1或尤=1.

故當(dāng)xe(fT)和―時(shí)g'(x)>0,廣(x)單調(diào)遞增，〃力圖象往下凸;

第13頁(yè)共29頁(yè)

當(dāng)xe（-l,l）時(shí)g'（x）＞0,1⑺單調(diào)遞減，“力圖象往上凸.

2/2u、

令＞=0可得彳=2二Z,又經(jīng)過（1,0）的切線方程為y=0,故當(dāng)ae3?」j（l,+s）時(shí)有三條經(jīng)過點(diǎn)4（a,0）

2I2J

的切線.

故答案為：（I-"）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求導(dǎo)分析函數(shù)切線的問題，需要根據(jù)題意求導(dǎo)，并求導(dǎo)數(shù)形結(jié)合分析切線斜率的單

調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的凹凸性，從而分析切線可能的情況，屬于難題.

【變式訓(xùn)練12】.（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)一依+1,過點(diǎn)P（2,0）存在3條直線與

曲線y=相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】望）

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（加,〃），利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出過尸（2,0）的切線方程，進(jìn)而有2a=-21+6療+1有三個(gè)

不同加值，即丫=2。與g（Mi）=-2M?+6川+1有三個(gè)不同交點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)研究g（m）的極值，即可求參數(shù)范圍.

【詳解】由廣（功=3/—°,設(shè)切點(diǎn)為由㈤,則切線斜率為尸（巾）=3/-a,

所以，過P（2,0）的切線方程為y=（3m2-a）（x-2）,

綜上，卜=◎7一"）（加-2）,即（3機(jī)2一幻（加一2）=m3一°機(jī)+1,

\n=m-am+1

所以2a=-2m3+6m2+1有三個(gè)不同m值使方程成立，

即y=2。與g（jn）=-2m3+6m2+1有三個(gè)不同交點(diǎn)，而g\rri）=-6m2+12m,

第14頁(yè)共29頁(yè)

故(-oo,0)、(2,+oo)上g'O)<0,gO)遞減，(0,2)上g'(;w)>0,g(機(jī))遞增；

所以gO)極小值為g(0)=l,極大值為g(2)=9,故1<2a<9時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn),

綜上，。的取值范圍是［鼻，5)

故答案為：W

【變式訓(xùn)練13】.(2023?廣西?統(tǒng)考一模)若曲線y=與y=ln元有一條斜率為2的公切線，則“=.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解方法求解.

【詳解】設(shè)公切線在曲線y=與y=In尤上的切點(diǎn)分別為A&，%),B(x>%)，

111

由y=lnx可得了=上，所以一=2,解得

xx22

所以%=山％=-山2,貝IJ2(；,-In2),

所以切線方程為y+ln2=2(x-g),

又由了=辦2,可得y'=2ox,所以2axi=2,即啊=1,

所以%=辦；=%,

又因?yàn)榍悬c(diǎn),也即A(x”再)在切線y+ln2=2(x-g)上，

所以W+ln2=2(玉-｝，解得％=ln2+l,

重難點(diǎn)題型突破4公切線

例13.(2023?陜西西安?統(tǒng)考一模)若曲線y=lnx與曲線>=/+2尤+。5<0)有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.(-In2-l,+co)B.[-In2-l,+oo)

C.(-In2+l,+co)D.[-In2+l,+co)

【答案】A

【分析】設(shè)公切線與函數(shù)"x)=lnx切于點(diǎn)A(Xi，lnxJ(玉>0),設(shè)公切線與函數(shù)g(x)=/+2尤+a(x<0)切于點(diǎn)

第15頁(yè)共29頁(yè)

—=+2

B(x2,xf+2x2+6z)(x2<0),然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，貝何得再,消去毛，得

In$一1二〃一%;

。=考-ln(29+2)-1,再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)/a)=ln%切于點(diǎn)A&Jnxja〉。)，

