廣東省五校2022年高三第二次聯考數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知正項等比數列{為}中，存在兩項4,4,使得J%=3q,a6=2a5+3a4,則工+±的最小值是（）

mn

379

A.—B.2C.-D.一

234

2.已知命題P：=是“直線X-切=0和直線X+切=0互相垂直”的充要條件；命題4：對任意

。?凡/（力=*+。都有零點；則下列命題為真命題的是（）

A.（r?）A（w）B.p八（f）c.pyqD.p^q

3.如圖所示，矩形的對角線相交于點。，E為AO的中點，若=+則2+〃等于

（）.

22'

4.設。={一1,0,1,2},集合A={x[Y則()

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1）

5.某個命題與自然數〃有關，且已證得“假設”=左（左￡"*）時該命題成立，則〃=左+1時該命題也成立”.現已知當

〃=7時，該命題不成立，那么（）

A.當〃=8時，該命題不成立B.當〃=8時，該命題成立

C.當“=6時，該命題不成立D.當〃=6時，該命題成立

6.某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠2017年至2019年各產量的百分比堆積圖（例如：2017年該工廠

口罩、抽紙、棉簽產量分別占40%、27%、33%）,根據該圖，以下結論一定正確的是（）

2。17年

2019-1'I

0%20%40%60%80%100%

_________________________________________________________________d

A.2019年該工廠的棉簽產量最少

B.這三年中每年抽紙的產量相差不明顯

C.三年累計下來產量最多的是口罩

D.口罩的產量逐年增加

7.已知AABC中，忸。|=2,54-3。=—2.點尸為8c邊上的動點，則PC-（PA+P3+PC）的最小值為（）

325

A.2B.----C.—2D.------

412

8.某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為〃的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中

支出在［20,40）（單位：元）的同學有34人，則〃的值為（）

c

D.90

9015

a+D.L3

2-2-

22

將函數y=sin2x的圖像向左平移°（。＞0）個單位得到函數…皿小+"的圖像，則9的最小值為（

10.)

117T571

A.-B.—C.——D.——

612126

已知復數2=工+5"貝！||z|=（

11.)

2-i

A.非B.5A/2C.3后D.26

12.已知定義在［1,+8）上的函數/（%）滿足/（3x）=3/（力，且當1WXW3時，/（x）=l-|x-2|,則方程

/(x)=〃2019)的最小實根的值為()

A.168B.249C.411D.561

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線今=l(a]>0)的左右焦點為耳，鳥，過工作工軸的垂線與C相交于A,3兩點，￡3與y軸

相交于。.若耳5,則雙曲線C的離心率為.

14.已知(l+2x)”的展開式中含有爐的項的系數是60,則展開式中各項系數和為.

15.設/⑴=湃(A0),過點尸Q,0)且平行于y軸的直線與曲線Cy=f(x)的交點為Q,曲線C過點。的切

線交x軸于點R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是.

16.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經過點(4,1),則該雙曲線的標準方程為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/■(力=/"—]尤2—”2.71828…是自然對數的底數.

⑴若a=—e,討論了(九)的單調性；

(2)若/(%)有兩個極值點占,9，求。的取值范圍，并證明：占々>+9.

18.(12分)已知橢圓C:0+，=l(a〉6〉0)的離心率為乎，且過點4(0,1).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點尸是橢圓上異于短軸端點4,3的任意一點，過點尸作軸于0,線段尸。的中點為直線AM與直

線y=T交于點N,O為線段8N的中點，設。為坐標原點，試判斷以。。為直徑的圓與點M的位置關系.

19.(12分)如圖，兩座建筑物45,CZ>的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10%和

20%,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角ZCAZ>=60°.

D

(1)求的長度；

(2)在線段上取一點尸(點尸與點5,C不重合)，從點尸看這兩座建筑物的視角分別為NAPB=a,^DPC=fi,

問點P在何處時，a+/?最??？

20.（12分）已知多面體ABCDE中，AE、CD均垂直于平面ABC,ZABC=120,AE=2CD,AB=BC=CD,

廠是3E的中點.

