山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級下冊期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢

測數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知C：；：=28，那么〃=（）

A.5B.6C.7D,8

2.某學(xué)校5個班分別從3個景點中選擇一處游覽，則不同選法的種數(shù)是（）

A.3sB.53C.A；D.C；

3.若隨機(jī)變量丫的分布列為

12

C.5D.-

4.已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X），若〃x）=2#'（2）+liu，則/''（1）=（）

A..B.1C.cD.0

-1-2

5.今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和

他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

6.已知/（封=；/+8._1/（0為的導(dǎo)函數(shù)，則/'（X）的大致圖象是（）

試卷第11頁，共33頁

7.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦

圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰

區(qū)域顏色不相同.記事件：“區(qū)域和區(qū)域顏色不同”，事件/“所有區(qū)域顏色均不

A2A4D

2213

A.B.C.5D.-

73z4

8?設(shè)〃=ln2,6=1.09,c=e°3,則（）

A./入/B.

a<b<ca<c<b

C.//入D.

c<a<bc<b<a

二、多選題

z1\io

9.在的展開式中，下列說法正確的是（）

試卷第21頁，共33頁

A.常數(shù)項是_8064

B.第四項和第八項的系數(shù)相等

C.各項的二項式系數(shù)之和為1024

D.各項的系數(shù)之和為1024

10.下列說法正確的是（）

A.設(shè)且尸（/）=0.4,尸（3）=0.8,則尸（8|4）=0.5

B.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為5%，第二批占60%，次品率為

4%.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件，則該件產(chǎn)品是合格品的概率是95.6%

C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,則￡（2X.1）=6

D.D（aX+b）=a2D（x）+b

11.已知函數(shù)〃x）=xLx+l，則（）

A./（x）有兩個極值點

B.有一個零點

C點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心

D,直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

三、填空題

12.在（2x_y）（x+y）s的展開式中，/式的系數(shù)是---.

13.某中學(xué)元旦晚會共由7個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面,

丙不能排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.（用數(shù)字作答）

14.已知工=再和x=x2分別是函數(shù)/\x）=2優(yōu)-e/（八0且”1）的極小值點和極大值

試卷第31頁，共33頁

點.若再＜々，則。的取值范圍是______.

四、解答題

15.甲乙兩人進(jìn)行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次

由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為之一.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為

43

勺求隨機(jī)變量占的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

16.右(1-3x)8=%+《X+&/+%尤3++QX6++gx'，請求值：

⑴旬；

(2)同+同+同+同+|+1。51+〔⑷+1%|+同;

⑶％+2a2+3a3+4a4+5as+6a6+7%+8&.

17.現(xiàn)有大小相同的8個球，其中2個標(biāo)號不同的紅球，3個標(biāo)號不同的白球，3個標(biāo)號不

同的黑球.(結(jié)果用數(shù)字作答)

(1)將這8個球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法？

(2)將這8個球排成一列，黑球不相鄰且不排兩端，有多少種排列的方法？

(3)若從8個球中任取4個球，則各種顏色的球都被取到的概率為多少？

18.已知函數(shù)/3=府工+(a-2)e—

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若〃x)有兩個零點，求。的取值范圍.

19.帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正

試卷第41頁，共33頁

整數(shù)函數(shù)"X)在x=°處的[%〃]階帕德近似定義為：r3=旬+平+…+”小

n

]+加H---FbnX

且滿足：/⑼=刈0)/(0)=火<0)J"(O)=R〃(O),…，/(m+")(O)=7?(M+n)(O)-(注：

/(X)=[/⑺]/⑺=J4)(尤)=[/"⑺了/)⑺=F)⑺],(X)為

(X)的導(dǎo)數(shù))已知/(x)=ln(x+1)在X=0處的[1』階帕德近似為及(X)=.

⑴求實數(shù)a,6的值；

(2)比較〃x)與&(x)的大小;

(3)證明：VneN*,—+—<ln2.

n+\n+2n+32n

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)和計算公式，直接計算即可求解.

【詳解】由牖=28,得備=28,即智1=28,

整理得"+〃_56二o,解得〃=7或〃=-8(舍去).

