2022屆上海市徐匯區(qū)上海第四中學高考數(shù)學五模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

】函數(shù)/'(x)=If—5x+6的定義域為()

A.{x|x<2或x?3}B.{%上<一3或工之一2}

C.1x|2<x<3}D.|x|-3<%<-21

2.已知正項等比數(shù)列{aj中，存在兩項4,4,使得J%=3q,tz6=2a5+3a4,則工+3的最小值是()

mn

379

A.—B.2C.—D?一

234

3.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

4.設集合A={x[—2<x,2,xeZ},5={x|log2X<l},則AB=()

A.(0,2)B.(-2,2]C.{1}D.{-1,0,1,2)

5.函數(shù)y=，4-卯的定義域為A,集合3={xgg2(x+l)>l},則AB=()

A.^x|l<x<21B.^x\-2<x<2^C.|x|-2<x<31D.1x|l<x<31

6.已知角c的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若點尸(2,-1)在角a的終邊上，則sing-2a

()

4433

A.一一B.-C.--D.-

5555

7.等差數(shù)列{4}中，已知3a5=760,且q<0,則數(shù)列{4}的前“項和S"(“eN*)中最小的是()

A.S7或4B.Sl2C.S13D.514

8.已知空間兩不同直線〃?、n,兩不同平面e,B，下列命題正確的是()

A.若加1。且“a,則mnB.若〃z且則〃IP

C.若7"J_a且加p,則。_L，D.若M不垂直于a,且〃ua,則機不垂直于〃

9.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏5出））、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）

31112

A.—B.—C.—D?—

1414147

10.已知向量a與向量加=（4,6）平行，〃=（一5,1）,且a.）=14，貝!la=（）

A.（4,6）B.（T-6）

c"27133巧

11.在三棱錐O—ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且AB，5。,8，以/,^^分別是棱5。，CD的中點,

下面四個結論：

②MN//平面/WD；

③三棱錐A-CMN的體積的最大值為—；

12

④AO與一定不垂直.

其中所有正確命題的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

12.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完閹后，甲說：“我沒抓到

乙說:“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷

定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)f（x）=e，-奴〉0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

14.某市高三理科學生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績J服從正態(tài)分布N（100,a2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為

15.在如圖所示的三角形數(shù)陣中，用a.j（z>j）表示第i行第j個數(shù)（z,/eN*）,已知aiA=1-擊（，eN*）,且當行3

時，每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,即4.j=+（2<J<Z-1）,若am2>2019,則正

整數(shù)旭的最小值為.

0

2

3

1

4

7

8

152172115

16~82T16

I/J/

16.如圖，某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ox+0)+b,則這段曲線的函數(shù)解析式為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=e\

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若對任意的meR,當x>0時，都有機212/(工)+1］〉2瘍機一1恒成立，求最大的整數(shù)七

(參考數(shù)據(jù)：1.78)

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABLBC,AB//CD,AB=4,BC=CD=2,

PA=PD,點尸、。分別為AD,的中點，且平面上平面ABCD.

p

(1)求證：平面POP.

(2)若pp=G，求直線RI與平面尸5c所成角的正弦值.

19.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間，某校舉行了“冰上運動知識競賽”，為了解本次競賽成績情況，從中

隨機抽取部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題:

(1)求b、c的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率；

(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動，并指定2名負責人，求

從第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的概率.

組號分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)150.15

第2組[60,70)350.35

第3組[70,80]b0.20

第4組[80,90]20C

第5組[90,100)100.1

合計a1.00

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)求函數(shù)g(x)=/(x)-x+l的零點；

(2)設函數(shù)/(九)的圖象與函數(shù)y=x+^~1的圖象交于人(王，％),%)(X]<%)兩點，求證：a<x^x2一%；

(3)若左>0,且不等式(V-1)〃弓2%(工-1了對一切正實數(shù)*恒成立，求發(fā)的取值范圍.

22

21.(12分)在平面直角坐標系x0y中，已知橢圓工+3=1(?！?〉0)的左、右頂點分別為A、B,焦距為2,直

ab

線/與橢圓交于兩點(均異于橢圓的左、右頂點).當直線/過橢圓的右焦點尸且垂直于X軸時，四邊形的

面積為6.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設直線AC,BD的斜率分別為勺,《.

