高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)培優(yōu)課(四)　隱圓問題（講義）

培優(yōu)課(四)隱圓問題隱圓問題是指在已知條件中沒有明確給出圓的相關(guān)信息,而是隱含在題目中,要通過分析、轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程),從而利用圓的知識(shí)來求解.求解此類問題,主要是培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng).利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定圓[典例1](2022·河南許昌三模)已知M,N為圓C:x2+y2-2x-4y=0上兩點(diǎn),且|MN|=4,點(diǎn)P在直線l:x-y+3=0上,則|PM→+PNA.22-2 B.22C.22+2 D.22-5解析:設(shè)線段MN的中點(diǎn)為D,圓C:x2+y2-2x-4y=0的圓心為C(1,2),半徑為5.C到直線MN的距離為(5)2-(42)2=1,所以|CD|=1,故點(diǎn)D的軌跡是以C為圓心,半徑為1的圓,設(shè)點(diǎn)D的軌跡為圓C′,圓C′上的點(diǎn)到直線l的最短距離為t=|1-2+3在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于常數(shù),則這個(gè)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.解決這類問題只要抓住兩個(gè)關(guān)鍵詞:定點(diǎn),定長.然后再化歸為圓中的有關(guān)問題去解即可.[拓展演練1]設(shè)A是圓(x+1)2+y2=9上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|=4,則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(5,8)距離的最小值為()A.4 B.5 C.6 D.15解析:由圓(x+1)2+y2=9,可知圓心C(-1,0),半徑為3,又|PA|=4,所以|PC|2=|PA|2+32=25,即點(diǎn)P的軌跡方程為(x+1)2+y2=25.故點(diǎn)P到點(diǎn)Q(5,8)距離的最小值為(5+1阿波羅尼斯圓[典例2]已知圓心C在直線y=2x-4上的圓的半徑為1,點(diǎn)A(0,3),若圓C上存在點(diǎn)M,使得|MA|=2|MO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則圓心C的橫坐標(biāo)a的最大值是()A.45 B.85 C.125解析:因?yàn)閳AC的圓心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程設(shè)為(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.設(shè)M(x,y),由|MA|=2|MO|,可得x2+(化簡可得x2+(y+1)2=4,點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意點(diǎn)M(x,y)在圓C上,則圓C和圓D有公共點(diǎn),即|2-1|≤|CD|≤2+1,所以1≤(a即5a2-12a+8≥0,且5a2-12a≤0,由5a2-12a+8≥0,可得a∈R,由5a2-12a≤0,可得0≤a≤125,圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0,12(1)在平面上給定兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足|PA(2)如圖,A,B為兩已知點(diǎn),P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ≠1)的內(nèi)外分點(diǎn),則以PQ為直徑的圓O上任意點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比為λ,|AB|=a.性質(zhì)1.當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)B在圓O內(nèi),點(diǎn)A在圓O外;當(dāng)0<λ<1時(shí),點(diǎn)A在圓O內(nèi),點(diǎn)B在圓O外.性質(zhì)2.因?yàn)閨AC|2=|AP|·|AQ|,所以AC是圓O的一條切線.若已知圓O及圓O外一點(diǎn)A,可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B,反之亦然.性質(zhì)3.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為|PQ|=|PB|+|BQ|=2aλ|λ2-注意:使用阿波羅尼斯圓解題時(shí),若已知條件中沒有坐標(biāo)系,則需要建立坐標(biāo)系后求解.[拓展演練2]若△ABC滿足條件|AB|=4,|AC|=2|BC|,則△ABC面積的最大值為.

解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0).設(shè)C(x,y),由|AC|=2|BC|得(x+2)2+化簡整理可得(x-6)2+y2=32,因此點(diǎn)C的軌跡是以(6,0)為圓心,42為半徑的圓(且去掉點(diǎn)(6+42,0)和(6-42,0)).△ABC的面積的最大值為12AB·r=12×4×42=8答案:82利用A,B為定點(diǎn),|PA|2+|PB|2為定值確定圓[典例3]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點(diǎn)A(0,2),若圓C上存在點(diǎn)M,滿足|MA|2+|MO|2=10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:設(shè)M(x,y),因?yàn)閨MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y-2)2+x2+y2=10,所以x2+(y-1)2=4.因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)M,滿足|MA|2+|MO|2=10,所以兩圓相交或相切,所以1≤a2答案:[0,3](1)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和是定值,則這個(gè)點(diǎn)的軌跡也是一個(gè)圓,當(dāng)然這個(gè)定值會(huì)有一定的范圍,否則軌跡不存在,如果在某一距離前加其他系數(shù)也可以.(2)一般地,若A,B為定點(diǎn),P滿足|PA|2+|PB|2=λ,則P的軌跡是以AB中點(diǎn)M為圓心,λ-12|AB[拓展演練3]正方形ABCD與點(diǎn)P在同一平面內(nèi),已知該正方形的邊長為1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,則|PD|的取值范圍為.

