2023-2024學(xué)年河南省周口市淮陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河南省周口市淮陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下面各題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置。每小題3分，共30分）1．（3分）下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根3．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，則（）A．3 B． C． D．4．（3分）如圖，∠α的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若tanα＝（）A． B． C． D．5．（3分）下列判斷正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上 B．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨 C．“任意購(gòu)買一張電影票，座位號(hào)是3的倍數(shù)”為隨機(jī)事件 D．“概率為0.0001的事件”是不可能事件6．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿AB的高度為x米（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝9．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，3）經(jīng)變換后到點(diǎn)B，下面的說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，3） B．點(diǎn)A繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，3） C．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，﹣2） D．點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，6）10．（3分）下列說(shuō)法正確的是（）A．A，B兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為1：5000，則A，B兩地實(shí)際距離為35m B．若AB＝1cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞CB，則 C．任意兩個(gè)菱形都相似 D．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）寫出一個(gè)比大且比小的整數(shù)為．12．（3分）如圖，斜坡AB的坡度是1：2，如果點(diǎn)B離地面的高度BC是3米米．13．（3分）如圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC＝10，DE＝4，則圖中陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B'處，當(dāng)△AEB'是直角三角形時(shí)．三、解答題（本題8個(gè)小題，共75分）16．（12分）計(jì)算或解方程．（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）解方程：2x2﹣x﹣15．17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求證：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．18．（9分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中點(diǎn)，AD＝8，AB＝1019．（8分）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”、“剪子”、“布”3種手勢(shì)中的1種．其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，手勢(shì)相同部分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．（1）乙每次做出“布”手勢(shì)的概率為．（2）用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲不輸?shù)母怕剩?0．（9分）如圖所示，為了測(cè)量百貨大樓CD頂部廣告牌ED的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測(cè)得∠DAC＝30°，到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得∠EBC＝48°，求廣告牌ED的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）21．（9分）若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如2+2x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝2．則方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”嗎？判斷并說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．22．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接BE（1）若，求AB的長(zhǎng)度；（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．23．（10分）下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103頁(yè)的部分內(nèi)容．例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°求證：．證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE＝CD，連結(jié)AE、BE．請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程．（1）如圖②，直角三角形ABC紙片中，∠ACB＝90°，連結(jié)CD，將△ACD沿CD折疊，此時(shí)恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE＝．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，G是CE的中點(diǎn)，CD＝AE．若AB＝10，則cos∠BCE＝．2023-2024學(xué)年河南省周口市淮陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（下面各題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置。每小題3分，共30分）1．（3分）下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則不是．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式；B、＝，可化簡(jiǎn)；C、＝＝2；D、＝＝3；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】最簡(jiǎn)二次根式是本節(jié)的一個(gè)重要概念，也是中考的?？键c(diǎn)．最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)該是：根式里沒(méi)分母（或小數(shù)），分母里沒(méi)根式．被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，還需將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解，然后再觀察判斷．2．（3分）一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【解答】解：由題意得，，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，則（）A．3 B． C． D．【分析】直接利用平分線分線段成比例定理求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．4．（3分）如圖，∠α的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若tanα＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正切的定義分別求出每個(gè)圖形中的α的正切值可得答案．【解答】解：A．觀察圖形可得tanα＝；B．觀察圖形可得tanα＝；C．觀察圖形可得tanα＝；D．觀察圖形可得tanα＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并能在解直角三角形中靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（3分）下列判斷正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上 B．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨 C．“任意購(gòu)買一張電影票，座位號(hào)是3的倍數(shù)”為隨機(jī)事件 D．“概率為0.0001的事件”是不可能事件【分析】根據(jù)概率的意義、隨機(jī)事件的概念解答即可．【解答】解：A．投擲硬幣是隨機(jī)事件，但任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，說(shuō)法錯(cuò)誤；B．明天的降水概率為40%，說(shuō)法錯(cuò)誤；C．“任意購(gòu)買一張電影票，說(shuō)法正確；D．“概率為5.0001的事件”是事件事件，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義以及隨機(jī)事件，概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．概率取值范圍：0≤p≤1．6．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于sinα的一元一次方程，解之即可得出sinα的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出銳角a的度數(shù)，繼而得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝5有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣）2﹣7×1×sinα＝0，即7﹣4sinα＝0，解得：sinα＝，∴銳角α等于30°，則銳角α的余角等于60°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及特殊銳角的三角函數(shù)值，熟練掌握“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝14，∴DE＝BC＝8，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣8＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿AB的高度為x米（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，∠ADE＝55°，∴sin55°＝，cos55°＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了考查仰角的定義，三角函數(shù)的定義，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，3）經(jīng)變換后到點(diǎn)B，下面的說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，3） B．點(diǎn)A繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，3） C．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，﹣2） D．點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，6）【分析】根據(jù)軸對(duì)稱，中心對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：A．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，﹣3）；B．點(diǎn)A繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后到點(diǎn)B，2）；C．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，﹣8）；D．