2024年高三數(shù)學(xué)講義 嵌套（復(fù)合）函數(shù)問(wèn)題綜合

嵌套（復(fù)合）函數(shù)，分段函數(shù)綜合問(wèn)題

嵌套函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量、零點(diǎn)范圍、參數(shù)范圍等問(wèn)題常見(jiàn)于高考和各類模擬試題的壓軸小題。可以說(shuō)是函數(shù)

中最困難的部分都不為過(guò)，如果能把該板塊內(nèi)容理解透徹，那你對(duì)函數(shù)的理解有上了一個(gè)新的臺(tái)階。我們

常見(jiàn)有兩類嵌套函數(shù)分別是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解題的主要思路是:首先通過(guò)“換元”

達(dá)到“解套”的目的，再利用數(shù)形結(jié)合的思想解決具體問(wèn)題即可。

1.嵌套函數(shù)形式：形如/（g（x））

2.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟

（1）換元解套，轉(zhuǎn)化為f=g（x）與＞=/（/）的零點(diǎn).

（2）依次解方程，令人。=0,求才,代入/=g（x）求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

注：抓住兩點(diǎn)：（1）轉(zhuǎn)化換元；（2）充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì).

內(nèi)容展示

目錄

題型一嵌套（復(fù)合）函數(shù)求值問(wèn)題................................................2

題型二分段函數(shù)等值線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）................................2

題型三分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍..................................5

題型四分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍........................................6

題型五關(guān)于的f（分的一元二次方程或嵌套函數(shù)...................................7

題型六分段函數(shù)與嵌套函數(shù)綜合（畫2個(gè)函數(shù)圖像）..............................9

1/11

重點(diǎn)題型?歸類精講

題園O嵌套（復(fù)合）函數(shù)求值問(wèn)題

「21]

1.已知/（X）是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有//（%）+—=-,則

/（log23）的值為.

2.任意時(shí)，/U?⑺-；]=2恒成立，且函數(shù)了=加）單調(diào)，貝歷）=.

3.已知函數(shù)廣（x）是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且滿足了"（無(wú)）一歷（尤+1）]=歷3+2,則函數(shù)/（尤）的

解析式/（》）=，若不等式，（月＞機(jī)一/對(duì)任意xe[O,+刈恒成立，則實(shí)數(shù)力的取

值范圍是.

題四名分段函數(shù)等值線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）

l,x=2_

4.設(shè)函數(shù)/Xx)=[log“Ix-21+1,.2,a>1若函數(shù)且⑴="⑴]+W)+,有三個(gè)零點(diǎn):

XXXX

X1,X2,X3,貝U王％2+23+13=

2/11

|log7x|,0<x<2

5.已知函數(shù)=若存在實(shí)數(shù)再<尤2<工3<匕，且/'(占六〃尤2)=/(無(wú)3)=/(xJ,

2卜7-1,2WX<5

則--2)(巧-2)的取值范圍是.

玉W

6.已知函數(shù)/(%)=|%2一5%+4|—日有三個(gè)零點(diǎn)石,九2,%3，貝！1再+%2+九3=()

A.7B.8C.15D.16

llgxl0<cx3

7.設(shè)函數(shù)〃尤)=裊’、。，，關(guān)于1的方程於)=加有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根公電,與”

則玉2+君+君十寸的最小值為

12

8.已知函數(shù)./(%)=5"+2]+2，X"0,若關(guān)于*的方程〃司=。有四個(gè)不同的且

|log2x|,x>0

有看<々<退<X4,則玉后+土金的取值范圍是

|log2(x-l)|,l<x<3

9.已知函數(shù)/(x)=。29，若方程/(%)=加有4個(gè)不同的實(shí)根玉,々，*3，*4，且

一廠——x+10,x>3

[22

(11)

xl<x2<x3<x4，則—H--

1%X2)

【相似題】

3/11

10.已知函數(shù)/(尤)=卜+D：'X"°,若方程/(%)=。有四個(gè)不同的解為，知H%，且

Jog2M龍〉0

X[＜羽＜與＜》4,則尤3(石+%)+——的取值范圍為()