(1)求證：￡)/〃平面ABC；

(2)求直線3D與平面/WE所成角的正弦值.

21.(12分)過點P(-4,0)的動直線/與拋物線C:f=2py(p>0)相交于。、E兩點，已知當/的斜率為g時，PE=4PD?

(1)求拋物線C的方程；

(2)設OE的中垂線在V軸上的截距為。，求〃的取值范圍.

22.(10分)在四邊形ABCP中，AB=BC=y/2,ZP=-,K4=PC=2；如圖，將上4c沿AC邊折起，連結P5,

3

使PB=PA,求證：

(1)平面ABCJ_平面PAC；

(2)若E為棱AB上一點，且AP與平面PCF所成角的正弦值為且，求二面角尸―PC-A的大小.

4

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由已知求出等比數列｛為｝的公比，進而求出根+"=4,嘗試用基本不等式，但見“eN*取不到等號，所以考慮直

接取私〃的值代入比較即可.

【詳解】

「4=2%+3&，,/-2"-3=0,二4=3或q=—1(舍).

n+n2

yjam-an=,:.am-an=a^.y~=9a^,.■.m+n=4.

,147

當772=1,〃=3時1■—=一;

mn3

145

當m=2,〃=2時—F—=-?

mn2

當加=3,〃=1時，-+-=所以最小值為N.

mn33

故選:c.

【點睛】

本題考查等比數列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.

2.A

【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.

【詳解】

當m=1時，直線1_陽=0和直線x+切=0,即直線為x—y=0和直線x+y=0互相垂直，

所以=1”是直線x-my=0和直線x+my=0互相垂直”的充分條件，

當直線％-切=0和直線x+7肛=0互相垂直時，m2=1,解得7"=±1.

所以“加=1”是直線x-my=0和直線x+my=0互相垂直”的不必要條件.

P:“771=1”是直線%-陽=0和直線》+切=0互相垂直”的充分不必要條件，故，是假命題.

當。=1時，/(x)=d+l沒有零點，

所以命題4是假命題.

所以（一）△（［"）是真命題，，△（「4）是假命題，0Vq是假命題，0Aq是假命題.

故選：A-

【點睛】

本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.

3.A

【解析】

1313

由平面向量基本定理，化簡得DE=—AB--AD,所以九=—,日=—-，即可求解，得到答案.

4444

【詳解】

由平面向量基本定理，化簡DE=DA+AE=DA+工AC=—AD+-（AB+AD）

13131

=-AB——AD,所以九=—,u=__,即九+|i=_—,

44442

故選A.

【點睛】

13

本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到DE=：AB-：AD是解答

44

的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數基礎題.

4.B

【解析】

先化簡集合A,再求QA.

【詳解】

由必<1得：—1<%<1,所以4=網，因此?L={—1,1,2},故答案為B

【點睛】

本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.

5.C

【解析】

寫出命題“假設〃=左（左eN*）時該命題成立，則〃=%+1時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真

假性一致進行判斷.

【詳解】

由逆否命題可知，命題“假設〃=左儀wN*）時該命題成立，則”=左+1時該命題也成立”的逆否命題為“假設當

n=k+l（kwN*）時該命題不成立，則當〃=上時該命題也不成立”，

由于當九=7時，該命題不成立，則當〃=6時，該命題也不成立，故選：C.

【點睛】

本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查

邏輯推理能力，屬于中等題.

6.C

【解析】

根據該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的

正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法

比較，故A、B、D選項錯誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的，則三年累計下來產量最

多的是口罩，C選項正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查堆積圖的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.

7.D

【解析】

以8c的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得6（—設P（a,0）,A（x,y）,運用向量的坐標表示,

求得點A的軌跡，進而得到關于。的二次函數，可得最小值.

【詳解】

以3c的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，

可得B（-l,0）,C（L0）,設尸（a,0）,A（x,y）,

由848。=-2，

可得（x+1,y＞（2,0）=2x+2=-2,即x=-2,y/0,

貝!]PC.(PA+PB+PC)=(1—Q,0),(x—a—1—Q+1—a,y+0+0)

—-3Q)—(1_Q)(-2-3Q)—3/_a_2

當。=工時，PC.（PA+P3+PC）的最小值為一生.