①若左2=3匕，求證：直線/過定點；

②若直線/過橢圓的右焦點試判斷3是否為定值，并說明理由.

22.(10分)已知=d+依2-。21+2.

(1)若"0,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式2xlnxW/'(x)+a2+i恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負可得出關于x的不等式，即可解得函數(shù)y=f(x)的定義域.

【詳解】

由題意可得工2—5%+620，解得x<2或x?3.

因此，函數(shù)y=/(x)的定義域為{尤卜<2或123}.

故選：A.

【點睛】

本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎題.

2.C

【解析】

由已知求出等比數(shù)列｛〃〃｝的公比，進而求出租+〃=4,嘗試用基本不等式，但根/EN*取不到等號，所以考慮直

接取m,n的值代入比較即可.

【詳解】

2

a6=2a5+3a4,q-2q-3=0,/.q=3或q=_］（舍）.

m+2

｛c1mq=3%,/.cim-an=af-3'^=，,\m+n=4.

147

當zn=l,〃=3時—F—=—；

mn3

145

當m=2,〃=2時—F—=-?

mn2

i4137

當根=3,〃=1時，-+-=^,所以最小值為一.

mn33

故選:C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.

3.D

【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有^i6+學方

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有國種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有隹種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率

為匹=色，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為p=1—9=12.

150252525

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、

乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.

4.C

【解析】

解對數(shù)不等式求得集合B,由此求得兩個集合的交集.

【詳解】

由Iog2_r<l=log22,解得0<x<2,故3=（0,2）.依題意A={—1,0,1,2},所以AB={1}.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.

5.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合A,解對數(shù)不等式得到集合B,然后直接利用交集運算求解.

【詳解】

解：由函數(shù)y=，4一工2得4—解得—2WXW2,即4={吊—2<x<2}；

解得尤即

Xlog2（x+1）>1=log22,>1,3={x|x>l},

則AnB=1x|l<x<2j.

故選：A.

【點睛】

本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎題.

6.D

【解析】

由題知costz=26，又sinl'-ZaJucos2a=2cos?a-1,代入計算可得.

【詳解】

又sin^—2a2

由題知coscc-........，=cos2(z=2cosa-l=-

55

故選：D

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導公式，二倍角公式的應用求值.

7.C

【解析】

設公差為則由題意可得解得=-萼，可得為=竺答^.令吟蟲可得當

d,3（/+44）=7（01+%7）,1<0,

〃之14時，。“〉0,當"W13時，an<0,由此可得數(shù)列｛4｝前〃項和S“("eN*)中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列伍“｝中，已知3a5=7%),且q<0,設公差為d,

則3(4+44)=7(6+94),解得d=—那，

/八)九)

(55-44L

an=4+(〃-l)a=---——.

55—4〃55

令上——<0,可得〃〉二，故當〃上14時，an>Q,當〃W13時，an<0,

514

故數(shù)列｛”“｝前九項和Sn(neN*)中最小的是兒.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.

8.C

【解析】

因答案A中的直線加，〃可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線”u￡也成立，故不正確；答案C中的直線〃z

可以平移到平面￡中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面內(nèi)，互相垂直，是正確的；答案D中直線加也有可

能垂直于直線〃，故不正確.應選答案C.

9.B

【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】

從“八音”中任取不同的“兩音,，共有最=28種取法；

“兩音，，中含有打擊樂器的取法共有C；Y=22種取法；

所求概率/?=-1|=77.

2814

故選：B.

【點睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).

10.B

【解析】

設;=（x,y）,根據(jù)題意得出關于x、V的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量。的坐標.

【詳解】

設a=（x,y）,且加=（4,6）,人=（一5,1）,

由a〃加得6x=4y,即3x=2y,①'由“?/?=—5x+_y=14,②’

3x=2yjx=T..

所以<一，解得<，因此，a=（T-6）.

-5x+y=14[y=—6'

故選：B.

【點睛】

本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.

11.D

【解析】

①通過證明AC，平面08。，證得ACLB。；②通過證明MN/ABD,證得MN//平面ABD；③求得三棱錐

A-Q0N體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得AO與一定不垂直.