故選：C

2.A

【分析】由分步乘法原理即可得到答案.

【詳解】每個班都有3種選擇，利用分步乘法計數(shù)原理，共有3x3x3x3x3=35種不同選法?

故選：A.

3.A

【分析】由隨機(jī)變量y的分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望公式得出答案.

【詳解】根據(jù)所給的分布列，可得工+“+6=1,

3

由雙丫)=1,可得E(X)=0x：+lxa+2xb=l,解得0=b=L

33

故選:A.

4.D

【分析】求導(dǎo)可得，G)=2八2)+：(x>0),令戶2求得〃2)=_；,進(jìn)而即可求出/(I).

【詳解】由/")=2M'(2)+lnx,得/，(X)=2/，(2)+9X>0),

則/(2)=2/'(2)+1,解得八2)=-；,

22

答案第11頁，共22頁

所以八x)=-i+L得/'⑴=°.

X

故選：D

5.B

【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.

【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，

剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，

故共有C；C；A；=6x3x2=36種情況?

故選：B

6.A

【分析】求導(dǎo)可得/'(x)=gx-sinx,則/(X)為奇函數(shù)且廣(1)<0,結(jié)合選項即可求解.

1R

【詳解】由題意知，/(x)=jx-sinx,定義域為，

又「(-x)=-；x+sinx=-7'(x),所以/(X)為奇函數(shù)，排除BD；

又尸(牛一1<0,排除C；

24

結(jié)合選項，A符合題意.

故選：A

7.C

【分析】由已知，結(jié)合條件概率公式求解即可.

【詳解】事件A：”區(qū)域和區(qū)域顏色不同”即從種顏色選出兩種放入?yún)^(qū)域和區(qū)域

A2452

4,

再從剩余的3種顏色選出一種放入?yún)^(qū)域5,剩余的區(qū)域1和區(qū)域3分別都有兩種選擇，

即有A；C；C；C；=240種，

答案第21頁，共22頁

AB事件有A?=120種，

所以啕

2

故選：C.

8.A

【分析】易得a<b,a<c,構(gòu)造函數(shù)/（力=/_/_1，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較仇c的大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】tz=ln2<Ine=1<b,c=e03>e°=1>a，

f

令f(%)=ex-x2-1,則f(x)=QX-2x

令g(x)=e"-2x，貝”g，(x)=e"-2，

當(dāng)x￡(-oo,ln2)時，g，(x)<0/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(ln2,+oo)時，g，(x)〉0/(x)單調(diào)遞增，

所以/(%)>/'(ln2)=2(l-ln2)>0，

所以/（0.3）〉/（0）=0，We03>1,09所以

綜上‘a(chǎn)<b<c'

故選：A

9.AC

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算即可判斷AB；根據(jù)各項的二項式系數(shù)之和為

2〃即可判斷C；利用賦值法即可判斷D.

答案第31頁，共22頁

【詳解】（2x-勺。的展開式的通項公式為C0（2x產(chǎn)（-與二㈠九吁匕環(huán)皿心心地壯幻.

XX

A：令10一2。=0,解得上=5,所以常數(shù)項為（_以嚴(yán)喘=-8064，故A正確；

B：第四項為（-1）寮嚴(yán)隔*=-2,碣x",第八項為（-1）7嚴(yán)《#""=_2?上,

7

有-2C,0w4或，故B錯誤；

10

C：c°0+C]0+--+C；°=2=1024-即各項的二項式系數(shù)之和為1024,故C正確；

D：設(shè)/（x）=（2x-p。，貝i/（D=l,所以各項的系數(shù)之和為1,故D錯誤.

故選：AC

10.BC

【分析】根據(jù)事件包含關(guān)系及條件概率可判定A,根據(jù)全概率公式可判定B,求出隨機(jī)變

量X的分布列及數(shù)學(xué)期望，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可判定C,根據(jù)方差的性質(zhì)可判定D.