~'%3尤4

A.(-L+00)B.(-L1]C.(—oo,1)D.[-l,1)

|log2x|,0<x<2

11.已知函數(shù)/(x)=<x-j,若實(shí)數(shù)a,b,c滿足0<avb<c,且/(0)=F。)=/(c),下列

log],x>2

2

結(jié)論中恒成立的是()

4

32

A.ab=lB.c-Cl———C.a+c<2bD.Z?--<0

2ac

一x?—JCwF一401

12.已知函數(shù)/(1)=('小"、，若方程-〃2=0有4個(gè)根分別為無(wú)1，X2，兀3,4,

[Ilgx|+2,xe(0,+oo)——

且看＜々＜與＜"，則七人送色的取值范圍是

—九？一2%y<CQ

13.(多選)已知函數(shù)/(X)=(「'一八,若西<%2<%3<%4，且

|log2x|,x>0

)="X2)=〃W)=〃Z),則下列結(jié)論正確的是()

A.西+工2=-1B.%l4=1

C.1<%4<2D.0<<1

4/11

14.已知函數(shù)小）='?；，則〃〃3））=——■若存在…「使得

/(a)=/(/?)=/(c)貝【J2"+2b+l+2c=.

|log3x|,0<x<3

15.已知函數(shù)/(x)=h210o,，若方程/(%)=加有四個(gè)不同的實(shí)根和毛，玉，。滿足

—x---x+o,x>3

[33

為<%2<王<七貝I]3)(*3)的取值范圍是()

x{x2

A.(0,3)B.(0,4]C.(3,4]D.(1,3)

16.(多選★)已知函數(shù)/(X)=F，2，X：°若，(芯)=，伍)=〃%3)=〃%4)且

—lOg2-X+1,XSU

>x2>x3>x4,則下列結(jié)論正確的有()

A.X+%2+%3+%4<0B.%+%2+%3+%4〉0

C.石工2%31421D.0<%％2%3%4<1

題旦旦分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍

17.設(shè)函數(shù)—21"'"是定義在火上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。取值范圍為

or—o,x<a

5/11

18.已知〃>0且Qwl,函數(shù)y=優(yōu)一1+1的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（加，n）,函數(shù)y=loga（〃u：2一〃%+幾）在區(qū)間

（-8/］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是一

19.設(shè)函數(shù)“X）=卜2-X—2鼻'a是定義在R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a取值范圍是_______.

ax—6,x<a

20.已知｛X）=10ga（Qx2-x）（。>0且存1）在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。取值范圍

是

I園四分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍

'2

21.若函數(shù)/（》）=廠—2X+4，”"”的值域?yàn)棰?⑸,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_________.

2+2x,x>a

\x-a\+Lx>l

22.已知”X）=,（a>0且aWl）,若八x）有最小值，則實(shí)數(shù)。取值范圍是

a+a,x<l

23.函數(shù)/（x）=xlx-aI在區(qū)間（0,1）上既有最大值又有最小值，實(shí)數(shù)a的范圍（）

A.2\/2—2,0jB.^0,2V2—2^C.D.—2,1）

6/11

24.設(shè)函數(shù)“式)」2"-a，x<l，若/(%)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_______.

[4(x—a)(x-2a),x>l

25.已知函數(shù)/。)=]:一1"7?1)、若存在石<々，使得/&)=/(々)，則西"(々)的取值

^log2x,xe[l,+oo)

范圍為.

題因坦關(guān)于的大幻的一元二次方程或嵌套函數(shù)

26.已知f(x)=|ex-l|+l,若函數(shù)g(x)=[f(x)]2+(a-2)/(x)-2a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

27.已知函數(shù),/(x)=2x,xeR.①若方程V(x)-2|=%有兩個(gè)解,則機(jī)的取值范圍為；②若不

等式"(x)f+/(x)-〃>0在R上恒成立，則m的取值范圍為.(第一空1分,第二空2分)

Illogox|,x>0,

28.設(shè)函數(shù)“X)=次1則函數(shù)8⑴=3/(x)-8/W+4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_________

I乙,via

"2

29.(天津高考)已知函數(shù)/(x)=廠+(4"-3)*+3"‘尤<。m>o,且在1)在R上單調(diào)遞

[log“(x+l)+l,%>0

減,且關(guān)于X的方程|/(x)|=2一%恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

7/11

------%W-]

