數(shù)學(xué)實驗課件 第11章11.1

11.1插值

測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較小并且數(shù)據(jù)值是準(zhǔn)確的，或者基本沒有誤差，這時我們一般用插值的方法來解決問題．11.1.1一維插值

已知離散點上的數(shù)據(jù)集

，即已知在點集

上的函數(shù)值

，

構(gòu)造一個解析函數(shù)（其圖形為一曲線）．通過這些點，并能夠求出這些點之間的值，這一過程稱為一維插值．完成這一過程可以有多種方法，MATLAB提供interp1函數(shù)，這個函數(shù)的調(diào)用格式為：

vq=interp1(x,v,xq,method)

該命令用指定的算法找出一個一元函數(shù)v=f(x)，然后以f(x)給出xq處的值.

xq可以是一個標(biāo)量，也可以是一個向量，是向量時，必須單調(diào)，method可以是下列方法之一：

'linear'：分段線性插值（默認(rèn)方式）；

'nearest'：最鄰近插值；

'cubic'：分段三次Hermite函數(shù)插值;

'spline'：三次樣條插值.例11.1已知某產(chǎn)品從1900年到2010年每隔10年的產(chǎn)量為75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893，計算出1995年的產(chǎn)量，用三次樣條插值的方法，畫出每隔一年的插值曲線圖形，同時將原始的數(shù)據(jù)畫在同一圖上．解程序如下year=1900:10:2010;product=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893]p1995=interp1(year,product,1995,'spline')x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,'spline');plot(year,product,'o',x,y);計算結(jié)果為p1995=254.4043，圖形如圖11-1a所示.圖11-1a

三次樣條插值如果用線性插值，則程序的后四行改為：p1995=interp1(year,product,1995,'linear')x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,'linear');plot(year,product,'o',x,y);計算結(jié)果為p1995=252.9885，圖形如圖11-1b所示.圖11-1b

線性插值

這兩種計算方法得到的數(shù)據(jù)有微小的差異，這種差異我們從兩個圖形上也能夠看到，主要表現(xiàn)在節(jié)點（那些繪制成圓點的點）的附近.前者是光滑的，后者有角點出現(xiàn).例11.2某日測得從零點開始每隔2小時的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)如下（℃）：9，10，10，12，20，26，30，29，27，22，20，14，8請推測早上11點的溫度，并畫出這一天的溫度曲線.解>>x=0:2:24;>>y=[910101220263029272220148];>>y1=interp1(x,y,11,'spline')y1=28.4833可推測出早上11點的溫度是28.48℃.>>xi=linspace(0,24,100);>>yi=interp1(x,y,xi,'spline');>>plot(x,y,'o',xi,yi,'-')得到這一天的溫度曲線，見圖11-2，圓圈為插值點，折線為三次樣條曲線.圖11-2溫度曲線11.1.2二維插值

已知離散點上的數(shù)據(jù)集

，即已知在點集

,上的函數(shù)值

，構(gòu)造一個解析函數(shù)（其圖形為一曲面）.通過這些點，并能夠求出這些已知點以外的點的函數(shù)值，這一過程稱為二維插值.MATLAB利用interp2和griddata函數(shù)進(jìn)行插值.1.二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)的插值問題

Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)

該命令用指定的算法找出一個二元函數(shù)z=f(x,y)，然后以f(x,y)給出(x,y)處的值，返回數(shù)據(jù)矩陣Zi.Xi，Yi是向量，且必須單調(diào)，Zi和meshgrid(Xi,Yi)是同類型的.method可以用下列方法之一：

'linear'：線性插值（缺省方式）；

'nearest'：最近鄰點插值；

'cubic‘：三次插值；

'spline'：三次樣條函數(shù)插值；例11.3利用插值方法繪制二元函數(shù)

圖像.解假設(shè)僅知其中較少的數(shù)據(jù)，則可以由下面的命令繪制出已知數(shù)據(jù)的網(wǎng)格圖，如圖11-3所示.[x,y]=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);%生成樣本點surf(x,y,z)axis([-33,-22,-1,1.5])[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);%選擇更密集的插值點z1=interp2(x,y,z,x1,y1);%線性插值figure(2)surf(x1,y1,z1)axis([-33,-22,-1,1.5])z2=interp2(x,y,z,x1,y1,'nearest');%最近鄰點插值figure(3)surf(x1,y1,z2)axis([-33,-22,-1,1.5])z3=interp2(x,y,z,x1,y1,'cubic');figure(4)surf(x1,y1,z3)axis([-33,-22,-1,1.5])z4=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');figure(5)surf(x1,y1,z4)axis([-33,-22,-1,1.5])adcb圖11-3二元函數(shù)插值圖像

