2024年高考押題預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（北京卷2）（考試版A4）

絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測卷02【北京卷】

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合-={0,1,2,3},集合3={無l<x<4},則AcB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2）

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3-4i,貝”的虛部為（）

A.3iB.-3i

C.3D.-3

3.已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,離心率為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A./上=1B.—=1

33

22

C.=1D.--尤2=1

-33

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

11

A.v=r2B.y=~

y一人V

C.y=tanxD.y=x\x\

5.設(shè)a>0,b>0,則“l(fā)g(a+b)>0"是“l(fā)g(ab)>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.在,ABC中，/4=120,a=VT9,b-c=1,貝LABC的面積為()

3石3

A.B.-

2

3石D.3

C.

4

7.在,ABC中，AB=4,AC=3,^\AB+AC\=\AB-AC\,則

A.16B.-16C.20D.-20

8.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為若S3=30,%=4,則89=()

A.54B.63

C.72D.135

9.在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)尸（cos。，sin。）到直線kx-y-3k+4=0的距離，則當(dāng)0,左變化

時，d的最大值與最小值之差為（）

A.2B.3C.4D.6

10.如圖，正方體ABCD-A4GA中，點(diǎn)P為線段BQ上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

DxA,

0

CB

（1）三棱錐A-RPC的體積為定值；

（2）直線AP與平面ACR所成的角的大小不變；

（3）直線AP與4。所成的仍的大小不變，

（4）AC±DP.

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.Q-2xj的展開式中常數(shù)項為（用數(shù)字作答）

12.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在C上，^\MF\=3,貝UM至U直線尤=一2的距離為：.

13.若函數(shù)/（x）=2sin^-cos^|+Acosx（A>0）的最大值為則A=,/［裔］=.

14.已知數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S”為其前n項和，q/=16,邑=14,則

?2=;記<=卬a2為（"=1，2,）,若存在小wN*使得T?最大，則n0的值為.

15.設(shè)aeR,函數(shù):2「給出下列四個結(jié)論：

［X—3ax+2a,x>1

①當(dāng)4=1時，“X）的最小值為-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一個零點(diǎn)；

③存在。>0,使得/'（X）有三個不同零點(diǎn)；

④Vae（F,O）,〃x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

如圖，直三棱柱AB|G-ABC中，AB=AC=AAi,BC=42AB,點(diǎn)。是BC中點(diǎn).

（1）求證：40,平面BCC4；

（2）求證：48〃平面4?！?；

（3）求二面角A-A2-D的余弦值.

17.（13分）

記一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6cosA=V^asin8.

⑴求sinA；

(2)若a=7L再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，

并求,ABC的面積.

條件①：b=癡c;條件②：b=R;條件③：sinC=；.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

18.(13分)

2021年10月16日，神舟十三號載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會對接，航天員翟志剛、

王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國空間站開啟了有人長期駐留的時代.2022年4月16日，

神舟十三號載人飛船圓滿完成任務(wù)，平安返回.為普及航天知識，某市組織中學(xué)生參加“探索太空”知識

競賽,競賽分為理論、操作兩個部分，兩部分的得分均為三檔，分別為100分、200分、300分.現(xiàn)從參加

活動的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計其兩部分成績，成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：

理論

100分200分300分

操作

100分021

200分3b1

300分23a

例如，表中理論成績?yōu)?00分且操作成績?yōu)?00分的學(xué)生有2人.

(1)若從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或操作至少一項成績?yōu)?00分的學(xué)生概率為

g.求。,6的值；

(2)在(1)的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績?yōu)?00分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有

一個人操作的成績?yōu)?00分的概率；

(3)若要使參賽學(xué)生理論成績的方差最小，寫出匕的值.(直接寫出答案)

19.(15分)

22

已知橢圓C:，+當(dāng)=l(a>b>0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),A,8分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)D(x,y)

3

在橢圓C上，且直線AD與皿的斜率之積為-“

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線2x+"-3=0與橢圓分別相交于M,N兩點(diǎn)，直線MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓的另一個交點(diǎn)

為E,求「KVE的面積S的最大值.

20.(15分)

已知函數(shù)/(x)=J7,g(x)=aln尤,aeR.

⑴若曲線y=/(x)與曲線y=g(尤)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求。的值和該切線方程;

⑵設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g。)，當(dāng)飄X)存在最小值時，求其最小值例。)的解析式.

21.(15分)

rj

a+d,_gN*

nk

若存在常數(shù)MAeN*,左22)、c、d,使得無窮數(shù)列｛4｝滿足。用，則稱數(shù)列｛風(fēng)｝為

ca”-&N*

k

“「數(shù)列.已知數(shù)列也｝為“「數(shù)列”.