30.(多選)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)=lx+l|'，若關(guān)于x的方程"(初,+，/(尤)+6=0

1,X=-1

有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解X1，不，/，且汨<x2<X3.下列說(shuō)法正確的是

()

A.x；+x；+x；=5B.\+a+b=OC.+x3>2X2D.%+&=-2

31.已知函數(shù)/(x)=2*,g(x)=1^^^2若g(時(shí)(2x)-c)+g(/(x+2))<0對(duì)任意的

me[-2,-1],xe[0,21恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

【相似題】一一改數(shù)據(jù)

32.已知函數(shù)/(x)=2工，g(x)=^^^■若g(n?f(2x)—c)+g(/(x+2))<0對(duì)任意的

me[-2,-1],%e[0,21恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

/、x+l,x<0I-/

33.已知函數(shù)/■(%)=,C，則函數(shù)y=/[/(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.

inx\,x>u

34.已知關(guān)于x的不等式logj/n?_x+j〉0在[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

8/11

題園式分段函數(shù)與嵌套函數(shù)綜合(一般畫2個(gè)函數(shù)圖像來(lái)分析)

35.已知函數(shù)/(%)=<m>°，g(x)T.2x若方程〃g(x))"。至少有3個(gè)不

相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1xIx>0

36.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=F2c八若關(guān)于x的函數(shù)y=2/(x)+2好(x)+l有8

-x-2%,%<0

個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

ln|x-2],xw2

1若關(guān)于X的函數(shù)Zz(x)=g2(x)一2g(x)+c有5

37.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)=<

-,x=22

12

個(gè)不同的零點(diǎn).為,%，%3，%4，%5，則/+考+后+北+%；=.

\5X-I\x<l

38.已知函數(shù)/(x)=8,，若方程/(/(力)=。恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a

-----,x>1

、冗+1

的取值范圍是.

卜-1|,尤>0

39.已知/(%)=<則方程八2忖-2)-a=0(“eR)的根個(gè)數(shù)可能是

—%2—2龍,x<0

9/11

A.3B.4C.5D.6

拒(一x)x<0

40.已知函數(shù)/(x)={x二八，若關(guān)于x的方程/2(x)+，W(x)+2〃z+l=0恰有5個(gè)實(shí)

\e-2|,x>0

數(shù)根，求機(jī)的取值范圍.

2X+1r<0

41.已知函數(shù)/(x)='二'c則方程r(x)_2/(x)+a-1=0的根的個(gè)數(shù)可能為()

|log2x|-l,x>0

A.2B.5C.6D.8

|lnx|,x>0,c

42.知函數(shù)y(x)=2/°/八若函數(shù)8(幻="(刈2-4/(乃+〃2+1恰有8個(gè)零點(diǎn)，則111

x~+4x+3,x<0

的取值范圍是.

log(x+2),—2V%W0

43.已知函數(shù)〃x)=(1o,若函數(shù)g(x)=r(x)-(a+l)/(x)+a,aeR恰有

x-2x+l,x>0

3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。取值范圍為.

44.(2023?浙江?二模)已知函數(shù)〃x)=|x-a|e)則/(/(")=。至多有個(gè)實(shí)數(shù)解.

12%+11%<1

45.已知/(x)=,「I，g(x)為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若y=/(g(x))-根有9個(gè)零點(diǎn),

log2(x—1),X>1

則m的取值范圍是.

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嵌套（復(fù)合）函數(shù)，分段函數(shù)綜合問(wèn)題

嵌套函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量、零點(diǎn)范圍、參數(shù)范圍等問(wèn)題常見(jiàn)于高考和各類模擬試題的壓軸小題?？梢哉f(shuō)是函數(shù)

中最困難的部分都不為過(guò)，如果能把該板塊內(nèi)容理解透徹，那你對(duì)函數(shù)的理解有上了一個(gè)新的臺(tái)階。我們

常見(jiàn)有兩類嵌套函數(shù)分別是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解題的主要思路是:首先通過(guò)“換元”

達(dá)到“解套”的目的，再利用數(shù)形結(jié)合的思想解決具體問(wèn)題即可。

1.嵌套函數(shù)形式：形如/（g（x））

2.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟

（1）換元解套，轉(zhuǎn)化為f=g（x）與＞=/（/）的零點(diǎn).

