高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-空間向量與立體幾何訓(xùn)練Ⅱ卷（人教版）

一輪復(fù)習(xí)必刷空間向量與立體幾何專題訓(xùn)練n卷

高三一輪復(fù)習(xí)

注意事項：

i.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知點&T，2,3）,B（2,0,4）.點0為坐標(biāo)原點，^OC=2AB,則點C的坐標(biāo)為（）

A.（6,-4,2）B.（-6,4,-2）C.（3,—2,1）D.（—3,2,-1）

2.在三棱臺A5C-43cl中，AAi=AB=AC=2AiBl=2f

cos/BAA=cos/BAC=cos/CAA=；,△耳用6的重心為0,BC的中點為。，4。與

4。相交于點E,則AE的長為（）

AA/179^^78「阿?7178

A.----D.----C.----U.----

4488

3.在直三棱柱ABC-ABC1中，AC1BC,AC=AAi=4,BC=2,則異面直線AQ與

BC所成角的余弦值為（）

A.旦B.巫「V15D.平

X_z.-----

555

4.在正方體ABCD-A81GA中，有下列命題：①（AA+AD+M）2=3A52；②

AC（Ag-&4）=0；③A"與4臺的夾角為60°.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.已知圓錐的底面圓心為。，頂點為S,側(cè)面展開圖對應(yīng)扇形的圓心角為也兀，A,B

是底面圓周上的兩點，S3與平面SQ4所成角的正弦值為:，則以與所成角的余弦

4

值為（）

A.在B.1C.-D.且

4242

6.若空間兩直線4與4的方向向量分別為〃=（4,%,%）和力=伯也也），則兩直線4與4

垂直的充要條件為（）

A.%=肪1,。2=砌，。3=勸3（AGR）

B.存在實數(shù)鼠使得a=kb

C.%仄+a2b2+a3b3=0

D.a/=±?q

OO

7.在空間直角坐標(biāo)系。-Ayz中，點A（2,-l,3）到點。的距離為（）...

..

..

A.75B.710C.y/13D.714..

三

8.如圖，在平行六面體ABCD-AB|CQ|中，AB=AD=2,M=4,ZZMB=90°,鄭

..

..

..

N&L4,=ND44=60。，E為CG中點，則AE的長為（）..

..

..

..

..

..

OO

.※.

.※.

.鼠.

.※.

.※.

題

※

※

1

出

A.2小B.2乖C.376D.375.※.

.※.

.會.

.※.

.※.

二、多選題區(qū)

O※O

9.如圖，四邊形A3CD是邊長為5的正方形，半圓面APZ）_L平面ABCD,點尸為半圓※

.堞.

弧AO上一動點（點尸與點A,D不重合），下列說法正確的是（）.※.

※

.W.

.※.

.※.

塌

照

郵

※

..

.※.

.氐.

..

.※.

.※.

..

鵬.

..

.派.

O※O

..

A.三棱錐尸-ABD的四個面都是直角三角形..

..

B.三棱錐尸的體積最大值為1寧25..

..

C.異面直線出與BC的距離是定值

氐

宅

D.當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時，平面R4B截四棱錐P-ABCD外接球的..

..

..

截面面積為紀叵..

..

4..

..

..

10.下面四個結(jié)論正確的是（）..

OO

A.已知向量a=（9,4,-4）1=（1,2,2）,則a在分上的投影向量為。,2,2）..

..

試卷第2頁，共4頁

B.若對空間中任意一點0,^OP=^-OA+\OB+\OC,則尸,A,B,C四點共面

C.已知｛。，瓦。｝是空間的一組基底，若〃7=a+c，則｛〃，瓦利｝也是空間的一組基底

D.若直線/的方向向量為e=(1,0,3),平面a的法向量〃-2,()q],則直線/_La

11.已知直線/的方向向量為〃，兩個不重合的平面a,夕的法向量分別為4,%,則

()

A.若〃///,貝!J/J_aB.若〃.々=0,則〃/a

C.若小//巧，則。//2D.若々?%=0,則a_L4

三、填空題

12.如圖在四棱錐P-MCO中，平面ABC。，AB//CD,ZBAD=90°,AB=6,

PA=3,ADf，E是直線PB上的一個動點，則AE與平面PDC所成角的最大值

為.