【詳解】選項A：因為/gB,且尸（N）=0,4,P（8）=0.8，

則=即尸（48）=0.4,

所以尸（用/）=今罌=1,故A錯誤；

選項B：設(shè)“8=從混合產(chǎn)品中任取1件是合格品”，“4=從混合產(chǎn)品中任取1件是第一

批產(chǎn)品“，

“4=從混合產(chǎn)品中任取1件是第二批產(chǎn)品”，

則尸（4）=40%,尸（3%）=95%,尸（4）=60%,尸（3%）=96%,

所以尸（3）=尸（4）尸（叫4）+尸（4）尸（8|4）=40%>95%+60%>96%=95.6%'故B正確；

答案第41頁，共22頁

選項：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為#,

CA.

則Y的可能取值為1,2,3,4,5,6,

且尸（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=尸（X=5）=尸（X=6）=-,

6

17

所以E（X）=k（l+2+3+4+5+6）.,

7

所以即2丫-1）=2磯幻-1=2*1-1=6,故?正確；

選項D：D（aX+b）^a2D（X）'故D錯誤;

故選：BC.

11.ABC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念、零點的存在性定理即可判斷

AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

義即可判斷D.

【詳解】A：

令小。?得x＞@或x〈一叵令『（X）＜。得〈立,

3333

%）

所以"在（_00,_!）,（9，+8）上單調(diào)遞增，（_。,$）上單調(diào)遞減,

所以x=±Yl時取得極值，故A正確；

3

B：因為〃.蟲）=1+垃＞0,1.速＞0,{2）=-5＜。,

3939

答案第51頁，共22頁

所以函數(shù)/（X）只在（8一且］上有一個零點，即函數(shù)“幻只有一個零點，故B正確；

C：令3）=/_》，該函數(shù)的定義域為R，〃（一“"一4-（_x）=_x3+x=_/；（xy

則6（x）是奇函數(shù)，（0,0）是加x）的對稱中心，將〃（x）的圖象向上移動一個單位得到/（X）的

圖象，

所以點OD是曲線y=/（x）的對稱中心，故C正確；

D：令/'（無）=3/-1=2，可得x=±L又/（1）=〃-1）=1，

當(dāng)切點為（1,1）時，切線方程為y=2x-l,

當(dāng)切點為（T1）時，切線方程為y=2x+3,故D錯誤.

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其

中選項C,構(gòu)造函數(shù)/x）=x3_x，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱推出〃x）的對稱性是解決本題

的關(guān)鍵.

12.10

【分析】利用二項式展開式定理把（尤+田5展開，再由所求的對象可判斷含項的一定是:

2x.C^y-yC^y-從而可計算出系數(shù)?

【詳解】由二項式展開式定理可得：

l4322345

（2x_y）（x+y），=（2x_y）（C>5+c5xy+Cjxy+Cjxy+C1xy+C^）,

所以含//項的一定是：2x.C*y3一廣C*3y2=（2C；-C^）.=1，

答案第61頁，共22頁

故答案為:W

13.2160

【分析】先排丙不能排在最后一位的可能性結(jié)果，結(jié)合對稱性分析求解.

【詳解】因為丙不能排在最后一位，則編排方案共有A1A6=4320種，

又因為甲、乙處于對稱位置，即節(jié)目甲排在乙的前面與節(jié)目乙排在甲的前面數(shù)量相等,

所以該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有照=2160種.

2

故答案為：2160.

【分析】法一：依題可知，方程21nea-2ex=0的兩個根為占屈，即函數(shù)y=與

函數(shù)y=e尤的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ina-優(yōu)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖

象變換得到g（x）的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可

得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點

因為尸3=21110?1-26，所以方程21nad-2ex=0的兩個根為玉,當(dāng)，

即方程In。.心=ex的兩個根為4，三，

即函數(shù)y=與函數(shù)V=ex的圖象有兩個不同的交點，

2

因為占,電分別是函數(shù)/（x）=2^-ex的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)/⑺在（_*再）和（Z,+8）上遞減,在（再用）上遞增，

所以當(dāng)時（-co,無1）（工2，+＜?），/'（無）＜0，即V=ex圖象在＞=ha上方

答案第71頁，共22頁

當(dāng)》?再戶2）時，/%］頷，即〉="圖象在>=1n,優(yōu)下方

a>\,圖象顯然不符合題意，所以0<avl.