11

由〃%)=lnx,得/(犬)=,所以公切線的斜率為一，

x再

所以公切線方程為>Tn玉=’(工-玉)，化簡(jiǎn)得y=L%+(ln%i—l),

x1xl

2

設(shè)公切線與函數(shù)g(x)=x+2x+a(x<0)切于點(diǎn)B(%2,%；+2X2+a)(x2<0),

g(x)=x2+2x+a(x<0),得g'(%)=2x+2,則公切線的斜率為2%+2,

所以公切線方程為丁一(考+29+〃)=(2/+2)(%-x2),化簡(jiǎn)得y=2(X2+1)%-+a,

—二2九2+2

所以<石，消去為，得?！狪nQ9+2)—1,

In西一1=〃一x；

由玉>0,得一1<%2<。，

令產(chǎn)。)=尤2_山(2》+2)-1(-1<》<0),則尸'(x)=2x—一—<0,

x+1

所以尸(x)在(-1,0)上遞減，

所以尸(無)>P(0)=-ln2-l,

所以由題意得a>-ln2-l,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(Tn2-1,”)，

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的

關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程，考查計(jì)算能力，屬于較難題.

例14.(2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測(cè))已知直線>=區(qū)+》與曲線y=e、+2和曲線y=ln(e2%)均相切，則實(shí)

數(shù)上的解的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【答案】C

【分析】由題意可求得直線>=履+。與曲線,=6工+2和曲線y=ln(e2,分別切于點(diǎn)A(ln匕笈+2),

第16頁(yè)共29頁(yè)

門1、.=」+lnk

Bl-,ln-+2l（A:＞0）,則K-彘二T,化簡(jiǎn)后得-n左一InZ:-左一1=0,然后將問題轉(zhuǎn)化為方程

k

上In左一山左一左一1=0解的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（左）=En左一In左一左一1化＞0）,利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理可求

得其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可得答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，直線廣質(zhì)+》與曲線y=e'+2和曲線y=ln（/x）都相切，

所以對(duì)于曲線＞=e*+2,則;/=e'=3所以無=lnM

所以切點(diǎn)A（ln%,k+2）,

對(duì)于曲線y=in（e2,，則M尤＞0）,所以尤

切點(diǎn)g（：,lnJ+2]/＞0）,易知48不重合，

yKKJ

v_v%-ln；k+\nk

因?yàn)楣芯€過A,2兩點(diǎn)，所以后=——與=-----

無「41品」\nk--

kk

進(jìn)而可得左In左一In左一左一1=。，

令g（左）=kln&;_lnk_左_1（左＞0）,則g'（左）=ln左一）■（%＞0）,

k

令。（無）=g'（k）=In4"（左＞0）,則3＞0（A＞0）

kkk

所以g"）在（。，+8）單調(diào)遞增，

因?yàn)?"）=一1＜。，8'（6）=1」＞0,

e

所以存在即使得1叫一;=。，即1叫=;,

9憶0

所以當(dāng)0＜左＜/時(shí)，g'（左）＜0,當(dāng)左＞原時(shí)，g"）＞0,

所以g（《在（0扁）上單調(diào)遞減,在（島，欣）上單調(diào)遞增,%e（l,e）,

故g（A）min=g（片）=%1nA0一山勺一%-L

.,,,1

又因?yàn)镮n%=~,

k°

所以g（%）min=%=-/＜0，

鼠O鼠0K。

當(dāng)左=/時(shí)，g^e2）=e2lne2-lne2-e2-l=e2-3＞0,

第17頁(yè)共29頁(yè)

因?yàn)?e(l，e),g(%)g(e2)<0,

所以在(4,e2)內(nèi)存在匕,使得g(￡)=0,

當(dāng)上=4"時(shí)，g(左)=g[±]=±lnj-lnl--y-l=-'v+l>°，

e[e/eeeee

因?yàn)椤秂(l,e),g(%)g[,]<0,

所以在禽]內(nèi)存在[使得g(4)=0,

綜上所述，存在兩條斜率分別為K，&的直線與曲線》=0工+2和曲線y=ln(e，)都相切，

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，

解題的關(guān)鍵是求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程-nZ:-In左-左-1=0解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.