6''12

本題考查向量數量積的坐標表示，考查轉化思想和二次函數的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在［20,40）的同學的頻率，再結合支出在［20,40）（單位：元）的同學有34人，即得解

【詳解】

由題意，支出在［20,40）（單位：元）的同學有34人

由頻率分布直方圖可知，支出在［20,40）的同學的頻率為

34

(0.01+0.024)x10=0.34,.-.n=——=100.

0.34

故選：A

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.

9.B

【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

【詳解】

_2-3z_(2-3z)(l-z)_-l-5z_15.

Z-1+z-(l+z)(l-z)-2

故選B.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題.

10.B

【解析】

根據三角函數的平移求出函數的解析式，結合三角函數的性質進行求解即可.

【詳解】

將函數y=sin2x的圖象向左平移(p((p>0)個單位，

得至(]y=sin2(x+(p)=sin(2x+2(p),

jr

此時與函數y=sin(2x+-)的圖象重合，

6

貝(12(p=2k兀+—,即。=左"■+'?,keZ,

612

TT

二.當左=o時，9取得最小值為°=內，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵.

11.B

【解析】

利用復數除法、加法運算，化簡求得z,再求得目

【詳解】

z=2+5i=5Mj+z)+5i=-l+7i,故|z|=J(-l)2+72=50.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數的除法運算、加法運算，考查復數的模，屬于基礎題.

12.C

【解析】

先確定解析式求出7(2019)的函數值，然后判斷出方程/(x)=/(2019)的最小實根的范圍結合此時的

f(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當時，/(3x)=3/(x),所以〃%)=3嗎)=32/仔)==3"(言’故當

3YxW3"i時，/[1,3],所以/'(x)=3"(l-，-』)=<3：xj；；,而

2019

677

2019e[3,3],所以/(2019)=36(1-甘一-2)=3-2109=168，又當時，

/(%)的極大值為1,所以當3"<x<3"+】時，Ax)的極大值為3"，設方程〃x)=168

的最小實根為乙168e[34,35],貝he?5,三^),BP?e(243,468),此時/'(x)=x—

令/(x)=x—35=168,得f=243+168=4H,所以最小實根為411.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6

【解析】

9A2A2

由已知可得A￡=A5=’-,結合雙曲線的定義可知恒周―|AB|=L=2a,結合02=/+〃，從而可求出離心

率.

【詳解】

解：閨。=|瑪O|,OD〃片3,二|。耳|=|?？?，又ADlBFlt則|AE|=|AB|=2|AB|.

A27A2h1

2222

\AF2\=—,AFX=AB=一，.'.|A^|-|A^|=—=2a,BPZ?=2a?c-a

aaa

解得c=6a>即e=G.

故答案為：6

【點睛】

h2

本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據幾何關系，分析出仙耳|=幺.關于圓錐曲線的問題,

一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.

14.1

【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：22C；=60,解得〃=6,令x=l得：展開式中各項系數和，得解.

【詳解】

解：由(l+2x)"的展開式的通項(M=C：(2龍)"

令r=2,

得含有%2的項的系數是22戲=60,

解得n=6,

令尤=1得：展開式中各項系數和為(1+2)6=729,

故答案為：L

【點睛】

本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題.

15.匕

2

【解析】

111'e'

計算—-，0),PR=t-(Z—)=-,的面積為S=eJ,導數S，=<,由S，=0得f=l,根據函數

ttt2t2產

的單調性得到最值.

【詳解】

,.,PQ〃y軸，PCt,0),：.Q(t,f⑺)即Q(t,J),

又/(x)=聲(f>0)的導數1f(x)=%戊，.?.過。的切線斜率左=切,，

，21

/-021

設K(r,0),則左=------=td，:,r=t一一，

t-rt

即A(￡—90),PR=t-(￡-)=—,

ttt

又S(L/(1))即S(Ld),1.△PAS的面積為S=J,

It

e'(，T)

導數s=9由S'=o得r=i,

2產

當f>l時，S，>0,當OVf<l時，S，VO,；"=1為極小值點，也為最小值點,

AAPRS的面積的最小值為二.