（2）依次解方程，令人。=0,求才,代入/=g（x）求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

注：抓住兩點(diǎn)：（1）轉(zhuǎn)化換元；（2）充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì).

內(nèi)容展示

目錄

題型一嵌套（復(fù)合）函數(shù)求值問(wèn)題................................................2

題型二分段函數(shù)等值線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）................................3

題型三分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍..................................9

題型四分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍........................................10

題型五關(guān)于的》（舊的一元二次方程或嵌套函數(shù)..................................12

題型六分段函數(shù)與嵌套函數(shù)綜合（畫2個(gè)函數(shù)圖像）.............................16

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重點(diǎn)題型?歸類精講

題園O嵌套(復(fù)合)函數(shù)求值問(wèn)題

21

1.已知/(X)是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有//(%)+—?jiǎng)t

/(log23)的值為.

【答案】-

2

21

【解析】令〃*+彳下=/,則/⑺=3

21222

再令尤=，，則/(%)+—^——=t^-+———=m/=l,則/(%)+-----=-------+1

''2'+132'+1v72X+12%+1

/(log23)=1

2.任意時(shí)，/U?⑺-)=2恒成立，且函數(shù)了=4)單調(diào)，則八就)=.

【答案】2020

【解析】令,貝|/(m)=2,

t

再令％=根，則有/(m)--=m^>2=—+=則f(t)=l+-

mmt

所以/(^^)=1+2019=2020.

3.已知函數(shù)Hx)是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且滿足了"(X)一歷(x+l)]=歷3+2,則函數(shù)了(無(wú))的

解析式/(》)=，若不等式/(無(wú))>相一，對(duì)任意xe[0,+刈恒成立，則實(shí)數(shù)勿的取

值范圍是.

【答案】/(x)=Zn(x+l)+2；(-oo,3)

【解析】(1)令〃%)-ln{x+V)=t,則/(。=/打3+2=%+歷(%+1)m=2,則〃％)=歷(*+1)+2

(2)f{x)>m—ex=^>ln(x+l)+2+ex>m,由單調(diào)性可知/〃(0+1)+2+￡°>根=>3>加

2/25

題四二分段函數(shù)等值線(方程根之間的數(shù)量關(guān)系)

l,x=2

4.設(shè)函數(shù)/(X)=<,>1若函數(shù)g(x)=[/(x)]2+W)c有三個(gè)零點(diǎn):

log”|x—2|+l,xw2,+

XVX2,X3,貝UXrX2+X2X3+國(guó)犬3=

【答案】11

【解析】令/(%)=，，結(jié)合圖像，關(guān)于，方程/+6+C=0有2個(gè)相等的實(shí)根，設(shè)再<%2<%3

顯然，=1,則f(%)=/(工2)=〃W)=1

貝|]1=108.(2—再)+1=108。(％3—2)+1=玉=1,九3=3,%=2,

則xrx2+x2x3+x1x3=11

|log9x|,0<x<2

5.已知函數(shù)/(%)=(,3,若存在實(shí)數(shù)石〈馬〈毛V%，且/(不)=/(%2)=/(入3)="工4),

211-1,2^x<5

則伍-2)(%一2)的取值范圍是.

玉龍2

答案(0,1)

解析

畫出〃龍)的圖象如圖所示,

一方面，由及玉<%,|bg2X||=|log2X2|nbg2芯=Tog2X2,可得占無(wú)2=1；

3/25

另一方面，/（%）=/（尤4）及無(wú)3<%,2叱-1=2131-1,所以國(guó)-3|=k4一3|,有/+網(wǎng)=6,且2M/V3,

故』-2）（無(wú)T）=@3-2）（匕-2）=（尤3-2）（4-尤3）?（0,1）.故答案為（。,1）.