【詳解】

設AC的中點為。，連接05,。。，則ACLO5,AC±OD,又OBOD=O,所以AC,平面08。，所以

AC故①正確；因為MN//BD,所以MN//平面ABD,故②正確；當平面ZMC與平面ABC垂直時，VA_CMN

最大，最大值為匕“=故③錯誤；若AO與垂直，又因為所以3CL

平面ABD,所以XBD1AC,所以比），平面ABC,所以因為O3=O￡>,所以顯然瓦）

與08不可能垂直，故④正確.

故選:D

【點睛】

本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，

屬于中檔題.

12.A

【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.

【詳解】

由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析

判斷能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.Q<a<e

【解析】

若函數(shù)/(x)=e'—奴〉0恒成立，即/(%焉>0,求導得1(x)=e”-在a>O,a=O,a<。三種情況下，分別討

論函數(shù)單調(diào)性，求出每種情況時的1nh,,解關于。的不等式，再取并集，即得。

【詳解】

由題意得，只要/(XU>0即可，

f'(x)=ex-a,

當a>0時，令/'(x)=0解得x=lna,

令/(x)<0,解得x<lna,/(x)單調(diào)遞減，

令尸(x)>。，解得%>lna,/(尤)單調(diào)遞增，

故了(無)在尤=lna時，/(X)有最小值，/OLn=/Qna)=a(l—lna),

若/(x)>0恒成立，

則a(l—lna)>。，解得0<a<e；

當。=0時，/(x)=e*>0恒成立；

當。<0時，f\x)=ex-a,單調(diào)遞增，Qx-J。)--巴不合題意,舍去.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是0W。<e.

故答案為：0Wa<e

【點睛】

本題考查恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍，是?？碱}型。

14.10

【解析】

由題意結合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.

【詳解】

解：>120)=|[l-2P(80<JV100)]=0.10,

所以應從120分以上的試卷中抽取100x0.10=10份.

故答案為：10.

【點睛】

本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎題.

15.2022

【解析】

根據(jù)條件先求出數(shù)列｛冊2｝的通項，利用累加法進行求解即可.

【詳解】

an.\=1-^TF?(”22)，

下面求數(shù)列｛4.2｝的通項，

由題意知,”".2=”0-1.1+40-1.2,(^—3),

n

；?4.2—4-1.2=4T.I=l-^T，(-3)?

(“兒2一%-1.2)+(?！?1.2—2.2)"II"(。3.2—%2)+。2.2=?1一2+“一萬'

-a〃2

數(shù)列｛52｝是遞增數(shù)列，且“20212<2019<“2022.2，

???切的最小值為2022.

故答案為：2022.

【點睛】

本題主要考查歸納推理的應用，結合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列｛冊2｝的通項是解決本題的關鍵.綜合性較強，屬于難題.

.(九3九

16.y=10sm—x+——+20,xe[6,14]

(84

【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得A=5-Xnm,b=，結合圖象求得該函數(shù)的最小正周期丁,

22

2冗

可得出。=亍，再將點（10,20）代入函數(shù)解析式，求出9的值，即可求得該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由圖象可知，Vmax=30,=10,Z.A==10,Z?==20,

27r7i

從題圖中可以看出，從614時是函數(shù)丁=須皿的+0)+/?的半個周期，則7=2x04—6)=16,CD-----——.

T8

jrjTTiTC

又一xl0+°=2?+2左〃，keZ9得0=---\-2k/r(kGZ),取0=——,

8474

所以V=10sinf—x+—j+20,

xe[6,14].

7137r

故答案為:y=10sin—XH-------+20,xe[6,14].

84

【點睛】

本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y=夕(2)2

【解析】

(1)先求得切點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.

(2)對機分成，加=0,mW0兩種情況進行分類討論.當niwO時，將不等式療機-1轉化為

2于口)+工)3叵=L,構造函數(shù)/Z(X)=2/(X)+L利用導數(shù)求得〃(%)的最小值(設為。)的取值范圍，由

xm犬

a>25仁1的得加一2y/2km+1>0在7〃eR上恒成立，結合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式,

m

解不等式求得左的取值范圍.

【詳解】

(1)已知函數(shù)/(x)=/,則⑴)處即為(l,e),

又/'(x)=e*,k=f'(l)=e,

可知函數(shù)/(x)=/過點(L/(D)的切線為y—e=e(x-1),即y=".