2

故答案為：一.

2

本題考查了利用導數求面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

16.^_2L=i

123

【解析】

設雙曲線方程為X2-4/=2,代入點(4,1),計算得到答案.

【詳解】

2

雙曲線漸近線為x±2y=0,則設雙曲線方程為：X-4/=2,代入點(4,1),則2=12.

2

故雙曲線方程為：―2―匕=1.

123

故答案為：4-4=1.

123

【點睛】

本題考查了根據漸近線求雙曲線，設雙曲線方程為=無是解題的關鍵.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)減區(qū)間是增區(qū)間是(2)I0,-|,證明見解析.

kej

【解析】

(1)當。=-e時，求得函數/(九)的導函數/'(九)以及二階導函數/,(%),由此求得了(龍)的單調區(qū)間.

1nYInv

(2)令f(x)=0求得a=——，構造函數g(x)=——，利用導數求得g(x)的單調區(qū)間、極值和最值，結合/(%)

XX

ln&+%)Jn/_。_如(石々)證得

有兩個極值點，求得。的取值范圍.將為,々代入/'(》)=加?依列方程組，由

%+x?x2石+%

XxX2>%1+%2.

【詳解】

(1)f\x)=lnx-ax=lnx+ex,

--f'-0,

X/"(x)=-+e>0,所以,(x)在(0,+電)單增,

從而當工￡0,：

時,/。)<0,/(同遞減,

當時，〃尤)遞增.

]nY

(2)/'(%)=/加一雙,令/(％)=0=>〃=--

JC

令g(x)=g，則g'(x)=1-lnx

Xx2

故g(x)在(O,e)遞增，在(e,+8)遞減,

所以g(x)mx=g(e)=f注意到當X>1時g(x)>0.

所以當。<0時，/(%)有一個極值點,

當0<a<,時，/(九)有兩個極值點,

e

當a24時,/(九)沒有極值點,

e

綜上

因為為,X?是/(%)的兩個極值點,

In玉一町=0In%=axx

所以=><

Inx2-ax2=0In%2=以2

不妨設%v9，得1<玉<e<x?9

因為g(x)在(e,+oo)遞減,且再+々＞々，

所以如(芯+%2)＜生玉ln(x+羽)

=>————"~<a

%+%2%%+%2

又1nxi+ln%2=〃(再+%2)

玉

ln(x+x9)ln(x,x9)

所以-----------<--------=>玉%>玉+%

%+%2%+%2

【點睛】

本小題主要考查利用導數研究函數的單調區(qū)間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化

歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.

18.(1)—+/=1(2)點M在以6?為直徑的圓上

4-

【解析】

(1)根據題意列出關于。，b,c的方程組，解出a,b,c的值，即可得到橢圓C的標準方程；

(2)設點P(x0,%),則%),求出直線AM的方程，進而求出點N的坐標，再利用中點坐標公式得到點。

的坐標，下面結合點P在橢圓C上證出揄.扇=(),所以點M在以8為直徑的圓上.

【詳解】

必=1

a—2

c_A/3

(1)由題意可知,,解得6=1

a2

a2=b2+c2

???橢圓C的標準方程為：—+/=1.

4

(2)設點尸(不，%),則加(￡,%),

y0-l_2(y0-l)

?二直線AM的斜率為馬_0一%,

2

???直線AM的方程為：丁=上2(%一T冗)+1?,

令y=—i得，——"

1一%

，點N的坐標為（丁a,-1）,

1f

二點D的坐標為、,-1）,

2（1-%）

22

%）號-由,%+1）=生+%=、+%，

又點P（x°，%）在橢圓C上，

?'?+%2=],X：=4-4y（：,

...血.扇=>￡f?+%=]_（i+%）+%=0,

4（1-%）

二點M在以OD為直徑的圓上.

【點睛】

本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題.

19.（1）1073/71；（2）當3尸為f=2O0—10百。機時，a+成取得最小值.