玉工2

6.已知函數(shù)/(x)=|X?-5x+41-Ax有三個(gè)零點(diǎn)看,乙,%,則石+%+%=()

A.7B.8C.15D.16

【答案】B

【解析】g(x)=|x2-5x+4|,h(x)=kx,由題可知g(x)與〃(x)有3個(gè)交點(diǎn)，如圖

貝寸一x?+5x-4=Ax僅有一個(gè)根，解得左=1或左=9(舍)，

設(shè)xl<x2<x3,貝UX2=2,石+X3=6,故選B

|lgx|,0<xW3

7.設(shè)函數(shù)/(x)=<關(guān)于X的方程/㈤=%有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和如工4，

/（6-x）,3<x<6

則才+巖+年+工：的最小值為

【答案】36

【解析】/(%)=/(6-x),可知函數(shù)圖像關(guān)于x=3對(duì)稱

當(dāng)3Vx<6,/(x)^(6-x)=|lg6-x|,/(X)圖像如下

錯(cuò)解：顯然再+4=無(wú)2+%=6

4/25

X：+,+宕+X：2。+（尤2=36（并不能取到等號(hào)）

正解：-lgXi=lgX2=lg（673）=Tg（6-X4）=M0</"lg3）,

m

則玉=10/，芍=i0m,匕=6-10"',x4=6-10-,令10』（1<〃<3）

所以X；+xj+x；+xj=2（九~+12（/1+力）+72

再令〃+_1=1，則1-<4（如果比較熟練可以直接令10m+l（ym=（一次換元即可）

n

x：+年+W+X：=2?-121+68N50

12

2%+2X+2，X*0,若關(guān)于*的方程/(”=”有四個(gè)不同的藥,々,吃,%，且

8.已知函數(shù)./（x）=<

|log2x|,x>0

有為<X,<為<%，則不名+五2的取值范圍是

1■X4

【答案】(一3,3]

2X+x4

9=X

【解析】圖像如下，顯然石+%2=-4,X3'X4=1,貝1JX3X4+------4-----

X4x4

【答案】9

5/25

【解析】顯然一log2(石-I)=log2(x2—l)n——；=元2—1=再+元2=西元2n—十一二1

石一1再x2

(11)

*3+*4=9,---1(%3+%4)=9

【相似題】

10.已知函數(shù)/(%)=卜+1)：'尤4°,若方程/(%)=Q有四個(gè)不同的解與孫巧，％，且

|log2x|,x>0

X]<工2</<%則％3(尤1+%)+/—的取值范圍為()

可龍4

A.(—1,+oo)B.(—1,1]C.(—oo,1)D.[-L1)

【答案】B

/、1c1

【解析】顯然%3(%1+%2)+——=-2冗3H為減函數(shù)，而冬晝-,1所以選B

元3、4毛_2;

|log2x|,0<x<2

11.已知函數(shù)/(x)=|(3、，若實(shí)數(shù)a,b,c滿足0<a<b<c,且〃。)=/。)=〃。),下列

log1|x--\,x>2

結(jié)論中恒成立的是()

34

A.ab=lB.c-a=—C.a+c<2bD./----<Q

2ac

【答案】ABD

12.已知函數(shù)=|'"M、，若方程了⑺-根=。有4個(gè)根分別為知/，兀3,%，

yigx|+2,xe(0,+oo)

且X]<%2<%3<則-^r^2-X3-X4的取值范圍是

【答案】(2,4)

6/25

—九？一2九y<CQ

13.(多選)已知函數(shù)/(x)=(,—c，若X]<%2<%<%4，且

|log2x|,x>0

)=/(々)=〃￡)=〃相),則下列結(jié)論正確的是()

A.%1+x2=-1B.%3匕=1

C.1<%4<2D.0<x1x2%3x4<1

【答案】BCD

14-已知函數(shù)則/63))=——?若存在……使得

/(a)=f(b)=/(c)則2"+2b+1+2c=.