13.古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人

攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢.如下圖的“曲池”是上、下底面均為半圓形的柱體，

/里，平面至8,/見=3,43=2。1)=2兀,￡為4旦的中點，則直線CE與平面。E與所成

14.平行六面體ABCD-AgGA的各棱長均相等，^BAD=ZDAA,=Z^AB=60,直

OO

線AGC平面ABD=E,則異面直線D.E與AD所成角的余弦值為...

}..

..

..

三

四、解答題鄭

.如圖，在直四棱柱中，..

15ABCD-AgGAAB//CD,ABrBC,AA,=AB=BC=2,CD=3,..

..

..

A.F1..

E為4B的中點，點R在AC上，且滿足笠=￡..

..

..

..

OO

.※.

.※.

.鼠.

.※.

.※.

施

※

※

1

任

(1)求直四棱柱ABCD-AB]GR的側(cè)面積.※.

.※.

AG2鄒

(2)設(shè)點G在AQ上，且苦=￡，試判斷直線AG是否在平面AEV內(nèi)，并說明理由...

.※.

.※.

16.已知M,G分別是空間四邊形ABC。的兩邊BC,CD的中點，化簡下列各式：區(qū)

O※O

※

⑴AB+BC+CD'.堞.

.※.

-1T-※

；..

(2)AB+-(BD+BC)出

.※.

—17f.※.

塌

照

(3)AG--(AB+AC).郵

※

..

.※.

17.在正六棱柱ABCDEF-aBCQE田中，化簡4月―￡F+AB+C^+DF，并在圖中..

.氐.

..

.※.

.※.

標(biāo)出化簡結(jié)果...

鵬.

..

.派.

O※O

..

..

..

..

..

氐

宅

..

..

..

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】利用向量。？=2AB可得OC坐標(biāo)等于2AB的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】設(shè)點C的坐標(biāo)為（x,y,z）,OC=（x,y,z）,

因為點A（T，2,3）,8（2,0,4）,AB=（3,-2,1）,

由00=243,可得（x,y,z）=2（3,—2,l）,

解得:x=6,y=-4,z=2,

所以點C的坐標(biāo)為（6,T,2）

故選：A.

2.D

【分析】延長4。交4G于點P，通過三角形重心的性質(zhì)得出P為4G的中點，結(jié)合已知即

可得出4。=亨4尸=再通過三棱臺的性質(zhì)得出\EODEA,則

卷=釜=；,即可將AE分解為"（6A4,+A8+AC）,即可利用向量模的求法結(jié)合已知得

出答案.

【詳解】如圖，延長4。交用G于點尸，

B

4瓦￡的重心為。,

4尸為△AB?在B,ct邊上的中線，即尸為B,Q的中點,

三棱臺ABC-43]G中，lAgGABC,AB=AC=2A^BX=2

.-.AF=1AD,A51=A1C,=I,

答案第1頁，共14頁

:.AO=-AF=-x-AD=-AD,

一3323

■三棱臺ABC-A與G中，面A與C面ABC,且面ADFAX分別交面A旦G，面ABC^A.F,

AD,

二.A尸AD,

A,EODEA,貝=

DEDA3

得AE=|A41+^-A￡)=|A41+|^AB+1AC^=|A41+1AB+|AC=1(6A41+AB+AC),

所以

|AE|=1^A^+AB+AC^2=1^eA^2+AB2+AC2+UA^-AB+12A^-AC+2AB-AC=

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】/:，/

/eV

/

X、、、、B

_______________

X

以c為坐標(biāo)原點，向量。LCB,CC；方向分別為X，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（4,0,0），G（0,0,4）,C（0,0,0）,g（0,2,4）,

所以A￡=（T,0,4）,耳C=（O,—2,T）,AQBiC=-16,

所以異面直線AG與瓦c所成角的余弦值等于

ACBC

1/4rRr\|_|1,-1_16_M

1'八AC>8。716+16x74+165

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線性運算性質(zhì)、數(shù)量積的運算性質(zhì)、線面垂直的

答案第2頁，共14頁

判定定理、共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】①由A4,+AD+AB=AG及正方體棱長與體對角線關(guān)系，故

(AVAO+AB)2=AC：=3函，①正確；

②AC(Ag-4A)=aCAB],

而面48與4，AB]U面AB44，則又入了工人用，

BCn\B=B,3cA3u面A3C,故人與_1面A3C,

又ACu面ABC,故Ag^AC，則4/(4月一44)=0,②正確;

③設(shè)該正方體的棱長為。，

舫■AlB=^AD+DDiy^AlA+AB^=ADAlA+ADAB+DlDAiA+D1DAB

=0+0+(-a2)+0=—cr,

.?.ADI.A^B—a~1

所以D=

因為兩個向量的夾角的范圍為[o,180°],

ULIUUUU

所以AD1與48的夾角為120°,③不正確，

故選：C.