令g（x）=lnQ?，，則g'（x）=ln2Q.aX,0<a<l，

設(shè)過原點且與函數(shù)y=g（x）的圖象相切的直線的切點為（Xo，lnad。），

（）

則切線的斜率為6（工0）=1口24.4，故切線方程為歹-1口4?*=11124.*（X-Xo）?

2

則有Tn0%'。=-/In公。'。，解得％=」_,則切線的斜率為1112a./；=eh?〃,

Ina

因為函數(shù)了=Ina?就與函數(shù)了=ex的圖象有兩個不同的交點，

所以eln%<e,解得!<℃,又入"、所以La<l,

ee

綜上所述，"的取值范圍為［』）

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

f'（x）=2\na-ax-2ex=0的兩個根為演,三

因為不用分別是函數(shù)/（x）=2^-ex2的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)/⑺在（-8,王）和仁,+00）上遞減，在（網(wǎng),9）上遞增，

答案第81頁，共22頁

設(shè)函數(shù)g(x)=r(x)=2(a*lna-e尤)，貝?g，(x)=2優(yōu)(hwj_2e，

若則g，(x)在R上單調(diào)遞增，此時若式尤0)=0,則廣(X)在

(_00,%)上單調(diào)遞減，在(%,+00)上單調(diào)遞增，此時若有X=X］和X=X2分別是函數(shù)

/(x)=2，-ex?(a>0且awl)的極小值點和極大值點，則再>招，不符合題意；

若0<a<l,則g，(x)在R上單調(diào)遞減，此時若g<Xo)=O，則y〈x)在(-00,/)上單調(diào)遞增，

在(MS)上單調(diào)遞減’令g'(%)=。，則…高，此時若有"'I和"9分別是函數(shù)

/(x)=2優(yōu)-ex?(a>0且。H1)的極小值點和極大值點,且玉(馬,則需刷足/'(x。)>。，

■/''(%)=2(a』Ina-ex0

e1

lnax°=xAna=In----->1,所以一<Q<1.

(Ina)e

【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出

“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；

法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出

即可，該法屬于通性通法.

15.分布列見解析，期望”，方差”.

482304

【分析】由題意得J的所有可能取值為0,1,2.根據(jù)獨立事件的乘法公式計算求出對應(yīng)的

概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差即可.

答案第91頁，共22頁

【詳解】依題意，《的所有可能取值為o,1,2.

P(^=0)=-x-=—,P(<^=l)=-xl+-x-=—,P(<^=2)=-x-=—,

“74416v7444348v74312

o25

數(shù)學(xué)期望磯j)=0xN+lx乙2J二—,..

16481248

2I21959

x__—_____

112—2304

16.(1)1

(2)65536

(3)3072

【分析】(1)利用賦值法，令x=o即可求解，

(2)在13x)8中令x=l即可求解，

(3)求導(dǎo)后賦值即可求解.

【詳解】⑴令x=0得.。=1;

⑵⑷+同+旬+同+|%|+同+㈤+|聞+可等于(1+34的展開式的各個項系數(shù)的和，

令x=l代入(i+3x>，

8

貝4旬|++1%1++1"/+1%|+1。61+1。71+1=(1+3x1)8=4=65536.

82345678T

G)令/(x)=(1-3x)=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x+a7x+a8x,

答案第101頁，共22頁

則—(X)=8X(1-3x)7X(-3)=-24X(1-3x)7,

3567

且，'(x)=%+2a2x+Sqf_|_4^4X++6a6x+7tz7x+8tz8x'

令x=l,貝I/，⑴=—24x(1-3x1)7=3072，

且-⑴=Q]+24+3。3+4%+5%+64+7%+8%'

所以6+2a2+3%+4%+5%+6。6+7%+81=3072-

17.(1)432

(2)2880

(3)2

-14

【分析】(1)先把相同顏色的球看成一個整體，排3種不同的顏色的球，再各自排紅色、

白色、黑色的球；

(2)先把除黑球外的5只球，結(jié)合插空法即可求解；

(3)滿足要求的事件為必有一種顏色取兩個球，其余顏色各取一個，結(jié)合古典概型的概率

公式計算即可求解.