解析:如圖所示以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)點(diǎn)P(x,y),則由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得x2+(y+1)2=2,即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M(0,-1)為圓心,2為半徑的圓,圓心M到點(diǎn)D的距離為|MD|=2,所以|PD|min=2-2,|PD|max=2+2,所以|PD|的取值范圍是[2-2,2+2].答案:[2-2,2+2]A,B為定點(diǎn),PA→·PB→[典例4]已知等邊三角形ABC的邊長為2,點(diǎn)P在線段AC上,若滿足PA→·PB→-2λ+1=0的點(diǎn)P恰有兩個(gè),則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是解析:如圖所示,以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,OC所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)P(x,y),則PA→·PB→-2λ+1=0,即為(-1-x)·(1-x)+y2-2λ+1=0,化簡得x2+y2=2λ(λ>0),故所有滿足PA→·PB過點(diǎn)O作OM⊥AC,垂足為點(diǎn)M,由題意知線段AC與圓x2+y2=2λ有兩個(gè)交點(diǎn),所以|OM|<2λ≤|OA|,即32<解得38<λ≤1答案:(38,1平面內(nèi),若A,B為定點(diǎn),且PA→·PB→=λ,則P的軌跡是以AB中點(diǎn)M為圓心,半徑為[拓展演練4]已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),若直線y=kx+3上存在點(diǎn)M滿足MA→·MB→=3,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是解析:設(shè)M(x,y),因?yàn)镸A→·MB→=3,所以點(diǎn)M的軌跡方程為(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=4.又因?yàn)辄c(diǎn)M在y=kx+3上,所以直線與圓有交點(diǎn),則|3|1+答案:(-∞,-52]∪[5由圓周角的性質(zhì)確定圓[典例5](1)(2022·山東聊城二模)已知點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),滿足AP⊥BP的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.0(2)如圖,P為圓O:x2+y2=4外一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓O的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若∠APB=120°,直線OP與AB相交于點(diǎn)Q,點(diǎn)M(3,3),則|MQ|的最小值為()A.3 B.2C.332 解析:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則x2+y2=4,且AP→=(x+3,y),BP→=(x,y-4),由AP⊥BP,得AP→·BP→=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,即(x+32)2故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為(-32,2),半徑為5由兩圓的圓心距為52,半徑和為52+2=92,半徑差為52-2=12,可知有1(2)由圓的切線的幾何性質(zhì)知,∠APO=60°,又|OA|=2,則|OP|=43在Rt△APO中,AQ⊥OP,由|OA|2=|OP|·|OQ|,得|OQ|=|OA|2所以點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為圓心,3為半徑的圓,方程為x2+y2=3;M在此圓外,|MQ|的最小值即為|OM|-3=9+3-3=3.故選A.平面上動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A,B的張角α為定值,動(dòng)點(diǎn)的軌跡常轉(zhuǎn)化為圓的問題求解.特別地,若α是直角,則直接利用圓周角的定義確定圓的方程.若α不是直角,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩段圓弧.[拓展演練5](1)已知圓C:(x-4)2+(y+3)2=1和兩點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則a的最小值為()A.1 B.6 C.3 D.4(2)已知圓O:x2+y2=94,圓M:(x-a)2+(y-1)2=1,若圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,使得∠APB=60°A.[-15,15]B.[-3,3]C.[3,15]D.[-15,-3]∪[3,15]解析:(1)由∠APB=90°得點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,又點(diǎn)P在圓C上,所以兩圓有交點(diǎn),因?yàn)閳Ax2+y2=a2的圓心為原點(diǎn)O,半徑為a,圓C的圓心為(4,-3),半徑為1,所以|a-1|≤|OC|≤a+1,即|a-1|≤5≤a+1?4≤a≤6,所以a的最小值為4.故選D.(2)由題可知圓O的半徑為32,圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,使得∠APB=60°,則∠APO=30°.在Rt△PAO中,|PO|=3,所以點(diǎn)P在圓x2+y2又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M(a,1),所以3-1≤|OM|≤3+1,所以2≤a2+1≤4,所以a∈[-15,-3]∪[3,[例1](2022·廣西南寧二模)已知圓O1:(x+3)2+y2=1,圓O2:(x-1)2+y2=1,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PA,PB(A,B為切點(diǎn)),使得|PA|=2|PB|,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x29+y25=1C.x23-y2=1 D.(x-5)2+y解析:設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|,得|PA|2=2|PB|2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1,則|PO1|2-1=2(|PO2|2-1),則(x+3)2+y2-1=2[(x-1)2+y2-1],即(x-5)2+y2=33,所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-5)2+y2=33.故選D.[例2](2022·安徽黃山一模)已知點(diǎn)P(-3,0)在動(dòng)直線mx+ny-(m+3n)=0上的投影為點(diǎn)M,若點(diǎn)N(2,32A.1 B.32 C.2 D.解析:由動(dòng)直線方程mx+ny-(m+3n)=0,得m(x-1)+n(y-3)=0,所以該直線過定點(diǎn)Q(1,3),所以動(dòng)點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上,所以圓的半徑為12(1+3圓心的坐標(biāo)為(-1,32),所以點(diǎn)N到圓心的距離為(2+1)2+([例3](多選題)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)P滿足|PA||A.C的方程為(x+4)2+y2=16B.在C上存在點(diǎn)D,使得D到點(diǎn)(1,1)的距離為3C.在C上存在點(diǎn)M,使得|MO|=2|MA|D.在C上存在點(diǎn)N,使得|NO|2+|NA|2=4解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),|PA||PB|=12,得(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12,化簡得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A正確;曲線C的方程表示圓心為(-4,0),半徑為4的圓,圓心與點(diǎn)(1,1)的距離為(-4-1)2+1=26,則點(diǎn)(1,1)與圓上的點(diǎn)的距離的最小值為26-4,最大值為26+4,而3∈[26-4,26+4],故B正確;設(shè)M(x0,y0),由|MO|=2|MA|,得x02+y02=2(x0又(x1+4)2+y12=16,聯(lián)立方程消去y1得x1=0,再代入(x1+4)2+y1[例4]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),且AB⊥AC,則線段BC的長的取值范圍是.