5.A

【分析】先用向量數(shù)量積求直線與平面成角的正弦值，通過解方程確定8點位置，再用向量

數(shù)量積求異直線成角余弦值.

【詳解】設(shè)SO—h,OA=R,SA=l,

因為側(cè)面展開圖對應(yīng)扇形的圓心角為技■,

答案第3頁，共14頁

所以岑=信，于是cosNSAO=￡=且，所以/&4。=工，

II26

所以/=2。，R=乖)h,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)ZBOC=e,則各點坐標(biāo)如下：S(。，0,/z),B(yf3hcos0,勒sin。，。)，A(0,島，6,

SB=(y[3hcos0,舟sin(9,-h),SA=(0,回,-h),OB=(由hcosH,揚sin6,。)，平面SOA

的法向量為"=(1,0,0),

卜A/3/JICOS0\3、h

SB與平面504所成角的正弦值為=了，|cos昨半，

卜叫“2J/?-1?42

所以&4與。B所成角的余弦值為禽鼠=幻胃=/普=爭1_"小手.

故選：A

6.C

【分析】由空間直線垂直時方向向量〃%=0，即可確定充要條件.

【詳解】由空間直線垂直的判定知：a.b=%瓦+a2b2+4么=。.

當(dāng)44+42b2+。34=。時，即〃?/?=()，兩直線4與，2垂直.

而A、B、D說明4與4平行.

故選：C

7.D

【分析】利用空間兩點間的距離公式直接求得答案.

【詳解】點4(2,-1,3)到點0的距離7(2-0)2+(-1-0)2+(3-0)2=^，

答案第4頁，共14頁

故選：D

8.A

【分析】空間向量AE=AB+BC+CE,平方求模長即可求解.

【詳解】由AE=A8+8C+CE,兩邊平方得：

(AE)2=(A5+BC+CE)2=4+4+4+2AB-BC+2AB-CE+2BC-CE

=4+4+4+2x2x2cos60+2x2x2cos60=12+4+4=20.

所以,q=2斯.

故選：A.

9.ACD

【分析】對于A,使用空間中直線、平面垂直有關(guān)定理證明；

對于B,三棱錐尸-ABD底面積固定，當(dāng)高最大時，體積最大，可通過計算進行判斷；

對于C,找到與E4和BC均垂直的即可判斷；

對于D,首先利用空間向量解決尸3與平面ABCD所成角最大時點尸的位置，再用△的

外接圓解決平面PAB的截面圓面積的計算即可.