31

【答案】(1)—:(2)6

32

|2r-l|,x<l

【解析】f(x)=<圖像如下,

3-2\x>l

=2h-l=3-2c,

貝，】2"+2?i+2，=(V+l)+(2/+2)+(3—/)=6

|log3x|,0<x<3

15.已知函數(shù)/(x)=<1210。2，若方程/(%)=加有四個(gè)不同的實(shí)根和滿足

—x---x+o,x>3

[33

%<%2<%3<%4則"3)(%3)的取值范圍是()

為％2

7/25

A.(0,3)B.(0,4]C.(3,4]D.(1,3)

答案A

解析

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:

根據(jù)條件，結(jié)合圖形可知OVwVl,且玉%2=1，均+%4=1°，其中3<匕<4

則(無(wú)3T(七-3)=伍_3)(10一七一3)=(X-3)(7-X)=-(X-5)2+4

333中其中3<%<4,

故仁一3乂/3)

因?yàn)?(4-5)2+4在(3,4)上單調(diào)遞增,

16.(多選★)已知函數(shù)/(x)=<?若”“Jr㈤=小)=〃%)且

%1>x2>x3>x4,則下列結(jié)論正確的有()

A.X]+%2+七+%4<°B.玉+%+%3+%4

C.x.x,x3x4D.0<九%12犬3元4<1

【答案】BD

[解析]^-log2(-x4-l)=-log2(x3+l)=-log2x2=log2X1,其中/+%4=_2,石

所以玉+九2=玉+'>2(取不到等號(hào))，貝U為+X,+%3+%4=-2+為+工>°

一%-西

X3-X4<(^^]=1(取不到等號(hào))，則0<占了2%3%4<1

8/25

題園口分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍

17.設(shè)函數(shù)=二%一是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。取值范圍為

ax—b,x<a

【答案】［2,4］

【分析】在每一段上為單調(diào)遞增，且在端點(diǎn)位置要保持/（X）在R上為增函數(shù),

a>2

則,解得2WaW4

a——tz—2>a?—6

18.已知a>0且ah1,函數(shù)y=/T+1的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（加，n）,函數(shù)y=log/"?/一+“）在區(qū)間

上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

【答案】2Va<3

【解析】易知m=l,n=2,則好題式--辦+2），顯然y"_a+2在（.8,1］上遞減，

則羯〉］,且f-ax+2>0在（.0cJ］上恒成立，得l-a+2>0na<3

<a=>a>2

->1

12

綜上，2Wa<3

19.設(shè)函數(shù)/（x）=11—x-2|,x'a是定義在R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a取值范圍是_______.

ax-6,x<a

【答案】2Ka<4

【解析】考慮3個(gè)部分

因?yàn)閍x—6為增函數(shù)，易知a>0;

|12—X—2|的單調(diào)增區(qū)間為-1,耳U［2,+s）;所以a22

2個(gè)端點(diǎn)大小比較：一。一212a2-6=>1<4

綜上，24々工4

9/25

20.已知人x）=loga（ax2-x）（a>0且存1）在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。取值范圍

是.

【答案】2<a<4

【解析】除了分析單調(diào)性還要考慮真數(shù)部分大于零

顯然x>0在（一，一］上恒成立，所以〃>（-］na>4

<42JI工人ax

由同增異減可得

2a4

綜上，2<a<4

題四圓分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍

1-2

21.若函數(shù)〃尤）=x—2%+4,“4"的值域?yàn)椋?,+00）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________

2+2x,x>a

【答案】［l,+oo）

\x-a\+l,x>l

22.已知〃尤）=x,（。>。且。21）,若寅x）有最小值，則實(shí)數(shù)。取值范圍是

a+a,x<\

【答案】ae^0,1U（l,+oo）

【分析】分a>l和0V〃V1討論，再求出xWl和x>l時(shí)函數(shù)值的范圍，結(jié)合外）圖像最小值得關(guān)于a的

不等式求解.

【解答】解：①當(dāng)時(shí)，若xWl,外）=/+〃單調(diào)遞增，此時(shí)aV/（x）W2〃；

若IVxV”，fix）=a~x+l單調(diào)遞減，x>a9於）=%一〃+1單調(diào)遞增，

故x>l時(shí)，?r）的最小值為<a）=l,故若?r）有最小值，則?>1;

②當(dāng)OVqVl時(shí)，若xWl,?r）=a"+q單調(diào)遞減，此時(shí)?r）22q;

若x>l,/（x）=x—a+1單調(diào)遞增，此時(shí)段）>2—a,

2

故若小）有最小值，則2aW2—〃，即OVq<3-

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,gU（l,+8）.