例15.(2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測(cè))若直線、=區(qū)是曲線y=4lnx的切線，也是曲線>=/的

切線，貝!.

【答案】e2

【分析】先根據(jù)>=丘與y=e*相切，確定左的值，再根據(jù)直線與>=aln無相切，確定。的值.

【詳解】因?yàn)?gt;=區(qū)與y=e*相切.

y=(e')=e',設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(玉,9)，則切線方程為y-e*=d(x-芯).

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以：0-e"=9(0—占)=%=1,故切點(diǎn)為(Le),所以左=e.

對(duì)函數(shù)y=alnx,/=(alnx)=—,由3=enx=@,

xxe

根據(jù)>="得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：￡=a,

e

根據(jù)y=alnx得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：67.ln—=6((lna-l),

e

由a=a(lna-l),又由題可知aN0=a=e?.

故答案為：e2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先根據(jù)y=e'的切線過原點(diǎn)，求出％的值；求。時(shí)，要注意切點(diǎn)即在曲線上，也在切

線上，根據(jù)縱坐標(biāo)相等列方程求解.

第18頁(yè)共29頁(yè)

例16.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=ei

(1)若直線/：、=履+》既是曲線y=〃x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線，求直線/的方程；

(2)證明：xlnxve*-上―1.(參考數(shù)據(jù)：0.69<ln2<0.7)

【分析】(1)f'^=^-,g\x)=ex-\

X+1

]1X

函數(shù)/(X)在點(diǎn)(無1"(%))處的切線方程為：y-ln(X]+l)=---a_占)即>=-----x+Wj+l)----

玉+71石+1玉+1

函數(shù)g(元)在點(diǎn)(％,g5))處的切線方程為：y-e*T=e”T(尤-尤2),即y=*4+小T(l-x2),

因?yàn)橹本€l：y=kx+b既是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線，

]n(X]+l)--^-=6工27(1_天2)

^+1

將工2T=-ln(Xj+1)代入得ln(X[+1)一廣e-ln(J：l+1)?山(占+1),即再In?+1)=玉，

所以苕=?；蛴??—1,

若%=0,則超=1,此時(shí)直線/的方程為：丫=壬

若玉=e-1,則％=0，則此時(shí)直線/的方程為：y=-x+~,

ee

綜上得：y=x^y=—x+—.

ee

(2)先證明lnx<%—1,所以尤2—%,

設(shè)F(x)=ex-2x2+x-l(x>0)，則/(x)=廢一4%+1,令G(x)=F\x)=ex-4x+l，貝!JG(%)=e九一4,

令G(x)=0,得x=In4,

所以存在公九2使得尸。)滿足F(x)在(0,西)和區(qū),+8)上單調(diào)遞增，在(國(guó),工2)上單調(diào)遞減，

所以尸(x)min=min{F(0),F(X2)}=min{0,F(x2)},

3^因?yàn)镴/(々)=e"2—2%2+9—1=—2%；+5%—2?In4<%<2,

因?yàn)閥=-2/+5x—2在(ln4,2)上單調(diào)遞減，所以—2尤+5々一2>0,所以所以

尸(x)=ex-2x2+x-l>0,BP—x2—1>x2—x>xlnx,BPx\nx<ex—x2-1.

第19頁(yè)共29頁(yè)

【變式訓(xùn)練14】.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知曲線y=?和y="(。＞0且awl)存在一條過公共點(diǎn)的切

線，貝心的值為.

【答案】、

【分析】第一步：設(shè)函數(shù)〃x)=?,g(x)=H分別求出〃尤),g(x)的導(dǎo)函數(shù)；第二步：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

〃xo)=g(xo)

義列方程組第三步：解方程組即可得解.

x

f'M=g'(oy

【詳解】第一步：設(shè)函數(shù)〃x)=?,g(x)=",分別求出〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)

設(shè)函數(shù)〃同=石送(力=優(yōu)，則/'(x)=a^，g'(x)=0'lna.

第二步：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組

f(x0)=g(x0)

設(shè)兩曲線