【詳解】對于A,?.?四邊形A5CD為正方形，???△54。為直角三角形；

為直徑，尸為半圓弧AO上一動點，，以，尸口，△AP。為直角三角形；

「平面AP￡)_L平面ABCD,平面平面ABCD=AD,ABu平面ABC。，

ABLAD,

，AB_L平面APD,平面APD,ABYPA,△為直角三角形；

；AB_L平面,尸Z)u平面APD,/.AB1PD,

又；PALPD,ABPA=A,ABu平面RR,Rlu平面

尸。_L平面R43,丁尸3u平面上43,/.PD.LPB,△跳Z)為直角三角形；

因此，三棱錐尸-ABD的四個面都是直角三角形，故A正確；

P

對于B,過點P在平面APD內(nèi)作尸于點E,

答案第5頁，共14頁

?.?平面APD_L平面ABC。，平面APDl'平面ABCD=>1D,PEu平面AP。,

/.PE1平面ABCD,PE為三棱錐P-ABD的高，

三棱錐P-ABD的體積V…=！SAABD?PE

125

???△曲的面積SBL5X5X5=$■為定值，

當(dāng)PE最大時，三棱錐P-ABD的體積最大，此時點尸為半圓弧A￡)的中點，PE=(AD=T,

1255125

三棱錐P-ABD體積的最大值為=故B錯誤；

對于C,由A選項解析可知，ABLPA,

又?..四邊形ABCD為正方形，

.?.異面直線以與2C的距離為線段的長，AB=5,

.?.異面直線PA與BC的距離是定值，故C正確；

對于D,由B選項解析知，尸E_L平面ABCD,仍為PB在平面ABCD內(nèi)的射影，

???NP3E為直線網(wǎng)與平面45co所成角，當(dāng)直線尸3與平面ABCD所成角最大時，cos/PBE

取最小值，

以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)DE=a,。?0,5),PE=h,則AE=5-a

二在直角三角形ARD內(nèi)，PE?=AE-ED，即后=。(5-°),

AE(a,0,0),P(a,0,/7),B(5,5,0),

BP=(a-5,-5,h),BE=(a-5,-5,0)

BPBE(a-5)2+25

cosZPBE=cos<BP,BE>=——----r

H\nBE\^(0-5)2+25+//2-^(?-5)2+25

答案第6頁，共14頁

f（（7-5）2+25Ia2-10〃+50I4-lOu+50

〃（）

\a-5）2+25+h214—10+50+Q5-qV-50-5a-

a2-1061+50_la（a-10）+50_\-g10110-g1Q-

5（10-61）—N5（10-a）-VT+10-a~V5+10-a

???Q￡（0,5）,.M0-a>0

10—a10

5+10-a丁9-23

.?.當(dāng)且僅當(dāng)"*=7^-,即a=io-5應(yīng)時，cos/PZ適取最小值，直線PB與平面ABC。所

510-a

成角最大，

此時，尸8?=,尸/=（。-5y+25+/=50—5a=25夜

VP,A,B三點均為四棱錐P-ABCD的頂點，

平面7MB截四棱錐尸-ASCD外接球的截面為4的外接圓面，

「直角三角形外接圓半徑r=

截面面積5=兀/=兀里="叵，故D正確.

44

故選：ACD.

【點睛】易錯點睛：在判斷三棱錐尸-ABD的四個面是否都是直角三角形時，易忽視△BPD,

需通過證明PD1平面F4B進行判斷；在確定直線PB與平面A5CD所成角最大時點P的位

置時，容易錯誤的認為當(dāng)點尸為半圓弧A。的中點時，直線尸3與平面ABC。所成角最大，

需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識進行判斷.

10.ABC

【分析】利用投影向量的定義判斷A,利用空間四點共面，^&OP=mOA+nOB+tOC，

其中祖+〃+力=1判斷B,根據(jù)向量基底的概念判斷C,利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.

【詳解】選項A：因為a=（9,4,T）,b=（l,2,2）,所以“在b上的投影向量為

a-bb=（連心=卷￡?（122）=（1，2,2）,故選項A正確;

\b\\b\

選項B：因為二+彳+；=1,故選項B正確;

632

選項c：{a,b,c}是空間的一組基底，m=a+c，所以兩向量之間不共線，所以

答案第7頁，共14頁

{a,"〃”也是空間的一組基底，故選項C正確；.

選項D：因為直線/的方向向量為e=(l,0,3),平面。的法向量w=1-2,0,g),

e7=-2+0+2=0，則直線/〃或/ua,故選項D錯誤；

故選：ABC

11.ACD

【分析】對于A：利用法向量的定義直接判斷；對于B：判斷出〃/a或/在面。內(nèi)；對于C：

由垂直于同一直線的兩平面平行即可判斷；對于D：由面面垂直的判定定理判斷.

【詳解】對于A：因為〃//4,4為平面a的法向量，所以〃為平面a的一個法向量，所以/La.

故A正確；

對于B：因為為為平面a的法向量，直線/的方向向量為〃，且=0,所以〃/a或/在面a

內(nèi).故B錯誤；

對于C：因為兩個不重合的平面。，"的法向量分別為4,%,且4//%,由垂直于同一

直線的兩平面平行可知：￡//月.故C正確；

對于D：因為4-〃2=。，所以

又因為兩個不重合的平面a,夕的法向量分別為4，%,

所以由面面垂直的判定定理可得：。，尸.故口正確.

故選：ACD

12.30°.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，先求得平面PDC的法向量力=(0,百,1),再設(shè)

BE=4BP—0),則AE=(6-640,32)，設(shè)AE與平面PDC所成的角為。，則

3|幾|

sin0=|cosAE,n\=