(2)注意到x>0,

不等式/(2/(x)+j〉lyflkm-141,

當m=0時，顯然成立;

當mW0時，不等式可化為2/(x)+,〉2叵：—1

xm

令h(x)=2/(%)+-=2ex+-,貝！J〃(x)=2"—[,

XXX

/、

所以存在七￡，

（23J

使"（%）=2淖二=0.

由于y=2/在（0,+“）上遞增，、在（0,+。）上遞減，所以/是"（九）的唯一零點.

JC

且在區(qū)間（0,飛）上砥x）vo,以吊遞減,在區(qū)間［，”）上"（x）＞0,M%）遞增,

即/z（九）的最小值為。（%）=2e"+—=—+一,令一=t€（A/3,2）,

X。/%%0

貝！1=+—=〃+%￡（3+6,6）,將人（九）的最小值設為〃，則q￡（3+百,6）,

冗0xo

因此原式需滿足a＞2叵m-1,即標—2叵m+1〉0在meR上恒成立，

m

又。＞0,可知判別式A=8左一4。＜0即可，即左＜m，且ae（3+百,6）

上可以取到的最大整數(shù)為2.

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于

難題.

18.（1）見解析（2）正

5

【解析】

（1）首先可得。尸，A。，再面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD,即可得到F戶，6C,再由OPLBC,即可

得到線面垂直；

（2）過點。做平面ABC。的垂線OZ,以。為原點，分別以O/，OB,OZ為x,V,z軸建立空間直角坐標系

O-xyz,利用空間向量法求出線面角；

【詳解】

解：（1）VPA=PD,點產(chǎn)為AD的中點，，尸尸，AD,又,??平面平面ABC。，平面PAOi平面

ABCD=AD,PPu平面上4D,

工PP_L平面ABC。，又BCu平面ABC。，APF±BC,

又,：F,。分別為AO,的中點，

/.FO//AB,：.OFLBC,

又FOu平面POF,PFu平面POF,FOPF=F,

：.BC_L平面POF.

(2)過點。做平面ABC。的垂線OZ,以。為原點，分別以OF,OB,OZ為x,y,z軸建立空間直角坐標系

O-xyz,=二A(4,l,0),B(0,l,0),

C(0,-l,0),P(3,0,?

AP=(-1,-1,^),BP=3-1,5,CB=(0,2,0),

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

BPF=0得3%-y+A/3Z=0

由《

導12y=0，令z=3,得幾=0,3),

CBF=U

/ANri-Ar73+373275

/.cos<n,AP)=---------

'/\n\-\AP\2V3-A/5—5

直線PA與平面PBC所成角的正弦值為—.

5

【點睛】

本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.

7

19.(1)?=100,b=20,c=0.20,7?=0.5；(2)—

10

【解析】

(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出。，根據(jù)頻數(shù)、頻率、”的關系分別求出仇。，進而求出不低于70分的概率;

(2)由(1)得c=0.20,根據(jù)分層抽樣原則，分別從3,4,5抽出2人，2人，1人，并按照所在組對抽出的5人編號,

列出所有2名負責人的抽取方法，得出第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即

可求解.

【詳解】

152

(1)a=----=100,b-100x0.20=20,c=----=0.20,

0.15100

由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為：

p=0.20+0.20+0.10=0.5

(2)因為第3、4、5組共有50名學生，

所以利用分層抽樣在50名學生中抽取5名學生，每組分別為：

第3組：第5=2人,第4組：,x5=2人,第5組:,x5=l人,

所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人

設第3組的3位同學為Al、A2,第4組的2位同學為§1、B2,

第5組的1位同學為C1,則從五位同學中抽兩位同學有10種可能抽法如下：

(A1,A2),(Al,Bl),(A1,C1),(A2,B2),

(42,Cl),(Bl,Cl),(52,Cl),

其中第4組的2位同學Bl、B2至少有一位同學是負責人有7種抽法，

7

故所求的概率為伍.

【點睛】

本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎題.

20.(l)x=l(2)證明見解析(3)0<￡,2

【解析】

(1)令g(X)=〃a-尤+1,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進而求解；

IJ2X—InjCtxx

(2)轉化思想，要證?！礊榧醋C％x2.(l——=——4(%左-X],即證加1)>1-2，構造函數(shù)進而求證;

馬一西再々

222

(3)不等式(f一1)/辦."。-)2對一切正實數(shù)X恒成立，'(xk(x-1)=(x-l)[lm-,設

x+1

〃(無)=/，a-幺R,分類討論進而求解.