10/25

23.函數(shù)/（x）=x|x-a|在區(qū)間（0,1）上既有最大值又有最小值，實(shí)數(shù)a的范圍（）

A.[-2A/2-2,0)B.(0,2A/2-2]D.

【答案】D

x2-ax.x>a(、

F(x)={,/W=/(?)

【解析】9，如圖所示，f(x)max=f\min

-x+ax.x<a\)

z\0<_<1

要使區(qū)間（。,1）上既有最大值又有最小值，則j2，即且1<%

0<（7<1

-V2+1

（舍）,

25/2-2<a<1

設(shè)函數(shù)/（關(guān)）=產(chǎn)'一。，為<1

24.,若/（%）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

4（x-a）（%-2a）,x>1

【答案】一,1［2,+6）

-2）

【解答】

當(dāng)x<l時(shí)，2、一a的取值范圍是（一。，2—a）；方程4（%—。）（％—2。）=0的解為%=a,x2=2a

若/（X）在（-00,1）上有一個(gè)零點(diǎn)，則—a<0<2—a=>0<a<2,

而［1,+00）也存在一個(gè)零點(diǎn)，所以。<l<2a,此時(shí)gwa<l

若/（X）在（一8,1）上沒(méi)有零點(diǎn)，則—420或2—0工0,即aWO或aN2

而［1,+co）也存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以<；—此時(shí)a22

11/25

f2x-l,xe[0,l)

25.已知函數(shù)/(x)=若存在%<%,使得/(%1)=/(9)，則可?/(%2)的取值

[log2x,xe[l,+oo)

范圍為.

【答案】[0』)

1、

【解析】畫出大致圖像，顯然玉e一,1,尤2e[1,2)=>f(x2)G[0,1)=>再,/(%2)e[0,1)----錯(cuò)解

2)

要注意須，/之間存在聯(lián)系，不是相互獨(dú)立的，

正解：設(shè)2石一廠log?9=%,即/(々)刁〃；me[0,1)

2

則x1■/(x2)=~~~-m=-^m+-^m,mG[0>l),所以再,/(9)e[0,1)

2

法二：/(玉)=/(x2)=石?/(x2)=x1-/(x1)=2x1一%，

“八2

.XjG—91,02光]一項(xiàng)v1

題包區(qū)關(guān)于的大X)的一元二次方程或嵌套函數(shù)

26.已知/(x)=H-1+1,若函數(shù)g(x)=[/(x)]2+(?-2)/(x)-2a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A先換元再十字相乘得到一個(gè)零點(diǎn)，再討論另外一個(gè)零點(diǎn)的范圍

12/25

27.已知函數(shù),7(x)=2;xeR.①若方程|/(x)-2|=m有兩個(gè)解，則m的取值范圍

為;②若不等式"(X)『+/(X)T”>0在R上恒成立，則m的取值范圍為.(第一空1

分,第二空2分)

答案.(0,2),(-叫0]

解析①由題意f(x)為2]向下平移兩個(gè)單位，再將X軸下方部分翻折到上方，注意XfTO時(shí)X-2，結(jié)合圖

象可得me(O,2)；②令/=/(尤)，則re(0,+oo),m<t2+t對(duì)任意r>0恒成立,f>0時(shí)產(chǎn)+.的取值范圍是

(0,+oo),則m<0.

fllogx|,x>0,

28.設(shè)o函數(shù)/(x)='/2,'則函數(shù)g(x)=3/(x)-8/W+4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_________.

IZ,X1U,

【答案】5

【解析】令/(x)=/,則3/-1+4=0,得(3/2)("2)=0

2

當(dāng)f=2時(shí)，有2個(gè)對(duì)應(yīng)的x,當(dāng)時(shí)，有3個(gè)對(duì)應(yīng)的x

綜上，有5個(gè)零點(diǎn).

"2

29.(天津高考)已知函數(shù)/(%)=廠+?"-3)*+3"'x<05>0,且中1)在R上單調(diào)遞

logfl(x+l)+Lx>Q

減,且關(guān)于x的方程|〃x)|=2一x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

【答案】一Wa<—

33

一色口0