【詳解】(1)把相同顏色的球看成一個整體，故3種不同的顏色的排法有A；，

2只不同的紅球的排列有A：,3只不同的白球的排列有A；,3只不同的黑球的排列有A；，

故不同的排列的總數(shù)為A；A；A；A；=432；

(2)先把除黑球外的5只球全排列，共有A；種，

再把3個黑球插入上述5個球中間的4個空擋，有A：種，

故共有A；A：=2880-

(3)從8個球中任取4個球共有c：=70，

答案第111頁，共22頁

取4只球，若各種顏色的球都被取到，則必有一種顏色取兩個球，其余顏色各取一個，

故不同的取法總數(shù)為C；C；C；+C；C；C；x2=45,

45Q

所以各種顏色的球都被取到的概率為尸=譽=看?

18.（1）見解析；（2）OD

【詳解】試題分析：（1）討論“諭單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點后要

JI刃

及時進(jìn)行因式分解，再對〃按°w0，°〉。進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)

第⑴問，若心0,?。┲炼嘤幸粋€零點?若〃>0,當(dāng)x=7na時，/⑺取得最

小值，求出最小值〃-lna）=l」+lna，根據(jù)"L0€（15+00），~°'1）進(jìn)行討論,

a

可知當(dāng)ae（O,l）時有2個零點.易知/（x）在（-「Ina）有一個零點；設(shè)正整數(shù)％滿足

>雇-1),則"〃。)=e"03"。+a—2)—>e"。一%>2"。一%>°.由于1n祗_1)>_lna,

aa

因此/（X）在（_ina,M）有一個零點?從而可得a的取值范圍為OD

試題解析：（1）的定義域為（-%+00），

（x）=2ae2x+（a-2）e1-1=（aex-1）（2ex+1）;⑴若。40,則“x）<0,所以/（x）在

（_8,+8）單調(diào)遞減.

（五）若〃>0，則由/，（工）=0得x=-lna-

答案第121頁，共22頁

當(dāng)xe(-co,-Ina)時，/'(x)<0；當(dāng)xe(-lna,+oo)時，f'(x)>0,所以/(x)在(-oo,-lna)單

調(diào)遞減，在(_ina,+oo)單調(diào)遞增.

(2)(i)若aVO，由(1)知，/(x)至多有一個零點.

(ii)若a>0,由(1)知，當(dāng)x=-lna時，取得最小值，最小值為

/(-Ina)=1--+Ina.

①當(dāng)a=l時，由于/(一1皿)=0，故只有一個零點；

②當(dāng)ae(L+°°)時，由于l」+lna>0,即/(F。)>0,故/⑴沒有零點；

a

③當(dāng)ae(?！?時，1」+1曲<0,即/(-1皿)<0.

a

又/(-2)=恁-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0，故/(x)在(一叫一Ina)有一個零點?

設(shè)正整數(shù)”。滿足>In『-11則/(〃。)=e""依"。+。-2)->e"。-%>2"。>0.

由于In1-1]>-Ina,因此在㈠叫+⑹有一個零點.

綜上，。的取值范圍為(0J).

點睛:研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函

數(shù)/⑶有2個零點求參數(shù)。的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不

含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷Jy=5.與其交點的個數(shù)，

答案第131頁，共22頁

從而求出。的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其

單調(diào)性、極值、最值，注意點是若“X)有2個零點，且函數(shù)先減后增，則

只需其最小值小于0,且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.

19.(I)”】，/

2

(2)x?0時，/(x)>7?(x);一l<x<0時，/(無)<氏(無)

(3)證明見解析

【分析】(1)由題意，分別求出八無),尺3和/〃(x),R〃(x),結(jié)合新定義建立方程組，解之

即可求解；

(2)由⑴,設(shè)0(x)=/(x)-R(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)s(x)的單調(diào)性即可求解;

1

?*AR112m+1m=n+1.