(1)若數(shù)列也｝中，瓦=1,k=3、d=4、c=0,試求%19的值;

(2)若數(shù)列也｝中，4=2,左=4、1=2、c=l,記數(shù)列出｝的前〃項和為S〃，若不等式見"儲3"對

72WN*恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍;

(3)若也｝為等比數(shù)列，且首項為6,試寫出所有滿足條件的也｝,并說明理由

2024年高考押題預(yù)測卷02【北京卷】

數(shù)學(xué).參考答案

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

12345678910

ADCDBABBDc

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11,-16012.413.1漁14.43或415.②③

2

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質(zhì)，得出AD13C和AOLCG，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可

證出平面BCQBI；

（2）連接AC,交AG于點(diǎn)￡,連接OE,結(jié)合三角形的中位線得出根據(jù)線面平行的判定定理,

即可證出A\BH平面ADC1；

（3）連4A,交BA于點(diǎn)0,分別取。8、A8中點(diǎn)H、。一連接HO、、。?！?，根據(jù)線面垂直的判定

定理，可證出平面A5瓦A和03,平面。從而得出/。戶。就是二面角的平面角，最

后利用幾何法求出二面角A-A.B-D的余弦值.

【詳解】解：（1）證明：AB=AC,。是BC中點(diǎn)，.?.ADL3C,

又，在直三棱柱AAG—ABC中，CC]_L平面ABC,ADu平面ABC,

AD1Cq,

又BCcCQ=C,3。匚平面3。7再，CQu平面BCC百，

.?.AD_L平面BCG片.

（2）證明：連接交AG于點(diǎn)E,連接DE,

D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，

:.DE是ABC的中位線，二4^“刀石，

ABcZ平面AE>G，DEu平面ADG，

AB”平面AOG

（3）解：連4A,交BA1于點(diǎn)0,分別取。8、A3中點(diǎn)H、?！高B接DH、HO、、DO,,

四邊形AB瓦4是正方形且“、。|分別是。8、A3的中點(diǎn)，故反。，。2,

在ABC中，AB=AC,BC=?AB，

BC~=2AB"=AB"+AC2,：.ABLAC,

又。一。分別是A3,8C中點(diǎn)且

:.O{DVAB,

又在直三棱柱44G-A5C中，M，平面A5C,OQU平面ABC,

/.O]￡)J_朋,

Q4BcA4,=A,ABu平面AB44，44.<=平面45月4,

.?.。0，平面43月4，

03u平面AB4A,HO,u平面ABB^,

:.OtD-LOB,O1D±HO.,

又?.HO,LOB,O\DcHO\=Oi,OXDu平面DHO},HO,u平面DHOt,

.?.08_1平面。目。|,

HDu平面。..08,HD,

又：平面4418c平面ABO=A18

NO|/TO就是二面角A-A.B-D的平面角,

設(shè)AB=2,則在上HOQ中，ZHO]D=90°,

OQ=gAC=l,OiH=；OA=：ABi=*

故"￡>=4,

-2'

故cosZO,HD==金=與'

Uri763

2

即二面角A-^B-D的余弦值為史.

3

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和線面平行的判定定理，以及利用幾何法求解二面角余弦值，還涉及三角形中

位線和勾股定理的逆定理的運(yùn)用，考查推理證明能力和運(yùn)算能力.

17.（13分）

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角公式計算即得.

（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件②，利用正弦定理計算判斷三角形

不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積.

【詳解】(1)由bcosA=J5asinB得：sinBcosA=V2sinAsinB而sin3w。，

Pl!|cosA=5/2sinA>0，A為銳角,又sin?A+cos2A=1,解得sinA=#，

所以sinA=立且A為銳角.

3

(2)若選條件①，由sinA=3，A為銳角，得cosA=逅，

33

由余弦定理得/=/+1-2/?ccosA,又6=太C,貝(J3=6c?+02—4c?,

解得c=l,6=?,ABC唯一確定，所以S'M=46csinA=@.

ABC22

7(A/3

若選條件②，由正弦定理得上=二，則局女網(wǎng)與加

smAsmBsin力=--j=-=—<1

由b=a>a=6，得因此角5有兩解，分別對應(yīng)兩個三角形，不符合題意.