點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱，中心對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱，中心對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．10．（3分）下列說(shuō)法正確的是（）A．A，B兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為1：5000，則A，B兩地實(shí)際距離為35m B．若AB＝1cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞CB，則 C．任意兩個(gè)菱形都相似 D．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)和圖形相似的判定求解．【解答】解：A：5000×7÷100＝350（m），故A是錯(cuò)誤的；B：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞CB2＝AB?BC，AC＝×AB＝；C：當(dāng)兩個(gè)菱形的角度不等時(shí)，不相似；D：若兩個(gè)等腰三角形一個(gè)是頂角，一個(gè)是底角，故D是錯(cuò)誤的．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的相似，理解圖形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）寫出一個(gè)比大且比小的整數(shù)為2（或3）．【分析】先估算出和的大小，再找出符合條件的整數(shù)即可．【解答】解：∵1＜＜6＜4，∴比大且比．故答案為：3（或3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，根據(jù)題意估算出和的大小是解答此題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，斜坡AB的坡度是1：2，如果點(diǎn)B離地面的高度BC是3米3米．【分析】先利用坡度的定義，求出水平寬度AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出斜坡AB的長(zhǎng)度．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2，∴＝，∵從點(diǎn)B測(cè)得離地面的鉛垂線高度BC是3米，∴解得：AC＝5，則斜坡AB的長(zhǎng)為：＝（米）．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理．掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．13．（3分）如圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．【分析】根據(jù)題意可得：隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，有3種方法，其中有兩種能夠讓燈泡發(fā)光，故其概率為．【解答】解：P（燈泡發(fā)光）＝．故本題答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是概率的求法．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC＝10，DE＝4，則圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)知△ABC∽△EBD，對(duì)應(yīng)邊成比例可得到BD的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式得到大小三角形的面積即可得到陰影部分的面積【解答】解：∵∠ACB＝90°，ED⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，∵BC＝10，AC＝6，∴，∴，∴＝30，．∴陰影部分的面積為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積公式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B'處，當(dāng)△AEB'是直角三角形時(shí)或4（﹣1）．【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE＝B′E，直線EF將∠B折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，△AB′E恰好為直角三角形，有兩種可能：①∠AB′E＝90°，②∠AEB′＝90°，設(shè)BE＝x，運(yùn)用三角形相似列比例式解方程即可得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝4，∴AC＝＝＝2，直線EF將∠B折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的B′處，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BE＝B′E，設(shè)BE＝x，則B′E＝x，①當(dāng)∠AB′E＝90°時(shí)，則B′E∥BC，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝，∴AB′＝；②當(dāng)∠AEB′＝90°時(shí)，則△AEB′∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝2（﹣5），∴AB′＝4（﹣8），故所求AB′的長(zhǎng)度為：或4（．故答案為：或4（．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠全面的思考問(wèn)題進(jìn)行分類討論是本題的關(guān)鍵．三、解答題（本題8個(gè)小題，共75分）16．（12分）計(jì)算或解方程．（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）解方程：2x2﹣x﹣15．【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）原式＝＝＝1；（3）∵2x4﹣x﹣15，∴（2x+5）（x﹣8）＝0，∴2x+2＝0或x﹣3＝8，解得x1＝﹣2.6，x2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，解一元二次方程，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求證：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝﹣1得出關(guān)于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2m+1）6﹣4×1×（m﹣4）＝4m2+3m+1﹣4m+6＝4m2+5＞0，∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出，由x4+x2+3x3x2＝﹣1得﹣（7m+1）+3（m﹣7）＝﹣1，解得m＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．18．（9分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中點(diǎn)，AD＝8，AB＝10【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出證．（2）由于點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，設(shè)AE＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知＝，從而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，設(shè)AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝6，AB＝10，∴＝，解得：x＝6，∴AE＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．19．（8分）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”、“剪子”、“布”3種手勢(shì)中的1種．其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，手勢(shì)相同部分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．（1）乙每次做出“布”手勢(shì)的概率為．（2）用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲不輸?shù)母怕剩痉治觥浚?）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫出樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲不輸?shù)那闆r數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）乙每次做出“布”手勢(shì)的概率為；故答案為：；（2）畫樹(shù)狀圖得：共有9種等可能的情況數(shù)，其中甲不輸?shù)挠?種，則甲不輸?shù)母怕适牵剑军c(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列舉法求概率，解答此題的關(guān)鍵是列出可能出現(xiàn)的所有情況，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（9分）如圖所示，為了測(cè)量百貨大樓CD頂部廣告牌ED的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測(cè)得∠DAC＝30°，到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得∠EBC＝48°，求廣告牌ED的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）【分析】在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，再利用已知求出BC的長(zhǎng)，然后再在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴CD＝AC?tan30°＝30×＝10，∵AB＝10米，∴BC＝AC﹣AB＝20（米），在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，∴EC＝BC?tan48°≈20×1.111＝22.22（米），∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈6.9（米），∴廣告牌ED的高度約為4.3米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（9分）若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如2+2x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝2．則方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”嗎？判斷并說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝﹣4，然后根據(jù)“隔根方程”的定義計(jì)算判斷；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝﹣m，x2＝1，則根據(jù)“隔根方程”的定義得到﹣m＝1+2或﹣m+2＝1，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；理由如下；（x﹣3）（x+4）＝0，x﹣4＝0或x+4＝7，解得x1＝5，x4＝﹣4，∵5﹣（﹣8）＝9≠2，∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；（2）x2+（m﹣4）x﹣m＝0，（x+m）（x﹣1）＝3，x+m＝0或x﹣1＝3，解得x1＝﹣m，x2＝2，當(dāng)﹣m＝1+2時(shí)，解得m＝﹣4；當(dāng)﹣m+2＝1時(shí)，解得m＝2綜上所述，m的值為﹣3或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．22．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接BE（1）若，求AB的長(zhǎng)度；（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)及勾股定理求解；（2）根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)的意義求解．【解答】解：過(guò)B作BF⊥AC于F，過(guò)D作DH⊥BF，∴∠BFC＝∠ABC＝90°，DH∥AC，∴DE∥BF，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴E平分CF，H平分BF，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∴△CDE∽△DBH（AAS），四邊形DEHF為矩形，∴BH＝DE＝FH＝2，∴BF＝4；（1）∵，∴CE＝4，∴EF＝BF＝8，AF＝2，∴AB＝2；（2）∵∠C＝30°，∴CD＝4，CE＝2，∴D