從圖11-3a和11-3b可以看出，由這些數(shù)據(jù)繪制的圖形很粗糙的.圖11-3c和11-3d比較理想.例11.4已知1950年到1990年每隔10年，服務(wù)年限從10年到30年每隔10年的勞動報酬表如表11-1.服務(wù)年限年份1020301950150.697169.592187.6521960179.323195.072250.2871970203.212239.092322.7671980226.505273.706426.7301990249.633370.281598.243表11-1某企業(yè)工作人員的月平均工資（元）試計算1975年時，15年工齡的工作人員平均工資.解程序如下：years=1950:10:1990;service=10:10:30;wage=[150.697169.592187.652179.323195.072250.287203.212239.092322.767226.505273.706426.730249.633370.281598.243]w=interp2(service,years,wage,15,1975)計算結(jié)果為235.6287.可知1975年時，15年工齡的工作人員平均工資為235.6287元.例11.5設(shè)有數(shù)據(jù)x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x，y構(gòu)成的網(wǎng)格上，數(shù)據(jù)為12,10,11,11,13,1516,22,28,35,27,2018,21,26,32,28,2520,25,30,33,32,20畫出原始網(wǎng)格圖和將網(wǎng)格細(xì)化為間隔為0.1后的插值網(wǎng)格圖.解程序如下：x=1:6;y=1:4;t=[12,10,11,11,13,15;16,22,28,35,27,20;18,21,26,32,28,25;20,25,30,33,32,20];subplot(1,2,1)mesh(x,y,t)x1=1:0.1:6;y1=1:0.1:4;[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');subplot(1,2,2)mesh(x1,y1,t1);結(jié)果如圖11-4所示.11-4a是給定的網(wǎng)格處的數(shù)據(jù)，11-4b是插值后的數(shù)據(jù).ab圖11-4插值網(wǎng)格圖2.二維散點分布數(shù)據(jù)的插值問題

通過上面的例子可以看出，MATLAB提供的二維插值函數(shù)還是能較好地進(jìn)行二維插值運算的.但該函數(shù)有一個重要的缺陷，就是它只能處理以網(wǎng)格形式給出的數(shù)據(jù)，如果已知數(shù)據(jù)不是以網(wǎng)格形式給出的，則用該函數(shù)是無能為力的.在實際應(yīng)用中，大部分問題都是以實測的

散點給出的，所以不能直接使用函數(shù)interp2進(jìn)行二維插值.

MATLAB語言提供了一個更一般的griddata函數(shù)，用來專門解決這樣的問題，調(diào)用格式如下：

vq

=griddata(x,y,v,xq,yq,method)

該命令用以處理插值基點為散亂節(jié)點的插值問題，變量含義與interp2相同，但不要求x、y分量數(shù)值單調(diào)，所用插值方法也有所不同，method可以用下列方法'之一：

‘linear’：基于三角剖分的線性插值（默認(rèn)）；

‘nearest’：基于三角剖分的最鄰近插值；

‘natural’：基于三角剖分的自然鄰近插值；

‘cubic’：基于三角剖分的三次插值；

‘v4‘：雙調(diào)和樣條插值.例11.6已知某處山區(qū)地形選點測量坐標(biāo)數(shù)據(jù)為：x=0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5y=0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6海拔高度數(shù)據(jù)(單位：米)為：z=8990878592919693908782929698999591898684828496989592908885848381858081828995969392898686828587989996978885828382858994959392918684888892939495898786838192929697989693958482818485858182808081859093958486819899989796958487808185828384879095868880828184858683828180828788899899979698949287請畫出地形地貌圖和等高線圖.解程序如下：x=0:.5:5;y=0:.5:6;[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=[8990878592919693908782;9296989995918986848284;9698959290888584838185;8081828995969392898686;8285879899969788858283;8285899495939291868488;8892939495898786838192;9296979896939584828184;8585818280808185909395;8486819899989796958487;8081858283848790958688;8082818485868382818082;8788899899979698949287];mesh(xx,yy,z)%原始地貌圖（見圖11-5a）xi=linspace(0,5,50);%加密橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)到50個yi=linspace(0,6,80);%加密縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)到80個[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);%生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic');%插值figure;mesh(xii,yii,zii)%加密后的地貌圖（見圖11-5b