若選條件③，由sinA=3,A為銳角，得cosA=1,

33

又sinA=>sinC=—,得a>c，A>C,則cosC=,

333

因此sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,ABC唯一確定，

由正弦定理得二=Lesin人也

，所以S^ABC

sinAsinC22

3

18.（13分）

【分析】（1）由題意得，*從而求解“，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)與學(xué)生總?cè)藬?shù)求解6；（2）先求解樣本符

合題意的概率，然后由樣本估計總體，得全市學(xué)生符合題意的概率，從而利用對立事件的概率公式求解；（3）

表示出參賽學(xué)生理論競賽的平均成績與方差，從而得關(guān)于6二次函數(shù)，由匕的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)從

而求解得答案.

【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項成績?yōu)?00分的學(xué)生

共有2+3+a+l+l=7+a人，則7+°=）,

202

得。=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20,

得6=5

（2）由（1）知，從20位理論成績?yōu)?00分的學(xué)生中抽取1人，

操作成績也為300分的概率為:，所以從全市理論成績?yōu)?00分的學(xué)生中，

隨機(jī)抽取2人，至少有一個人操作的成績?yōu)?00分的概率為尸=1-[-=||

(3)由題意，a=8-Z?(O<&<8),

設(shè)理論競賽的分?jǐn)?shù)為X,則X取值為｛WO,200,300｝,

對應(yīng)的人數(shù)分別為｛5,6+5,10-耳（0</<8）,所以參賽學(xué)生理論競賽的平均成績?yōu)?/p>

磯X)=100*+200x甯+300x1^=225一56

所以參賽學(xué)生理論成績的方差為

￡>(X)=(100-225+56『*+(2。。-225+5心智+(30。-225+54雷―50H6875

因?yàn)?4W8,所以當(dāng)6=8時，D（X）最小.

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是將理論競賽分?jǐn)?shù)對應(yīng)的人數(shù)表示為6的多項式，然后求解均值與方差，從而轉(zhuǎn)化

為關(guān)于6的二次函數(shù)的最值問題.

19.（15分）

【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合斜率的計算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；

（2）由題意，利用三角形中線性質(zhì)，分割三角形，整理三角形面積表達(dá)式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋

達(dá)定理，求得面積表達(dá)式中的變量，利用基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）由已知得4一。,0）,以名⑴且心或原口二-』，即！———=一』，

4x-ax+a4

因此有5=_（y_*=9卜2r2）,得§■=（.

1丫22

因止匕。2=/-/=2=1,得"=4,1=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙=1.

443

（2）顯然直線肱V經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)設(shè)/（HX），&%,%），

則由橢圓的對稱性得S=2Zg=2'；|0。|（聞+昆|）=|。。|（瓦|+昆|）,

2x+Zy-3-0

聯(lián)立/>2,消去尤得06+3與y2_i821=0.

---1---=1

143

A=(T8f)2+84(16+3巧>0恒成立，所以

16+3/16+3/

(18/)2+84(16+3r)

\l(yi+y)2-^2=

bJ+l^l=Iyi-y2|=2(16+3/y

令3產(chǎn)+7=機(jī)，顯然有機(jī)27,于是S—2義&20,當(dāng)m=9,即|“=當(dāng)時

取等號.

因此腦VE的面積S的最大值為2—.

20.(15分)

【分析】(1)對Ax),g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線，從而解出。的值及該切線的方程；

(2)由條件知/7(x)=?-alnx(x>0),對/z(x)進(jìn)行求導(dǎo)，分兩種情況進(jìn)行討論：①。>0；②4,0,從而

求其最小值以。)的解析式；

【詳解】(1)解：f(x)=-^r，g'(x)=-(x>0),

27XX

由已知得|l_a，解得。=:x=e2,

HI

兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,e),切線的斜率為k=f'(e2)=；,

切線的方程為V-e=1(x-e2),即切線的方程為y=^-x+"

(2)解：由條件知/i(x)=五一alnx(x>0)

①當(dāng)a>0時，令"(x)=0,解得了=4儲，

二當(dāng)0〈尤<4/時，〃(x)<0,/2(x)在(0,4/)上遞減；當(dāng)尤>44時，加⑺式/⑴在心乙+⑹上遞增,

x=4/是h(x)在(0,+巧上的唯一極值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)，

最小值點(diǎn)，0(。)=〃(4。2)=2a-aIn4a2=2a(l-Jn2a).

②當(dāng)aVO時，磯x)=?^>O,/z(x)在(0,+動上遞增，無最小值，故〃⑺的最小值。(。)的解析式為

lx

9(a)=2a(l-ln2a)(a>0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.

分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決

含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣

才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟

練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.

21.(15分)

【分析】(1)直接利用信息求出數(shù)列的項.

(2)利用恒成立問題和函數(shù)的單調(diào)性，求出2的取值范圍.

(3)直接利用