解析:設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x,y),由題意知|OB|2=|OM|2+|BM|2=|OM|2+|AM|2,所以有4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡得(x-12)2+(y-12)2=32,所以點(diǎn)M的軌跡是以(12,12)為圓心,62為半徑的圓,所以AM的取值范圍是[6-22,6答案:[6-2,6+2][例5]已知變量a,θ∈R,則(a-2cosθ)2+(a-52-2sinθ)2的最小值為.

解析:點(diǎn)(a,a-52)在直線x-y-52=0上,點(diǎn)(2cosθ,2sinθ)在圓x2+y2=4上,圓心到直線x-y-52=0的距離為5,則圓上點(diǎn)到直線距離最小值為3,故所求為9.答案:9[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)隱圓的理解1,2隱圓的應(yīng)用3,4圓的綜合應(yīng)用5,61.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:y=k(x-4)上存在一點(diǎn)P,使得|OP|=2,則k的取值范圍為(C)A.[-2,2]B.(-∞,-33]∪[3C.[-33,3D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則|OP|=x2即x2+y2=4,即點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4,且圓x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑為2,由題意可知,直線l與圓x2+y2=4有公共點(diǎn),則4|k|k22.已知O(0,0),A(3,0),圓C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PO|,則r的取值為(C)A.1B.5C.1或5D.不存在解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y).因?yàn)閨PA|=2|PO|,即(x-3整理得(x+1)2+y2=4,所以點(diǎn)P的軌跡為以C1(-1,0)為圓心,半徑r1=2的圓.因?yàn)閳AC:(x-2)2+y2=r2的圓心為C(2,0),半徑r,由題意可得3=|CC1|=r+r1或3=|CC1|=|r-r1|,所以r=1或r=5.3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(6,8),在兩坐標(biāo)軸上分別有動(dòng)點(diǎn)M,N,且|MN|=6,P是MN的中點(diǎn),則PA長度的最小值是(D)A.6B.13C.10D.7解析:設(shè)點(diǎn)M,N分別在x軸、y軸上,設(shè)點(diǎn)P(x,y),則M(2x,0),N(0,2y),所以|MN|2=(2x-0)2+(0-2y)2=36,化簡得x2+y2=9,即點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=9,該圓的半徑為r=3.由圓的幾何性質(zhì)可得|PA|min=|OA|-r=624.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-2),B(1,-1),P為圓x2+y2=2上一動(dòng)點(diǎn),則|PBA.1B.2C.52解析:設(shè)P(x,y),|PB則(x化簡得(1-t2)x2+(1-t2)y2