【解析】

（1）作AE_LCI>,垂足為E,則CE=10,DE=10,設BC=x,根據3iNC4￡>=3z（2NC4￡）得到

A/3X2-20X-100A/3=0.解得答案.

（2）設5P=f,貝!|CP=10Q—d0V/<10G）,故.（0+0=1。*+，，設八。=1。午_

'）'1一/+10疝_200-r+10>-200

求導得到函數單調性，得到最值.

【詳解】

（1）作AE_LCZ）,垂足為E,則CE=10,Z>E=10,設5C=x,

20

則tanZCAD=tan（2ZCAE）=2fcm彳?！?—G,

'7l-tan2ZCAE.100

1一7

化簡得瓜2一20x—1006=0,解之得，x=l06或%'（舍），

（2）設BP3，則CP=IO6—《O</VIOG）,

1020

(+)==1006+W=1°(106+"

')11020一產+10西—200-產+10瘋-200’

tIOA/3-Z

10百+?、<⑺=『+2°后-50°

設/⑹、2+10?—2。。'㈠(-r+10^-200p

令/⑺=0,因為0</<106，得"200-10代，

當/e(0,200-10⑹時，f⑺<0,f⑺是減函數；

當te(2O0-10后,10百)時，f(/)>0,/(/)是增函數，

所以，當"20后-10百時，/⑺取得最小值，即5(?+/?)取得最小值,

因為—產+10后—200Vo恒成立，所以/(力<0,

所以fa”(a+y?)<0,a+(3萬］,

因為在［￡，萬)上是增函數，所以當/=200-10君時，a+”取得最小值.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.

20.(1)見解析；(2)逅.

4

【解析】

(1)取A5的中點"，連接FH、CH,推導出四邊形也CD為平行四邊形，可得出口7/CH,由此能證明。/〃

平面ABC；

(2)由AE〃CD,得〃平面ABE,則點。到平面ABE的距離等于點C到平面ABE的距離，在平面ABC內過點C

作CGLA5于點G,CG就是C到平面ABE的距離，也就是點。到平面ABE的距離，由此能求出直線與平面

ABE所成角的正弦值.

【詳解】

(1)取AB的中點連接EH、CH,

H、P分別為AB、BE的中點，則FH//AE且FH=^AE,

2

■-AE>CD均垂直于平面ABC,且AE=2CD,貝1|CD〃AE,:.FHIICD豆FH=CD,

所以，四邊形98為平行四邊形，則DF//CH,

￡序(2平面ABC,CHu平面ABC,因此，￡)9〃平面ABC；

(2)由AE7/CD,AEu平面ABE,CD2平面ABE,CD〃平面ABE,

???點。到平面ABE的距離等于點C到平面/WE的距離，

在平面ABC內過點。作CGLA5于點G,

QAE人平面ABC,。6<=平面48。，..8,4￡,

CG1AB,AEIAB=A,.'CG，平面ABE,

即CG就是C到平面ABE的距離，也就是點D到平面ABE的距離，

則。到平面ME的距離/z=5Csin60=?，BD=VBC2+CD2=25/2?

因此，直線6D與平面ABE所成角的正弦值為±==&=業(yè).

BD2V24

【點睛】

本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題.

21.(1)x2=4y；(2)b＞2

【解析】

(1)根據題意，求出直線方程并與拋物線方程聯立,利用韋達定理，結合PE=4PD，即可求出拋物線C的方程；

(2)設/:y=左(％+4),OE的中點為(小，%)，把直線/方程與拋物線方程聯立，利用判別式求出k的取值范圍，利用

韋達定理求出與,進而求出DE的中垂線方程，即可求得在V軸上的截距沙的表達式，然后根據k的取值范圍求解即可.

【詳解】

(1)由題意可知，直線I的方程為y=1(x+4),

與拋物線方程C：必=2py(p＞0)方程聯立可得，

2/-(8+p)y+8=0,

設%,%),￡(々,%)，由韋達定理可得，

8+PA

%+%=4，

因為PE=4PO，「石=(%+4,%)，如=(玉+4,X),

所以%=4%，解得%=1,%=4