【詳解】

11-V

解：(1)令g(x)=/nr-x+l,所以<(?=--1=--,

XX

當xe(0,l)時，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當xe(l,+8)時，g，(x)<0,g(x)在(1,y)單調(diào)遞減；

所以g(，加=g⑴=0，所以g(x)的零點為x=l.

7a1

LnXy=%]H-------1

七“l(fā)nx?-Inx.、

(2)由題意?,/.a=Xj%2?(1---------------),

ax2~xi

Inx?—%2-------1

%

X

要證〃〈玉％~1X2X],即證玉%2，(1)<石入2%，即證仇()>19

x2—xx玉x2

111

令”二〉14,則布>1一，由(I)知如,X-1,當且僅當X=1時等號成立，所以血—1,

Xjttt

即所以原不等式成立.

t

(3)不等式(爐-)2對一切正實數(shù)X恒成立，

(%2—l)lnx—k(x—I)2=(x2—X)\lnx—,

x+1

12k，+2(l—左)％+l

設h(x)=Inx—,

x+1x(x+1)2x(x+1)2

記o(x)=f+2(1—左)+1,△=4(l-k)2-4=4k(k-2),

①當△,,()時,即0〈院2時，〃(%)??0恒成立,故當天)單調(diào)遞增.

于是當Ovxvl時，/i(x)</z(l)=0,X%2-l<0,(x2-i)lnx>k{x-1)2,

當％>1時,/z(x)>7z(l)=O,又％2一1>。，故(/一i)/%>左(]一1)2,

又當X=1時，(x2-I)ln=k(x-I)2,

因此，當。〈院2時，(x2-l)lnx..k(x-1)2,

②當△>0,即左>2時，設f+2(1-左)九+1=0的兩個不等實根分別為了3，%4(無3<%4),

又°(1)=4一2左<0,于是七v1v左一1v/，

故當％￡(1,左-1)時，〃(%)<0,從而以元)在(1,左-1)單調(diào)遞減；

當％w(l,k-1)時，h(x)<h(l)=O,此時％2一1>。,于是(%2—1)人(%)<0,

即(x2-l)lnx<k(x-I)2舍去,

綜上，人的取值范圍是?！词?.

【點睛】

(1)考查函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點；(2)考查轉化思想，構造函數(shù)求極值；(3)考查分類討論

思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導；屬于難題.

22人］

21.（1）土+匕=1；（2）①證明見解析；②U=W

43左23

【解析】

2272

（1）由題意焦距為2,設點c（l,%）,代入橢圓=+與=1（。〉6〉0）,解得穌=±￡_,從而四邊形AC&）的面積

aba

b2

6=250酢=2〃?一=2〃，由此能求出橢圓的標準方程.

a

22

（2）①由題意AC:y=4（x+2）,聯(lián)立直線與橢圓的方程上+乙=1,得（3+4年）/+16片-12=0,推導出

431

C（一等FM），。（答/，一苦三），由此猜想：直線/過定點尸。,。），從而能證明P，C,D三點共

3+4勺3+4勺3+4左23+4左2

線，直線/過定點P（L0）.

22

②由題意設C@,%）,。（々，%），直線/：%=沖+1，代入橢圓標準方程：、+上=1,得（3/+4）：/+67町;—9=0,

43

%

6m9由此推導出2=上=生0=腳吵」）=〃明為一?」（定

推導出X+%=

3m2+4123m2+4h%%（%+2）%（沖1+3）加3

入2—2

值）.

【詳解】

（1）由題意焦距為2,可設點C（l,%）,代入橢圓「+與=1（?！?〉0）,

ab

得3[+與2=i,解得為=土幺，

aba

廿.

**?四邊形ACBD的面積6=2sMBC=2〃,一-2b2,

a

b2=3fa2=4f

22

二橢圓的標準方程為、+上=1.

43

(2)①由題意AC：y=KS+2),

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程—+^=1,得(3+4]/+16片-12=0,

431

c16^-12??6-8婷12kl

.?.%=百丁'解得